Theorem negne0bd 8333

Description: A number is nonzero iff its negative is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negne0bd	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 0 ↔ -𝐴 ≠ 0))

Proof of Theorem negne0bd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	negeq0d 8332	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 0 ↔ -𝐴 = 0))
3	2	necon3bid 2408	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 0 ↔ -𝐴 ≠ 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∈ wcel 2167   ≠ wne 2367  ℂcc 7880  0cc0 7882  -cneg 8201

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-setind 4574  ax-resscn 7974  ax-1cn 7975  ax-icn 7977  ax-addcl 7978  ax-addrcl 7979  ax-mulcl 7980  ax-addcom 7982  ax-addass 7984  ax-distr 7986  ax-i2m1 7987  ax-0id 7990  ax-rnegex 7991  ax-cnre 7993

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-sub 8202  df-neg 8203

This theorem is referenced by:  negne0d  8338  pcneg  12505