Theorem subcld 8268

Description: Closure law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem subcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subcl 8156	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2148  (class class class)co 5875  ℂcc 7809   − cmin 8128

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-setind 4537  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-addcom 7911  ax-addass 7913  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-cnre 7922

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-sub 8130

This theorem is referenced by:  pnpncand  8332  kcnktkm1cn  8340  muleqadd  8625  peano2zm  9291  peano5uzti  9361  modqmuladdnn0  10368  modsumfzodifsn  10396  hashfz  10801  hashfzo  10802  shftfvalg  10827  ovshftex  10828  shftfibg  10829  shftfval  10830  shftdm  10831  shftfib  10832  shftval  10834  2shfti  10840  crre  10866  remim  10869  remullem  10880  resqrexlemover  11019  resqrexlemcalc1  11023  abssubne0  11100  abs3lem  11120  caubnd2  11126  maxabslemlub  11216  maxabslemval  11217  maxcl  11219  minabs  11244  bdtrilem  11247  bdtri  11248  climuni  11301  mulcn2  11320  reccn2ap  11321  cn1lem  11322  climcvg1nlem  11357  fsumparts  11478  arisum2  11507  geosergap  11514  geo2sum2  11523  geoisum1c  11528  cvgratnnlemrate  11538  sinval  11710  sinf  11712  tanval2ap  11721  tanval3ap  11722  sinneg  11734  efival  11740  cos12dec  11775  pythagtriplem1  12265  pythagtriplem14  12277  pythagtriplem16  12279  pythagtriplem17  12280  dvdsprmpweqle  12336  4sqlem5  12380  mul4sqlem  12391  addcncntoplem  14054  mulcncflem  14093  cnopnap  14097  limcimolemlt  14136  limcimo  14137  cnplimclemle  14140  limccnp2lem  14148  dvlemap  14152  dvconst  14164  dvid  14165  dvcnp2cntop  14166  dvaddxxbr  14168  dvmulxxbr  14169  dvcoapbr  14174  dvcjbr  14175  dvrecap  14180  dveflem  14190  dvef  14191  sin0pilem1  14205  ptolemy  14248  tangtx  14262  cosq34lt1  14274  lgsdirprm  14438  qdencn  14778  trirec0  14795  apdifflemf  14797  apdifflemr  14798  apdiff  14799