Theorem subcld 8097

Description: Closure law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem subcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subcl 7985	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2anc 409	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1481  (class class class)co 5782  ℂcc 7642   − cmin 7957

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-setind 4460  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-addass 7746  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-sub 7959

This theorem is referenced by:  pnpncand  8161  kcnktkm1cn  8169  muleqadd  8453  peano2zm  9116  peano5uzti  9183  modqmuladdnn0  10172  modsumfzodifsn  10200  hashfz  10599  hashfzo  10600  shftfvalg  10622  ovshftex  10623  shftfibg  10624  shftfval  10625  shftdm  10626  shftfib  10627  shftval  10629  2shfti  10635  crre  10661  remim  10664  remullem  10675  resqrexlemover  10814  resqrexlemcalc1  10818  abssubne0  10895  abs3lem  10915  caubnd2  10921  maxabslemlub  11011  maxabslemval  11012  maxcl  11014  minabs  11039  bdtrilem  11042  bdtri  11043  climuni  11094  mulcn2  11113  reccn2ap  11114  cn1lem  11115  climcvg1nlem  11150  fsumparts  11271  arisum2  11300  geosergap  11307  geo2sum2  11316  geoisum1c  11321  cvgratnnlemrate  11331  sinval  11445  sinf  11447  tanval2ap  11456  tanval3ap  11457  sinneg  11469  efival  11475  cos12dec  11510  addcncntoplem  12759  mulcncflem  12798  cnopnap  12802  limcimolemlt  12841  limcimo  12842  cnplimclemle  12845  limccnp2lem  12853  dvlemap  12857  dvconst  12869  dvid  12870  dvcnp2cntop  12871  dvaddxxbr  12873  dvmulxxbr  12874  dvcoapbr  12879  dvcjbr  12880  dvrecap  12885  dveflem  12895  dvef  12896  sin0pilem1  12910  ptolemy  12953  tangtx  12967  cosq34lt1  12979  qdencn  13397  trirec0  13412  apdifflemf  13414  apdifflemr  13415  apdiff  13416