ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnpnei GIF version

Theorem cnpnei 12315
Description: A condition for continuity at a point in terms of neighborhoods. (Contributed by Jeff Hankins, 7-Sep-2009.)
Hypotheses
Ref Expression
cnpnei.1 𝑋 = 𝐽
cnpnei.2 𝑌 = 𝐾
Assertion
Ref Expression
cnpnei (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ↔ ∀𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)})(𝐹𝑦) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴})))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐹   𝑦,𝐽   𝑦,𝐾   𝑦,𝑋   𝑦,𝑌

Proof of Theorem cnpnei
Dummy variables 𝑔 𝑜 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnvimass 4872 . . . . . . . 8 (𝐹𝑦) ⊆ dom 𝐹
2 fdm 5248 . . . . . . . 8 (𝐹:𝑋𝑌 → dom 𝐹 = 𝑋)
31, 2sseqtrid 3117 . . . . . . 7 (𝐹:𝑋𝑌 → (𝐹𝑦) ⊆ 𝑋)
433ad2ant3 989 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) → (𝐹𝑦) ⊆ 𝑋)
54ad2antrr 479 . . . . 5 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)}))) → (𝐹𝑦) ⊆ 𝑋)
6 neii2 12245 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)})) → ∃𝑔𝐾 ({(𝐹𝐴)} ⊆ 𝑔𝑔𝑦))
763ad2antl2 1129 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)})) → ∃𝑔𝐾 ({(𝐹𝐴)} ⊆ 𝑔𝑔𝑦))
87ad2ant2rl 502 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)}))) → ∃𝑔𝐾 ({(𝐹𝐴)} ⊆ 𝑔𝑔𝑦))
9 cnpnei.1 . . . . . . . . . . . 12 𝑋 = 𝐽
109toptopon 12112 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
1110biimpi 119 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
12113ad2ant1 987 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
1312ad3antrrr 483 . . . . . . . 8 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)}))) ∧ (𝑔𝐾 ∧ ({(𝐹𝐴)} ⊆ 𝑔𝑔𝑦))) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
14 cnpnei.2 . . . . . . . . . . . 12 𝑌 = 𝐾
1514toptopon 12112 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
1615biimpi 119 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ Top → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
17163ad2ant2 988 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
1817ad3antrrr 483 . . . . . . . 8 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)}))) ∧ (𝑔𝐾 ∧ ({(𝐹𝐴)} ⊆ 𝑔𝑔𝑦))) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
19 simpllr 508 . . . . . . . 8 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)}))) ∧ (𝑔𝐾 ∧ ({(𝐹𝐴)} ⊆ 𝑔𝑔𝑦))) → 𝐴𝑋)
20 simplrl 509 . . . . . . . 8 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)}))) ∧ (𝑔𝐾 ∧ ({(𝐹𝐴)} ⊆ 𝑔𝑔𝑦))) → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴))
21 simprl 505 . . . . . . . 8 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)}))) ∧ (𝑔𝐾 ∧ ({(𝐹𝐴)} ⊆ 𝑔𝑔𝑦))) → 𝑔𝐾)
22 simprrl 513 . . . . . . . . 9 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)}))) ∧ (𝑔𝐾 ∧ ({(𝐹𝐴)} ⊆ 𝑔𝑔𝑦))) → {(𝐹𝐴)} ⊆ 𝑔)
23 fvexg 5408 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐹𝐴) ∈ V)
2420, 19, 23syl2anc 408 . . . . . . . . . 10 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)}))) ∧ (𝑔𝐾 ∧ ({(𝐹𝐴)} ⊆ 𝑔𝑔𝑦))) → (𝐹𝐴) ∈ V)
25 snssg 3626 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝐴) ∈ V → ((𝐹𝐴) ∈ 𝑔 ↔ {(𝐹𝐴)} ⊆ 𝑔))
2624, 25syl 14 . . . . . . . . 9 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)}))) ∧ (𝑔𝐾 ∧ ({(𝐹𝐴)} ⊆ 𝑔𝑔𝑦))) → ((𝐹𝐴) ∈ 𝑔 ↔ {(𝐹𝐴)} ⊆ 𝑔))
2722, 26mpbird 166 . . . . . . . 8 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)}))) ∧ (𝑔𝐾 ∧ ({(𝐹𝐴)} ⊆ 𝑔𝑔𝑦))) → (𝐹𝐴) ∈ 𝑔)
28 icnpimaex 12307 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ∧ 𝑔𝐾 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑔)) → ∃𝑜𝐽 (𝐴𝑜 ∧ (𝐹𝑜) ⊆ 𝑔))
2913, 18, 19, 20, 21, 27, 28syl33anc 1216 . . . . . . 7 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)}))) ∧ (𝑔𝐾 ∧ ({(𝐹𝐴)} ⊆ 𝑔𝑔𝑦))) → ∃𝑜𝐽 (𝐴𝑜 ∧ (𝐹𝑜) ⊆ 𝑔))
30 sstr2 3074 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝑜) ⊆ 𝑔 → (𝑔𝑦 → (𝐹𝑜) ⊆ 𝑦))
3130com12 30 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔𝑦 → ((𝐹𝑜) ⊆ 𝑔 → (𝐹𝑜) ⊆ 𝑦))
3231ad2antll 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔𝐾 ∧ ({(𝐹𝐴)} ⊆ 𝑔𝑔𝑦)) → ((𝐹𝑜) ⊆ 𝑔 → (𝐹𝑜) ⊆ 𝑦))
3332ad2antlr 480 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)}))) ∧ (𝑔𝐾 ∧ ({(𝐹𝐴)} ⊆ 𝑔𝑔𝑦))) ∧ 𝑜𝐽) → ((𝐹𝑜) ⊆ 𝑔 → (𝐹𝑜) ⊆ 𝑦))
34 ffun 5245 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹:𝑋𝑌 → Fun 𝐹)
35343ad2ant3 989 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) → Fun 𝐹)
3635ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)}))) → Fun 𝐹)
3736ad2antrr 479 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)}))) ∧ (𝑔𝐾 ∧ ({(𝐹𝐴)} ⊆ 𝑔𝑔𝑦))) ∧ 𝑜𝐽) → Fun 𝐹)
389eltopss 12103 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑜𝐽) → 𝑜𝑋)
3938adantlr 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝑜𝐽) → 𝑜𝑋)
402sseq2d 3097 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹:𝑋𝑌 → (𝑜 ⊆ dom 𝐹𝑜𝑋))
4140ad2antlr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝑜𝐽) → (𝑜 ⊆ dom 𝐹𝑜𝑋))
4239, 41mpbird 166 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝑜𝐽) → 𝑜 ⊆ dom 𝐹)
43423adantl2 1123 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝑜𝐽) → 𝑜 ⊆ dom 𝐹)
4443adantlr 468 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑜𝐽) → 𝑜 ⊆ dom 𝐹)
4544adantlr 468 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)}))) ∧ 𝑜𝐽) → 𝑜 ⊆ dom 𝐹)
4645adantlr 468 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)}))) ∧ (𝑔𝐾 ∧ ({(𝐹𝐴)} ⊆ 𝑔𝑔𝑦))) ∧ 𝑜𝐽) → 𝑜 ⊆ dom 𝐹)
47 funimass3 5504 . . . . . . . . . . 11 ((Fun 𝐹𝑜 ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹𝑜) ⊆ 𝑦𝑜 ⊆ (𝐹𝑦)))
4837, 46, 47syl2anc 408 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)}))) ∧ (𝑔𝐾 ∧ ({(𝐹𝐴)} ⊆ 𝑔𝑔𝑦))) ∧ 𝑜𝐽) → ((𝐹𝑜) ⊆ 𝑦𝑜 ⊆ (𝐹𝑦)))
4933, 48sylibd 148 . . . . . . . . 9 ((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)}))) ∧ (𝑔𝐾 ∧ ({(𝐹𝐴)} ⊆ 𝑔𝑔𝑦))) ∧ 𝑜𝐽) → ((𝐹𝑜) ⊆ 𝑔𝑜 ⊆ (𝐹𝑦)))
5049anim2d 335 . . . . . . . 8 ((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)}))) ∧ (𝑔𝐾 ∧ ({(𝐹𝐴)} ⊆ 𝑔𝑔𝑦))) ∧ 𝑜𝐽) → ((𝐴𝑜 ∧ (𝐹𝑜) ⊆ 𝑔) → (𝐴𝑜𝑜 ⊆ (𝐹𝑦))))
5150reximdva 2511 . . . . . . 7 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)}))) ∧ (𝑔𝐾 ∧ ({(𝐹𝐴)} ⊆ 𝑔𝑔𝑦))) → (∃𝑜𝐽 (𝐴𝑜 ∧ (𝐹𝑜) ⊆ 𝑔) → ∃𝑜𝐽 (𝐴𝑜𝑜 ⊆ (𝐹𝑦))))
5229, 51mpd 13 . . . . . 6 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)}))) ∧ (𝑔𝐾 ∧ ({(𝐹𝐴)} ⊆ 𝑔𝑔𝑦))) → ∃𝑜𝐽 (𝐴𝑜𝑜 ⊆ (𝐹𝑦)))
538, 52rexlimddv 2531 . . . . 5 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)}))) → ∃𝑜𝐽 (𝐴𝑜𝑜 ⊆ (𝐹𝑦)))
549isneip 12242 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋) → ((𝐹𝑦) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ↔ ((𝐹𝑦) ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑜𝐽 (𝐴𝑜𝑜 ⊆ (𝐹𝑦)))))
55543ad2antl1 1128 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) → ((𝐹𝑦) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ↔ ((𝐹𝑦) ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑜𝐽 (𝐴𝑜𝑜 ⊆ (𝐹𝑦)))))
5655adantr 274 . . . . 5 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)}))) → ((𝐹𝑦) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ↔ ((𝐹𝑦) ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑜𝐽 (𝐴𝑜𝑜 ⊆ (𝐹𝑦)))))
575, 53, 56mpbir2and 913 . . . 4 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)}))) → (𝐹𝑦) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴}))
5857exp32 362 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) → (𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)}) → (𝐹𝑦) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴}))))
5958ralrimdv 2488 . 2 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) → ∀𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)})(𝐹𝑦) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴})))
60 simpll3 1007 . . . 4 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)})(𝐹𝑦) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴})) → 𝐹:𝑋𝑌)
61 opnneip 12255 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑜𝐾 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑜) → 𝑜 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)}))
62 imaeq2 4847 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑜 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑜))
6362eleq1d 2186 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑜 → ((𝐹𝑦) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ↔ (𝐹𝑜) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴})))
6463rspcv 2759 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑜 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)}) → (∀𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)})(𝐹𝑦) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴}) → (𝐹𝑜) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴})))
6561, 64syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑜𝐾 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑜) → (∀𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)})(𝐹𝑦) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴}) → (𝐹𝑜) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴})))
66653com23 1172 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Top ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑜𝑜𝐾) → (∀𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)})(𝐹𝑦) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴}) → (𝐹𝑜) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴})))
67663expb 1167 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Top ∧ ((𝐹𝐴) ∈ 𝑜𝑜𝐾)) → (∀𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)})(𝐹𝑦) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴}) → (𝐹𝑜) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴})))
68673ad2antl2 1129 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ ((𝐹𝐴) ∈ 𝑜𝑜𝐾)) → (∀𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)})(𝐹𝑦) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴}) → (𝐹𝑜) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴})))
6968adantlr 468 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ ((𝐹𝐴) ∈ 𝑜𝑜𝐾)) → (∀𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)})(𝐹𝑦) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴}) → (𝐹𝑜) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴})))
70 neii2 12245 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐹𝑜) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴})) → ∃𝑔𝐽 ({𝐴} ⊆ 𝑔𝑔 ⊆ (𝐹𝑜)))
7170ex 114 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ Top → ((𝐹𝑜) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴}) → ∃𝑔𝐽 ({𝐴} ⊆ 𝑔𝑔 ⊆ (𝐹𝑜))))
72713ad2ant1 987 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) → ((𝐹𝑜) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴}) → ∃𝑔𝐽 ({𝐴} ⊆ 𝑔𝑔 ⊆ (𝐹𝑜))))
7372ad2antrr 479 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ ((𝐹𝐴) ∈ 𝑜𝑜𝐾)) → ((𝐹𝑜) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴}) → ∃𝑔𝐽 ({𝐴} ⊆ 𝑔𝑔 ⊆ (𝐹𝑜))))
74 snssg 3626 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑋 → (𝐴𝑔 ↔ {𝐴} ⊆ 𝑔))
7574ad3antlr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ ((𝐹𝐴) ∈ 𝑜𝑜𝐾)) ∧ 𝑔𝐽) → (𝐴𝑔 ↔ {𝐴} ⊆ 𝑔))
7635ad3antrrr 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ ((𝐹𝐴) ∈ 𝑜𝑜𝐾)) ∧ 𝑔𝐽) → Fun 𝐹)
779eltopss 12103 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑔𝐽) → 𝑔𝑋)
78773ad2antl1 1128 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝑔𝐽) → 𝑔𝑋)
792sseq2d 3097 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹:𝑋𝑌 → (𝑔 ⊆ dom 𝐹𝑔𝑋))
80793ad2ant3 989 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) → (𝑔 ⊆ dom 𝐹𝑔𝑋))
8180biimpar 295 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝑔𝑋) → 𝑔 ⊆ dom 𝐹)
8278, 81syldan 280 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝑔𝐽) → 𝑔 ⊆ dom 𝐹)
8382adantlr 468 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑔𝐽) → 𝑔 ⊆ dom 𝐹)
8483adantlr 468 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ ((𝐹𝐴) ∈ 𝑜𝑜𝐾)) ∧ 𝑔𝐽) → 𝑔 ⊆ dom 𝐹)
85 funimass3 5504 . . . . . . . . . . . . 13 ((Fun 𝐹𝑔 ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹𝑔) ⊆ 𝑜𝑔 ⊆ (𝐹𝑜)))
8676, 84, 85syl2anc 408 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ ((𝐹𝐴) ∈ 𝑜𝑜𝐾)) ∧ 𝑔𝐽) → ((𝐹𝑔) ⊆ 𝑜𝑔 ⊆ (𝐹𝑜)))
8775, 86anbi12d 464 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ ((𝐹𝐴) ∈ 𝑜𝑜𝐾)) ∧ 𝑔𝐽) → ((𝐴𝑔 ∧ (𝐹𝑔) ⊆ 𝑜) ↔ ({𝐴} ⊆ 𝑔𝑔 ⊆ (𝐹𝑜))))
8887biimprd 157 . . . . . . . . . 10 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ ((𝐹𝐴) ∈ 𝑜𝑜𝐾)) ∧ 𝑔𝐽) → (({𝐴} ⊆ 𝑔𝑔 ⊆ (𝐹𝑜)) → (𝐴𝑔 ∧ (𝐹𝑔) ⊆ 𝑜)))
8988reximdva 2511 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ ((𝐹𝐴) ∈ 𝑜𝑜𝐾)) → (∃𝑔𝐽 ({𝐴} ⊆ 𝑔𝑔 ⊆ (𝐹𝑜)) → ∃𝑔𝐽 (𝐴𝑔 ∧ (𝐹𝑔) ⊆ 𝑜)))
9069, 73, 893syld 57 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ ((𝐹𝐴) ∈ 𝑜𝑜𝐾)) → (∀𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)})(𝐹𝑦) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴}) → ∃𝑔𝐽 (𝐴𝑔 ∧ (𝐹𝑔) ⊆ 𝑜)))
9190exp32 362 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) → ((𝐹𝐴) ∈ 𝑜 → (𝑜𝐾 → (∀𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)})(𝐹𝑦) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴}) → ∃𝑔𝐽 (𝐴𝑔 ∧ (𝐹𝑔) ⊆ 𝑜)))))
9291com24 87 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) → (∀𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)})(𝐹𝑦) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴}) → (𝑜𝐾 → ((𝐹𝐴) ∈ 𝑜 → ∃𝑔𝐽 (𝐴𝑔 ∧ (𝐹𝑔) ⊆ 𝑜)))))
9392imp 123 . . . . 5 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)})(𝐹𝑦) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴})) → (𝑜𝐾 → ((𝐹𝐴) ∈ 𝑜 → ∃𝑔𝐽 (𝐴𝑔 ∧ (𝐹𝑔) ⊆ 𝑜))))
9493ralrimiv 2481 . . . 4 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)})(𝐹𝑦) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴})) → ∀𝑜𝐾 ((𝐹𝐴) ∈ 𝑜 → ∃𝑔𝐽 (𝐴𝑔 ∧ (𝐹𝑔) ⊆ 𝑜)))
95113ad2ant1 987 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
96163ad2ant2 988 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
97 simp3 968 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋) → 𝐴𝑋)
98 iscnp 12295 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑜𝐾 ((𝐹𝐴) ∈ 𝑜 → ∃𝑔𝐽 (𝐴𝑔 ∧ (𝐹𝑔) ⊆ 𝑜)))))
9995, 96, 97, 98syl3anc 1201 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑜𝐾 ((𝐹𝐴) ∈ 𝑜 → ∃𝑔𝐽 (𝐴𝑔 ∧ (𝐹𝑔) ⊆ 𝑜)))))
100993expa 1166 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑜𝐾 ((𝐹𝐴) ∈ 𝑜 → ∃𝑔𝐽 (𝐴𝑔 ∧ (𝐹𝑔) ⊆ 𝑜)))))
1011003adantl3 1124 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑜𝐾 ((𝐹𝐴) ∈ 𝑜 → ∃𝑔𝐽 (𝐴𝑔 ∧ (𝐹𝑔) ⊆ 𝑜)))))
102101adantr 274 . . . 4 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)})(𝐹𝑦) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴})) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑜𝐾 ((𝐹𝐴) ∈ 𝑜 → ∃𝑔𝐽 (𝐴𝑔 ∧ (𝐹𝑔) ⊆ 𝑜)))))
10360, 94, 102mpbir2and 913 . . 3 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)})(𝐹𝑦) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴})) → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴))
104103ex 114 . 2 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) → (∀𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)})(𝐹𝑦) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴}) → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴)))
10559, 104impbid 128 1 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ↔ ∀𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)})(𝐹𝑦) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴})))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 947   = wceq 1316  wcel 1465  wral 2393  wrex 2394  Vcvv 2660  wss 3041  {csn 3497   cuni 3706  ccnv 4508  dom cdm 4509  cima 4512  Fun wfun 5087  wf 5089  cfv 5093  (class class class)co 5742  Topctop 12091  TopOnctopon 12104  neicnei 12234   CnP ccnp 12282
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-map 6512  df-top 12092  df-topon 12105  df-nei 12235  df-cnp 12285
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator