Theorem subcld 8356

Description: Closure law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem subcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subcl 8244	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167  (class class class)co 5925  ℂcc 7896   − cmin 8216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-setind 4574  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-addcom 7998  ax-addass 8000  ax-distr 8002  ax-i2m1 8003  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-cnre 8009

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-sub 8218

This theorem is referenced by:  pnpncand  8420  kcnktkm1cn  8428  muleqadd  8714  ofnegsub  9008  peano2zm  9383  peano5uzti  9453  modqmuladdnn0  10479  modsumfzodifsn  10507  hashfz  10932  hashfzo  10933  shftfvalg  11002  ovshftex  11003  shftfibg  11004  shftfval  11005  shftdm  11006  shftfib  11007  shftval  11009  2shfti  11015  crre  11041  remim  11044  remullem  11055  resqrexlemover  11194  resqrexlemcalc1  11198  abssubne0  11275  abs3lem  11295  caubnd2  11301  maxabslemlub  11391  maxabslemval  11392  maxcl  11394  minabs  11420  bdtrilem  11423  bdtri  11424  climuni  11477  mulcn2  11496  reccn2ap  11497  cn1lem  11498  climcvg1nlem  11533  fsumparts  11654  arisum2  11683  geosergap  11690  geo2sum2  11699  geoisum1c  11704  cvgratnnlemrate  11714  sinval  11886  sinf  11888  tanval2ap  11897  tanval3ap  11898  sinneg  11910  efival  11916  cos12dec  11952  bitsinv1lem  12145  pythagtriplem1  12461  pythagtriplem14  12473  pythagtriplem16  12475  pythagtriplem17  12476  dvdsprmpweqle  12533  4sqlem5  12578  mul4sqlem  12589  4sqlem17  12603  addcncntoplem  14905  mulcncflem  14951  cnopnap  14955  limcimolemlt  15008  limcimo  15009  cnplimclemle  15012  limccnp2lem  15020  dvlemap  15024  dvconst  15038  dvid  15039  dvconstre  15040  dvidre  15041  dvconstss  15042  dvcnp2cntop  15043  dvaddxxbr  15045  dvmulxxbr  15046  dvcoapbr  15051  dvcjbr  15052  dvrecap  15057  dveflem  15070  dvef  15071  sin0pilem1  15125  ptolemy  15168  tangtx  15182  cosq34lt1  15194  lgsdirprm  15383  gausslemma2dlem1a  15407  qdencn  15784  trirec0  15801  apdifflemf  15803  apdifflemr  15804  apdiff  15805