Theorem subcld 8468

Description: Closure law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem subcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subcl 8356	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200  (class class class)co 6007  ℂcc 8008   − cmin 8328

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-setind 4629  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-cnre 8121

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-sub 8330

This theorem is referenced by:  pnpncand  8532  kcnktkm1cn  8540  muleqadd  8826  ofnegsub  9120  peano2zm  9495  peano5uzti  9566  modqmuladdnn0  10602  modsumfzodifsn  10630  hashfz  11056  hashfzo  11057  ccatswrd  11217  pfxccatin12lem2  11278  shftfvalg  11344  ovshftex  11345  shftfibg  11346  shftfval  11347  shftdm  11348  shftfib  11349  shftval  11351  2shfti  11357  crre  11383  remim  11386  remullem  11397  resqrexlemover  11536  resqrexlemcalc1  11540  abssubne0  11617  abs3lem  11637  caubnd2  11643  maxabslemlub  11733  maxabslemval  11734  maxcl  11736  minabs  11762  bdtrilem  11765  bdtri  11766  climuni  11819  mulcn2  11838  reccn2ap  11839  cn1lem  11840  climcvg1nlem  11875  fsumparts  11996  arisum2  12025  geosergap  12032  geo2sum2  12041  geoisum1c  12046  cvgratnnlemrate  12056  sinval  12228  sinf  12230  tanval2ap  12239  tanval3ap  12240  sinneg  12252  efival  12258  cos12dec  12294  bitsinv1lem  12487  pythagtriplem1  12803  pythagtriplem14  12815  pythagtriplem16  12817  pythagtriplem17  12818  dvdsprmpweqle  12875  4sqlem5  12920  mul4sqlem  12931  4sqlem17  12945  addcncntoplem  15250  mulcncflem  15296  cnopnap  15300  limcimolemlt  15353  limcimo  15354  cnplimclemle  15357  limccnp2lem  15365  dvlemap  15369  dvconst  15383  dvid  15384  dvconstre  15385  dvidre  15386  dvconstss  15387  dvcnp2cntop  15388  dvaddxxbr  15390  dvmulxxbr  15391  dvcoapbr  15396  dvcjbr  15397  dvrecap  15402  dveflem  15415  dvef  15416  sin0pilem1  15470  ptolemy  15513  tangtx  15527  cosq34lt1  15539  lgsdirprm  15728  gausslemma2dlem1a  15752  qdencn  16455  trirec0  16472  apdifflemf  16474  apdifflemr  16475  apdiff  16476