Theorem ressbas2d 13212

Description: Base set of a structure restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressbasd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴))
ressbasd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑊))
ressbasd.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)
ressbas2d.ss	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ressbas2d	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (Base‘𝑅))

Proof of Theorem ressbas2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressbas2d.ss	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
2		df-ss 3214	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴)
3	1, 2	sylib 122	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴)
4		ressbasd.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴))
5		ressbasd.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑊))
6		ressbasd.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)
7		basfn 13202	. . . . . 6 ⊢ Base Fn V
8	6	elexd 2817	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ V)
9		funfvex 5665	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑊 ∈ dom Base) → (Base‘𝑊) ∈ V)
10	9	funfni 5439	. . . . . 6 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑊 ∈ V) → (Base‘𝑊) ∈ V)
11	7, 8, 10	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑊) ∈ V)
12	5, 11	eqeltrd 2308	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
13	12, 1	ssexd 4234	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
14	4, 5, 6, 13	ressbasd 13211	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))
15	3, 14	eqtr3d 2266	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (Base‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  Vcvv 2803   ∩ cin 3200   ⊆ wss 3201   Fn wfn 5328  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  Basecbs 13143   ↾_s cress 13144

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1re 8169  ax-addrcl 8172

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-inn 9187  df-ndx 13146  df-slot 13147  df-base 13149  df-sets 13150  df-iress 13151

This theorem is referenced by:  gsumress  13539  issubmnd  13586  ress0g  13587  submbas  13625  resmhm  13631  subgbas  13826  issubg2m  13837  resghm  13908  ablressid  13983  rngressid  14029  ringidss  14104  ringressid  14138  unitgrpbasd  14191  islss3  14455  lsslss  14457  lsslsp  14505  2idlbas  14591  zringbas  14672  expghmap  14683  mplbascoe  14772