ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mvlladdd GIF version

Theorem mvlladdd 8134
Description: Move LHS left addition to RHS. (Contributed by David A. Wheeler, 15-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mvlraddd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
mvlraddd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
mvlraddd.3 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = 𝐶)
Assertion
Ref Expression
mvlladdd (𝜑𝐵 = (𝐶𝐴))

Proof of Theorem mvlladdd
StepHypRef Expression
1 mvlraddd.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
2 mvlraddd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
31, 2pncand 8081 . 2 (𝜑 → ((𝐵 + 𝐴) − 𝐴) = 𝐵)
42, 1addcomd 7920 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
5 mvlraddd.3 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = 𝐶)
64, 5eqtr3d 2174 . . 3 (𝜑 → (𝐵 + 𝐴) = 𝐶)
76oveq1d 5789 . 2 (𝜑 → ((𝐵 + 𝐴) − 𝐴) = (𝐶𝐴))
83, 7eqtr3d 2174 1 (𝜑𝐵 = (𝐶𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1331  wcel 1480  (class class class)co 5774  cc 7625   + caddc 7630  cmin 7940
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-setind 4452  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-addcom 7727  ax-addass 7729  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-cnre 7738
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-sub 7942
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator