Theorem nna0 6618

Description: Addition with zero. Theorem 4I(A1) of [Enderton] p. 79. (Contributed by NM, 20-Sep-1995.)

Assertion

Ref	Expression
nna0	⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 +o ∅) = 𝐴)

Proof of Theorem nna0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 4701	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
2		oa0 6601	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 +o ∅) = 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 +o ∅) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∅c0 3491  Oncon0 4453  ωcom 4681  (class class class)co 6000   +_o coa 6557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-iord 4456  df-on 4458  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-recs 6449  df-irdg 6514  df-oadd 6564

This theorem is referenced by:  nnacl  6624  nnacom  6628  nnaass  6629  nndi  6630  nnmsucr  6632  nnaordi  6652  nnmordi  6660  nnaordex  6672  nnawordex  6673  addnidpig  7519  1lt2pi  7523  archnqq  7600  prarloclemarch2  7602  nq0a0  7640  prarloclem3  7680  omgadd  11019  hashunlem  11021