Theorem cjcn2 11788

Description: The complex conjugate function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cjcn2	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((∗‘𝑧) − (∗‘𝐴))) < 𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧   𝑦,𝐴,𝑧

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem cjcn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cjf 11319	. 2 ⊢ ∗:ℂ⟶ℂ
2		cjcl 11320	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (∗‘𝑧) ∈ ℂ)
3		cjcl 11320	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
4		subcl 8308	. . . . 5 ⊢ (((∗‘𝑧) ∈ ℂ ∧ (∗‘𝐴) ∈ ℂ) → ((∗‘𝑧) − (∗‘𝐴)) ∈ ℂ)
5	2, 3, 4	syl2an 289	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((∗‘𝑧) − (∗‘𝐴)) ∈ ℂ)
6	5	abscld 11653	. . 3 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (abs‘((∗‘𝑧) − (∗‘𝐴))) ∈ ℝ)
7		cjsub 11364	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (∗‘(𝑧 − 𝐴)) = ((∗‘𝑧) − (∗‘𝐴)))
8	7	fveq2d 5604	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (abs‘(∗‘(𝑧 − 𝐴))) = (abs‘((∗‘𝑧) − (∗‘𝐴))))
9		subcl 8308	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑧 − 𝐴) ∈ ℂ)
10	9	abscjd 11662	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (abs‘(∗‘(𝑧 − 𝐴))) = (abs‘(𝑧 − 𝐴)))
11	8, 10	eqtr3d 2242	. . 3 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (abs‘((∗‘𝑧) − (∗‘𝐴))) = (abs‘(𝑧 − 𝐴)))
12		eqle 8201	. . 3 ⊢ (((abs‘((∗‘𝑧) − (∗‘𝐴))) ∈ ℝ ∧ (abs‘((∗‘𝑧) − (∗‘𝐴))) = (abs‘(𝑧 − 𝐴))) → (abs‘((∗‘𝑧) − (∗‘𝐴))) ≤ (abs‘(𝑧 − 𝐴)))
13	6, 11, 12	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (abs‘((∗‘𝑧) − (∗‘𝐴))) ≤ (abs‘(𝑧 − 𝐴)))
14	1, 13	cn1lem 11786	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((∗‘𝑧) − (∗‘𝐴))) < 𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2178  ∀wral 2486  ∃wrex 2487   class class class wbr 4060  ‘cfv 5291  (class class class)co 5969  ℂcc 7960  ℝcr 7961   < clt 8144   ≤ cle 8145   − cmin 8280  ℝ⁺crp 9812  ∗ccj 11311  abscabs 11469

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4176  ax-sep 4179  ax-nul 4187  ax-pow 4235  ax-pr 4270  ax-un 4499  ax-setind 4604  ax-iinf 4655  ax-cnex 8053  ax-resscn 8054  ax-1cn 8055  ax-1re 8056  ax-icn 8057  ax-addcl 8058  ax-addrcl 8059  ax-mulcl 8060  ax-mulrcl 8061  ax-addcom 8062  ax-mulcom 8063  ax-addass 8064  ax-mulass 8065  ax-distr 8066  ax-i2m1 8067  ax-0lt1 8068  ax-1rid 8069  ax-0id 8070  ax-rnegex 8071  ax-precex 8072  ax-cnre 8073  ax-pre-ltirr 8074  ax-pre-ltwlin 8075  ax-pre-lttrn 8076  ax-pre-apti 8077  ax-pre-ltadd 8078  ax-pre-mulgt0 8079  ax-pre-mulext 8080  ax-arch 8081  ax-caucvg 8082

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2779  df-sbc 3007  df-csb 3103  df-dif 3177  df-un 3179  df-in 3181  df-ss 3188  df-nul 3470  df-if 3581  df-pw 3629  df-sn 3650  df-pr 3651  df-op 3653  df-uni 3866  df-int 3901  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4123  df-mpt 4124  df-tr 4160  df-id 4359  df-po 4362  df-iso 4363  df-iord 4432  df-on 4434  df-ilim 4435  df-suc 4437  df-iom 4658  df-xp 4700  df-rel 4701  df-cnv 4702  df-co 4703  df-dm 4704  df-rn 4705  df-res 4706  df-ima 4707  df-iota 5252  df-fun 5293  df-fn 5294  df-f 5295  df-f1 5296  df-fo 5297  df-f1o 5298  df-fv 5299  df-riota 5924  df-ov 5972  df-oprab 5973  df-mpo 5974  df-1st 6251  df-2nd 6252  df-recs 6416  df-frec 6502  df-pnf 8146  df-mnf 8147  df-xr 8148  df-ltxr 8149  df-le 8150  df-sub 8282  df-neg 8283  df-reap 8685  df-ap 8692  df-div 8783  df-inn 9074  df-2 9132  df-3 9133  df-4 9134  df-n0 9333  df-z 9410  df-uz 9686  df-rp 9813  df-seqfrec 10632  df-exp 10723  df-cj 11314  df-re 11315  df-im 11316  df-rsqrt 11470  df-abs 11471

This theorem is referenced by:  climcj  11793  cjcncf  15221