Theorem srgisid 13485

Description: In a semiring, the only left-absorbing element is the additive identity. Remark in [Golan] p. 1. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-May-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
srgz.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
srgz.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
srgz.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
srgisid.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
srgisid.2	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
srgisid.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑍 · 𝑥) = 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
srgisid	⊢ (𝜑 → 𝑍 = 0 )

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥, ·   𝑥, 0   𝑥,𝑍   𝜑,𝑥

Proof of Theorem srgisid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srgisid.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑍 · 𝑥) = 𝑍)
2	1	ralrimiva 2567	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑍 · 𝑥) = 𝑍)
3		srgisid.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
4		srgz.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		srgz.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
6	4, 5	srg0cl 13476	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 0 ∈ 𝐵)
7		oveq2 5927	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑍 · 𝑥) = (𝑍 · 0 ))
8	7	eqeq1d 2202	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑍 · 𝑥) = 𝑍 ↔ (𝑍 · 0 ) = 𝑍))
9	8	rspcv 2861	. . . 4 ⊢ ( 0 ∈ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑍 · 𝑥) = 𝑍 → (𝑍 · 0 ) = 𝑍))
10	3, 6, 9	3syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑍 · 𝑥) = 𝑍 → (𝑍 · 0 ) = 𝑍))
11	2, 10	mpd 13	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍 · 0 ) = 𝑍)
12		srgisid.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
13		srgz.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
14	4, 13, 5	srgrz 13483	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑍 · 0 ) = 0 )
15	3, 12, 14	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍 · 0 ) = 0 )
16	11, 15	eqtr3d 2228	1 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472  ‘cfv 5255  (class class class)co 5919  Basecbs 12621  ._rcmulr 12699  0_gc0g 12870  SRingcsrg 13462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1re 7968  ax-addrcl 7971

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-plusg 12711  df-mulr 12712  df-0g 12872  df-mgm 12942  df-sgrp 12988  df-mnd 13001  df-cmn 13359  df-srg 13463

This theorem is referenced by: (None)