ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f1oeng GIF version

Theorem f1oeng 6528
Description: The domain and range of a one-to-one, onto function are equinumerous. (Contributed by NM, 19-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
f1oeng ((𝐴𝐶𝐹:𝐴1-1-onto𝐵) → 𝐴𝐵)

Proof of Theorem f1oeng
StepHypRef Expression
1 f1ofo 5273 . . . 4 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐴onto𝐵)
2 fornex 5900 . . . 4 (𝐴𝐶 → (𝐹:𝐴onto𝐵𝐵 ∈ V))
31, 2syl5 32 . . 3 (𝐴𝐶 → (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐵 ∈ V))
43imp 123 . 2 ((𝐴𝐶𝐹:𝐴1-1-onto𝐵) → 𝐵 ∈ V)
5 f1oen2g 6526 . . 3 ((𝐴𝐶𝐵 ∈ V ∧ 𝐹:𝐴1-1-onto𝐵) → 𝐴𝐵)
653com23 1150 . 2 ((𝐴𝐶𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐵 ∈ V) → 𝐴𝐵)
74, 6mpd3an3 1275 1 ((𝐴𝐶𝐹:𝐴1-1-onto𝐵) → 𝐴𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wcel 1439  Vcvv 2620   class class class wbr 3851  ontowfo 5026  1-1-ontowf1o 5027  cen 6509
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-id 4129  df-xp 4457  df-rel 4458  df-cnv 4459  df-co 4460  df-dm 4461  df-rn 4462  df-res 4463  df-ima 4464  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-en 6512
This theorem is referenced by:  f1oen  6530  f1imaeng  6563  xpen  6615  fidifsnen  6640  dif1en  6649  f1ofi  6706  f1dmvrnfibi  6707  isummolem2  10826  zisum  10828
  Copyright terms: Public domain W3C validator