ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ressbas2d GIF version

Theorem ressbas2d 12541
Description: Base set of a structure restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ressbasd.r (𝜑𝑅 = (𝑊s 𝐴))
ressbasd.b (𝜑𝐵 = (Base‘𝑊))
ressbasd.w (𝜑𝑊𝑋)
ressbas2d.ss (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
ressbas2d (𝜑𝐴 = (Base‘𝑅))

Proof of Theorem ressbas2d
StepHypRef Expression
1 ressbas2d.ss . . 3 (𝜑𝐴𝐵)
2 df-ss 3154 . . 3 (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝐵) = 𝐴)
31, 2sylib 122 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐵) = 𝐴)
4 ressbasd.r . . 3 (𝜑𝑅 = (𝑊s 𝐴))
5 ressbasd.b . . 3 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑊))
6 ressbasd.w . . 3 (𝜑𝑊𝑋)
7 basfn 12533 . . . . . 6 Base Fn V
86elexd 2762 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ V)
9 funfvex 5544 . . . . . . 7 ((Fun Base ∧ 𝑊 ∈ dom Base) → (Base‘𝑊) ∈ V)
109funfni 5328 . . . . . 6 ((Base Fn V ∧ 𝑊 ∈ V) → (Base‘𝑊) ∈ V)
117, 8, 10sylancr 414 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘𝑊) ∈ V)
125, 11eqeltrd 2264 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ V)
1312, 1ssexd 4155 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ V)
144, 5, 6, 13ressbasd 12540 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐵) = (Base‘𝑅))
153, 14eqtr3d 2222 1 (𝜑𝐴 = (Base‘𝑅))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1363  wcel 2158  Vcvv 2749  cin 3140  wss 3141   Fn wfn 5223  cfv 5228  (class class class)co 5888  Basecbs 12475  s cress 12476
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1re 7918  ax-addrcl 7921
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-fv 5236  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-inn 8933  df-ndx 12478  df-slot 12479  df-base 12481  df-sets 12482  df-iress 12483
This theorem is referenced by:  issubmnd  12864  ress0g  12865  subgbas  13069  issubg2m  13080  ablressid  13169  rngressid  13204  ringidss  13276  ringressid  13306  unitgrpbasd  13358  islss3  13563  lsslss  13565  lsslsp  13613  2idlbas  13694  zringbas  13743
  Copyright terms: Public domain W3C validator