Theorem fvmpt2 5760

Description: Value of a function given by the maps-to notation. (Contributed by FL, 21-Jun-2010.)

Hypothesis

Ref	Expression
fvmpt2.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fvmpt2	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑥) = 𝐵)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fvmpt2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		csbeq1 3140	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 = ⦋𝑥 / 𝑥⦌𝐵)
2		csbid 3145	. . 3 ⊢ ⦋𝑥 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐵
3	1, 2	eqtrdi 2281	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐵)
4		fvmpt2.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
5		nfcv 2384	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦𝐵
6		nfcsb1v 3170	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
7		csbeq1a 3146	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
8	5, 6, 7	cbvmpt 4204	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
9	4, 8	eqtri 2253	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
10	3, 9	fvmptg 5752	1 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑥) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ⦋csb 3137   ↦ cmpt 4170  ‘cfv 5351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fv 5359

This theorem is referenced by:  fvmptssdm  5761  fvmpt2d  5763  fvmptdf  5764  mpteqb  5767  fvmptt  5768  fvmptf  5769  fnmptfvd  5781  ralrnmpt  5818  rexrnmpt  5819  fmptco  5842  f1mpt  5943  offval2  6281  ofrfval2  6282  mptelixpg  6968  dom2lem  7010  mapxpen  7100  xpmapenlem  7101  mkvprop  7448  cc2lem  7576  cc3  7578  fsum3cvg  12057  summodclem2a  12060  fsumf1o  12069  fsum3cvg2  12073  fsumadd  12085  isummulc2  12105  fproddccvg  12251  fprodf1o  12267  prdsbas3  13489  txcnp  15123  cnmpt11  15135  cnmpt1t  15137  elplyd  15593  dvply1  15617  lgseisenlem2  15931