Theorem subcld 8532

Description: Closure law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem subcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subcl 8420	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202  (class class class)co 6028  ℂcc 8073   − cmin 8392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-setind 4641  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-sub 8394

This theorem is referenced by:  pnpncand  8596  kcnktkm1cn  8604  muleqadd  8890  ofnegsub  9184  peano2zm  9561  peano5uzti  9632  modqmuladdnn0  10676  modsumfzodifsn  10704  hashfz  11131  hashfzo  11132  ccatswrd  11300  pfxccatin12lem2  11361  shftfvalg  11441  ovshftex  11442  shftfibg  11443  shftfval  11444  shftdm  11445  shftfib  11446  shftval  11448  2shfti  11454  crre  11480  remim  11483  remullem  11494  resqrexlemover  11633  resqrexlemcalc1  11637  abssubne0  11714  abs3lem  11734  caubnd2  11740  maxabslemlub  11830  maxabslemval  11831  maxcl  11833  minabs  11859  bdtrilem  11862  bdtri  11863  climuni  11916  mulcn2  11935  reccn2ap  11936  cn1lem  11937  climcvg1nlem  11972  fsumparts  12094  arisum2  12123  geosergap  12130  geo2sum2  12139  geoisum1c  12144  cvgratnnlemrate  12154  sinval  12326  sinf  12328  tanval2ap  12337  tanval3ap  12338  sinneg  12350  efival  12356  cos12dec  12392  bitsinv1lem  12585  pythagtriplem1  12901  pythagtriplem14  12913  pythagtriplem16  12915  pythagtriplem17  12916  dvdsprmpweqle  12973  4sqlem5  13018  mul4sqlem  13029  4sqlem17  13043  addcncntoplem  15355  mulcncflem  15401  cnopnap  15405  limcimolemlt  15458  limcimo  15459  cnplimclemle  15462  limccnp2lem  15470  dvlemap  15474  dvconst  15488  dvid  15489  dvconstre  15490  dvidre  15491  dvconstss  15492  dvcnp2cntop  15493  dvaddxxbr  15495  dvmulxxbr  15496  dvcoapbr  15501  dvcjbr  15502  dvrecap  15507  dveflem  15520  dvef  15521  sin0pilem1  15575  ptolemy  15618  tangtx  15632  cosq34lt1  15644  pellexlem2  15775  lgsdirprm  15836  gausslemma2dlem1a  15860  clwwlknonex2lem1  16361  qdencn  16738  trirec0  16759  apdifflemf  16761  apdifflemr  16762  apdiff  16763  qdiff  16764  gsumgfsumlem  16795