Theorem zleloe 9390

Description: Integer 'Less than or equal to' expressed in terms of 'less than' or 'equals'. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
zleloe	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))

Proof of Theorem zleloe

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9347	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		zre 9347	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
3		lenlt 8119	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2an 289	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
5		ztri3or 9386	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴))
6		df-3or 981	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴) ↔ ((𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) ∨ 𝐵 < 𝐴))
7	5, 6	sylib 122	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) ∨ 𝐵 < 𝐴))
8	7	orcomd 730	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 < 𝐴 ∨ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
9	8	ord 725	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (¬ 𝐵 < 𝐴 → (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
10	4, 9	sylbid 150	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
11		ltle 8131	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
12		eqle 8135	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
13	12	ex 115	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 = 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
14	13	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
15	11, 14	jaod 718	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵))
16	1, 2, 15	syl2an 289	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵))
17	10, 16	impbid 129	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   ∨ w3o 979   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4034  ℝcr 7895   < clt 8078   ≤ cle 8079  ℤcz 9343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-inn 9008  df-n0 9267  df-z 9344

This theorem is referenced by:  nn0le2is012  9425  indstr  9684  nn01to3  9708  modfzo0difsn  10504  frec2uzltd  10512  frec2uzled  10538  iseqf1olemqcl  10608  iseqf1olemnab  10610  iseqf1olemab  10611  seq3f1olemqsumk  10621  seq3f1olemqsum  10622  exp3val  10650  facdiv  10847  facwordi  10849  zfz1isolemiso  10948  resqrexlemnm  11200  resqrexlemcvg  11201  cvgratnnlemseq  11708  nn0o1gt2  12087  sqrt2irr  12355