ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  negreb GIF version

Theorem negreb 8034
Description: The negative of a real is real. (Contributed by NM, 11-Aug-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
negreb (𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝐴 ∈ ℝ))

Proof of Theorem negreb
StepHypRef Expression
1 renegcl 8030 . . 3 (-𝐴 ∈ ℝ → --𝐴 ∈ ℝ)
2 negneg 8019 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → --𝐴 = 𝐴)
32eleq1d 2208 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (--𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝐴 ∈ ℝ))
41, 3syl5ib 153 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ))
5 renegcl 8030 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
64, 5impbid1 141 1 (𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝐴 ∈ ℝ))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 104  wcel 1480  cc 7625  cr 7626  -cneg 7941
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-setind 4452  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-addcom 7727  ax-addass 7729  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-cnre 7738
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-sub 7942  df-neg 7943
This theorem is referenced by:  negrebi  8043  negrebd  8079
  Copyright terms: Public domain W3C validator