ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  subcld GIF version

Theorem subcld 8080
Description: Closure law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
subcld (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem subcld
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 pncand.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 subcl 7968 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
41, 2, 3syl2anc 408 1 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1480  (class class class)co 5774  cc 7625  cmin 7940
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-setind 4452  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-addcom 7727  ax-addass 7729  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-cnre 7738
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-sub 7942
This theorem is referenced by:  pnpncand  8144  kcnktkm1cn  8152  muleqadd  8436  peano2zm  9099  peano5uzti  9166  modqmuladdnn0  10148  modsumfzodifsn  10176  hashfz  10574  hashfzo  10575  shftfvalg  10597  ovshftex  10598  shftfibg  10599  shftfval  10600  shftdm  10601  shftfib  10602  shftval  10604  2shfti  10610  crre  10636  remim  10639  remullem  10650  resqrexlemover  10789  resqrexlemcalc1  10793  abssubne0  10870  abs3lem  10890  caubnd2  10896  maxabslemlub  10986  maxabslemval  10987  maxcl  10989  minabs  11014  bdtrilem  11017  bdtri  11018  climuni  11069  mulcn2  11088  reccn2ap  11089  cn1lem  11090  climcvg1nlem  11125  fsumparts  11246  arisum2  11275  geosergap  11282  geo2sum2  11291  geoisum1c  11296  cvgratnnlemrate  11306  sinval  11416  sinf  11418  tanval2ap  11427  tanval3ap  11428  sinneg  11440  efival  11446  cos12dec  11481  addcncntoplem  12730  mulcncflem  12769  cnopnap  12773  limcimolemlt  12812  limcimo  12813  cnplimclemle  12816  limccnp2lem  12824  dvlemap  12828  dvconst  12840  dvid  12841  dvcnp2cntop  12842  dvaddxxbr  12844  dvmulxxbr  12845  dvcoapbr  12850  dvcjbr  12851  dvrecap  12856  dveflem  12865  dvef  12866  sin0pilem1  12872  ptolemy  12915  tangtx  12929  cosq34lt1  12941  qdencn  13236
  Copyright terms: Public domain W3C validator