Theorem subcld 8480

Description: Closure law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem subcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subcl 8368	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200  (class class class)co 6013  ℂcc 8020   − cmin 8340

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-setind 4633  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-addass 8124  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-cnre 8133

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-sub 8342

This theorem is referenced by:  pnpncand  8544  kcnktkm1cn  8552  muleqadd  8838  ofnegsub  9132  peano2zm  9507  peano5uzti  9578  modqmuladdnn0  10620  modsumfzodifsn  10648  hashfz  11075  hashfzo  11076  ccatswrd  11241  pfxccatin12lem2  11302  shftfvalg  11369  ovshftex  11370  shftfibg  11371  shftfval  11372  shftdm  11373  shftfib  11374  shftval  11376  2shfti  11382  crre  11408  remim  11411  remullem  11422  resqrexlemover  11561  resqrexlemcalc1  11565  abssubne0  11642  abs3lem  11662  caubnd2  11668  maxabslemlub  11758  maxabslemval  11759  maxcl  11761  minabs  11787  bdtrilem  11790  bdtri  11791  climuni  11844  mulcn2  11863  reccn2ap  11864  cn1lem  11865  climcvg1nlem  11900  fsumparts  12021  arisum2  12050  geosergap  12057  geo2sum2  12066  geoisum1c  12071  cvgratnnlemrate  12081  sinval  12253  sinf  12255  tanval2ap  12264  tanval3ap  12265  sinneg  12277  efival  12283  cos12dec  12319  bitsinv1lem  12512  pythagtriplem1  12828  pythagtriplem14  12840  pythagtriplem16  12842  pythagtriplem17  12843  dvdsprmpweqle  12900  4sqlem5  12945  mul4sqlem  12956  4sqlem17  12970  addcncntoplem  15275  mulcncflem  15321  cnopnap  15325  limcimolemlt  15378  limcimo  15379  cnplimclemle  15382  limccnp2lem  15390  dvlemap  15394  dvconst  15408  dvid  15409  dvconstre  15410  dvidre  15411  dvconstss  15412  dvcnp2cntop  15413  dvaddxxbr  15415  dvmulxxbr  15416  dvcoapbr  15421  dvcjbr  15422  dvrecap  15427  dveflem  15440  dvef  15441  sin0pilem1  15495  ptolemy  15538  tangtx  15552  cosq34lt1  15564  lgsdirprm  15753  gausslemma2dlem1a  15777  clwwlknonex2lem1  16232  qdencn  16567  trirec0  16584  apdifflemf  16586  apdifflemr  16587  apdiff  16588