Theorem subcld 8382

Description: Closure law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem subcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subcl 8270	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2175  (class class class)co 5943  ℂcc 7922   − cmin 8242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-setind 4584  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-addcom 8024  ax-addass 8026  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-cnre 8035

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-opab 4105  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-sub 8244

This theorem is referenced by:  pnpncand  8446  kcnktkm1cn  8454  muleqadd  8740  ofnegsub  9034  peano2zm  9409  peano5uzti  9480  modqmuladdnn0  10511  modsumfzodifsn  10539  hashfz  10964  hashfzo  10965  shftfvalg  11100  ovshftex  11101  shftfibg  11102  shftfval  11103  shftdm  11104  shftfib  11105  shftval  11107  2shfti  11113  crre  11139  remim  11142  remullem  11153  resqrexlemover  11292  resqrexlemcalc1  11296  abssubne0  11373  abs3lem  11393  caubnd2  11399  maxabslemlub  11489  maxabslemval  11490  maxcl  11492  minabs  11518  bdtrilem  11521  bdtri  11522  climuni  11575  mulcn2  11594  reccn2ap  11595  cn1lem  11596  climcvg1nlem  11631  fsumparts  11752  arisum2  11781  geosergap  11788  geo2sum2  11797  geoisum1c  11802  cvgratnnlemrate  11812  sinval  11984  sinf  11986  tanval2ap  11995  tanval3ap  11996  sinneg  12008  efival  12014  cos12dec  12050  bitsinv1lem  12243  pythagtriplem1  12559  pythagtriplem14  12571  pythagtriplem16  12573  pythagtriplem17  12574  dvdsprmpweqle  12631  4sqlem5  12676  mul4sqlem  12687  4sqlem17  12701  addcncntoplem  15004  mulcncflem  15050  cnopnap  15054  limcimolemlt  15107  limcimo  15108  cnplimclemle  15111  limccnp2lem  15119  dvlemap  15123  dvconst  15137  dvid  15138  dvconstre  15139  dvidre  15140  dvconstss  15141  dvcnp2cntop  15142  dvaddxxbr  15144  dvmulxxbr  15145  dvcoapbr  15150  dvcjbr  15151  dvrecap  15156  dveflem  15169  dvef  15170  sin0pilem1  15224  ptolemy  15267  tangtx  15281  cosq34lt1  15293  lgsdirprm  15482  gausslemma2dlem1a  15506  qdencn  15928  trirec0  15945  apdifflemf  15947  apdifflemr  15948  apdiff  15949