Theorem lmodfopne 13882

Description: The (functionalized) operations of a left module (over a nonzero ring) cannot be identical. (Contributed by NM, 31-May-2008.) (Revised by AV, 2-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodfopne.t	⊢ · = ( ·sf ‘𝑊)
lmodfopne.a	⊢ + = (+𝑓‘𝑊)
lmodfopne.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodfopne.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
lmodfopne.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
lmodfopne.0	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
lmodfopne.1	⊢ 1 = (1r‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
lmodfopne	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) → + ≠ · )

Proof of Theorem lmodfopne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodfopne.t	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·sf ‘𝑊)
2		lmodfopne.a	. . . . . 6 ⊢ + = (+𝑓‘𝑊)
3		lmodfopne.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		lmodfopne.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
5		lmodfopne.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
6		lmodfopne.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
7		lmodfopne.1	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘𝑆)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	lmodfopnelem2 13881	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) → ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉))
9		simpll 527	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
10		simpl 109	. . . . . . . . 9 ⊢ (( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉) → 0 ∈ 𝑉)
11	10	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → 0 ∈ 𝑉)
12		eqid 2196	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
13	3, 12	lmod0vcl 13873	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (0g‘𝑊) ∈ 𝑉)
14	13	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → (0g‘𝑊) ∈ 𝑉)
15		eqid 2196	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
16	3, 15, 2	plusfvalg 13006	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 0 ∈ 𝑉 ∧ (0g‘𝑊) ∈ 𝑉) → ( 0 + (0g‘𝑊)) = ( 0 (+g‘𝑊)(0g‘𝑊)))
17	16	eqcomd 2202	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 0 ∈ 𝑉 ∧ (0g‘𝑊) ∈ 𝑉) → ( 0 (+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) = ( 0 + (0g‘𝑊)))
18	9, 11, 14, 17	syl3anc 1249	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → ( 0 (+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) = ( 0 + (0g‘𝑊)))
19		oveq 5928	. . . . . . . 8 ⊢ ( + = · → ( 0 + (0g‘𝑊)) = ( 0 · (0g‘𝑊)))
20	19	ad2antlr 489	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → ( 0 + (0g‘𝑊)) = ( 0 · (0g‘𝑊)))
21	18, 20	eqtrd 2229	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → ( 0 (+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) = ( 0 · (0g‘𝑊)))
22		lmodgrp 13850	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
23	22	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) → 𝑊 ∈ Grp)
24	3, 15, 12	grprid 13164	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 0 ∈ 𝑉) → ( 0 (+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) = 0 )
25	23, 10, 24	syl2an 289	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → ( 0 (+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) = 0 )
26	4, 5, 6	lmod0cl 13870	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 0 ∈ 𝐾)
27	26	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → 0 ∈ 𝐾)
28		eqid 2196	. . . . . . . . 9 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
29	3, 4, 5, 1, 28	scafvalg 13863	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 0 ∈ 𝐾 ∧ (0g‘𝑊) ∈ 𝑉) → ( 0 · (0g‘𝑊)) = ( 0 ( ·𝑠 ‘𝑊)(0g‘𝑊)))
30	9, 27, 14, 29	syl3anc 1249	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → ( 0 · (0g‘𝑊)) = ( 0 ( ·𝑠 ‘𝑊)(0g‘𝑊)))
31	26	ancli 323	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑊 ∈ LMod ∧ 0 ∈ 𝐾))
32	31	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → (𝑊 ∈ LMod ∧ 0 ∈ 𝐾))
33	4, 28, 5, 12	lmodvs0 13878	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 0 ∈ 𝐾) → ( 0 ( ·𝑠 ‘𝑊)(0g‘𝑊)) = (0g‘𝑊))
34	32, 33	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → ( 0 ( ·𝑠 ‘𝑊)(0g‘𝑊)) = (0g‘𝑊))
35		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉) → 1 ∈ 𝑉)
36	3, 15, 12	grprid 13164	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 1 ∈ 𝑉) → ( 1 (+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) = 1 )
37	23, 35, 36	syl2an 289	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → ( 1 (+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) = 1 )
38	4, 5, 7	lmod1cl 13871	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 1 ∈ 𝐾)
39	38	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → 1 ∈ 𝐾)
40	35	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → 1 ∈ 𝑉)
41	3, 4, 5, 1, 28	scafvalg 13863	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ∈ 𝐾 ∧ 1 ∈ 𝑉) → ( 1 · 1 ) = ( 1 ( ·𝑠 ‘𝑊) 1 ))
42	9, 39, 40, 41	syl3anc 1249	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → ( 1 · 1 ) = ( 1 ( ·𝑠 ‘𝑊) 1 ))
43	3, 4, 28, 7	lmodvs1 13872	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ∈ 𝑉) → ( 1 ( ·𝑠 ‘𝑊) 1 ) = 1 )
44	43	ad2ant2rl 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → ( 1 ( ·𝑠 ‘𝑊) 1 ) = 1 )
45	42, 44	eqtrd 2229	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → ( 1 · 1 ) = 1 )
46		oveq 5928	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( + = · → ( 1 + 1 ) = ( 1 · 1 ))
47	46	eqcomd 2202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( + = · → ( 1 · 1 ) = ( 1 + 1 ))
48	47	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → ( 1 · 1 ) = ( 1 + 1 ))
49	3, 15, 2	plusfvalg 13006	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉) → ( 1 + 1 ) = ( 1 (+g‘𝑊) 1 ))
50	9, 40, 40, 49	syl3anc 1249	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → ( 1 + 1 ) = ( 1 (+g‘𝑊) 1 ))
51	48, 50	eqtrd 2229	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → ( 1 · 1 ) = ( 1 (+g‘𝑊) 1 ))
52	37, 45, 51	3eqtr2d 2235	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → ( 1 (+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) = ( 1 (+g‘𝑊) 1 ))
53	22	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ Grp)
54	3, 15	grplcan 13194	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ ((0g‘𝑊) ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → (( 1 (+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) = ( 1 (+g‘𝑊) 1 ) ↔ (0g‘𝑊) = 1 ))
55	53, 14, 40, 40, 54	syl13anc 1251	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → (( 1 (+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) = ( 1 (+g‘𝑊) 1 ) ↔ (0g‘𝑊) = 1 ))
56	52, 55	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → (0g‘𝑊) = 1 )
57	30, 34, 56	3eqtrd 2233	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → ( 0 · (0g‘𝑊)) = 1 )
58	21, 25, 57	3eqtr3rd 2238	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) ∧ ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)) → 1 = 0 )
59	8, 58	mpdan 421	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) → 1 = 0 )
60	59	ex 115	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ( + = · → 1 = 0 ))
61	60	necon3d 2411	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ( 1 ≠ 0 → + ≠ · ))
62	61	imp 124	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) → + ≠ · )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ≠ wne 2367  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922  Basecbs 12678  +_gcplusg 12755  Scalarcsca 12758   ·_𝑠 cvsca 12759  0_gc0g 12927  +_𝑓cplusf 12996  Grpcgrp 13132  1_rcur 13515  LModclmod 13843   ·_sf cscaf 13844

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-ltxr 8066  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-5 9052  df-6 9053  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-sets 12685  df-plusg 12768  df-mulr 12769  df-sca 12771  df-vsca 12772  df-0g 12929  df-plusf 12998  df-mgm 12999  df-sgrp 13045  df-mnd 13058  df-grp 13135  df-minusg 13136  df-mgp 13477  df-ur 13516  df-ring 13554  df-lmod 13845  df-scaf 13846

This theorem is referenced by: (None)