Theorem subcld 8286

Description: Closure law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem subcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subcl 8174	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2160  (class class class)co 5891  ℂcc 7827   − cmin 8146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-setind 4551  ax-resscn 7921  ax-1cn 7922  ax-icn 7924  ax-addcl 7925  ax-addrcl 7926  ax-mulcl 7927  ax-addcom 7929  ax-addass 7931  ax-distr 7933  ax-i2m1 7934  ax-0id 7937  ax-rnegex 7938  ax-cnre 7940

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-sub 8148

This theorem is referenced by:  pnpncand  8350  kcnktkm1cn  8358  muleqadd  8643  peano2zm  9309  peano5uzti  9379  modqmuladdnn0  10386  modsumfzodifsn  10414  hashfz  10819  hashfzo  10820  shftfvalg  10845  ovshftex  10846  shftfibg  10847  shftfval  10848  shftdm  10849  shftfib  10850  shftval  10852  2shfti  10858  crre  10884  remim  10887  remullem  10898  resqrexlemover  11037  resqrexlemcalc1  11041  abssubne0  11118  abs3lem  11138  caubnd2  11144  maxabslemlub  11234  maxabslemval  11235  maxcl  11237  minabs  11262  bdtrilem  11265  bdtri  11266  climuni  11319  mulcn2  11338  reccn2ap  11339  cn1lem  11340  climcvg1nlem  11375  fsumparts  11496  arisum2  11525  geosergap  11532  geo2sum2  11541  geoisum1c  11546  cvgratnnlemrate  11556  sinval  11728  sinf  11730  tanval2ap  11739  tanval3ap  11740  sinneg  11752  efival  11758  cos12dec  11793  pythagtriplem1  12283  pythagtriplem14  12295  pythagtriplem16  12297  pythagtriplem17  12298  dvdsprmpweqle  12354  4sqlem5  12398  mul4sqlem  12409  addcncntoplem  14435  mulcncflem  14474  cnopnap  14478  limcimolemlt  14517  limcimo  14518  cnplimclemle  14521  limccnp2lem  14529  dvlemap  14533  dvconst  14545  dvid  14546  dvcnp2cntop  14547  dvaddxxbr  14549  dvmulxxbr  14550  dvcoapbr  14555  dvcjbr  14556  dvrecap  14561  dveflem  14571  dvef  14572  sin0pilem1  14586  ptolemy  14629  tangtx  14643  cosq34lt1  14655  lgsdirprm  14819  qdencn  15160  trirec0  15177  apdifflemf  15179  apdifflemr  15180  apdiff  15181