Theorem ressbas2d 13482

Description: Base set of a structure restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressbasd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴))
ressbasd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑊))
ressbasd.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)
ressbas2d.ss	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ressbas2d	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (Base‘𝑅))

Proof of Theorem ressbas2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressbas2d.ss	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
2		df-ss 3233	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴)
3	1, 2	sylib 122	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴)
4		ressbasd.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴))
5		ressbasd.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑊))
6		ressbasd.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)
7		basfn 13470	. . . . . 6 ⊢ Base Fn V
8	6	elexd 2835	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ V)
9		funfvex 5715	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑊 ∈ dom Base) → (Base‘𝑊) ∈ V)
10	9	funfni 5486	. . . . . 6 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑊 ∈ V) → (Base‘𝑊) ∈ V)
11	7, 8, 10	sylancr 418	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑊) ∈ V)
12	5, 11	eqeltrd 2315	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
13	12, 1	ssexd 4275	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
14	4, 5, 6, 13	ressbasd 13481	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))
15	3, 14	eqtr3d 2273	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (Base‘𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ∩ cin 3219   ⊆ wss 3220   Fn wfn 5375  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  Basecbs 13411   ↾_s cress 13412

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1re 8280  ax-addrcl 8283

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-inn 9315  df-ndx 13414  df-slot 13415  df-base 13417  df-sets 13418  df-iress 13419

This theorem is used by:  gzsumress  13772  issubmnd  13815  ress0g  13816  submbas  13848  resmhm  13854  subgbas  14041  issubg2m  14052  resghm  14123  ablressid  14230  gsumressfi  14268  rngressid  14361  ringidss  14442  ringressid  14478  unitgrpbasd  14532  islss3  14826  lsslss  14828  lsslsp  14876  2idlbas  14962  zringbas  15041  expghmap  15052  mplbascoe  15219