Theorem subcld 8230

Description: Closure law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem subcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subcl 8118	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2anc 409	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141  (class class class)co 5853  ℂcc 7772   − cmin 8090

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-setind 4521  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-sub 8092

This theorem is referenced by:  pnpncand  8294  kcnktkm1cn  8302  muleqadd  8586  peano2zm  9250  peano5uzti  9320  modqmuladdnn0  10324  modsumfzodifsn  10352  hashfz  10756  hashfzo  10757  shftfvalg  10782  ovshftex  10783  shftfibg  10784  shftfval  10785  shftdm  10786  shftfib  10787  shftval  10789  2shfti  10795  crre  10821  remim  10824  remullem  10835  resqrexlemover  10974  resqrexlemcalc1  10978  abssubne0  11055  abs3lem  11075  caubnd2  11081  maxabslemlub  11171  maxabslemval  11172  maxcl  11174  minabs  11199  bdtrilem  11202  bdtri  11203  climuni  11256  mulcn2  11275  reccn2ap  11276  cn1lem  11277  climcvg1nlem  11312  fsumparts  11433  arisum2  11462  geosergap  11469  geo2sum2  11478  geoisum1c  11483  cvgratnnlemrate  11493  sinval  11665  sinf  11667  tanval2ap  11676  tanval3ap  11677  sinneg  11689  efival  11695  cos12dec  11730  pythagtriplem1  12219  pythagtriplem14  12231  pythagtriplem16  12233  pythagtriplem17  12234  dvdsprmpweqle  12290  4sqlem5  12334  mul4sqlem  12345  addcncntoplem  13345  mulcncflem  13384  cnopnap  13388  limcimolemlt  13427  limcimo  13428  cnplimclemle  13431  limccnp2lem  13439  dvlemap  13443  dvconst  13455  dvid  13456  dvcnp2cntop  13457  dvaddxxbr  13459  dvmulxxbr  13460  dvcoapbr  13465  dvcjbr  13466  dvrecap  13471  dveflem  13481  dvef  13482  sin0pilem1  13496  ptolemy  13539  tangtx  13553  cosq34lt1  13565  lgsdirprm  13729  qdencn  14059  trirec0  14076  apdifflemf  14078  apdifflemr  14079  apdiff  14080