Theorem zdcle 9288

Description: Integer ≤ is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
zdcle	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → DECID 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem zdcle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ztri3or 9255	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴))
2		zre 9216	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
3		zre 9216	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltle 8007	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
5		orc 707	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵))
6		df-dc 830	. . . . . 6 ⊢ (DECID 𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵))
7	5, 6	sylibr 133	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≤ 𝐵 → DECID 𝐴 ≤ 𝐵)
8	4, 7	syl6 33	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → DECID 𝐴 ≤ 𝐵))
9		eqle 8011	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
10	9, 7	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 𝐵) → DECID 𝐴 ≤ 𝐵)
11	10	ex 114	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 = 𝐵 → DECID 𝐴 ≤ 𝐵))
12	11	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 → DECID 𝐴 ≤ 𝐵))
13		lenlt 7995	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
14	13	biimpd 143	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 → ¬ 𝐵 < 𝐴))
15	14	con2d 619	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 → ¬ 𝐴 ≤ 𝐵))
16		olc 706	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵))
17	16, 6	sylibr 133	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ≤ 𝐵 → DECID 𝐴 ≤ 𝐵)
18	15, 17	syl6 33	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 → DECID 𝐴 ≤ 𝐵))
19	8, 12, 18	3jaod 1299	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴) → DECID 𝐴 ≤ 𝐵))
20	2, 3, 19	syl2an 287	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴) → DECID 𝐴 ≤ 𝐵))
21	1, 20	mpd 13	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → DECID 𝐴 ≤ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 703  DECID wdc 829   ∨ w3o 972   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   class class class wbr 3989  ℝcr 7773   < clt 7954   ≤ cle 7955  ℤcz 9212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213

This theorem is referenced by:  uzin  9519  xnn0dcle  9759  exfzdc  10196  modfzo0difsn  10351  fzfig  10386  iseqf1olemjpcl  10451  iseqf1olemqpcl  10452  seq3f1oleml  10459  seq3f1o  10460  fser0const  10472  uzin2  10951  2zsupmax  11189  2zinfmin  11206  sumeq2  11322  summodclem2a  11344  fsum3  11350  fsumcl2lem  11361  fsumadd  11369  sumsnf  11372  fsummulc2  11411  explecnv  11468  prodeq2  11520  prodmodclem3  11538  prodmodclem2a  11539  fprodseq  11546  prod1dc  11549  fprodmul  11554  prodsnf  11555  infssuzex  11904  pcdvdsb  12273  pcmpt2  12296  pcmptdvds  12297  pcprod  12298  pcfac  12302  1arithlem4  12318