Theorem subcld 8489

Description: Closure law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem subcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subcl 8377	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202  (class class class)co 6017  ℂcc 8029   − cmin 8349

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-setind 4635  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-sub 8351

This theorem is referenced by:  pnpncand  8553  kcnktkm1cn  8561  muleqadd  8847  ofnegsub  9141  peano2zm  9516  peano5uzti  9587  modqmuladdnn0  10629  modsumfzodifsn  10657  hashfz  11084  hashfzo  11085  ccatswrd  11250  pfxccatin12lem2  11311  shftfvalg  11378  ovshftex  11379  shftfibg  11380  shftfval  11381  shftdm  11382  shftfib  11383  shftval  11385  2shfti  11391  crre  11417  remim  11420  remullem  11431  resqrexlemover  11570  resqrexlemcalc1  11574  abssubne0  11651  abs3lem  11671  caubnd2  11677  maxabslemlub  11767  maxabslemval  11768  maxcl  11770  minabs  11796  bdtrilem  11799  bdtri  11800  climuni  11853  mulcn2  11872  reccn2ap  11873  cn1lem  11874  climcvg1nlem  11909  fsumparts  12030  arisum2  12059  geosergap  12066  geo2sum2  12075  geoisum1c  12080  cvgratnnlemrate  12090  sinval  12262  sinf  12264  tanval2ap  12273  tanval3ap  12274  sinneg  12286  efival  12292  cos12dec  12328  bitsinv1lem  12521  pythagtriplem1  12837  pythagtriplem14  12849  pythagtriplem16  12851  pythagtriplem17  12852  dvdsprmpweqle  12909  4sqlem5  12954  mul4sqlem  12965  4sqlem17  12979  addcncntoplem  15284  mulcncflem  15330  cnopnap  15334  limcimolemlt  15387  limcimo  15388  cnplimclemle  15391  limccnp2lem  15399  dvlemap  15403  dvconst  15417  dvid  15418  dvconstre  15419  dvidre  15420  dvconstss  15421  dvcnp2cntop  15422  dvaddxxbr  15424  dvmulxxbr  15425  dvcoapbr  15430  dvcjbr  15431  dvrecap  15436  dveflem  15449  dvef  15450  sin0pilem1  15504  ptolemy  15547  tangtx  15561  cosq34lt1  15573  lgsdirprm  15762  gausslemma2dlem1a  15786  clwwlknonex2lem1  16287  qdencn  16631  trirec0  16648  apdifflemf  16650  apdifflemr  16651  apdiff  16652  gsumgfsumlem  16683