ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  negrebd GIF version

Theorem negrebd 8092
Description: The negative of a real is real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
negrebd.2 (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
negrebd (𝜑𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem negrebd
StepHypRef Expression
1 negrebd.2 . 2 (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ)
2 negidd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3 negreb 8047 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝐴 ∈ ℝ))
42, 3syl 14 . 2 (𝜑 → (-𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝐴 ∈ ℝ))
51, 4mpbid 146 1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 104  wcel 1481  cc 7638  cr 7639  -cneg 7954
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4050  ax-pow 4102  ax-pr 4135  ax-setind 4456  ax-resscn 7732  ax-1cn 7733  ax-icn 7735  ax-addcl 7736  ax-addrcl 7737  ax-mulcl 7738  ax-addcom 7740  ax-addass 7742  ax-distr 7744  ax-i2m1 7745  ax-0id 7748  ax-rnegex 7749  ax-cnre 7751
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2689  df-sbc 2911  df-dif 3074  df-un 3076  df-in 3078  df-ss 3085  df-pw 3513  df-sn 3534  df-pr 3535  df-op 3537  df-uni 3741  df-br 3934  df-opab 3994  df-id 4219  df-xp 4549  df-rel 4550  df-cnv 4551  df-co 4552  df-dm 4553  df-iota 5092  df-fun 5129  df-fv 5135  df-riota 5734  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpo 5783  df-sub 7955  df-neg 7956
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator