Theorem subcld 8383

Description: Closure law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem subcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subcl 8271	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2176  (class class class)co 5944  ℂcc 7923   − cmin 8243

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-setind 4585  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-cnre 8036

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-sub 8245

This theorem is referenced by:  pnpncand  8447  kcnktkm1cn  8455  muleqadd  8741  ofnegsub  9035  peano2zm  9410  peano5uzti  9481  modqmuladdnn0  10513  modsumfzodifsn  10541  hashfz  10966  hashfzo  10967  ccatswrd  11123  shftfvalg  11129  ovshftex  11130  shftfibg  11131  shftfval  11132  shftdm  11133  shftfib  11134  shftval  11136  2shfti  11142  crre  11168  remim  11171  remullem  11182  resqrexlemover  11321  resqrexlemcalc1  11325  abssubne0  11402  abs3lem  11422  caubnd2  11428  maxabslemlub  11518  maxabslemval  11519  maxcl  11521  minabs  11547  bdtrilem  11550  bdtri  11551  climuni  11604  mulcn2  11623  reccn2ap  11624  cn1lem  11625  climcvg1nlem  11660  fsumparts  11781  arisum2  11810  geosergap  11817  geo2sum2  11826  geoisum1c  11831  cvgratnnlemrate  11841  sinval  12013  sinf  12015  tanval2ap  12024  tanval3ap  12025  sinneg  12037  efival  12043  cos12dec  12079  bitsinv1lem  12272  pythagtriplem1  12588  pythagtriplem14  12600  pythagtriplem16  12602  pythagtriplem17  12603  dvdsprmpweqle  12660  4sqlem5  12705  mul4sqlem  12716  4sqlem17  12730  addcncntoplem  15033  mulcncflem  15079  cnopnap  15083  limcimolemlt  15136  limcimo  15137  cnplimclemle  15140  limccnp2lem  15148  dvlemap  15152  dvconst  15166  dvid  15167  dvconstre  15168  dvidre  15169  dvconstss  15170  dvcnp2cntop  15171  dvaddxxbr  15173  dvmulxxbr  15174  dvcoapbr  15179  dvcjbr  15180  dvrecap  15185  dveflem  15198  dvef  15199  sin0pilem1  15253  ptolemy  15296  tangtx  15310  cosq34lt1  15322  lgsdirprm  15511  gausslemma2dlem1a  15535  qdencn  15966  trirec0  15983  apdifflemf  15985  apdifflemr  15986  apdiff  15987