ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f1finf1o GIF version

Theorem f1finf1o 6736
Description: Any injection from one finite set to another of equal size must be a bijection. (Contributed by Jeff Madsen, 5-Jun-2010.)
Assertion
Ref Expression
f1finf1o ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹:𝐴1-1-onto𝐵))

Proof of Theorem f1finf1o
StepHypRef Expression
1 simpr 109 . . . 4 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐹:𝐴1-1𝐵)
2 simplr 498 . . . . 5 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)
3 f1rn 5252 . . . . . 6 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → ran 𝐹𝐵)
43adantl 272 . . . . 5 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → ran 𝐹𝐵)
5 f1fn 5253 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹 Fn 𝐴)
6 fnima 5166 . . . . . . . . 9 (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐹𝐴) = ran 𝐹)
75, 6syl 14 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → (𝐹𝐴) = ran 𝐹)
87adantl 272 . . . . . . 7 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → (𝐹𝐴) = ran 𝐹)
9 ssid 3059 . . . . . . . . 9 𝐴𝐴
109a1i 9 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐴𝐴)
11 simpll 497 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐴𝐵)
12 enfii 6670 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)
132, 11, 12syl2anc 404 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)
14 f1imaeng 6589 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐴𝐴𝐴 ∈ Fin) → (𝐹𝐴) ≈ 𝐴)
151, 10, 13, 14syl3anc 1181 . . . . . . 7 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → (𝐹𝐴) ≈ 𝐴)
168, 15eqbrtrrd 3889 . . . . . 6 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → ran 𝐹𝐴)
17 entr 6581 . . . . . 6 ((ran 𝐹𝐴𝐴𝐵) → ran 𝐹𝐵)
1816, 11, 17syl2anc 404 . . . . 5 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → ran 𝐹𝐵)
19 fisseneq 6722 . . . . 5 ((𝐵 ∈ Fin ∧ ran 𝐹𝐵 ∧ ran 𝐹𝐵) → ran 𝐹 = 𝐵)
202, 4, 18, 19syl3anc 1181 . . . 4 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → ran 𝐹 = 𝐵)
21 dff1o5 5297 . . . 4 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 ↔ (𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ ran 𝐹 = 𝐵))
221, 20, 21sylanbrc 409 . . 3 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐹:𝐴1-1-onto𝐵)
2322ex 114 . 2 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹:𝐴1-1-onto𝐵))
24 f1of1 5287 . 2 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐴1-1𝐵)
2523, 24impbid1 141 1 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹:𝐴1-1-onto𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1296  wcel 1445  wss 3013   class class class wbr 3867  ran crn 4468  cima 4470   Fn wfn 5044  1-1wf1 5046  1-1-ontowf1o 5048  cen 6535  Fincfn 6537
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-nul 3986  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-iinf 4431
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 784  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-if 3414  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-tr 3959  df-id 4144  df-iord 4217  df-on 4219  df-suc 4222  df-iom 4434  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-1o 6219  df-er 6332  df-en 6538  df-fin 6540
This theorem is referenced by:  iseqf1olemqf1o  10043  crth  11627
  Copyright terms: Public domain W3C validator