Theorem f1oeng 6930

Description: The domain and range of a one-to-one, onto function are equinumerous. (Contributed by NM, 19-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
f1oeng	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐴 ≈ 𝐵)

Proof of Theorem f1oeng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ofo 5590	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝐹:𝐴–onto→𝐵)
2		focdmex 6277	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → 𝐵 ∈ V))
3	1, 2	syl5 32	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝐵 ∈ V))
4	3	imp 124	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐵 ∈ V)
5		f1oen2g 6928	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐴 ≈ 𝐵)
6	5	3com23 1235	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐴 ≈ 𝐵)
7	4, 6	mpd3an3 1374	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐴 ≈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2202  Vcvv 2802   class class class wbr 4088  –onto→wfo 5324  –1-1-onto→wf1o 5325   ≈ cen 6907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-en 6910

This theorem is referenced by:  f1oen  6932  f1imaeng  6966  xpen  7031  fidifsnen  7057  dif1en  7068  f1ofi  7142  f1dmvrnfibi  7143  omp1eom  7294  endjusym  7295  eninl  7296  eninr  7297  summodclem2  11948  zsumdc  11950  prodmodclem2  12143  zproddc  12145  eulerthlemh  12808  4sqlem11  12979  ssnnctlemct  13072  conjsubgen  13870  znfi  14675  znhash  14676  usgrsizedgen  16070  eupthfi  16308  2omapen  16621  pw1mapen  16623  pwf1oexmid  16626