ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  zleloe GIF version

Theorem zleloe 9052
Description: Integer 'Less than or equal to' expressed in terms of 'less than' or 'equals'. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
zleloe ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵)))

Proof of Theorem zleloe
StepHypRef Expression
1 zre 9009 . . . 4 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
2 zre 9009 . . . 4 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
3 lenlt 7804 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
41, 2, 3syl2an 285 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
5 ztri3or 9048 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵𝐵 < 𝐴))
6 df-3or 946 . . . . . 6 ((𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵𝐵 < 𝐴) ↔ ((𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵) ∨ 𝐵 < 𝐴))
75, 6sylib 121 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵) ∨ 𝐵 < 𝐴))
87orcomd 701 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 < 𝐴 ∨ (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵)))
98ord 696 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (¬ 𝐵 < 𝐴 → (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵)))
104, 9sylbid 149 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵 → (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵)))
11 ltle 7815 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵𝐴𝐵))
12 eqle 7819 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴𝐵)
1312ex 114 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 = 𝐵𝐴𝐵))
1413adantr 272 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵𝐴𝐵))
1511, 14jaod 689 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵) → 𝐴𝐵))
161, 2, 15syl2an 285 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵) → 𝐴𝐵))
1710, 16impbid 128 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  wo 680  w3o 944   = wceq 1314  wcel 1463   class class class wbr 3897  cr 7583   < clt 7764  cle 7765  cz 9005
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-addcom 7684  ax-addass 7686  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-ltadd 7700
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-br 3898  df-opab 3958  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-inn 8678  df-n0 8929  df-z 9006
This theorem is referenced by:  nn0le2is012  9084  indstr  9337  nn01to3  9358  modfzo0difsn  10108  frec2uzltd  10116  frec2uzled  10142  iseqf1olemqcl  10199  iseqf1olemnab  10201  iseqf1olemab  10202  seq3f1olemqsumk  10212  seq3f1olemqsum  10213  exp3val  10235  facdiv  10424  facwordi  10426  zfz1isolemiso  10522  resqrexlemnm  10730  resqrexlemcvg  10731  cvgratnnlemseq  11235  nn0o1gt2  11498  sqrt2irr  11736
  Copyright terms: Public domain W3C validator