Theorem subcld 8638

Description: Closure law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem subcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subcl 8526	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2anc 415	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6085  ℂcc 8177   − cmin 8498

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-setind 4684  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-sub 8500

This theorem is used by:  pnpncand  8702  kcnktkm1cn  8711  muleqadd  9000  ofnegsub  9294  peano2zm  9686  peano5uzti  9758  modqmuladdnn0  10818  modsumfzodifsn  10846  bcm1n  11221  hashfz  11276  hashfzo  11277  hashf1lem2  11300  hashf1  11301  ccatswrd  11456  pfxccatin12lem2  11517  shftfvalg  11597  ovshftex  11598  shftfibg  11599  shftfval  11600  shftdm  11601  shftfib  11602  shftval  11604  2shfti  11610  crre  11636  remim  11639  remullem  11650  resqrexlemover  11790  resqrexlemcalc1  11794  abssubne0  11872  abs3lem  11892  caubnd2  11898  maxabslemlub  11988  maxabslemval  11989  maxcl  11991  minabs  12017  bdtrilem  12021  bdtri  12022  climuni  12075  mulcn2  12094  reccn2ap  12095  cn1lem  12096  climcvg1nlem  12131  fsumparts  12253  arisum2  12282  geosergap  12289  geo2sum2  12298  geoisum1c  12303  cvgratnnlemrate  12313  sinval  12485  sinf  12487  tanval2ap  12496  tanval3ap  12497  sinneg  12509  efival  12515  cos12dec  12551  bitsinv1lem  12744  pythagtriplem1  13064  pythagtriplem14  13076  pythagtriplem16  13078  pythagtriplem17  13079  dvdsprmpweqle  13136  4sqlem5  13181  mul4sqlem  13192  4sqlem17  13206  gzsumshift  14198  addcncntoplem  15711  mulcncflem  15757  cnopnap  15761  limcimolemlt  15814  limcimo  15815  cnplimclemle  15818  limccnp2lem  15826  dvlemap  15830  dvconst  15844  dvid  15845  dvconstre  15846  dvidre  15847  dvconstss  15848  dvcnp2cntop  15849  dvaddxxbr  15851  dvmulxxbr  15852  dvcoapbr  15857  dvcjbr  15858  dvrecap  15863  dveflem  15876  dvef  15877  sin0pilem1  15932  ptolemy  15975  tangtx  15989  cosq34lt1  16001  pellexlem2  16149  lgsdirprm  16251  gausslemma2dlem1a  16275  clwwlknonex2lem1  16776  dichmul0orlem7  16857  qdencn  17170  trirec0  17191  apdifflemf  17193  apdifflemr  17194  apdiff  17195  qdiff  17196