Theorem opnneissb 14323

Description: An open set is a neighborhood of any of its subsets. (Contributed by FL, 2-Oct-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
neips.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
opnneissb	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑆 ⊆ 𝑁 ↔ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))

Proof of Theorem opnneissb

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neips.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	eltopss 14177	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ 𝐽) → 𝑁 ⊆ 𝑋)
3	2	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ 𝐽) ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑁)) → 𝑁 ⊆ 𝑋)
4		ssid 3199	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 ⊆ 𝑁
5		sseq2 3203	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = 𝑁 → (𝑆 ⊆ 𝑔 ↔ 𝑆 ⊆ 𝑁))
6		sseq1 3202	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = 𝑁 → (𝑔 ⊆ 𝑁 ↔ 𝑁 ⊆ 𝑁))
7	5, 6	anbi12d 473	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝑁 → ((𝑆 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁) ↔ (𝑆 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑁 ⊆ 𝑁)))
8	7	rspcev 2864	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝐽 ∧ (𝑆 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑁 ⊆ 𝑁)) → ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁))
9	4, 8	mpanr2 438	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑁) → ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁))
10	9	ad2ant2l 508	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ 𝐽) ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑁)) → ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁))
11	1	isnei 14312	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ (𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁))))
12	11	ad2ant2r 509	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ 𝐽) ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑁)) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ (𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁))))
13	3, 10, 12	mpbir2and 946	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ 𝐽) ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑁)) → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆))
14	13	exp43 372	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑁 ∈ 𝐽 → (𝑆 ⊆ 𝑋 → (𝑆 ⊆ 𝑁 → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))))
15	14	3imp 1195	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑆 ⊆ 𝑁 → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
16		ssnei 14319	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)) → 𝑆 ⊆ 𝑁)
17	16	ex 115	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) → 𝑆 ⊆ 𝑁))
18	17	3ad2ant1 1020	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) → 𝑆 ⊆ 𝑁))
19	15, 18	impbid 129	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑆 ⊆ 𝑁 ↔ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∃wrex 2473   ⊆ wss 3153  ∪ cuni 3835  ‘cfv 5254  Topctop 14165  neicnei 14306

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-top 14166  df-nei 14307

This theorem is referenced by:  opnneiss  14326