Theorem subcld 8354

Description: Closure law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem subcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subcl 8242	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167  (class class class)co 5925  ℂcc 7894   − cmin 8214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-setind 4574  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-cnre 8007

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-sub 8216

This theorem is referenced by:  pnpncand  8418  kcnktkm1cn  8426  muleqadd  8712  ofnegsub  9006  peano2zm  9381  peano5uzti  9451  modqmuladdnn0  10477  modsumfzodifsn  10505  hashfz  10930  hashfzo  10931  shftfvalg  11000  ovshftex  11001  shftfibg  11002  shftfval  11003  shftdm  11004  shftfib  11005  shftval  11007  2shfti  11013  crre  11039  remim  11042  remullem  11053  resqrexlemover  11192  resqrexlemcalc1  11196  abssubne0  11273  abs3lem  11293  caubnd2  11299  maxabslemlub  11389  maxabslemval  11390  maxcl  11392  minabs  11418  bdtrilem  11421  bdtri  11422  climuni  11475  mulcn2  11494  reccn2ap  11495  cn1lem  11496  climcvg1nlem  11531  fsumparts  11652  arisum2  11681  geosergap  11688  geo2sum2  11697  geoisum1c  11702  cvgratnnlemrate  11712  sinval  11884  sinf  11886  tanval2ap  11895  tanval3ap  11896  sinneg  11908  efival  11914  cos12dec  11950  bitsinv1lem  12143  pythagtriplem1  12459  pythagtriplem14  12471  pythagtriplem16  12473  pythagtriplem17  12474  dvdsprmpweqle  12531  4sqlem5  12576  mul4sqlem  12587  4sqlem17  12601  addcncntoplem  14881  mulcncflem  14927  cnopnap  14931  limcimolemlt  14984  limcimo  14985  cnplimclemle  14988  limccnp2lem  14996  dvlemap  15000  dvconst  15014  dvid  15015  dvconstre  15016  dvidre  15017  dvconstss  15018  dvcnp2cntop  15019  dvaddxxbr  15021  dvmulxxbr  15022  dvcoapbr  15027  dvcjbr  15028  dvrecap  15033  dveflem  15046  dvef  15047  sin0pilem1  15101  ptolemy  15144  tangtx  15158  cosq34lt1  15170  lgsdirprm  15359  gausslemma2dlem1a  15383  qdencn  15758  trirec0  15775  apdifflemf  15777  apdifflemr  15778  apdiff  15779