Theorem indval0 9297

Description: The indicator function generator does not generate a (meaningful) indicator function for a class which is not a subset of the domain. (Contributed by AV, 11-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
indval0	⊢ (¬ 𝐴 ⊆ 𝑂 → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) = ∅)

Proof of Theorem indval0

Dummy variables 𝑜 𝑎 𝑥 𝑗 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvm 5729	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) → ∃𝑗 𝑗 ∈ (𝟭‘𝑂))
2		df-ind 9294	. . . . . . 7 ⊢ 𝟭 = (𝑜 ∈ V ↦ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑜 ↦ (𝑥 ∈ 𝑜 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0))))
3	2	mptrcl 5788	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ (𝟭‘𝑂) → 𝑂 ∈ V)
4	3	exlimiv 1651	. . . . 5 ⊢ (∃𝑗 𝑗 ∈ (𝟭‘𝑂) → 𝑂 ∈ V)
5	1, 4	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) → 𝑂 ∈ V)
6	5	a1i 9	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ⊆ 𝑂 → (𝑧 ∈ ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) → 𝑂 ∈ V))
7		noel 3525	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝑧 ∈ ∅
8	7	pm2.21i 655	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ∅ → 𝑂 ∈ V)
9	8	a1i 9	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ⊆ 𝑂 → (𝑧 ∈ ∅ → 𝑂 ∈ V))
10		indv 9295	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑂 ∈ V → (𝟭‘𝑂) = (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0))))
11	10	fveq1d 5697	. . . . . . 7 ⊢ (𝑂 ∈ V → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) = ((𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0)))‘𝐴))
12	11	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑂 ∈ V ∧ ¬ 𝐴 ⊆ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) = ((𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0)))‘𝐴))
13		elpwi 3698	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝒫 𝑂 → 𝐴 ⊆ 𝑂)
14	13	con3i 641	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐴 ⊆ 𝑂 → ¬ 𝐴 ∈ 𝒫 𝑂)
15	14	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑂 ∈ V ∧ ¬ 𝐴 ⊆ 𝑂) → ¬ 𝐴 ∈ 𝒫 𝑂)
16		eqid 2238	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0))) = (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0)))
17	16	fvmptndm 5804	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ 𝒫 𝑂 → ((𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0)))‘𝐴) = ∅)
18	15, 17	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝑂 ∈ V ∧ ¬ 𝐴 ⊆ 𝑂) → ((𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0)))‘𝐴) = ∅)
19	12, 18	eqtrd 2271	. . . . 5 ⊢ ((𝑂 ∈ V ∧ ¬ 𝐴 ⊆ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) = ∅)
20	19	eleq2d 2308	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∈ V ∧ ¬ 𝐴 ⊆ 𝑂) → (𝑧 ∈ ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) ↔ 𝑧 ∈ ∅))
21	20	expcom 116	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ⊆ 𝑂 → (𝑂 ∈ V → (𝑧 ∈ ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) ↔ 𝑧 ∈ ∅)))
22	6, 9, 21	pm5.21ndd 717	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ⊆ 𝑂 → (𝑧 ∈ ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) ↔ 𝑧 ∈ ∅))
23	22	eqrdv 2236	1 ⊢ (¬ 𝐴 ⊆ 𝑂 → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) = ∅)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402  ∃wex 1545   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ⊆ wss 3220  ∅c0 3520  ifcif 3638  𝒫 cpw 3688   ↦ cmpt 4192  ‘cfv 5377  0cc0 8179  1c1 8180  𝟭cind 9293

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-ind 9294

This theorem is used by: (None)