Theorem grprinv 13756

Description: The right inverse of a group element. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinv.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grpinv.u	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
grpinv.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grprinv	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + (𝑁‘𝑋)) = 0 )

Proof of Theorem grprinv

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinv.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		grpinv.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3	1, 2	grpcl 13713	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
4		grpinv.u	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5	1, 4	grpidcl 13734	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
6	1, 2, 4	grplid 13736	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑥) = 𝑥)
7	1, 2	grpass 13714	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
8	1, 2, 4	grpinvex 13715	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 + 𝑥) = 0 )
9		simpr 110	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10		grpinv.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
11	1, 10	grpinvcl 13753	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)
12	1, 2, 4, 10	grplinv 13755	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝑋) + 𝑋) = 0 )
13	3, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12	grpinva 13591	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + (𝑁‘𝑋)) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049  Basecbs 13204  +_gcplusg 13282  0_gc0g 13461  Grpcgrp 13705  inv_gcminusg 13706

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1re 8220  ax-addrcl 8223

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-inn 9237  df-2 9295  df-ndx 13207  df-slot 13208  df-base 13210  df-plusg 13295  df-0g 13463  df-mgm 13561  df-sgrp 13607  df-mnd 13622  df-grp 13708  df-minusg 13709

This theorem is referenced by:  grpinvid1  13757  grpinvid2  13758  grprinvd  13761  grplrinv  13762  grpasscan1  13768  grpinvinv  13772  grplmulf1o  13779  grpinvadd  13783  grpsubid  13789  dfgrp3m  13804  mulgdirlem  13862  subginv  13890  nmzsubg  13919  eqger  13933  qusinv  13945  ghminv  13959  ringnegl  14187  unitrinv  14264  lmodvnegid  14469