Theorem srglz 13914

Description: The zero of a semiring is a left-absorbing element. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
srgz.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
srgz.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
srgz.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
srglz	⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 · 𝑋) = 0 )

Proof of Theorem srglz

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srgz.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2209	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
3		eqid 2209	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4		srgz.t	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑅)
5		srgz.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
6	1, 2, 3, 4, 5	issrg 13894	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ SRing ↔ (𝑅 ∈ CMnd ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 · (𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦)(+g‘𝑅)(𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦 · 𝑧))) ∧ (( 0 · 𝑥) = 0 ∧ (𝑥 · 0 ) = 0 ))))
7	6	simp3bi 1019	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → ∀𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 · (𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦)(+g‘𝑅)(𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦 · 𝑧))) ∧ (( 0 · 𝑥) = 0 ∧ (𝑥 · 0 ) = 0 )))
8	7	r19.21bi 2598	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 · (𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦)(+g‘𝑅)(𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦 · 𝑧))) ∧ (( 0 · 𝑥) = 0 ∧ (𝑥 · 0 ) = 0 )))
9	8	simprld 530	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 0 · 𝑥) = 0 )
10	9	ralrimiva 2583	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ( 0 · 𝑥) = 0 )
11		oveq2 5982	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ( 0 · 𝑥) = ( 0 · 𝑋))
12	11	eqeq1d 2218	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (( 0 · 𝑥) = 0 ↔ ( 0 · 𝑋) = 0 ))
13	12	rspcv 2883	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ( 0 · 𝑥) = 0 → ( 0 · 𝑋) = 0 ))
14	10, 13	mpan9 281	1 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 · 𝑋) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1375   ∈ wcel 2180  ∀wral 2488  ‘cfv 5294  (class class class)co 5974  Basecbs 12998  +_gcplusg 13076  ._rcmulr 13077  0_gc0g 13255  Mndcmnd 13415  CMndccmn 13787  mulGrpcmgp 13849  SRingcsrg 13892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1re 8061  ax-addrcl 8064

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 985  df-tru 1378  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ral 2493  df-rex 2494  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-id 4361  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-inn 9079  df-2 9137  df-3 9138  df-ndx 13001  df-slot 13002  df-base 13004  df-plusg 13089  df-mulr 13090  df-0g 13257  df-srg 13893

This theorem is referenced by:  srgmulgass  13918  srgrmhm  13923