ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pncand GIF version

Theorem pncand 8202
Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
pncand (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem pncand
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 pncand.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 pncan 8096 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)
41, 2, 3syl2anc 409 1 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1342  wcel 2135  (class class class)co 5837  cc 7743   + caddc 7748  cmin 8061
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4095  ax-pow 4148  ax-pr 4182  ax-setind 4509  ax-resscn 7837  ax-1cn 7838  ax-icn 7840  ax-addcl 7841  ax-addrcl 7842  ax-mulcl 7843  ax-addcom 7845  ax-addass 7847  ax-distr 7849  ax-i2m1 7850  ax-0id 7853  ax-rnegex 7854  ax-cnre 7856
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rab 2451  df-v 2724  df-sbc 2948  df-dif 3114  df-un 3116  df-in 3118  df-ss 3125  df-pw 3556  df-sn 3577  df-pr 3578  df-op 3580  df-uni 3785  df-br 3978  df-opab 4039  df-id 4266  df-xp 4605  df-rel 4606  df-cnv 4607  df-co 4608  df-dm 4609  df-iota 5148  df-fun 5185  df-fv 5191  df-riota 5793  df-ov 5840  df-oprab 5841  df-mpo 5842  df-sub 8063
This theorem is referenced by:  mvlraddd  8254  mvlladdd  8255  mvrraddd  8256  addlsub  8260  pnpncand  8265  pncan1  8267  icoshftf1o  9919  nnsplit  10063  uzsinds  10368  zesq  10563  resqrexlemcalc2  10944  iser3shft  11274  fisumrev2  11374  fprodp1  11528  uzwodc  11956  hashdvds  12139  pythagtriplem4  12186  pythagtriplem6  12188  pythagtriplem7  12189  pythagtriplem12  12193  pythagtriplem14  12195  pcqdiv  12225  ennnfonelemp1  12293  blhalf  12966  trilpolemeq1  13771  trilpolemlt1  13772  nconstwlpolemgt0  13794
  Copyright terms: Public domain W3C validator