Theorem subcld 8330

Description: Closure law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem subcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subcl 8218	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2164  (class class class)co 5918  ℂcc 7870   − cmin 8190

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-setind 4569  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-sub 8192

This theorem is referenced by:  pnpncand  8394  kcnktkm1cn  8402  muleqadd  8687  ofnegsub  8981  peano2zm  9355  peano5uzti  9425  modqmuladdnn0  10439  modsumfzodifsn  10467  hashfz  10892  hashfzo  10893  shftfvalg  10962  ovshftex  10963  shftfibg  10964  shftfval  10965  shftdm  10966  shftfib  10967  shftval  10969  2shfti  10975  crre  11001  remim  11004  remullem  11015  resqrexlemover  11154  resqrexlemcalc1  11158  abssubne0  11235  abs3lem  11255  caubnd2  11261  maxabslemlub  11351  maxabslemval  11352  maxcl  11354  minabs  11379  bdtrilem  11382  bdtri  11383  climuni  11436  mulcn2  11455  reccn2ap  11456  cn1lem  11457  climcvg1nlem  11492  fsumparts  11613  arisum2  11642  geosergap  11649  geo2sum2  11658  geoisum1c  11663  cvgratnnlemrate  11673  sinval  11845  sinf  11847  tanval2ap  11856  tanval3ap  11857  sinneg  11869  efival  11875  cos12dec  11911  pythagtriplem1  12403  pythagtriplem14  12415  pythagtriplem16  12417  pythagtriplem17  12418  dvdsprmpweqle  12475  4sqlem5  12520  mul4sqlem  12531  4sqlem17  12545  addcncntoplem  14719  mulcncflem  14761  cnopnap  14765  limcimolemlt  14818  limcimo  14819  cnplimclemle  14822  limccnp2lem  14830  dvlemap  14834  dvconst  14846  dvid  14847  dvcnp2cntop  14848  dvaddxxbr  14850  dvmulxxbr  14851  dvcoapbr  14856  dvcjbr  14857  dvrecap  14862  dveflem  14872  dvef  14873  sin0pilem1  14916  ptolemy  14959  tangtx  14973  cosq34lt1  14985  lgsdirprm  15150  gausslemma2dlem1a  15174  qdencn  15517  trirec0  15534  apdifflemf  15536  apdifflemr  15537  apdiff  15538