Theorem subcld 8453

Description: Closure law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem subcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subcl 8341	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200  (class class class)co 6000  ℂcc 7993   − cmin 8313

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-setind 4628  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-cnre 8106

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-sub 8315

This theorem is referenced by:  pnpncand  8517  kcnktkm1cn  8525  muleqadd  8811  ofnegsub  9105  peano2zm  9480  peano5uzti  9551  modqmuladdnn0  10585  modsumfzodifsn  10613  hashfz  11038  hashfzo  11039  ccatswrd  11197  pfxccatin12lem2  11258  shftfvalg  11324  ovshftex  11325  shftfibg  11326  shftfval  11327  shftdm  11328  shftfib  11329  shftval  11331  2shfti  11337  crre  11363  remim  11366  remullem  11377  resqrexlemover  11516  resqrexlemcalc1  11520  abssubne0  11597  abs3lem  11617  caubnd2  11623  maxabslemlub  11713  maxabslemval  11714  maxcl  11716  minabs  11742  bdtrilem  11745  bdtri  11746  climuni  11799  mulcn2  11818  reccn2ap  11819  cn1lem  11820  climcvg1nlem  11855  fsumparts  11976  arisum2  12005  geosergap  12012  geo2sum2  12021  geoisum1c  12026  cvgratnnlemrate  12036  sinval  12208  sinf  12210  tanval2ap  12219  tanval3ap  12220  sinneg  12232  efival  12238  cos12dec  12274  bitsinv1lem  12467  pythagtriplem1  12783  pythagtriplem14  12795  pythagtriplem16  12797  pythagtriplem17  12798  dvdsprmpweqle  12855  4sqlem5  12900  mul4sqlem  12911  4sqlem17  12925  addcncntoplem  15229  mulcncflem  15275  cnopnap  15279  limcimolemlt  15332  limcimo  15333  cnplimclemle  15336  limccnp2lem  15344  dvlemap  15348  dvconst  15362  dvid  15363  dvconstre  15364  dvidre  15365  dvconstss  15366  dvcnp2cntop  15367  dvaddxxbr  15369  dvmulxxbr  15370  dvcoapbr  15375  dvcjbr  15376  dvrecap  15381  dveflem  15394  dvef  15395  sin0pilem1  15449  ptolemy  15492  tangtx  15506  cosq34lt1  15518  lgsdirprm  15707  gausslemma2dlem1a  15731  qdencn  16354  trirec0  16371  apdifflemf  16373  apdifflemr  16374  apdiff  16375