Theorem ressbas2d 13156

Description: Base set of a structure restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressbasd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴))
ressbasd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑊))
ressbasd.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)
ressbas2d.ss	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ressbas2d	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (Base‘𝑅))

Proof of Theorem ressbas2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressbas2d.ss	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
2		df-ss 3213	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴)
3	1, 2	sylib 122	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴)
4		ressbasd.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴))
5		ressbasd.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑊))
6		ressbasd.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)
7		basfn 13146	. . . . . 6 ⊢ Base Fn V
8	6	elexd 2816	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ V)
9		funfvex 5656	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑊 ∈ dom Base) → (Base‘𝑊) ∈ V)
10	9	funfni 5432	. . . . . 6 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑊 ∈ V) → (Base‘𝑊) ∈ V)
11	7, 8, 10	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑊) ∈ V)
12	5, 11	eqeltrd 2308	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
13	12, 1	ssexd 4229	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
14	4, 5, 6, 13	ressbasd 13155	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))
15	3, 14	eqtr3d 2266	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (Base‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  Vcvv 2802   ∩ cin 3199   ⊆ wss 3200   Fn wfn 5321  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  Basecbs 13087   ↾_s cress 13088

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1re 8126  ax-addrcl 8129

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-fv 5334  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-inn 9144  df-ndx 13090  df-slot 13091  df-base 13093  df-sets 13094  df-iress 13095

This theorem is referenced by:  gsumress  13483  issubmnd  13530  ress0g  13531  submbas  13569  resmhm  13575  subgbas  13770  issubg2m  13781  resghm  13852  ablressid  13927  rngressid  13973  ringidss  14048  ringressid  14082  unitgrpbasd  14135  islss3  14399  lsslss  14401  lsslsp  14449  2idlbas  14535  zringbas  14616  expghmap  14627  mplbascoe  14711