Theorem subcld 8600

Description: Closure law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem subcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subcl 8488	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2205  (class class class)co 6058  ℂcc 8141   − cmin 8460

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-setind 4664  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-sub 8462

This theorem is referenced by:  pnpncand  8664  kcnktkm1cn  8673  muleqadd  8959  ofnegsub  9253  peano2zm  9632  peano5uzti  9704  modqmuladdnn0  10754  modsumfzodifsn  10782  bcm1n  11156  hashfz  11211  hashfzo  11212  ccatswrd  11387  pfxccatin12lem2  11448  shftfvalg  11528  ovshftex  11529  shftfibg  11530  shftfval  11531  shftdm  11532  shftfib  11533  shftval  11535  2shfti  11541  crre  11567  remim  11570  remullem  11581  resqrexlemover  11720  resqrexlemcalc1  11724  abssubne0  11801  abs3lem  11821  caubnd2  11827  maxabslemlub  11917  maxabslemval  11918  maxcl  11920  minabs  11946  bdtrilem  11949  bdtri  11950  climuni  12003  mulcn2  12022  reccn2ap  12023  cn1lem  12024  climcvg1nlem  12059  fsumparts  12181  arisum2  12210  geosergap  12217  geo2sum2  12226  geoisum1c  12231  cvgratnnlemrate  12241  sinval  12413  sinf  12415  tanval2ap  12424  tanval3ap  12425  sinneg  12437  efival  12443  cos12dec  12479  bitsinv1lem  12672  pythagtriplem1  12988  pythagtriplem14  13000  pythagtriplem16  13002  pythagtriplem17  13003  dvdsprmpweqle  13060  4sqlem5  13105  mul4sqlem  13116  4sqlem17  13130  gsumshift  14105  addcncntoplem  15552  mulcncflem  15598  cnopnap  15602  limcimolemlt  15655  limcimo  15656  cnplimclemle  15659  limccnp2lem  15667  dvlemap  15671  dvconst  15685  dvid  15686  dvconstre  15687  dvidre  15688  dvconstss  15689  dvcnp2cntop  15690  dvaddxxbr  15692  dvmulxxbr  15693  dvcoapbr  15698  dvcjbr  15699  dvrecap  15704  dveflem  15717  dvef  15718  sin0pilem1  15772  ptolemy  15815  tangtx  15829  cosq34lt1  15841  pellexlem2  15972  lgsdirprm  16033  gausslemma2dlem1a  16057  clwwlknonex2lem1  16558  qdencn  16933  trirec0  16954  apdifflemf  16956  apdifflemr  16957  apdiff  16958  qdiff  16959