Theorem nna0 6191

Description: Addition with zero. Theorem 4I(A1) of [Enderton] p. 79. (Contributed by NM, 20-Sep-1995.)

Assertion

Ref	Expression
nna0	⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 +𝑜 ∅) = 𝐴)

Proof of Theorem nna0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 4399	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
2		oa0 6174	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 +𝑜 ∅) = 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 +𝑜 ∅) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1287   ∈ wcel 1436  ∅c0 3275  Oncon0 4166  ωcom 4380  (class class class)co 5615   +_𝑜 coa 6134

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3931  ax-sep 3934  ax-nul 3942  ax-pow 3986  ax-pr 4012  ax-un 4236  ax-setind 4328  ax-iinf 4378

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3639  df-int 3674  df-iun 3717  df-br 3823  df-opab 3877  df-mpt 3878  df-tr 3914  df-id 4096  df-iord 4169  df-on 4171  df-suc 4174  df-iom 4381  df-xp 4419  df-rel 4420  df-cnv 4421  df-co 4422  df-dm 4423  df-rn 4424  df-res 4425  df-ima 4426  df-iota 4948  df-fun 4985  df-fn 4986  df-f 4987  df-f1 4988  df-fo 4989  df-f1o 4990  df-fv 4991  df-ov 5618  df-oprab 5619  df-mpt2 5620  df-recs 6026  df-irdg 6091  df-oadd 6141

This theorem is referenced by:  nnacl  6197  nnacom  6201  nnaass  6202  nndi  6203  nnmsucr  6205  nnaordi  6221  nnmordi  6229  nnaordex  6240  nnawordex  6241  addnidpig  6842  1lt2pi  6846  archnqq  6923  prarloclemarch2  6925  nq0a0  6963  prarloclem3  7003  omgadd  10110  hashunlem  10112