Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  opnneissb GIF version

Theorem opnneissb 12361
 Description: An open set is a neighborhood of any of its subsets. (Contributed by FL, 2-Oct-2006.)
Hypothesis
Ref Expression
neips.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
opnneissb ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁𝐽𝑆𝑋) → (𝑆𝑁𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))

Proof of Theorem opnneissb
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neips.1 . . . . . . 7 𝑋 = 𝐽
21eltopss 12213 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁𝐽) → 𝑁𝑋)
32adantr 274 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁𝐽) ∧ (𝑆𝑋𝑆𝑁)) → 𝑁𝑋)
4 ssid 3121 . . . . . . 7 𝑁𝑁
5 sseq2 3125 . . . . . . . . 9 (𝑔 = 𝑁 → (𝑆𝑔𝑆𝑁))
6 sseq1 3124 . . . . . . . . 9 (𝑔 = 𝑁 → (𝑔𝑁𝑁𝑁))
75, 6anbi12d 465 . . . . . . . 8 (𝑔 = 𝑁 → ((𝑆𝑔𝑔𝑁) ↔ (𝑆𝑁𝑁𝑁)))
87rspcev 2792 . . . . . . 7 ((𝑁𝐽 ∧ (𝑆𝑁𝑁𝑁)) → ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁))
94, 8mpanr2 435 . . . . . 6 ((𝑁𝐽𝑆𝑁) → ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁))
109ad2ant2l 500 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁𝐽) ∧ (𝑆𝑋𝑆𝑁)) → ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁))
111isnei 12350 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁))))
1211ad2ant2r 501 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁𝐽) ∧ (𝑆𝑋𝑆𝑁)) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁))))
133, 10, 12mpbir2and 929 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁𝐽) ∧ (𝑆𝑋𝑆𝑁)) → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆))
1413exp43 370 . . 3 (𝐽 ∈ Top → (𝑁𝐽 → (𝑆𝑋 → (𝑆𝑁𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))))
15143imp 1176 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁𝐽𝑆𝑋) → (𝑆𝑁𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
16 ssnei 12357 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)) → 𝑆𝑁)
1716ex 114 . . 3 (𝐽 ∈ Top → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) → 𝑆𝑁))
18173ad2ant1 1003 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁𝐽𝑆𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) → 𝑆𝑁))
1915, 18impbid 128 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁𝐽𝑆𝑋) → (𝑆𝑁𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 963   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  ∃wrex 2418   ⊆ wss 3075  ∪ cuni 3743  ‘cfv 5130  Topctop 12201  neicnei 12344 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-id 4222  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-top 12202  df-nei 12345 This theorem is referenced by:  opnneiss  12364
 Copyright terms: Public domain W3C validator