Theorem subcld 8418

Description: Closure law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem subcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subcl 8306	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2178  (class class class)co 5967  ℂcc 7958   − cmin 8278

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-setind 4603  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-sub 8280

This theorem is referenced by:  pnpncand  8482  kcnktkm1cn  8490  muleqadd  8776  ofnegsub  9070  peano2zm  9445  peano5uzti  9516  modqmuladdnn0  10550  modsumfzodifsn  10578  hashfz  11003  hashfzo  11004  ccatswrd  11161  pfxccatin12lem2  11222  shftfvalg  11244  ovshftex  11245  shftfibg  11246  shftfval  11247  shftdm  11248  shftfib  11249  shftval  11251  2shfti  11257  crre  11283  remim  11286  remullem  11297  resqrexlemover  11436  resqrexlemcalc1  11440  abssubne0  11517  abs3lem  11537  caubnd2  11543  maxabslemlub  11633  maxabslemval  11634  maxcl  11636  minabs  11662  bdtrilem  11665  bdtri  11666  climuni  11719  mulcn2  11738  reccn2ap  11739  cn1lem  11740  climcvg1nlem  11775  fsumparts  11896  arisum2  11925  geosergap  11932  geo2sum2  11941  geoisum1c  11946  cvgratnnlemrate  11956  sinval  12128  sinf  12130  tanval2ap  12139  tanval3ap  12140  sinneg  12152  efival  12158  cos12dec  12194  bitsinv1lem  12387  pythagtriplem1  12703  pythagtriplem14  12715  pythagtriplem16  12717  pythagtriplem17  12718  dvdsprmpweqle  12775  4sqlem5  12820  mul4sqlem  12831  4sqlem17  12845  addcncntoplem  15148  mulcncflem  15194  cnopnap  15198  limcimolemlt  15251  limcimo  15252  cnplimclemle  15255  limccnp2lem  15263  dvlemap  15267  dvconst  15281  dvid  15282  dvconstre  15283  dvidre  15284  dvconstss  15285  dvcnp2cntop  15286  dvaddxxbr  15288  dvmulxxbr  15289  dvcoapbr  15294  dvcjbr  15295  dvrecap  15300  dveflem  15313  dvef  15314  sin0pilem1  15368  ptolemy  15411  tangtx  15425  cosq34lt1  15437  lgsdirprm  15626  gausslemma2dlem1a  15650  qdencn  16168  trirec0  16185  apdifflemf  16187  apdifflemr  16188  apdiff  16189