Theorem zlelttric 9417

Description: Trichotomy law. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
zlelttric	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴))

Proof of Theorem zlelttric

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9376	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		zre 9376	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
3	1, 2	anim12i 338	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
4		ztri3or 9415	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴))
5		ltle 8160	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
6		orc 714	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴))
7	5, 6	syl6 33	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)))
8		eqle 8164	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
9	8	ex 115	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 = 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
10	9	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
11	10, 6	syl6 33	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)))
12		olc 713	. . . 4 ⊢ (𝐵 < 𝐴 → (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴))
13	12	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 → (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)))
14	7, 11, 13	3jaod 1317	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴) → (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)))
15	3, 4, 14	sylc 62	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 710   ∨ w3o 980   = wceq 1373   ∈ wcel 2176   class class class wbr 4044  ℝcr 7924   < clt 8107   ≤ cle 8108  ℤcz 9372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-inn 9037  df-n0 9296  df-z 9373

This theorem is referenced by:  btwnapz  9503  eluzdc  9731  fzsplit2  10172  uzsplit  10214  fzospliti  10300  fzouzsplit  10303  faclbnd  10886  resqrexlemoverl  11332  fisumrev2  11757  dvdslelemd  12154  dvdsle  12155  isprm5lem  12463  sqrt2irrap  12502  prm23ge5  12587  dvdsprmpweqle  12660  uzdcinzz  15734