Theorem srgisid 14273

Description: In a semiring, the only left-absorbing element is the additive identity. Remark in [Golan] p. 1. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-May-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
srgz.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
srgz.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
srgz.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
srgisid.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
srgisid.2	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
srgisid.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑍 · 𝑥) = 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
srgisid	⊢ (𝜑 → 𝑍 = 0 )

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥, ·   𝑥, 0   𝑥,𝑍   𝜑,𝑥

Proof of Theorem srgisid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srgisid.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑍 · 𝑥) = 𝑍)
2	1	ralrimiva 2623	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑍 · 𝑥) = 𝑍)
3		srgisid.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
4		srgz.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		srgz.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
6	4, 5	srg0cl 14264	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 0 ∈ 𝐵)
7		oveq2 6087	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑍 · 𝑥) = (𝑍 · 0 ))
8	7	eqeq1d 2247	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑍 · 𝑥) = 𝑍 ↔ (𝑍 · 0 ) = 𝑍))
9	8	rspcv 2925	. . . 4 ⊢ ( 0 ∈ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑍 · 𝑥) = 𝑍 → (𝑍 · 0 ) = 𝑍))
10	3, 6, 9	3syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑍 · 𝑥) = 𝑍 → (𝑍 · 0 ) = 𝑍))
11	2, 10	mpd 13	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍 · 0 ) = 𝑍)
12		srgisid.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
13		srgz.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
14	4, 13, 5	srgrz 14271	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑍 · 0 ) = 0 )
15	3, 12, 14	syl2anc 415	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍 · 0 ) = 0 )
16	11, 15	eqtr3d 2273	1 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079  Basecbs 13335  ._rcmulr 13415  0_gc0g 13593  SRingcsrg 14250

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1re 8267  ax-addrcl 8270

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341  df-plusg 13427  df-mulr 13428  df-0g 13595  df-mgm 13659  df-sgrp 13700  df-mnd 13713  df-cmn 14072  df-srg 14251

This theorem is referenced by: (None)