Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f1finf1o GIF version

Theorem f1finf1o 6835
 Description: Any injection from one finite set to another of equal size must be a bijection. (Contributed by Jeff Madsen, 5-Jun-2010.)
Assertion
Ref Expression
f1finf1o ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹:𝐴1-1-onto𝐵))

Proof of Theorem f1finf1o
StepHypRef Expression
1 simpr 109 . . . 4 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐹:𝐴1-1𝐵)
2 simplr 519 . . . . 5 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)
3 f1rn 5329 . . . . . 6 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → ran 𝐹𝐵)
43adantl 275 . . . . 5 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → ran 𝐹𝐵)
5 f1fn 5330 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹 Fn 𝐴)
6 fnima 5241 . . . . . . . . 9 (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐹𝐴) = ran 𝐹)
75, 6syl 14 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → (𝐹𝐴) = ran 𝐹)
87adantl 275 . . . . . . 7 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → (𝐹𝐴) = ran 𝐹)
9 ssid 3117 . . . . . . . . 9 𝐴𝐴
109a1i 9 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐴𝐴)
11 simpll 518 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐴𝐵)
12 enfii 6768 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)
132, 11, 12syl2anc 408 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)
14 f1imaeng 6686 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐴𝐴𝐴 ∈ Fin) → (𝐹𝐴) ≈ 𝐴)
151, 10, 13, 14syl3anc 1216 . . . . . . 7 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → (𝐹𝐴) ≈ 𝐴)
168, 15eqbrtrrd 3952 . . . . . 6 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → ran 𝐹𝐴)
17 entr 6678 . . . . . 6 ((ran 𝐹𝐴𝐴𝐵) → ran 𝐹𝐵)
1816, 11, 17syl2anc 408 . . . . 5 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → ran 𝐹𝐵)
19 fisseneq 6820 . . . . 5 ((𝐵 ∈ Fin ∧ ran 𝐹𝐵 ∧ ran 𝐹𝐵) → ran 𝐹 = 𝐵)
202, 4, 18, 19syl3anc 1216 . . . 4 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → ran 𝐹 = 𝐵)
21 dff1o5 5376 . . . 4 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 ↔ (𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ ran 𝐹 = 𝐵))
221, 20, 21sylanbrc 413 . . 3 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐹:𝐴1-1-onto𝐵)
2322ex 114 . 2 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹:𝐴1-1-onto𝐵))
24 f1of1 5366 . 2 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐴1-1𝐵)
2523, 24impbid1 141 1 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹:𝐴1-1-onto𝐵))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   ⊆ wss 3071   class class class wbr 3929  ran crn 4540   “ cima 4542   Fn wfn 5118  –1-1→wf1 5120  –1-1-onto→wf1o 5122   ≈ cen 6632  Fincfn 6634 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-1o 6313  df-er 6429  df-en 6635  df-fin 6637 This theorem is referenced by:  iseqf1olemqf1o  10278  crth  11911  pwf1oexmid  13253
 Copyright terms: Public domain W3C validator