ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f1oeng GIF version

Theorem f1oeng 6619
Description: The domain and range of a one-to-one, onto function are equinumerous. (Contributed by NM, 19-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
f1oeng ((𝐴𝐶𝐹:𝐴1-1-onto𝐵) → 𝐴𝐵)

Proof of Theorem f1oeng
StepHypRef Expression
1 f1ofo 5342 . . . 4 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐴onto𝐵)
2 fornex 5981 . . . 4 (𝐴𝐶 → (𝐹:𝐴onto𝐵𝐵 ∈ V))
31, 2syl5 32 . . 3 (𝐴𝐶 → (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐵 ∈ V))
43imp 123 . 2 ((𝐴𝐶𝐹:𝐴1-1-onto𝐵) → 𝐵 ∈ V)
5 f1oen2g 6617 . . 3 ((𝐴𝐶𝐵 ∈ V ∧ 𝐹:𝐴1-1-onto𝐵) → 𝐴𝐵)
653com23 1172 . 2 ((𝐴𝐶𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐵 ∈ V) → 𝐴𝐵)
74, 6mpd3an3 1301 1 ((𝐴𝐶𝐹:𝐴1-1-onto𝐵) → 𝐴𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wcel 1465  Vcvv 2660   class class class wbr 3899  ontowfo 5091  1-1-ontowf1o 5092  cen 6600
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-en 6603
This theorem is referenced by:  f1oen  6621  f1imaeng  6654  xpen  6707  fidifsnen  6732  dif1en  6741  f1ofi  6799  f1dmvrnfibi  6800  omp1eom  6948  endjusym  6949  eninl  6950  eninr  6951  summodclem2  11119  zsumdc  11121  pwf1oexmid  13121
  Copyright terms: Public domain W3C validator