ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  negreb GIF version

Theorem negreb 7808
Description: The negative of a real is real. (Contributed by NM, 11-Aug-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
negreb (𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝐴 ∈ ℝ))

Proof of Theorem negreb
StepHypRef Expression
1 renegcl 7804 . . 3 (-𝐴 ∈ ℝ → --𝐴 ∈ ℝ)
2 negneg 7793 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → --𝐴 = 𝐴)
32eleq1d 2157 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (--𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝐴 ∈ ℝ))
41, 3syl5ib 153 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ))
5 renegcl 7804 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
64, 5impbid1 141 1 (𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝐴 ∈ ℝ))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 104  wcel 1439  cc 7409  cr 7410  -cneg 7715
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-setind 4366  ax-resscn 7498  ax-1cn 7499  ax-icn 7501  ax-addcl 7502  ax-addrcl 7503  ax-mulcl 7504  ax-addcom 7506  ax-addass 7508  ax-distr 7510  ax-i2m1 7511  ax-0id 7514  ax-rnegex 7515  ax-cnre 7517
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-br 3852  df-opab 3906  df-id 4129  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-sub 7716  df-neg 7717
This theorem is referenced by:  negrebi  7817  negrebd  7853
  Copyright terms: Public domain W3C validator