Theorem rinvmod 13117

Description: Uniqueness of a right inverse element in a commutative monoid, if it exists. Corresponds to caovimo 6070. (Contributed by AV, 31-Dec-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
rinvmod.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
rinvmod.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
rinvmod.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
rinvmod.m	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
rinvmod.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
rinvmod	⊢ (𝜑 → ∃*𝑤 ∈ 𝐵 (𝐴 + 𝑤) = 0 )

Distinct variable groups:   𝑤,𝐴   𝑤,𝐵   𝑤, 0   𝑤, +   𝜑,𝑤

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑤)

Proof of Theorem rinvmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rinvmod.m	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
2	1	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ CMnd)
3		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → 𝑤 ∈ 𝐵)
4		rinvmod.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
5	4	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵)
6		rinvmod.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
7		rinvmod.p	. . . . . . . . 9 ⊢ + = (+g‘𝐺)
8	6, 7	cmncom 13110	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑤 + 𝐴) = (𝐴 + 𝑤))
9	2, 3, 5, 8	syl3anc 1238	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (𝑤 + 𝐴) = (𝐴 + 𝑤))
10	9	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 + 𝑤) = 0 ) → (𝑤 + 𝐴) = (𝐴 + 𝑤))
11		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 + 𝑤) = 0 ) → (𝐴 + 𝑤) = 0 )
12	10, 11	eqtrd 2210	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 + 𝑤) = 0 ) → (𝑤 + 𝐴) = 0 )
13	12, 11	jca 306	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 + 𝑤) = 0 ) → ((𝑤 + 𝐴) = 0 ∧ (𝐴 + 𝑤) = 0 ))
14	13	ex 115	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → ((𝐴 + 𝑤) = 0 → ((𝑤 + 𝐴) = 0 ∧ (𝐴 + 𝑤) = 0 )))
15	14	ralrimiva 2550	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ 𝐵 ((𝐴 + 𝑤) = 0 → ((𝑤 + 𝐴) = 0 ∧ (𝐴 + 𝑤) = 0 )))
16		rinvmod.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
17		cmnmnd 13109	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
18	1, 17	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
19	6, 16, 7, 18, 4	mndinvmod 12851	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑤 ∈ 𝐵 ((𝑤 + 𝐴) = 0 ∧ (𝐴 + 𝑤) = 0 ))
20		rmoim 2940	. 2 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝐵 ((𝐴 + 𝑤) = 0 → ((𝑤 + 𝐴) = 0 ∧ (𝐴 + 𝑤) = 0 )) → (∃*𝑤 ∈ 𝐵 ((𝑤 + 𝐴) = 0 ∧ (𝐴 + 𝑤) = 0 ) → ∃*𝑤 ∈ 𝐵 (𝐴 + 𝑤) = 0 ))
21	15, 19, 20	sylc 62	1 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑤 ∈ 𝐵 (𝐴 + 𝑤) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455  ∃*wrmo 2458  ‘cfv 5218  (class class class)co 5877  Basecbs 12464  +_gcplusg 12538  0_gc0g 12710  Mndcmnd 12822  CMndccmn 13093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1re 7907  ax-addrcl 7910

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-inn 8922  df-2 8980  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-plusg 12551  df-0g 12712  df-mgm 12780  df-sgrp 12813  df-mnd 12823  df-cmn 13095

This theorem is referenced by: (None)