Theorem ressbas2d 13365

Description: Base set of a structure restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressbasd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴))
ressbasd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑊))
ressbasd.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)
ressbas2d.ss	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ressbas2d	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (Base‘𝑅))

Proof of Theorem ressbas2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressbas2d.ss	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
2		df-ss 3227	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴)
3	1, 2	sylib 122	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴)
4		ressbasd.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴))
5		ressbasd.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑊))
6		ressbasd.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)
7		basfn 13355	. . . . . 6 ⊢ Base Fn V
8	6	elexd 2829	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ V)
9		funfvex 5692	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑊 ∈ dom Base) → (Base‘𝑊) ∈ V)
10	9	funfni 5463	. . . . . 6 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑊 ∈ V) → (Base‘𝑊) ∈ V)
11	7, 8, 10	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑊) ∈ V)
12	5, 11	eqeltrd 2311	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
13	12, 1	ssexd 4255	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
14	4, 5, 6, 13	ressbasd 13364	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))
15	3, 14	eqtr3d 2269	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (Base‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  Vcvv 2815   ∩ cin 3213   ⊆ wss 3214   Fn wfn 5352  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  Basecbs 13296   ↾_s cress 13297

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1re 8237  ax-addrcl 8240

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-fv 5365  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-inn 9255  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-sets 13303  df-iress 13304

This theorem is referenced by:  gsumress  13692  issubmnd  13739  ress0g  13740  submbas  13778  resmhm  13784  subgbas  13979  issubg2m  13990  resghm  14061  ablressid  14136  rngressid  14182  ringidss  14257  ringressid  14291  unitgrpbasd  14345  islss3  14639  lsslss  14641  lsslsp  14689  2idlbas  14775  zringbas  14856  expghmap  14867  mplbascoe  14958