Theorem zlelttric 9212

Description: Trichotomy law. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
zlelttric	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴))

Proof of Theorem zlelttric

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9171	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		zre 9171	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
3	1, 2	anim12i 336	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
4		ztri3or 9210	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴))
5		ltle 7964	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
6		orc 702	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴))
7	5, 6	syl6 33	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)))
8		eqle 7968	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
9	8	ex 114	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 = 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
10	9	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
11	10, 6	syl6 33	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)))
12		olc 701	. . . 4 ⊢ (𝐵 < 𝐴 → (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴))
13	12	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 → (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)))
14	7, 11, 13	3jaod 1286	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴) → (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)))
15	3, 4, 14	sylc 62	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 698   ∨ w3o 962   = wceq 1335   ∈ wcel 2128   class class class wbr 3965  ℝcr 7731   < clt 7912   ≤ cle 7913  ℤcz 9167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-1re 7826  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-addcom 7832  ax-addass 7834  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-0lt1 7838  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-cnre 7843  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-ltwlin 7845  ax-pre-lttrn 7846  ax-pre-ltadd 7848

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-br 3966  df-opab 4026  df-id 4253  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fv 5178  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-xr 7916  df-ltxr 7917  df-le 7918  df-sub 8048  df-neg 8049  df-inn 8834  df-n0 9091  df-z 9168

This theorem is referenced by:  btwnapz  9294  eluzdc  9521  fzsplit2  9952  uzsplit  9994  fzospliti  10075  fzouzsplit  10078  faclbnd  10615  resqrexlemoverl  10921  fisumrev2  11343  dvdslelemd  11735  dvdsle  11736  sqrt2irrap  12055  uzdcinzz  13383