ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f1finf1o GIF version

Theorem f1finf1o 6963
Description: Any injection from one finite set to another of equal size must be a bijection. (Contributed by Jeff Madsen, 5-Jun-2010.)
Assertion
Ref Expression
f1finf1o ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹:𝐴1-1-onto𝐵))

Proof of Theorem f1finf1o
StepHypRef Expression
1 simpr 110 . . . 4 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐹:𝐴1-1𝐵)
2 simplr 528 . . . . 5 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)
3 f1rn 5436 . . . . . 6 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → ran 𝐹𝐵)
43adantl 277 . . . . 5 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → ran 𝐹𝐵)
5 f1fn 5437 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹 Fn 𝐴)
6 fnima 5348 . . . . . . . . 9 (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐹𝐴) = ran 𝐹)
75, 6syl 14 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → (𝐹𝐴) = ran 𝐹)
87adantl 277 . . . . . . 7 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → (𝐹𝐴) = ran 𝐹)
9 ssid 3189 . . . . . . . . 9 𝐴𝐴
109a1i 9 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐴𝐴)
11 simpll 527 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐴𝐵)
12 enfii 6891 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)
132, 11, 12syl2anc 411 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)
14 f1imaeng 6809 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐴𝐴𝐴 ∈ Fin) → (𝐹𝐴) ≈ 𝐴)
151, 10, 13, 14syl3anc 1248 . . . . . . 7 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → (𝐹𝐴) ≈ 𝐴)
168, 15eqbrtrrd 4041 . . . . . 6 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → ran 𝐹𝐴)
17 entr 6801 . . . . . 6 ((ran 𝐹𝐴𝐴𝐵) → ran 𝐹𝐵)
1816, 11, 17syl2anc 411 . . . . 5 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → ran 𝐹𝐵)
19 fisseneq 6948 . . . . 5 ((𝐵 ∈ Fin ∧ ran 𝐹𝐵 ∧ ran 𝐹𝐵) → ran 𝐹 = 𝐵)
202, 4, 18, 19syl3anc 1248 . . . 4 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → ran 𝐹 = 𝐵)
21 dff1o5 5484 . . . 4 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 ↔ (𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ ran 𝐹 = 𝐵))
221, 20, 21sylanbrc 417 . . 3 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐹:𝐴1-1-onto𝐵)
2322ex 115 . 2 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹:𝐴1-1-onto𝐵))
24 f1of1 5474 . 2 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐴1-1𝐵)
2523, 24impbid1 142 1 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹:𝐴1-1-onto𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1363  wcel 2159  wss 3143   class class class wbr 4017  ran crn 4641  cima 4643   Fn wfn 5225  1-1wf1 5227  1-1-ontowf1o 5229  cen 6755  Fincfn 6757
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2161  ax-14 2162  ax-ext 2170  ax-coll 4132  ax-sep 4135  ax-nul 4143  ax-pow 4188  ax-pr 4223  ax-un 4447  ax-setind 4550  ax-iinf 4601
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2040  df-mo 2041  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ne 2360  df-ral 2472  df-rex 2473  df-reu 2474  df-rab 2476  df-v 2753  df-sbc 2977  df-csb 3072  df-dif 3145  df-un 3147  df-in 3149  df-ss 3156  df-nul 3437  df-if 3549  df-pw 3591  df-sn 3612  df-pr 3613  df-op 3615  df-uni 3824  df-int 3859  df-iun 3902  df-br 4018  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4116  df-id 4307  df-iord 4380  df-on 4382  df-suc 4385  df-iom 4604  df-xp 4646  df-rel 4647  df-cnv 4648  df-co 4649  df-dm 4650  df-rn 4651  df-res 4652  df-ima 4653  df-iota 5192  df-fun 5232  df-fn 5233  df-f 5234  df-f1 5235  df-fo 5236  df-f1o 5237  df-fv 5238  df-1o 6434  df-er 6552  df-en 6758  df-fin 6760
This theorem is referenced by:  iseqf1olemqf1o  10510  crth  12241  eulerthlemh  12248  lgseisenlem2  14834  pwf1oexmid  15133
  Copyright terms: Public domain W3C validator