ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  zlelttric GIF version

Theorem zlelttric 8849
Description: Trichotomy law. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
zlelttric ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵𝐵 < 𝐴))

Proof of Theorem zlelttric
StepHypRef Expression
1 zre 8808 . . 3 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
2 zre 8808 . . 3 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
31, 2anim12i 332 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
4 ztri3or 8847 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵𝐵 < 𝐴))
5 ltle 7626 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵𝐴𝐵))
6 orc 669 . . . 4 (𝐴𝐵 → (𝐴𝐵𝐵 < 𝐴))
75, 6syl6 33 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐴𝐵𝐵 < 𝐴)))
8 eqle 7630 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴𝐵)
98ex 114 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 = 𝐵𝐴𝐵))
109adantr 271 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵𝐴𝐵))
1110, 6syl6 33 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 → (𝐴𝐵𝐵 < 𝐴)))
12 olc 668 . . . 4 (𝐵 < 𝐴 → (𝐴𝐵𝐵 < 𝐴))
1312a1i 9 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 → (𝐴𝐵𝐵 < 𝐴)))
147, 11, 133jaod 1241 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵𝐵 < 𝐴) → (𝐴𝐵𝐵 < 𝐴)))
153, 4, 14sylc 62 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵𝐵 < 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wo 665  w3o 924   = wceq 1290  wcel 1439   class class class wbr 3851  cr 7403   < clt 7576  cle 7577  cz 8804
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-cnex 7490  ax-resscn 7491  ax-1cn 7492  ax-1re 7493  ax-icn 7494  ax-addcl 7495  ax-addrcl 7496  ax-mulcl 7497  ax-addcom 7499  ax-addass 7501  ax-distr 7503  ax-i2m1 7504  ax-0lt1 7505  ax-0id 7507  ax-rnegex 7508  ax-cnre 7510  ax-pre-ltirr 7511  ax-pre-ltwlin 7512  ax-pre-lttrn 7513  ax-pre-ltadd 7515
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-br 3852  df-opab 3906  df-id 4129  df-xp 4457  df-rel 4458  df-cnv 4459  df-co 4460  df-dm 4461  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-pnf 7578  df-mnf 7579  df-xr 7580  df-ltxr 7581  df-le 7582  df-sub 7709  df-neg 7710  df-inn 8477  df-n0 8728  df-z 8805
This theorem is referenced by:  btwnapz  8930  eluzdc  9151  fzsplit2  9518  uzsplit  9560  fzospliti  9641  fzouzsplit  9644  faclbnd  10203  resqrexlemoverl  10508  fisumrev2  10894  dvdslelemd  11176  dvdsle  11177  sqrt2irrap  11490  uzdcinzz  11964
  Copyright terms: Public domain W3C validator