Theorem quslem 12910

Description: The function in qusval 12909 is a surjection onto a quotient set. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
qusval.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝑅 /s ∼ ))
qusval.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
qusval.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥] ∼ )
qusval.e	⊢ (𝜑 → ∼ ∈ 𝑊)
qusval.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
quslem	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→(𝑉 / ∼ ))

Distinct variable groups:   𝑥, ∼   𝜑,𝑥   𝑥,𝑅   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem quslem

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qusval.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∼ ∈ 𝑊)
2		ecexg 6593	. . . . . 6 ⊢ ( ∼ ∈ 𝑊 → [𝑥] ∼ ∈ V)
3	1, 2	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → [𝑥] ∼ ∈ V)
4	3	ralrimivw 2568	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑉 [𝑥] ∼ ∈ V)
5		qusval.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥] ∼ )
6	5	fnmpt 5381	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑉 [𝑥] ∼ ∈ V → 𝐹 Fn 𝑉)
7	4, 6	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑉)
8		dffn4 5483	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝑉 ↔ 𝐹:𝑉–onto→ran 𝐹)
9	7, 8	sylib 122	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→ran 𝐹)
10	5	rnmpt 4911	. . . 4 ⊢ ran 𝐹 = {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝑉 𝑦 = [𝑥] ∼ }
11		df-qs 6595	. . . 4 ⊢ (𝑉 / ∼ ) = {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝑉 𝑦 = [𝑥] ∼ }
12	10, 11	eqtr4i 2217	. . 3 ⊢ ran 𝐹 = (𝑉 / ∼ )
13		foeq3 5475	. . 3 ⊢ (ran 𝐹 = (𝑉 / ∼ ) → (𝐹:𝑉–onto→ran 𝐹 ↔ 𝐹:𝑉–onto→(𝑉 / ∼ )))
14	12, 13	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐹:𝑉–onto→ran 𝐹 ↔ 𝐹:𝑉–onto→(𝑉 / ∼ ))
15	9, 14	sylib 122	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→(𝑉 / ∼ ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  {cab 2179  ∀wral 2472  ∃wrex 2473  Vcvv 2760   ↦ cmpt 4091  ran crn 4661   Fn wfn 5250  –onto→wfo 5253  ‘cfv 5255  (class class class)co 5919  [cec 6587   / cqs 6588  Basecbs 12621   /_s cqus 12886

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-fun 5257  df-fn 5258  df-fo 5261  df-ec 6591  df-qs 6595

This theorem is referenced by:  qusbas  12913  qusaddvallemg  12919  qusaddflemg  12920  qusaddval  12921  qusaddf  12922  qusmulval  12923  qusmulf  12924  qusgrp2  13186  qusrng  13457  qusring2  13565  znzrhfo  14147