Theorem subcld 8490

Description: Closure law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem subcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subcl 8378	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202  (class class class)co 6018  ℂcc 8030   − cmin 8350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-setind 4635  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-sub 8352

This theorem is referenced by:  pnpncand  8554  kcnktkm1cn  8562  muleqadd  8848  ofnegsub  9142  peano2zm  9517  peano5uzti  9588  modqmuladdnn0  10631  modsumfzodifsn  10659  hashfz  11086  hashfzo  11087  ccatswrd  11255  pfxccatin12lem2  11316  shftfvalg  11383  ovshftex  11384  shftfibg  11385  shftfval  11386  shftdm  11387  shftfib  11388  shftval  11390  2shfti  11396  crre  11422  remim  11425  remullem  11436  resqrexlemover  11575  resqrexlemcalc1  11579  abssubne0  11656  abs3lem  11676  caubnd2  11682  maxabslemlub  11772  maxabslemval  11773  maxcl  11775  minabs  11801  bdtrilem  11804  bdtri  11805  climuni  11858  mulcn2  11877  reccn2ap  11878  cn1lem  11879  climcvg1nlem  11914  fsumparts  12036  arisum2  12065  geosergap  12072  geo2sum2  12081  geoisum1c  12086  cvgratnnlemrate  12096  sinval  12268  sinf  12270  tanval2ap  12279  tanval3ap  12280  sinneg  12292  efival  12298  cos12dec  12334  bitsinv1lem  12527  pythagtriplem1  12843  pythagtriplem14  12855  pythagtriplem16  12857  pythagtriplem17  12858  dvdsprmpweqle  12915  4sqlem5  12960  mul4sqlem  12971  4sqlem17  12985  addcncntoplem  15291  mulcncflem  15337  cnopnap  15341  limcimolemlt  15394  limcimo  15395  cnplimclemle  15398  limccnp2lem  15406  dvlemap  15410  dvconst  15424  dvid  15425  dvconstre  15426  dvidre  15427  dvconstss  15428  dvcnp2cntop  15429  dvaddxxbr  15431  dvmulxxbr  15432  dvcoapbr  15437  dvcjbr  15438  dvrecap  15443  dveflem  15456  dvef  15457  sin0pilem1  15511  ptolemy  15554  tangtx  15568  cosq34lt1  15580  lgsdirprm  15769  gausslemma2dlem1a  15793  clwwlknonex2lem1  16294  qdencn  16657  trirec0  16674  apdifflemf  16676  apdifflemr  16677  apdiff  16678  qdiff  16679  gsumgfsumlem  16710