Theorem fvmptd 5757

Description: Deduction version of fvmpt 5753. (Contributed by Scott Fenton, 18-Feb-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmptd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵))
fvmptd.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝐵 = 𝐶)
fvmptd.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
fvmptd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
fvmptd	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem fvmptd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmptd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵))
2	1	fveq1d 5671	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵)‘𝐴))
3		fvmptd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
4		fvmptd.2	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝐵 = 𝐶)
5	3, 4	csbied 3184	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐶)
6		fvmptd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
7	5, 6	eqeltrd 2309	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 ∈ 𝑉)
8		eqid 2232	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵)
9	8	fvmpts 5754	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵)‘𝐴) = ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵)
10	3, 7, 9	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵)‘𝐴) = ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵)
11	2, 10, 5	3eqtrd 2269	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ⦋csb 3137   ↦ cmpt 4170  ‘cfv 5351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fv 5359

This theorem is referenced by:  fvmptd2  5758  fvmptdv2  5766  rdgivallem  6611  1stinl  7364  2ndinl  7365  1stinr  7366  2ndinr  7367  updjudhcoinlf  7370  updjudhcoinrg  7371  cardcl  7476  caucvgsrlemfv  8105  caucvgsrlemoffval  8110  axcaucvglemval  8211  negiso  9228  infrenegsupex  9925  iseqf1olemfvp  10871  seq3f1olemqsum  10874  ccatval1  11281  ccatval2  11282  infxrnegsupex  11944  climcvg1nlem  12030  isumshft  12172  mulgnngsum  13836  sraval  14577  lmfval  15050  blfvalps  15242  cdivcncfap  15461  peano4nninf  16776  peano3nninf  16777  nninfsellemeq  16784  nninfsellemeqinf  16786