ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzsuc2 GIF version

Theorem fzsuc2 10079
Description: Join a successor to the end of a finite set of sequential integers. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
fzsuc2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1))) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))

Proof of Theorem fzsuc2
StepHypRef Expression
1 uzp1 9561 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) → (𝑁 = (𝑀 − 1) ∨ 𝑁 ∈ (ℤ‘((𝑀 − 1) + 1))))
2 zcn 9258 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
3 ax-1cn 7904 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
4 npcan 8166 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
52, 3, 4sylancl 413 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
65oveq2d 5891 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...((𝑀 − 1) + 1)) = (𝑀...𝑀))
7 uncom 3280 . . . . . . . 8 (∅ ∪ {𝑀}) = ({𝑀} ∪ ∅)
8 un0 3457 . . . . . . . 8 ({𝑀} ∪ ∅) = {𝑀}
97, 8eqtri 2198 . . . . . . 7 (∅ ∪ {𝑀}) = {𝑀}
10 zre 9257 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
1110ltm1d 8889 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) < 𝑀)
12 peano2zm 9291 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
13 fzn 10042 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 1) ∈ ℤ) → ((𝑀 − 1) < 𝑀 ↔ (𝑀...(𝑀 − 1)) = ∅))
1412, 13mpdan 421 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 − 1) < 𝑀 ↔ (𝑀...(𝑀 − 1)) = ∅))
1511, 14mpbid 147 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...(𝑀 − 1)) = ∅)
165sneqd 3606 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → {((𝑀 − 1) + 1)} = {𝑀})
1715, 16uneq12d 3291 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀...(𝑀 − 1)) ∪ {((𝑀 − 1) + 1)}) = (∅ ∪ {𝑀}))
18 fzsn 10066 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
199, 17, 183eqtr4a 2236 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀...(𝑀 − 1)) ∪ {((𝑀 − 1) + 1)}) = (𝑀...𝑀))
206, 19eqtr4d 2213 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...((𝑀 − 1) + 1)) = ((𝑀...(𝑀 − 1)) ∪ {((𝑀 − 1) + 1)}))
21 oveq1 5882 . . . . . . 7 (𝑁 = (𝑀 − 1) → (𝑁 + 1) = ((𝑀 − 1) + 1))
2221oveq2d 5891 . . . . . 6 (𝑁 = (𝑀 − 1) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = (𝑀...((𝑀 − 1) + 1)))
23 oveq2 5883 . . . . . . 7 (𝑁 = (𝑀 − 1) → (𝑀...𝑁) = (𝑀...(𝑀 − 1)))
2421sneqd 3606 . . . . . . 7 (𝑁 = (𝑀 − 1) → {(𝑁 + 1)} = {((𝑀 − 1) + 1)})
2523, 24uneq12d 3291 . . . . . 6 (𝑁 = (𝑀 − 1) → ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}) = ((𝑀...(𝑀 − 1)) ∪ {((𝑀 − 1) + 1)}))
2622, 25eqeq12d 2192 . . . . 5 (𝑁 = (𝑀 − 1) → ((𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}) ↔ (𝑀...((𝑀 − 1) + 1)) = ((𝑀...(𝑀 − 1)) ∪ {((𝑀 − 1) + 1)})))
2720, 26syl5ibrcom 157 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 = (𝑀 − 1) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)})))
2827imp 124 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
295fveq2d 5520 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ‘((𝑀 − 1) + 1)) = (ℤ𝑀))
3029eleq2d 2247 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ‘((𝑀 − 1) + 1)) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ𝑀)))
3130biimpa 296 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘((𝑀 − 1) + 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
32 fzsuc 10069 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
3331, 32syl 14 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘((𝑀 − 1) + 1))) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
3428, 33jaodan 797 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 = (𝑀 − 1) ∨ 𝑁 ∈ (ℤ‘((𝑀 − 1) + 1)))) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
351, 34sylan2 286 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1))) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  wo 708   = wceq 1353  wcel 2148  cun 3128  c0 3423  {csn 3593   class class class wbr 4004  cfv 5217  (class class class)co 5875  cc 7809  1c1 7812   + caddc 7814   < clt 7992  cmin 8128  cz 9253  cuz 9528  ...cfz 10008
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-addcom 7911  ax-addass 7913  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-inn 8920  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-fz 10009
This theorem is referenced by:  fseq1p1m1  10094  frecfzennn  10426  zfz1isolemsplit  10818  fsumm1  11424  fprodm1  11606
  Copyright terms: Public domain W3C validator