Theorem subcld 8637

Description: Closure law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem subcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subcl 8525	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2anc 415	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6085  ℂcc 8177   − cmin 8497

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-setind 4684  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-sub 8499

This theorem is used by:  pnpncand  8701  kcnktkm1cn  8710  muleqadd  8998  ofnegsub  9292  peano2zm  9682  peano5uzti  9754  modqmuladdnn0  10805  modsumfzodifsn  10833  bcm1n  11207  hashfz  11262  hashfzo  11263  hashf1lem2  11286  hashf1  11287  ccatswrd  11442  pfxccatin12lem2  11503  shftfvalg  11583  ovshftex  11584  shftfibg  11585  shftfval  11586  shftdm  11587  shftfib  11588  shftval  11590  2shfti  11596  crre  11622  remim  11625  remullem  11636  resqrexlemover  11776  resqrexlemcalc1  11780  abssubne0  11857  abs3lem  11877  caubnd2  11883  maxabslemlub  11973  maxabslemval  11974  maxcl  11976  minabs  12002  bdtrilem  12005  bdtri  12006  climuni  12059  mulcn2  12078  reccn2ap  12079  cn1lem  12080  climcvg1nlem  12115  fsumparts  12237  arisum2  12266  geosergap  12273  geo2sum2  12282  geoisum1c  12287  cvgratnnlemrate  12297  sinval  12469  sinf  12471  tanval2ap  12480  tanval3ap  12481  sinneg  12493  efival  12499  cos12dec  12535  bitsinv1lem  12728  pythagtriplem1  13044  pythagtriplem14  13056  pythagtriplem16  13058  pythagtriplem17  13059  dvdsprmpweqle  13116  4sqlem5  13161  mul4sqlem  13172  4sqlem17  13186  gzsumshift  14149  addcncntoplem  15662  mulcncflem  15708  cnopnap  15712  limcimolemlt  15765  limcimo  15766  cnplimclemle  15769  limccnp2lem  15777  dvlemap  15781  dvconst  15795  dvid  15796  dvconstre  15797  dvidre  15798  dvconstss  15799  dvcnp2cntop  15800  dvaddxxbr  15802  dvmulxxbr  15803  dvcoapbr  15808  dvcjbr  15809  dvrecap  15814  dveflem  15827  dvef  15828  sin0pilem1  15882  ptolemy  15925  tangtx  15939  cosq34lt1  15951  pellexlem2  16092  lgsdirprm  16153  gausslemma2dlem1a  16177  clwwlknonex2lem1  16678  dichmul0orlem7  16759  qdencn  17072  trirec0  17093  apdifflemf  17095  apdifflemr  17096  apdiff  17097  qdiff  17098