Theorem subcld 8644

Description: Closure law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem subcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subcl 8532	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2anc 415	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6088  ℂcc 8183   − cmin 8504

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-setind 4686  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-sub 8506

This theorem is used by:  pnpncand  8708  kcnktkm1cn  8717  muleqadd  9006  ofsubeq0  9300  ofnegsub  9301  peano2zm  9693  peano5uzti  9765  modqmuladdnn0  10826  modsumfzodifsn  10854  bcm1n  11229  hashfz  11284  hashfzo  11285  hashf1lem2  11308  hashf1  11309  ccatswrd  11464  pfxccatin12lem2  11525  shftfvalg  11605  ovshftex  11606  shftfibg  11607  shftfval  11608  shftdm  11609  shftfib  11610  shftval  11612  2shfti  11618  crre  11644  remim  11647  remullem  11658  resqrexlemover  11798  resqrexlemcalc1  11802  abssubne0  11880  abs3lem  11900  caubnd2  11906  maxabslemlub  11996  maxabslemval  11997  maxcl  11999  minabs  12026  bdtrilem  12030  bdtri  12031  climuni  12084  mulcn2  12103  reccn2ap  12104  cn1lem  12105  climcvg1nlem  12140  fsumparts  12262  arisum2  12291  geosergap  12298  geo2sum2  12307  geoisum1c  12312  cvgratnnlemrate  12322  sinval  12494  sinf  12496  tanval2ap  12505  tanval3ap  12506  sinneg  12518  efival  12524  cos12dec  12560  bitsinv1lem  12753  pythagtriplem1  13073  pythagtriplem14  13085  pythagtriplem16  13087  pythagtriplem17  13088  dvdsprmpweqle  13145  4sqlem5  13190  mul4sqlem  13201  4sqlem17  13215  gzsumshift  14239  addcncntoplem  15787  mulcncflem  15833  cnopnap  15837  limcimolemlt  15890  limcimo  15891  cnplimclemle  15894  limccnp2lem  15902  dvlemap  15906  dvconst  15920  dvid  15921  dvconstre  15922  dvidre  15923  dvconstss  15924  dvcnp2cntop  15925  dvaddxxbr  15927  dvmulxxbr  15928  dvcoapbr  15933  dvcjbr  15934  dvrecap  15939  dveflem  15952  dvef  15953  sin0pilem1  16008  ptolemy  16051  tangtx  16065  sineq0re  16076  cosq34lt1  16078  pellexlem2  16230  lgsdirprm  16358  gausslemma2dlem1a  16382  clwwlknonex2lem1  16883  dichmul0orlem7  16964  qdencn  17278  trirec0  17300  apdifflemf  17302  apdifflemr  17303  apdiff  17304  qdiff  17305