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Theorem cnpnei 13722
Description: A condition for continuity at a point in terms of neighborhoods. (Contributed by Jeff Hankins, 7-Sep-2009.)
Hypotheses
Ref Expression
cnpnei.1 𝑋 = βˆͺ 𝐽
cnpnei.2 π‘Œ = βˆͺ 𝐾
Assertion
Ref Expression
cnpnei (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΄) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜{(πΉβ€˜π΄)})(◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐴})))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐹   𝑦,𝐽   𝑦,𝐾   𝑦,𝑋   𝑦,π‘Œ

Proof of Theorem cnpnei
Dummy variables 𝑔 π‘œ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnvimass 4992 . . . . . . . 8 (◑𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† dom 𝐹
2 fdm 5372 . . . . . . . 8 (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ β†’ dom 𝐹 = 𝑋)
31, 2sseqtrid 3206 . . . . . . 7 (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† 𝑋)
433ad2ant3 1020 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† 𝑋)
54ad2antrr 488 . . . . 5 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΄) ∧ 𝑦 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜{(πΉβ€˜π΄)}))) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† 𝑋)
6 neii2 13652 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜{(πΉβ€˜π΄)})) β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝐾 ({(πΉβ€˜π΄)} βŠ† 𝑔 ∧ 𝑔 βŠ† 𝑦))
763ad2antl2 1160 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜{(πΉβ€˜π΄)})) β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝐾 ({(πΉβ€˜π΄)} βŠ† 𝑔 ∧ 𝑔 βŠ† 𝑦))
87ad2ant2rl 511 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΄) ∧ 𝑦 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜{(πΉβ€˜π΄)}))) β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝐾 ({(πΉβ€˜π΄)} βŠ† 𝑔 ∧ 𝑔 βŠ† 𝑦))
9 cnpnei.1 . . . . . . . . . . . 12 𝑋 = βˆͺ 𝐽
109toptopon 13521 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
1110biimpi 120 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∈ Top β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
12113ad2ant1 1018 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
1312ad3antrrr 492 . . . . . . . 8 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΄) ∧ 𝑦 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜{(πΉβ€˜π΄)}))) ∧ (𝑔 ∈ 𝐾 ∧ ({(πΉβ€˜π΄)} βŠ† 𝑔 ∧ 𝑔 βŠ† 𝑦))) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
14 cnpnei.2 . . . . . . . . . . . 12 π‘Œ = βˆͺ 𝐾
1514toptopon 13521 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
1615biimpi 120 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ Top β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
17163ad2ant2 1019 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
1817ad3antrrr 492 . . . . . . . 8 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΄) ∧ 𝑦 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜{(πΉβ€˜π΄)}))) ∧ (𝑔 ∈ 𝐾 ∧ ({(πΉβ€˜π΄)} βŠ† 𝑔 ∧ 𝑔 βŠ† 𝑦))) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
19 simpllr 534 . . . . . . . 8 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΄) ∧ 𝑦 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜{(πΉβ€˜π΄)}))) ∧ (𝑔 ∈ 𝐾 ∧ ({(πΉβ€˜π΄)} βŠ† 𝑔 ∧ 𝑔 βŠ† 𝑦))) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
20 simplrl 535 . . . . . . . 8 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΄) ∧ 𝑦 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜{(πΉβ€˜π΄)}))) ∧ (𝑔 ∈ 𝐾 ∧ ({(πΉβ€˜π΄)} βŠ† 𝑔 ∧ 𝑔 βŠ† 𝑦))) β†’ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΄))
21 simprl 529 . . . . . . . 8 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΄) ∧ 𝑦 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜{(πΉβ€˜π΄)}))) ∧ (𝑔 ∈ 𝐾 ∧ ({(πΉβ€˜π΄)} βŠ† 𝑔 ∧ 𝑔 βŠ† 𝑦))) β†’ 𝑔 ∈ 𝐾)
22 simprrl 539 . . . . . . . . 9 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΄) ∧ 𝑦 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜{(πΉβ€˜π΄)}))) ∧ (𝑔 ∈ 𝐾 ∧ ({(πΉβ€˜π΄)} βŠ† 𝑔 ∧ 𝑔 βŠ† 𝑦))) β†’ {(πΉβ€˜π΄)} βŠ† 𝑔)
23 fvexg 5535 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΄) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ V)
2420, 19, 23syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΄) ∧ 𝑦 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜{(πΉβ€˜π΄)}))) ∧ (𝑔 ∈ 𝐾 ∧ ({(πΉβ€˜π΄)} βŠ† 𝑔 ∧ 𝑔 βŠ† 𝑦))) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ V)
25 snssg 3727 . . . . . . . . . 10 ((πΉβ€˜π΄) ∈ V β†’ ((πΉβ€˜π΄) ∈ 𝑔 ↔ {(πΉβ€˜π΄)} βŠ† 𝑔))
2624, 25syl 14 . . . . . . . . 9 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΄) ∧ 𝑦 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜{(πΉβ€˜π΄)}))) ∧ (𝑔 ∈ 𝐾 ∧ ({(πΉβ€˜π΄)} βŠ† 𝑔 ∧ 𝑔 βŠ† 𝑦))) β†’ ((πΉβ€˜π΄) ∈ 𝑔 ↔ {(πΉβ€˜π΄)} βŠ† 𝑔))
2722, 26mpbird 167 . . . . . . . 8 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΄) ∧ 𝑦 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜{(πΉβ€˜π΄)}))) ∧ (𝑔 ∈ 𝐾 ∧ ({(πΉβ€˜π΄)} βŠ† 𝑔 ∧ 𝑔 βŠ† 𝑦))) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ 𝑔)
28 icnpimaex 13714 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΄) ∧ 𝑔 ∈ 𝐾 ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ 𝑔)) β†’ βˆƒπ‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ ∧ (𝐹 β€œ π‘œ) βŠ† 𝑔))
2913, 18, 19, 20, 21, 27, 28syl33anc 1253 . . . . . . 7 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΄) ∧ 𝑦 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜{(πΉβ€˜π΄)}))) ∧ (𝑔 ∈ 𝐾 ∧ ({(πΉβ€˜π΄)} βŠ† 𝑔 ∧ 𝑔 βŠ† 𝑦))) β†’ βˆƒπ‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ ∧ (𝐹 β€œ π‘œ) βŠ† 𝑔))
30 sstr2 3163 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 β€œ π‘œ) βŠ† 𝑔 β†’ (𝑔 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐹 β€œ π‘œ) βŠ† 𝑦))
3130com12 30 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 βŠ† 𝑦 β†’ ((𝐹 β€œ π‘œ) βŠ† 𝑔 β†’ (𝐹 β€œ π‘œ) βŠ† 𝑦))
3231ad2antll 491 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔 ∈ 𝐾 ∧ ({(πΉβ€˜π΄)} βŠ† 𝑔 ∧ 𝑔 βŠ† 𝑦)) β†’ ((𝐹 β€œ π‘œ) βŠ† 𝑔 β†’ (𝐹 β€œ π‘œ) βŠ† 𝑦))
3332ad2antlr 489 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΄) ∧ 𝑦 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜{(πΉβ€˜π΄)}))) ∧ (𝑔 ∈ 𝐾 ∧ ({(πΉβ€˜π΄)} βŠ† 𝑔 ∧ 𝑔 βŠ† 𝑦))) ∧ π‘œ ∈ 𝐽) β†’ ((𝐹 β€œ π‘œ) βŠ† 𝑔 β†’ (𝐹 β€œ π‘œ) βŠ† 𝑦))
34 ffun 5369 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ β†’ Fun 𝐹)
35343ad2ant3 1020 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ Fun 𝐹)
3635ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΄) ∧ 𝑦 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜{(πΉβ€˜π΄)}))) β†’ Fun 𝐹)
3736ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΄) ∧ 𝑦 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜{(πΉβ€˜π΄)}))) ∧ (𝑔 ∈ 𝐾 ∧ ({(πΉβ€˜π΄)} βŠ† 𝑔 ∧ 𝑔 βŠ† 𝑦))) ∧ π‘œ ∈ 𝐽) β†’ Fun 𝐹)
389eltopss 13512 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘œ ∈ 𝐽) β†’ π‘œ βŠ† 𝑋)
3938adantlr 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ π‘œ ∈ 𝐽) β†’ π‘œ βŠ† 𝑋)
402sseq2d 3186 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ β†’ (π‘œ βŠ† dom 𝐹 ↔ π‘œ βŠ† 𝑋))
4140ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ π‘œ ∈ 𝐽) β†’ (π‘œ βŠ† dom 𝐹 ↔ π‘œ βŠ† 𝑋))
4239, 41mpbird 167 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ π‘œ ∈ 𝐽) β†’ π‘œ βŠ† dom 𝐹)
43423adantl2 1154 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ π‘œ ∈ 𝐽) β†’ π‘œ βŠ† dom 𝐹)
4443adantlr 477 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ π‘œ ∈ 𝐽) β†’ π‘œ βŠ† dom 𝐹)
4544adantlr 477 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΄) ∧ 𝑦 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜{(πΉβ€˜π΄)}))) ∧ π‘œ ∈ 𝐽) β†’ π‘œ βŠ† dom 𝐹)
4645adantlr 477 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΄) ∧ 𝑦 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜{(πΉβ€˜π΄)}))) ∧ (𝑔 ∈ 𝐾 ∧ ({(πΉβ€˜π΄)} βŠ† 𝑔 ∧ 𝑔 βŠ† 𝑦))) ∧ π‘œ ∈ 𝐽) β†’ π‘œ βŠ† dom 𝐹)
47 funimass3 5633 . . . . . . . . . . 11 ((Fun 𝐹 ∧ π‘œ βŠ† dom 𝐹) β†’ ((𝐹 β€œ π‘œ) βŠ† 𝑦 ↔ π‘œ βŠ† (◑𝐹 β€œ 𝑦)))
4837, 46, 47syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΄) ∧ 𝑦 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜{(πΉβ€˜π΄)}))) ∧ (𝑔 ∈ 𝐾 ∧ ({(πΉβ€˜π΄)} βŠ† 𝑔 ∧ 𝑔 βŠ† 𝑦))) ∧ π‘œ ∈ 𝐽) β†’ ((𝐹 β€œ π‘œ) βŠ† 𝑦 ↔ π‘œ βŠ† (◑𝐹 β€œ 𝑦)))
4933, 48sylibd 149 . . . . . . . . 9 ((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΄) ∧ 𝑦 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜{(πΉβ€˜π΄)}))) ∧ (𝑔 ∈ 𝐾 ∧ ({(πΉβ€˜π΄)} βŠ† 𝑔 ∧ 𝑔 βŠ† 𝑦))) ∧ π‘œ ∈ 𝐽) β†’ ((𝐹 β€œ π‘œ) βŠ† 𝑔 β†’ π‘œ βŠ† (◑𝐹 β€œ 𝑦)))
5049anim2d 337 . . . . . . . 8 ((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΄) ∧ 𝑦 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜{(πΉβ€˜π΄)}))) ∧ (𝑔 ∈ 𝐾 ∧ ({(πΉβ€˜π΄)} βŠ† 𝑔 ∧ 𝑔 βŠ† 𝑦))) ∧ π‘œ ∈ 𝐽) β†’ ((𝐴 ∈ π‘œ ∧ (𝐹 β€œ π‘œ) βŠ† 𝑔) β†’ (𝐴 ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† (◑𝐹 β€œ 𝑦))))
5150reximdva 2579 . . . . . . 7 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΄) ∧ 𝑦 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜{(πΉβ€˜π΄)}))) ∧ (𝑔 ∈ 𝐾 ∧ ({(πΉβ€˜π΄)} βŠ† 𝑔 ∧ 𝑔 βŠ† 𝑦))) β†’ (βˆƒπ‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ ∧ (𝐹 β€œ π‘œ) βŠ† 𝑔) β†’ βˆƒπ‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† (◑𝐹 β€œ 𝑦))))
5229, 51mpd 13 . . . . . 6 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΄) ∧ 𝑦 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜{(πΉβ€˜π΄)}))) ∧ (𝑔 ∈ 𝐾 ∧ ({(πΉβ€˜π΄)} βŠ† 𝑔 ∧ 𝑔 βŠ† 𝑦))) β†’ βˆƒπ‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† (◑𝐹 β€œ 𝑦)))
538, 52rexlimddv 2599 . . . . 5 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΄) ∧ 𝑦 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜{(πΉβ€˜π΄)}))) β†’ βˆƒπ‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† (◑𝐹 β€œ 𝑦)))
549isneip 13649 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐴}) ↔ ((◑𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† 𝑋 ∧ βˆƒπ‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† (◑𝐹 β€œ 𝑦)))))
55543ad2antl1 1159 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐴}) ↔ ((◑𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† 𝑋 ∧ βˆƒπ‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† (◑𝐹 β€œ 𝑦)))))
5655adantr 276 . . . . 5 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΄) ∧ 𝑦 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜{(πΉβ€˜π΄)}))) β†’ ((◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐴}) ↔ ((◑𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† 𝑋 ∧ βˆƒπ‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† (◑𝐹 β€œ 𝑦)))))
575, 53, 56mpbir2and 944 . . . 4 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΄) ∧ 𝑦 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜{(πΉβ€˜π΄)}))) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐴}))
5857exp32 365 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΄) β†’ (𝑦 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜{(πΉβ€˜π΄)}) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐴}))))
5958ralrimdv 2556 . 2 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΄) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜{(πΉβ€˜π΄)})(◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐴})))
60 simpll3 1038 . . . 4 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜{(πΉβ€˜π΄)})(◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐴})) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
61 opnneip 13662 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ Top ∧ π‘œ ∈ 𝐾 ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ π‘œ) β†’ π‘œ ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜{(πΉβ€˜π΄)}))
62 imaeq2 4967 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = π‘œ β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑦) = (◑𝐹 β€œ π‘œ))
6362eleq1d 2246 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = π‘œ β†’ ((◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐴}) ↔ (◑𝐹 β€œ π‘œ) ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐴})))
6463rspcv 2838 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘œ ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜{(πΉβ€˜π΄)}) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜{(πΉβ€˜π΄)})(◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐴}) β†’ (◑𝐹 β€œ π‘œ) ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐴})))
6561, 64syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Top ∧ π‘œ ∈ 𝐾 ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ π‘œ) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜{(πΉβ€˜π΄)})(◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐴}) β†’ (◑𝐹 β€œ π‘œ) ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐴})))
66653com23 1209 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Top ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ π‘œ ∧ π‘œ ∈ 𝐾) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜{(πΉβ€˜π΄)})(◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐴}) β†’ (◑𝐹 β€œ π‘œ) ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐴})))
67663expb 1204 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Top ∧ ((πΉβ€˜π΄) ∈ π‘œ ∧ π‘œ ∈ 𝐾)) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜{(πΉβ€˜π΄)})(◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐴}) β†’ (◑𝐹 β€œ π‘œ) ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐴})))
68673ad2antl2 1160 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π΄) ∈ π‘œ ∧ π‘œ ∈ 𝐾)) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜{(πΉβ€˜π΄)})(◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐴}) β†’ (◑𝐹 β€œ π‘œ) ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐴})))
6968adantlr 477 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π΄) ∈ π‘œ ∧ π‘œ ∈ 𝐾)) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜{(πΉβ€˜π΄)})(◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐴}) β†’ (◑𝐹 β€œ π‘œ) ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐴})))
70 neii2 13652 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ Top ∧ (◑𝐹 β€œ π‘œ) ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐴})) β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝐽 ({𝐴} βŠ† 𝑔 ∧ 𝑔 βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘œ)))
7170ex 115 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ Top β†’ ((◑𝐹 β€œ π‘œ) ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐴}) β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝐽 ({𝐴} βŠ† 𝑔 ∧ 𝑔 βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘œ))))
72713ad2ant1 1018 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ ((◑𝐹 β€œ π‘œ) ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐴}) β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝐽 ({𝐴} βŠ† 𝑔 ∧ 𝑔 βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘œ))))
7372ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π΄) ∈ π‘œ ∧ π‘œ ∈ 𝐾)) β†’ ((◑𝐹 β€œ π‘œ) ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐴}) β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝐽 ({𝐴} βŠ† 𝑔 ∧ 𝑔 βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘œ))))
74 snssg 3727 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ (𝐴 ∈ 𝑔 ↔ {𝐴} βŠ† 𝑔))
7574ad3antlr 493 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π΄) ∈ π‘œ ∧ π‘œ ∈ 𝐾)) ∧ 𝑔 ∈ 𝐽) β†’ (𝐴 ∈ 𝑔 ↔ {𝐴} βŠ† 𝑔))
7635ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π΄) ∈ π‘œ ∧ π‘œ ∈ 𝐾)) ∧ 𝑔 ∈ 𝐽) β†’ Fun 𝐹)
779eltopss 13512 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑔 ∈ 𝐽) β†’ 𝑔 βŠ† 𝑋)
78773ad2antl1 1159 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑔 ∈ 𝐽) β†’ 𝑔 βŠ† 𝑋)
792sseq2d 3186 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ β†’ (𝑔 βŠ† dom 𝐹 ↔ 𝑔 βŠ† 𝑋))
80793ad2ant3 1020 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ (𝑔 βŠ† dom 𝐹 ↔ 𝑔 βŠ† 𝑋))
8180biimpar 297 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑔 βŠ† 𝑋) β†’ 𝑔 βŠ† dom 𝐹)
8278, 81syldan 282 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑔 ∈ 𝐽) β†’ 𝑔 βŠ† dom 𝐹)
8382adantlr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ 𝐽) β†’ 𝑔 βŠ† dom 𝐹)
8483adantlr 477 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π΄) ∈ π‘œ ∧ π‘œ ∈ 𝐾)) ∧ 𝑔 ∈ 𝐽) β†’ 𝑔 βŠ† dom 𝐹)
85 funimass3 5633 . . . . . . . . . . . . 13 ((Fun 𝐹 ∧ 𝑔 βŠ† dom 𝐹) β†’ ((𝐹 β€œ 𝑔) βŠ† π‘œ ↔ 𝑔 βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘œ)))
8676, 84, 85syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π΄) ∈ π‘œ ∧ π‘œ ∈ 𝐾)) ∧ 𝑔 ∈ 𝐽) β†’ ((𝐹 β€œ 𝑔) βŠ† π‘œ ↔ 𝑔 βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘œ)))
8775, 86anbi12d 473 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π΄) ∈ π‘œ ∧ π‘œ ∈ 𝐾)) ∧ 𝑔 ∈ 𝐽) β†’ ((𝐴 ∈ 𝑔 ∧ (𝐹 β€œ 𝑔) βŠ† π‘œ) ↔ ({𝐴} βŠ† 𝑔 ∧ 𝑔 βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘œ))))
8887biimprd 158 . . . . . . . . . 10 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π΄) ∈ π‘œ ∧ π‘œ ∈ 𝐾)) ∧ 𝑔 ∈ 𝐽) β†’ (({𝐴} βŠ† 𝑔 ∧ 𝑔 βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘œ)) β†’ (𝐴 ∈ 𝑔 ∧ (𝐹 β€œ 𝑔) βŠ† π‘œ)))
8988reximdva 2579 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π΄) ∈ π‘œ ∧ π‘œ ∈ 𝐾)) β†’ (βˆƒπ‘” ∈ 𝐽 ({𝐴} βŠ† 𝑔 ∧ 𝑔 βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘œ)) β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ 𝑔 ∧ (𝐹 β€œ 𝑔) βŠ† π‘œ)))
9069, 73, 893syld 57 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π΄) ∈ π‘œ ∧ π‘œ ∈ 𝐾)) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜{(πΉβ€˜π΄)})(◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐴}) β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ 𝑔 ∧ (𝐹 β€œ 𝑔) βŠ† π‘œ)))
9190exp32 365 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π΄) ∈ π‘œ β†’ (π‘œ ∈ 𝐾 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜{(πΉβ€˜π΄)})(◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐴}) β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ 𝑔 ∧ (𝐹 β€œ 𝑔) βŠ† π‘œ)))))
9291com24 87 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜{(πΉβ€˜π΄)})(◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐴}) β†’ (π‘œ ∈ 𝐾 β†’ ((πΉβ€˜π΄) ∈ π‘œ β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ 𝑔 ∧ (𝐹 β€œ 𝑔) βŠ† π‘œ)))))
9392imp 124 . . . . 5 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜{(πΉβ€˜π΄)})(◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐴})) β†’ (π‘œ ∈ 𝐾 β†’ ((πΉβ€˜π΄) ∈ π‘œ β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ 𝑔 ∧ (𝐹 β€œ 𝑔) βŠ† π‘œ))))
9493ralrimiv 2549 . . . 4 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜{(πΉβ€˜π΄)})(◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐴})) β†’ βˆ€π‘œ ∈ 𝐾 ((πΉβ€˜π΄) ∈ π‘œ β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ 𝑔 ∧ (𝐹 β€œ 𝑔) βŠ† π‘œ)))
95113ad2ant1 1018 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
96163ad2ant2 1019 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
97 simp3 999 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
98 iscnp 13702 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΄) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘œ ∈ 𝐾 ((πΉβ€˜π΄) ∈ π‘œ β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ 𝑔 ∧ (𝐹 β€œ 𝑔) βŠ† π‘œ)))))
9995, 96, 97, 98syl3anc 1238 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΄) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘œ ∈ 𝐾 ((πΉβ€˜π΄) ∈ π‘œ β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ 𝑔 ∧ (𝐹 β€œ 𝑔) βŠ† π‘œ)))))
100993expa 1203 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΄) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘œ ∈ 𝐾 ((πΉβ€˜π΄) ∈ π‘œ β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ 𝑔 ∧ (𝐹 β€œ 𝑔) βŠ† π‘œ)))))
1011003adantl3 1155 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΄) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘œ ∈ 𝐾 ((πΉβ€˜π΄) ∈ π‘œ β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ 𝑔 ∧ (𝐹 β€œ 𝑔) βŠ† π‘œ)))))
102101adantr 276 . . . 4 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜{(πΉβ€˜π΄)})(◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐴})) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΄) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘œ ∈ 𝐾 ((πΉβ€˜π΄) ∈ π‘œ β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ 𝑔 ∧ (𝐹 β€œ 𝑔) βŠ† π‘œ)))))
10360, 94, 102mpbir2and 944 . . 3 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜{(πΉβ€˜π΄)})(◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐴})) β†’ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΄))
104103ex 115 . 2 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜{(πΉβ€˜π΄)})(◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐴}) β†’ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΄)))
10559, 104impbid 129 1 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΄) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜{(πΉβ€˜π΄)})(◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐴})))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  βˆ€wral 2455  βˆƒwrex 2456  Vcvv 2738   βŠ† wss 3130  {csn 3593  βˆͺ cuni 3810  β—‘ccnv 4626  dom cdm 4627   β€œ cima 4630  Fun wfun 5211  βŸΆwf 5213  β€˜cfv 5217  (class class class)co 5875  Topctop 13500  TopOnctopon 13513  neicnei 13641   CnP ccnp 13689
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-map 6650  df-top 13501  df-topon 13514  df-nei 13642  df-cnp 13692
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