ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isgrpde GIF version

Theorem isgrpde 12830
Description: Deduce a group from its properties. In this version of isgrpd 12831, we don't assume there is an expression for the inverse of 𝑥. (Contributed by NM, 6-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isgrpd.b (𝜑𝐵 = (Base‘𝐺))
isgrpd.p (𝜑+ = (+g𝐺))
isgrpd.c ((𝜑𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
isgrpd.a ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
isgrpd.z (𝜑0𝐵)
isgrpd.i ((𝜑𝑥𝐵) → ( 0 + 𝑥) = 𝑥)
isgrpde.n ((𝜑𝑥𝐵) → ∃𝑦𝐵 (𝑦 + 𝑥) = 0 )
Assertion
Ref Expression
isgrpde (𝜑𝐺 ∈ Grp)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧, +   𝑥, 0 ,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐺,𝑦,𝑧

Proof of Theorem isgrpde
StepHypRef Expression
1 isgrpd.b . 2 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐺))
2 isgrpd.p . 2 (𝜑+ = (+g𝐺))
3 isgrpd.z . . 3 (𝜑0𝐵)
4 isgrpd.i . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → ( 0 + 𝑥) = 𝑥)
5 isgrpd.c . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
6 isgrpd.a . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
7 isgrpde.n . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → ∃𝑦𝐵 (𝑦 + 𝑥) = 0 )
85, 3, 4, 6, 7grpridd 12738 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑥 + 0 ) = 𝑥)
91, 2, 3, 4, 8grpidd 12734 . 2 (𝜑0 = (0g𝐺))
101, 2, 5, 6, 3, 4, 8ismndd 12770 . 2 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
111, 2, 9, 10, 7isgrpd2e 12828 1 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148  wrex 2456  cfv 5215  (class class class)co 5872  Basecbs 12454  +gcplusg 12528  Grpcgrp 12809
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1re 7902  ax-addrcl 7905
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-fv 5223  df-riota 5828  df-ov 5875  df-inn 8916  df-2 8974  df-ndx 12457  df-slot 12458  df-base 12460  df-plusg 12541  df-0g 12695  df-mgm 12707  df-sgrp 12740  df-mnd 12750  df-grp 12812
This theorem is referenced by:  isgrpd  12831  dfgrp2  12834  unitgrp  13216
  Copyright terms: Public domain W3C validator