Theorem zdcle 9721

Description: Integer ≤ is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
zdcle	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → DECID 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem zdcle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ztri3or 9687	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴))
2		zre 9648	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
3		zre 9648	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltle 8413	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
5		orc 724	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵))
6		df-dc 847	. . . . . 6 ⊢ (DECID 𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵))
7	5, 6	sylibr 134	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≤ 𝐵 → DECID 𝐴 ≤ 𝐵)
8	4, 7	syl6 33	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → DECID 𝐴 ≤ 𝐵))
9		eqle 8417	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
10	9, 7	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 𝐵) → DECID 𝐴 ≤ 𝐵)
11	10	ex 115	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 = 𝐵 → DECID 𝐴 ≤ 𝐵))
12	11	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 → DECID 𝐴 ≤ 𝐵))
13		lenlt 8401	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
14	13	biimpd 144	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 → ¬ 𝐵 < 𝐴))
15	14	con2d 633	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 → ¬ 𝐴 ≤ 𝐵))
16		olc 723	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵))
17	16, 6	sylibr 134	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ≤ 𝐵 → DECID 𝐴 ≤ 𝐵)
18	15, 17	syl6 33	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 → DECID 𝐴 ≤ 𝐵))
19	8, 12, 18	3jaod 1345	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴) → DECID 𝐴 ≤ 𝐵))
20	2, 3, 19	syl2an 289	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴) → DECID 𝐴 ≤ 𝐵))
21	1, 20	mpd 13	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → DECID 𝐴 ≤ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 720  DECID wdc 846   ∨ w3o 1008   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  ℝcr 8178   < clt 8360   ≤ cle 8361  ℤcz 9644

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645

This theorem is used by:  uzin  9955  xnn0dcle  10204  nelfzo  10559  exfzdc  10659  infssuzex  10666  infssfzcldc  10669  infssfzledc  10670  modfzo0difsn  10832  fzfig  10867  iseqf1olemjpcl  10945  iseqf1olemqpcl  10946  seq3f1oleml  10953  seq3f1o  10954  fser0const  10972  ccatsymb  11370  fzowrddc  11419  swrdnd  11431  swrdsbslen  11438  swrdspsleq  11439  pfxccat3  11506  swrdccat  11507  pfxccat3a  11510  swrdccat3blem  11511  swrdccat3b  11512  uzin2  11753  2zsupmax  11992  2zinfmin  12009  sumeq2  12125  summodclem2a  12148  fsum3  12154  fsumcl2lem  12165  fsumadd  12173  sumsnf  12176  fsummulc2  12215  explecnv  12272  prodeq2  12324  prodmodclem3  12342  prodmodclem2a  12343  fprodseq  12350  prod1dc  12353  fprodmul  12358  prodsnf  12359  pcdvdsb  13099  pcmpt2  13123  pcmptdvds  13124  pcprod  13125  pcfac  13129  1arithlem4  13145  ballotfilemfc0  13232  ballotfilemfcc  13233  ballotfilemodife  13240  ballotfilemsv  13253  ballotfilemsdom  13255  ballotfilemsf1o  13257  gzsumgsum  14155  plyaddlem1  15848  plyaddlem  15850