Theorem zdcle 9555

Description: Integer ≤ is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
zdcle	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → DECID 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem zdcle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ztri3or 9521	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴))
2		zre 9482	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
3		zre 9482	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltle 8266	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
5		orc 719	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵))
6		df-dc 842	. . . . . 6 ⊢ (DECID 𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵))
7	5, 6	sylibr 134	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≤ 𝐵 → DECID 𝐴 ≤ 𝐵)
8	4, 7	syl6 33	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → DECID 𝐴 ≤ 𝐵))
9		eqle 8270	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
10	9, 7	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 𝐵) → DECID 𝐴 ≤ 𝐵)
11	10	ex 115	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 = 𝐵 → DECID 𝐴 ≤ 𝐵))
12	11	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 → DECID 𝐴 ≤ 𝐵))
13		lenlt 8254	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
14	13	biimpd 144	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 → ¬ 𝐵 < 𝐴))
15	14	con2d 629	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 → ¬ 𝐴 ≤ 𝐵))
16		olc 718	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵))
17	16, 6	sylibr 134	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ≤ 𝐵 → DECID 𝐴 ≤ 𝐵)
18	15, 17	syl6 33	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 → DECID 𝐴 ≤ 𝐵))
19	8, 12, 18	3jaod 1340	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴) → DECID 𝐴 ≤ 𝐵))
20	2, 3, 19	syl2an 289	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴) → DECID 𝐴 ≤ 𝐵))
21	1, 20	mpd 13	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → DECID 𝐴 ≤ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 715  DECID wdc 841   ∨ w3o 1003   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088  ℝcr 8030   < clt 8213   ≤ cle 8214  ℤcz 9478

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-n0 9402  df-z 9479

This theorem is referenced by:  uzin  9788  xnn0dcle  10036  nelfzo  10386  exfzdc  10485  infssuzex  10492  modfzo0difsn  10656  fzfig  10691  iseqf1olemjpcl  10769  iseqf1olemqpcl  10770  seq3f1oleml  10777  seq3f1o  10778  fser0const  10796  ccatsymb  11178  fzowrddc  11227  swrdnd  11239  swrdsbslen  11246  swrdspsleq  11247  pfxccat3  11314  swrdccat  11315  pfxccat3a  11318  swrdccat3blem  11319  swrdccat3b  11320  uzin2  11547  2zsupmax  11786  2zinfmin  11803  sumeq2  11919  summodclem2a  11941  fsum3  11947  fsumcl2lem  11958  fsumadd  11966  sumsnf  11969  fsummulc2  12008  explecnv  12065  prodeq2  12117  prodmodclem3  12135  prodmodclem2a  12136  fprodseq  12143  prod1dc  12146  fprodmul  12151  prodsnf  12152  pcdvdsb  12892  pcmpt2  12916  pcmptdvds  12917  pcprod  12918  pcfac  12922  1arithlem4  12938  plyaddlem1  15470  plyaddlem  15472  gsumgfsum  16684