Theorem subcld 8584

Description: Closure law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem subcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subcl 8472	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2203  (class class class)co 6050  ℂcc 8125   − cmin 8444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-setind 4659  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-sub 8446

This theorem is referenced by:  pnpncand  8648  kcnktkm1cn  8656  muleqadd  8942  ofnegsub  9236  peano2zm  9615  peano5uzti  9686  modqmuladdnn0  10730  modsumfzodifsn  10758  bcm1n  11131  hashfz  11186  hashfzo  11187  ccatswrd  11362  pfxccatin12lem2  11423  shftfvalg  11503  ovshftex  11504  shftfibg  11505  shftfval  11506  shftdm  11507  shftfib  11508  shftval  11510  2shfti  11516  crre  11542  remim  11545  remullem  11556  resqrexlemover  11695  resqrexlemcalc1  11699  abssubne0  11776  abs3lem  11796  caubnd2  11802  maxabslemlub  11892  maxabslemval  11893  maxcl  11895  minabs  11921  bdtrilem  11924  bdtri  11925  climuni  11978  mulcn2  11997  reccn2ap  11998  cn1lem  11999  climcvg1nlem  12034  fsumparts  12156  arisum2  12185  geosergap  12192  geo2sum2  12201  geoisum1c  12206  cvgratnnlemrate  12216  sinval  12388  sinf  12390  tanval2ap  12399  tanval3ap  12400  sinneg  12412  efival  12418  cos12dec  12454  bitsinv1lem  12647  pythagtriplem1  12963  pythagtriplem14  12975  pythagtriplem16  12977  pythagtriplem17  12978  dvdsprmpweqle  13035  4sqlem5  13080  mul4sqlem  13091  4sqlem17  13105  addcncntoplem  15426  mulcncflem  15472  cnopnap  15476  limcimolemlt  15529  limcimo  15530  cnplimclemle  15533  limccnp2lem  15541  dvlemap  15545  dvconst  15559  dvid  15560  dvconstre  15561  dvidre  15562  dvconstss  15563  dvcnp2cntop  15564  dvaddxxbr  15566  dvmulxxbr  15567  dvcoapbr  15572  dvcjbr  15573  dvrecap  15578  dveflem  15591  dvef  15592  sin0pilem1  15646  ptolemy  15689  tangtx  15703  cosq34lt1  15715  pellexlem2  15846  lgsdirprm  15907  gausslemma2dlem1a  15931  clwwlknonex2lem1  16432  qdencn  16807  trirec0  16828  apdifflemf  16830  apdifflemr  16831  apdiff  16832  qdiff  16833  gsumgfsumlem  16865