Theorem srgrz 13821

Description: The zero of a semiring is a right-absorbing element. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
srgz.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
srgz.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
srgz.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
srgrz	⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 0 ) = 0 )

Proof of Theorem srgrz

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srgz.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2206	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
3		eqid 2206	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4		srgz.t	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑅)
5		srgz.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
6	1, 2, 3, 4, 5	issrg 13802	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ SRing ↔ (𝑅 ∈ CMnd ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 · (𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦)(+g‘𝑅)(𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦 · 𝑧))) ∧ (( 0 · 𝑥) = 0 ∧ (𝑥 · 0 ) = 0 ))))
7	6	simp3bi 1017	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → ∀𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 · (𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦)(+g‘𝑅)(𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦 · 𝑧))) ∧ (( 0 · 𝑥) = 0 ∧ (𝑥 · 0 ) = 0 )))
8	7	r19.21bi 2595	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 · (𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦)(+g‘𝑅)(𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦 · 𝑧))) ∧ (( 0 · 𝑥) = 0 ∧ (𝑥 · 0 ) = 0 )))
9	8	simprrd 532	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 · 0 ) = 0 )
10	9	ralrimiva 2580	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 · 0 ) = 0 )
11		oveq1 5964	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 · 0 ) = (𝑋 · 0 ))
12	11	eqeq1d 2215	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥 · 0 ) = 0 ↔ (𝑋 · 0 ) = 0 ))
13	12	rspcv 2877	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 · 0 ) = 0 → (𝑋 · 0 ) = 0 ))
14	10, 13	mpan9 281	1 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 0 ) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ∀wral 2485  ‘cfv 5280  (class class class)co 5957  Basecbs 12907  +_gcplusg 12984  ._rcmulr 12985  0_gc0g 13163  Mndcmnd 13323  CMndccmn 13695  mulGrpcmgp 13757  SRingcsrg 13800

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1re 8039  ax-addrcl 8042

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-inn 9057  df-2 9115  df-3 9116  df-ndx 12910  df-slot 12911  df-base 12913  df-plusg 12997  df-mulr 12998  df-0g 13165  df-srg 13801

This theorem is referenced by:  srgisid  13823  srglmhm  13830