Theorem isgrpde 13886

Description: Deduce a group from its properties. In this version of isgrpd 13887, we don't assume there is an expression for the inverse of 𝑥. (Contributed by NM, 6-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isgrpd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐺))
isgrpd.p	⊢ (𝜑 → + = (+g‘𝐺))
isgrpd.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
isgrpd.a	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
isgrpd.z	⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐵)
isgrpd.i	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑥) = 𝑥)
isgrpde.n	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 + 𝑥) = 0 )

Assertion

Ref	Expression
isgrpde	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧, +   𝑥, 0 ,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐺,𝑦,𝑧

Proof of Theorem isgrpde

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isgrpd.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐺))
2		isgrpd.p	. 2 ⊢ (𝜑 → + = (+g‘𝐺))
3		isgrpd.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐵)
4		isgrpd.i	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑥) = 𝑥)
5		isgrpd.c	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
6		isgrpd.a	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
7		isgrpde.n	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 + 𝑥) = 0 )
8	5, 3, 4, 6, 7	grprida 13766	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 + 0 ) = 𝑥)
9	1, 2, 3, 4, 8	grpidd 13762	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘𝐺))
10	1, 2, 5, 6, 3, 4, 8	ismndd 13809	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
11	1, 2, 9, 10, 7	isgrpd2e 13884	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∃wrex 2529  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  Basecbs 13410  +_gcplusg 13490  Grpcgrp 13864

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1re 8279  ax-addrcl 8282

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-inn 9314  df-2 9372  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-plusg 13503  df-0g 13671  df-mgm 13735  df-sgrp 13776  df-mnd 13789  df-grp 13867

This theorem is used by:  isgrpd  13887  dfgrp2  13891  imasgrp2  13972  unitgrp  14532