Theorem subcld 8066

Description: Closure law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem subcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subcl 7954	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2anc 408	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1480  (class class class)co 5767  ℂcc 7611   − cmin 7926

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-setind 4447  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-addass 7715  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-sub 7928

This theorem is referenced by:  pnpncand  8130  kcnktkm1cn  8138  muleqadd  8422  peano2zm  9085  peano5uzti  9152  modqmuladdnn0  10134  modsumfzodifsn  10162  hashfz  10560  hashfzo  10561  shftfvalg  10583  ovshftex  10584  shftfibg  10585  shftfval  10586  shftdm  10587  shftfib  10588  shftval  10590  2shfti  10596  crre  10622  remim  10625  remullem  10636  resqrexlemover  10775  resqrexlemcalc1  10779  abssubne0  10856  abs3lem  10876  caubnd2  10882  maxabslemlub  10972  maxabslemval  10973  maxcl  10975  minabs  11000  bdtrilem  11003  bdtri  11004  climuni  11055  mulcn2  11074  reccn2ap  11075  cn1lem  11076  climcvg1nlem  11111  fsumparts  11232  arisum2  11261  geosergap  11268  geo2sum2  11277  geoisum1c  11282  cvgratnnlemrate  11292  sinval  11398  sinf  11400  tanval2ap  11409  tanval3ap  11410  sinneg  11422  efival  11428  cos12dec  11463  addcncntoplem  12709  mulcncflem  12748  cnopnap  12752  limcimolemlt  12791  limcimo  12792  cnplimclemle  12795  limccnp2lem  12803  dvlemap  12807  dvconst  12819  dvid  12820  dvcnp2cntop  12821  dvaddxxbr  12823  dvmulxxbr  12824  dvcoapbr  12829  dvcjbr  12830  dvrecap  12835  dveflem  12844  dvef  12845  sin0pilem1  12851  ptolemy  12894  tangtx  12908  cosq34lt1  12920  qdencn  13211