Theorem subcld 8205

Description: Closure law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem subcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subcl 8093	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2anc 409	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2136  (class class class)co 5841  ℂcc 7747   − cmin 8065

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4099  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-setind 4513  ax-resscn 7841  ax-1cn 7842  ax-icn 7844  ax-addcl 7845  ax-addrcl 7846  ax-mulcl 7847  ax-addcom 7849  ax-addass 7851  ax-distr 7853  ax-i2m1 7854  ax-0id 7857  ax-rnegex 7858  ax-cnre 7860

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-ral 2448  df-rex 2449  df-reu 2450  df-rab 2452  df-v 2727  df-sbc 2951  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-br 3982  df-opab 4043  df-id 4270  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fv 5195  df-riota 5797  df-ov 5844  df-oprab 5845  df-mpo 5846  df-sub 8067

This theorem is referenced by:  pnpncand  8269  kcnktkm1cn  8277  muleqadd  8561  peano2zm  9225  peano5uzti  9295  modqmuladdnn0  10299  modsumfzodifsn  10327  hashfz  10730  hashfzo  10731  shftfvalg  10756  ovshftex  10757  shftfibg  10758  shftfval  10759  shftdm  10760  shftfib  10761  shftval  10763  2shfti  10769  crre  10795  remim  10798  remullem  10809  resqrexlemover  10948  resqrexlemcalc1  10952  abssubne0  11029  abs3lem  11049  caubnd2  11055  maxabslemlub  11145  maxabslemval  11146  maxcl  11148  minabs  11173  bdtrilem  11176  bdtri  11177  climuni  11230  mulcn2  11249  reccn2ap  11250  cn1lem  11251  climcvg1nlem  11286  fsumparts  11407  arisum2  11436  geosergap  11443  geo2sum2  11452  geoisum1c  11457  cvgratnnlemrate  11467  sinval  11639  sinf  11641  tanval2ap  11650  tanval3ap  11651  sinneg  11663  efival  11669  cos12dec  11704  pythagtriplem1  12193  pythagtriplem14  12205  pythagtriplem16  12207  pythagtriplem17  12208  dvdsprmpweqle  12264  4sqlem5  12308  mul4sqlem  12319  addcncntoplem  13151  mulcncflem  13190  cnopnap  13194  limcimolemlt  13233  limcimo  13234  cnplimclemle  13237  limccnp2lem  13245  dvlemap  13249  dvconst  13261  dvid  13262  dvcnp2cntop  13263  dvaddxxbr  13265  dvmulxxbr  13266  dvcoapbr  13271  dvcjbr  13272  dvrecap  13277  dveflem  13287  dvef  13288  sin0pilem1  13302  ptolemy  13345  tangtx  13359  cosq34lt1  13371  lgsdirprm  13535  qdencn  13866  trirec0  13883  apdifflemf  13885  apdifflemr  13886  apdiff  13887