Theorem subcld 8267

Description: Closure law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem subcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subcl 8155	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2148  (class class class)co 5874  ℂcc 7808   − cmin 8127

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-setind 4536  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-cnre 7921

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4004  df-opab 4065  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-sub 8129

This theorem is referenced by:  pnpncand  8331  kcnktkm1cn  8339  muleqadd  8624  peano2zm  9290  peano5uzti  9360  modqmuladdnn0  10367  modsumfzodifsn  10395  hashfz  10800  hashfzo  10801  shftfvalg  10826  ovshftex  10827  shftfibg  10828  shftfval  10829  shftdm  10830  shftfib  10831  shftval  10833  2shfti  10839  crre  10865  remim  10868  remullem  10879  resqrexlemover  11018  resqrexlemcalc1  11022  abssubne0  11099  abs3lem  11119  caubnd2  11125  maxabslemlub  11215  maxabslemval  11216  maxcl  11218  minabs  11243  bdtrilem  11246  bdtri  11247  climuni  11300  mulcn2  11319  reccn2ap  11320  cn1lem  11321  climcvg1nlem  11356  fsumparts  11477  arisum2  11506  geosergap  11513  geo2sum2  11522  geoisum1c  11527  cvgratnnlemrate  11537  sinval  11709  sinf  11711  tanval2ap  11720  tanval3ap  11721  sinneg  11733  efival  11739  cos12dec  11774  pythagtriplem1  12264  pythagtriplem14  12276  pythagtriplem16  12278  pythagtriplem17  12279  dvdsprmpweqle  12335  4sqlem5  12379  mul4sqlem  12390  addcncntoplem  14021  mulcncflem  14060  cnopnap  14064  limcimolemlt  14103  limcimo  14104  cnplimclemle  14107  limccnp2lem  14115  dvlemap  14119  dvconst  14131  dvid  14132  dvcnp2cntop  14133  dvaddxxbr  14135  dvmulxxbr  14136  dvcoapbr  14141  dvcjbr  14142  dvrecap  14147  dveflem  14157  dvef  14158  sin0pilem1  14172  ptolemy  14215  tangtx  14229  cosq34lt1  14241  lgsdirprm  14405  qdencn  14745  trirec0  14762  apdifflemf  14764  apdifflemr  14765  apdiff  14766