ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  zdcle GIF version

Theorem zdcle 9120
Description: Integer is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
zdcle ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → DECID 𝐴𝐵)

Proof of Theorem zdcle
StepHypRef Expression
1 ztri3or 9090 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵𝐵 < 𝐴))
2 zre 9051 . . 3 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
3 zre 9051 . . 3 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
4 ltle 7844 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵𝐴𝐵))
5 orc 701 . . . . . 6 (𝐴𝐵 → (𝐴𝐵 ∨ ¬ 𝐴𝐵))
6 df-dc 820 . . . . . 6 (DECID 𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝐵 ∨ ¬ 𝐴𝐵))
75, 6sylibr 133 . . . . 5 (𝐴𝐵DECID 𝐴𝐵)
84, 7syl6 33 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵DECID 𝐴𝐵))
9 eqle 7848 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴𝐵)
109, 7syl 14 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 𝐵) → DECID 𝐴𝐵)
1110ex 114 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 = 𝐵DECID 𝐴𝐵))
1211adantr 274 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵DECID 𝐴𝐵))
13 lenlt 7833 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
1413biimpd 143 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 → ¬ 𝐵 < 𝐴))
1514con2d 613 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 → ¬ 𝐴𝐵))
16 olc 700 . . . . . 6 𝐴𝐵 → (𝐴𝐵 ∨ ¬ 𝐴𝐵))
1716, 6sylibr 133 . . . . 5 𝐴𝐵DECID 𝐴𝐵)
1815, 17syl6 33 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴DECID 𝐴𝐵))
198, 12, 183jaod 1282 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵𝐵 < 𝐴) → DECID 𝐴𝐵))
202, 3, 19syl2an 287 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵𝐵 < 𝐴) → DECID 𝐴𝐵))
211, 20mpd 13 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → DECID 𝐴𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wo 697  DECID wdc 819  w3o 961   = wceq 1331  wcel 1480   class class class wbr 3924  cr 7612   < clt 7793  cle 7794  cz 9047
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-addass 7715  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-ltadd 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-inn 8714  df-n0 8971  df-z 9048
This theorem is referenced by:  uzin  9351  exfzdc  10010  modfzo0difsn  10161  fzfig  10196  iseqf1olemjpcl  10261  iseqf1olemqpcl  10262  seq3f1oleml  10269  seq3f1o  10270  fser0const  10282  uzin2  10752  2zsupmax  10990  sumeq2  11121  summodclem2a  11143  fsum3  11149  fsumcl2lem  11160  fsumadd  11168  sumsnf  11171  fsummulc2  11210  explecnv  11267  prodeq2  11319  infssuzex  11631
  Copyright terms: Public domain W3C validator