Theorem f1oeng 6925

Description: The domain and range of a one-to-one, onto function are equinumerous. (Contributed by NM, 19-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
f1oeng	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐴 ≈ 𝐵)

Proof of Theorem f1oeng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ofo 5587	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝐹:𝐴–onto→𝐵)
2		focdmex 6272	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → 𝐵 ∈ V))
3	1, 2	syl5 32	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝐵 ∈ V))
4	3	imp 124	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐵 ∈ V)
5		f1oen2g 6923	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐴 ≈ 𝐵)
6	5	3com23 1233	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐴 ≈ 𝐵)
7	4, 6	mpd3an3 1372	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐴 ≈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2200  Vcvv 2800   class class class wbr 4086  –onto→wfo 5322  –1-1-onto→wf1o 5323   ≈ cen 6902

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-en 6905

This theorem is referenced by:  f1oen  6927  f1imaeng  6961  xpen  7026  fidifsnen  7052  dif1en  7063  f1ofi  7136  f1dmvrnfibi  7137  omp1eom  7288  endjusym  7289  eninl  7290  eninr  7291  summodclem2  11936  zsumdc  11938  prodmodclem2  12131  zproddc  12133  eulerthlemh  12796  4sqlem11  12967  ssnnctlemct  13060  conjsubgen  13858  znfi  14662  znhash  14663  usgrsizedgen  16057  eupthfi  16260  2omapen  16545  pw1mapen  16547  pwf1oexmid  16550