Theorem qltnle 10313

Description: 'Less than' expressed in terms of 'less than or equal to'. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
qltnle	⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem qltnle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qre 9690	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℝ)
2		qre 9690	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℝ)
3		lenlt 8095	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anr 290	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
5	4	biimpd 144	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐵 ≤ 𝐴 → ¬ 𝐴 < 𝐵))
6	5	con2d 625	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 < 𝐵 → ¬ 𝐵 ≤ 𝐴))
7		qtri3or 10310	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴))
8		ax-1 6	. . . . 5 ⊢ (𝐴 < 𝐵 → (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → 𝐴 < 𝐵))
9	8	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 < 𝐵 → (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → 𝐴 < 𝐵)))
10		eqcom 2195	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 𝐵 ↔ 𝐵 = 𝐴)
11		eqle 8111	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝐴)
12	10, 11	sylan2b 287	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 ≤ 𝐴)
13	12	ex 115	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 = 𝐵 → 𝐵 ≤ 𝐴))
14	13	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 → 𝐵 ≤ 𝐴))
15	1, 14	sylan2 286	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 = 𝐵 → 𝐵 ≤ 𝐴))
16		pm2.24 622	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≤ 𝐴 → (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → 𝐴 < 𝐵))
17	15, 16	syl6 33	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 = 𝐵 → (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → 𝐴 < 𝐵)))
18		ltle 8107	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 → 𝐵 ≤ 𝐴))
19	1, 2, 18	syl2anr 290	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐵 < 𝐴 → 𝐵 ≤ 𝐴))
20	19, 16	syl6 33	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐵 < 𝐴 → (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → 𝐴 < 𝐵)))
21	9, 17, 20	3jaod 1315	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → ((𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴) → (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → 𝐴 < 𝐵)))
22	7, 21	mpd 13	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → 𝐴 < 𝐵))
23	6, 22	impbid 129	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ w3o 979   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4029  ℝcr 7871   < clt 8054   ≤ cle 8055  ℚcq 9684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-q 9685  df-rp 9720

This theorem is referenced by:  xqltnle  10336  flqlt  10352