Theorem subcld 8332

Description: Closure law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem subcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subcl 8220	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2164  (class class class)co 5919  ℂcc 7872   − cmin 8192

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-setind 4570  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-cnre 7985

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-sub 8194

This theorem is referenced by:  pnpncand  8396  kcnktkm1cn  8404  muleqadd  8689  ofnegsub  8983  peano2zm  9358  peano5uzti  9428  modqmuladdnn0  10442  modsumfzodifsn  10470  hashfz  10895  hashfzo  10896  shftfvalg  10965  ovshftex  10966  shftfibg  10967  shftfval  10968  shftdm  10969  shftfib  10970  shftval  10972  2shfti  10978  crre  11004  remim  11007  remullem  11018  resqrexlemover  11157  resqrexlemcalc1  11161  abssubne0  11238  abs3lem  11258  caubnd2  11264  maxabslemlub  11354  maxabslemval  11355  maxcl  11357  minabs  11382  bdtrilem  11385  bdtri  11386  climuni  11439  mulcn2  11458  reccn2ap  11459  cn1lem  11460  climcvg1nlem  11495  fsumparts  11616  arisum2  11645  geosergap  11652  geo2sum2  11661  geoisum1c  11666  cvgratnnlemrate  11676  sinval  11848  sinf  11850  tanval2ap  11859  tanval3ap  11860  sinneg  11872  efival  11878  cos12dec  11914  pythagtriplem1  12406  pythagtriplem14  12418  pythagtriplem16  12420  pythagtriplem17  12421  dvdsprmpweqle  12478  4sqlem5  12523  mul4sqlem  12534  4sqlem17  12548  addcncntoplem  14740  mulcncflem  14786  cnopnap  14790  limcimolemlt  14843  limcimo  14844  cnplimclemle  14847  limccnp2lem  14855  dvlemap  14859  dvconst  14873  dvid  14874  dvconstre  14875  dvidre  14876  dvconstss  14877  dvcnp2cntop  14878  dvaddxxbr  14880  dvmulxxbr  14881  dvcoapbr  14886  dvcjbr  14887  dvrecap  14892  dveflem  14905  dvef  14906  sin0pilem1  14957  ptolemy  15000  tangtx  15014  cosq34lt1  15026  lgsdirprm  15191  gausslemma2dlem1a  15215  qdencn  15587  trirec0  15604  apdifflemf  15606  apdifflemr  15607  apdiff  15608