Theorem lss1d 13475

Description: One-dimensional subspace (or zero-dimensional if 𝑋 is the zero vector). (Contributed by NM, 14-Jan-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lss1d.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lss1d.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lss1d.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lss1d.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lss1d.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lss1d	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑣,𝑘,𝐾   · ,𝑘,𝑣   𝑘,𝑉,𝑣   𝑘,𝐹   𝑘,𝑊,𝑣   𝑘,𝑋,𝑣

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑣,𝑘)   𝐹(𝑣)

Proof of Theorem lss1d

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑗 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lss1d.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2	1	a1i 9	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝐹 = (Scalar‘𝑊))
3		lss1d.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
4	3	a1i 9	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝐾 = (Base‘𝐹))
5		lss1d.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
6	5	a1i 9	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑉 = (Base‘𝑊))
7		eqidd 2178	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊))
8		lss1d.t	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
9	8	a1i 9	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → · = ( ·𝑠 ‘𝑊))
10		lss1d.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
11	10	a1i 9	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑆 = (LSubSp‘𝑊))
12	5, 1, 8, 3	lmodvscl 13400	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑘 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑘 · 𝑋) ∈ 𝑉)
13	12	3expa 1203	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑘 · 𝑋) ∈ 𝑉)
14	13	an32s 568	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → (𝑘 · 𝑋) ∈ 𝑉)
15		eleq1a 2249	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 · 𝑋) ∈ 𝑉 → (𝑣 = (𝑘 · 𝑋) → 𝑣 ∈ 𝑉))
16	14, 15	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → (𝑣 = (𝑘 · 𝑋) → 𝑣 ∈ 𝑉))
17	16	rexlimdva 2594	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋) → 𝑣 ∈ 𝑉))
18	17	abssdv 3231	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ⊆ 𝑉)
19		eqid 2177	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐹) = (0g‘𝐹)
20	1, 3, 19	lmod0cl 13409	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (0g‘𝐹) ∈ 𝐾)
21		elex2 2755	. . . . 5 ⊢ ((0g‘𝐹) ∈ 𝐾 → ∃𝑘 𝑘 ∈ 𝐾)
22	20, 21	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ∃𝑘 𝑘 ∈ 𝐾)
23	22	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ∃𝑘 𝑘 ∈ 𝐾)
24		nfv 1528	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)
25		nfre1 2520	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)
26	25	nfsab 2169	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)}
27	26	nfex 1637	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘∃𝑗 𝑗 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)}
28		vex 2742	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑘 ∈ V
29		vscaslid 12623	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( ·𝑠 = Slot ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ ( ·𝑠 ‘ndx) ∈ ℕ)
30	29	slotex 12491	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ( ·𝑠 ‘𝑊) ∈ V)
31	8, 30	eqeltrid 2264	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → · ∈ V)
32	31	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → · ∈ V)
33		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
34		ovexg 5911	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ V ∧ · ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑘 · 𝑋) ∈ V)
35	28, 32, 33, 34	mp3an2i 1342	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑘 · 𝑋) ∈ V)
36		elabrexg 5761	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐾 ∧ (𝑘 · 𝑋) ∈ V) → (𝑘 · 𝑋) ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)})
37	35, 36	sylan2 286	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐾 ∧ (𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (𝑘 · 𝑋) ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)})
38		elex2 2755	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 · 𝑋) ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} → ∃𝑗 𝑗 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)})
39	37, 38	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐾 ∧ (𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ∃𝑗 𝑗 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)})
40	39	expcom 116	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑘 ∈ 𝐾 → ∃𝑗 𝑗 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)}))
41	24, 27, 40	exlimd 1597	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (∃𝑘 𝑘 ∈ 𝐾 → ∃𝑗 𝑗 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)}))
42	23, 41	mpd 13	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ∃𝑗 𝑗 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)})
43		vex 2742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑎 ∈ V
44		eqeq1 2184	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 = 𝑎 → (𝑣 = (𝑘 · 𝑋) ↔ 𝑎 = (𝑘 · 𝑋)))
45	44	rexbidv 2478	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = 𝑎 → (∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑎 = (𝑘 · 𝑋)))
46	43, 45	elab 2883	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑎 = (𝑘 · 𝑋))
47		oveq1 5884	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → (𝑘 · 𝑋) = (𝑦 · 𝑋))
48	47	eqeq2d 2189	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → (𝑎 = (𝑘 · 𝑋) ↔ 𝑎 = (𝑦 · 𝑋)))
49	48	cbvrexvw 2710	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑎 = (𝑘 · 𝑋) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐾 𝑎 = (𝑦 · 𝑋))
50	46, 49	bitri 184	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐾 𝑎 = (𝑦 · 𝑋))
51		vex 2742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑏 ∈ V
52		eqeq1 2184	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 = 𝑏 → (𝑣 = (𝑘 · 𝑋) ↔ 𝑏 = (𝑘 · 𝑋)))
53	52	rexbidv 2478	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = 𝑏 → (∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑏 = (𝑘 · 𝑋)))
54	51, 53	elab 2883	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑏 = (𝑘 · 𝑋))
55		oveq1 5884	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑧 → (𝑘 · 𝑋) = (𝑧 · 𝑋))
56	55	eqeq2d 2189	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑧 → (𝑏 = (𝑘 · 𝑋) ↔ 𝑏 = (𝑧 · 𝑋)))
57	56	cbvrexvw 2710	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑏 = (𝑘 · 𝑋) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐾 𝑏 = (𝑧 · 𝑋))
58	54, 57	bitri 184	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐾 𝑏 = (𝑧 · 𝑋))
59	50, 58	anbi12i 460	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ∧ 𝑏 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)}) ↔ (∃𝑦 ∈ 𝐾 𝑎 = (𝑦 · 𝑋) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐾 𝑏 = (𝑧 · 𝑋)))
60		reeanv 2647	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐾 ∃𝑧 ∈ 𝐾 (𝑎 = (𝑦 · 𝑋) ∧ 𝑏 = (𝑧 · 𝑋)) ↔ (∃𝑦 ∈ 𝐾 𝑎 = (𝑦 · 𝑋) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐾 𝑏 = (𝑧 · 𝑋)))
61	59, 60	bitr4i 187	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ∧ 𝑏 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)}) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐾 ∃𝑧 ∈ 𝐾 (𝑎 = (𝑦 · 𝑋) ∧ 𝑏 = (𝑧 · 𝑋)))
62		simpll 527	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝐾)) → 𝑊 ∈ LMod)
63		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝐾)) → 𝑥 ∈ 𝐾)
64		simprll 537	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝐾)) → 𝑦 ∈ 𝐾)
65		eqid 2177	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
66	1, 3, 65	lmodmcl 13395	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → (𝑥(.r‘𝐹)𝑦) ∈ 𝐾)
67	62, 63, 64, 66	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝐾)) → (𝑥(.r‘𝐹)𝑦) ∈ 𝐾)
68		simprlr 538	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝐾)) → 𝑧 ∈ 𝐾)
69		eqid 2177	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (+g‘𝐹) = (+g‘𝐹)
70	1, 3, 69	lmodacl 13394	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥(.r‘𝐹)𝑦) ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) → ((𝑥(.r‘𝐹)𝑦)(+g‘𝐹)𝑧) ∈ 𝐾)
71	62, 67, 68, 70	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝐾)) → ((𝑥(.r‘𝐹)𝑦)(+g‘𝐹)𝑧) ∈ 𝐾)
72		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝐾)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
73		eqid 2177	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
74	5, 73, 1, 8, 3, 69	lmodvsdir 13407	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑥(.r‘𝐹)𝑦) ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (((𝑥(.r‘𝐹)𝑦)(+g‘𝐹)𝑧) · 𝑋) = (((𝑥(.r‘𝐹)𝑦) · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑧 · 𝑋)))
75	62, 67, 68, 72, 74	syl13anc 1240	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝐾)) → (((𝑥(.r‘𝐹)𝑦)(+g‘𝐹)𝑧) · 𝑋) = (((𝑥(.r‘𝐹)𝑦) · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑧 · 𝑋)))
76	5, 1, 8, 3, 65	lmodvsass 13408	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑥(.r‘𝐹)𝑦) · 𝑋) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑋)))
77	62, 63, 64, 72, 76	syl13anc 1240	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝐾)) → ((𝑥(.r‘𝐹)𝑦) · 𝑋) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑋)))
78	77	oveq1d 5892	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝐾)) → (((𝑥(.r‘𝐹)𝑦) · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑧 · 𝑋)) = ((𝑥 · (𝑦 · 𝑋))(+g‘𝑊)(𝑧 · 𝑋)))
79	75, 78	eqtr2d 2211	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝐾)) → ((𝑥 · (𝑦 · 𝑋))(+g‘𝑊)(𝑧 · 𝑋)) = (((𝑥(.r‘𝐹)𝑦)(+g‘𝐹)𝑧) · 𝑋))
80		oveq1 5884	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = ((𝑥(.r‘𝐹)𝑦)(+g‘𝐹)𝑧) → (𝑘 · 𝑋) = (((𝑥(.r‘𝐹)𝑦)(+g‘𝐹)𝑧) · 𝑋))
81	80	rspceeqv 2861	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑥(.r‘𝐹)𝑦)(+g‘𝐹)𝑧) ∈ 𝐾 ∧ ((𝑥 · (𝑦 · 𝑋))(+g‘𝑊)(𝑧 · 𝑋)) = (((𝑥(.r‘𝐹)𝑦)(+g‘𝐹)𝑧) · 𝑋)) → ∃𝑘 ∈ 𝐾 ((𝑥 · (𝑦 · 𝑋))(+g‘𝑊)(𝑧 · 𝑋)) = (𝑘 · 𝑋))
82	71, 79, 81	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝐾)) → ∃𝑘 ∈ 𝐾 ((𝑥 · (𝑦 · 𝑋))(+g‘𝑊)(𝑧 · 𝑋)) = (𝑘 · 𝑋))
83		oveq2 5885	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = (𝑦 · 𝑋) → (𝑥 · 𝑎) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑋)))
84		oveq12 5886	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 · 𝑎) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑋)) ∧ 𝑏 = (𝑧 · 𝑋)) → ((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) = ((𝑥 · (𝑦 · 𝑋))(+g‘𝑊)(𝑧 · 𝑋)))
85	83, 84	sylan 283	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 = (𝑦 · 𝑋) ∧ 𝑏 = (𝑧 · 𝑋)) → ((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) = ((𝑥 · (𝑦 · 𝑋))(+g‘𝑊)(𝑧 · 𝑋)))
86	85	eqeq1d 2186	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 = (𝑦 · 𝑋) ∧ 𝑏 = (𝑧 · 𝑋)) → (((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) = (𝑘 · 𝑋) ↔ ((𝑥 · (𝑦 · 𝑋))(+g‘𝑊)(𝑧 · 𝑋)) = (𝑘 · 𝑋)))
87	86	rexbidv 2478	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 = (𝑦 · 𝑋) ∧ 𝑏 = (𝑧 · 𝑋)) → (∃𝑘 ∈ 𝐾 ((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) = (𝑘 · 𝑋) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐾 ((𝑥 · (𝑦 · 𝑋))(+g‘𝑊)(𝑧 · 𝑋)) = (𝑘 · 𝑋)))
88	82, 87	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝐾)) → ((𝑎 = (𝑦 · 𝑋) ∧ 𝑏 = (𝑧 · 𝑋)) → ∃𝑘 ∈ 𝐾 ((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) = (𝑘 · 𝑋)))
89	88	expr 375	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝑥 ∈ 𝐾 → ((𝑎 = (𝑦 · 𝑋) ∧ 𝑏 = (𝑧 · 𝑋)) → ∃𝑘 ∈ 𝐾 ((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) = (𝑘 · 𝑋))))
90	89	com23 78	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → ((𝑎 = (𝑦 · 𝑋) ∧ 𝑏 = (𝑧 · 𝑋)) → (𝑥 ∈ 𝐾 → ∃𝑘 ∈ 𝐾 ((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) = (𝑘 · 𝑋))))
91	90	rexlimdvva 2602	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (∃𝑦 ∈ 𝐾 ∃𝑧 ∈ 𝐾 (𝑎 = (𝑦 · 𝑋) ∧ 𝑏 = (𝑧 · 𝑋)) → (𝑥 ∈ 𝐾 → ∃𝑘 ∈ 𝐾 ((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) = (𝑘 · 𝑋))))
92	61, 91	biimtrid 152	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑎 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ∧ 𝑏 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)}) → (𝑥 ∈ 𝐾 → ∃𝑘 ∈ 𝐾 ((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) = (𝑘 · 𝑋))))
93	92	expcomd 1441	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑏 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} → (𝑎 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} → (𝑥 ∈ 𝐾 → ∃𝑘 ∈ 𝐾 ((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) = (𝑘 · 𝑋)))))
94	93	com24 87	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ 𝐾 → (𝑎 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} → (𝑏 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} → ∃𝑘 ∈ 𝐾 ((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) = (𝑘 · 𝑋)))))
95	94	3imp2 1222	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ∧ 𝑏 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)})) → ∃𝑘 ∈ 𝐾 ((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) = (𝑘 · 𝑋))
96		vex 2742	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ V
97	43	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑎 ∈ V)
98		ovexg 5911	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ · ∈ V ∧ 𝑎 ∈ V) → (𝑥 · 𝑎) ∈ V)
99	96, 31, 97, 98	mp3an2i 1342	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑥 · 𝑎) ∈ V)
100		plusgslid 12573	. . . . . . 7 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
101	100	slotex 12491	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (+g‘𝑊) ∈ V)
102	51	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑏 ∈ V)
103		ovexg 5911	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 · 𝑎) ∈ V ∧ (+g‘𝑊) ∈ V ∧ 𝑏 ∈ V) → ((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ V)
104	99, 101, 102, 103	syl3anc 1238	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ V)
105		eqeq1 2184	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = ((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) → (𝑣 = (𝑘 · 𝑋) ↔ ((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) = (𝑘 · 𝑋)))
106	105	rexbidv 2478	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = ((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) → (∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐾 ((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) = (𝑘 · 𝑋)))
107	106	elabg 2885	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ V → (((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐾 ((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) = (𝑘 · 𝑋)))
108	104, 107	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐾 ((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) = (𝑘 · 𝑋)))
109	108	ad2antrr 488	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ∧ 𝑏 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)})) → (((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐾 ((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) = (𝑘 · 𝑋)))
110	95, 109	mpbird 167	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ∧ 𝑏 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)})) → ((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)})
111		simpl 109	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
112	2, 4, 6, 7, 9, 11, 18, 42, 110, 111	islssmd 13451	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 978   = wceq 1353  ∃wex 1492   ∈ wcel 2148  {cab 2163  ∃wrex 2456  Vcvv 2739  ‘cfv 5218  (class class class)co 5877  Basecbs 12464  +_gcplusg 12538  ._rcmulr 12539  Scalarcsca 12541   ·_𝑠 cvsca 12542  0_gc0g 12710  LModclmod 13382  LSubSpclss 13447

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-ltxr 7999  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-5 8983  df-6 8984  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-sets 12471  df-plusg 12551  df-mulr 12552  df-sca 12554  df-vsca 12555  df-0g 12712  df-mgm 12780  df-sgrp 12813  df-mnd 12823  df-grp 12885  df-mgp 13136  df-ring 13186  df-lmod 13384  df-lssm 13448

This theorem is referenced by:  lspsn  13507