ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  submmulgcl GIF version

Theorem submmulgcl 13077
Description: Closure of the group multiple (exponentiation) operation in a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
submmulgcl.t βˆ™ = (.gβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
submmulgcl ((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ (𝑁 βˆ™ 𝑋) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem submmulgcl
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2189 . 2 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
2 submmulgcl.t . 2 βˆ™ = (.gβ€˜πΊ)
3 eqid 2189 . 2 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
4 submrcl 12895 . 2 (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
51submss 12900 . 2 (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
63submcl 12903 . 2 ((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝑆)
7 eqid 2189 . 2 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
87subm0cl 12902 . 2 (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝑆)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8mulgnn0subcl 13047 1 ((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ (𝑁 βˆ™ 𝑋) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  β€˜cfv 5231  (class class class)co 5891  β„•0cn0 9195  Basecbs 12486  +gcplusg 12561  0gc0g 12733  Mndcmnd 12849  SubMndcsubmnd 12882  .gcmg 13033
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7921  ax-resscn 7922  ax-1cn 7923  ax-1re 7924  ax-icn 7925  ax-addcl 7926  ax-addrcl 7927  ax-mulcl 7928  ax-addcom 7930  ax-addass 7932  ax-distr 7934  ax-i2m1 7935  ax-0lt1 7936  ax-0id 7938  ax-rnegex 7939  ax-cnre 7941  ax-pre-ltirr 7942  ax-pre-ltwlin 7943  ax-pre-lttrn 7944  ax-pre-ltadd 7946
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-recs 6324  df-frec 6410  df-pnf 8013  df-mnf 8014  df-xr 8015  df-ltxr 8016  df-le 8017  df-sub 8149  df-neg 8150  df-inn 8939  df-2 8997  df-n0 9196  df-z 9273  df-uz 9548  df-seqfrec 10465  df-ndx 12489  df-slot 12490  df-base 12492  df-plusg 12574  df-0g 12735  df-submnd 12884  df-minusg 12921  df-mulg 13034
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator