Theorem fvmpt2 5642

Description: Value of a function given by the maps-to notation. (Contributed by FL, 21-Jun-2010.)

Hypothesis

Ref	Expression
fvmpt2.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fvmpt2	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑥) = 𝐵)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fvmpt2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		csbeq1 3084	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 = ⦋𝑥 / 𝑥⦌𝐵)
2		csbid 3089	. . 3 ⊢ ⦋𝑥 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐵
3	1, 2	eqtrdi 2242	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐵)
4		fvmpt2.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
5		nfcv 2336	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦𝐵
6		nfcsb1v 3114	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
7		csbeq1a 3090	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
8	5, 6, 7	cbvmpt 4125	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
9	4, 8	eqtri 2214	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
10	3, 9	fvmptg 5634	1 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑥) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ⦋csb 3081   ↦ cmpt 4091  ‘cfv 5255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263

This theorem is referenced by:  fvmptssdm  5643  fvmpt2d  5645  fvmptdf  5646  mpteqb  5649  fvmptt  5650  fvmptf  5651  fnmptfvd  5663  ralrnmpt  5701  rexrnmpt  5702  fmptco  5725  f1mpt  5815  offval2  6148  ofrfval2  6149  mptelixpg  6790  dom2lem  6828  mapxpen  6906  xpmapenlem  6907  mkvprop  7219  cc2lem  7328  cc3  7330  fsum3cvg  11524  summodclem2a  11527  fsumf1o  11536  fsum3cvg2  11540  fsumadd  11552  isummulc2  11572  fproddccvg  11718  fprodf1o  11734  txcnp  14450  cnmpt11  14462  cnmpt1t  14464  elplyd  14920  dvply1  14943  lgseisenlem2  15228