Theorem fzsuc2 10035

Description: Join a successor to the end of a finite set of sequential integers. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fzsuc2	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1))) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))

Proof of Theorem fzsuc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzp1 9520	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) → (𝑁 = (𝑀 − 1) ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝑀 − 1) + 1))))
2		zcn 9217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
3		ax-1cn 7867	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
4		npcan 8128	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
5	2, 3, 4	sylancl 411	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
6	5	oveq2d 5869	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...((𝑀 − 1) + 1)) = (𝑀...𝑀))
7		uncom 3271	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ∪ {𝑀}) = ({𝑀} ∪ ∅)
8		un0 3448	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑀} ∪ ∅) = {𝑀}
9	7, 8	eqtri 2191	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ∪ {𝑀}) = {𝑀}
10		zre 9216	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
11	10	ltm1d 8848	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) < 𝑀)
12		peano2zm 9250	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
13		fzn 9998	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 1) ∈ ℤ) → ((𝑀 − 1) < 𝑀 ↔ (𝑀...(𝑀 − 1)) = ∅))
14	12, 13	mpdan 419	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 − 1) < 𝑀 ↔ (𝑀...(𝑀 − 1)) = ∅))
15	11, 14	mpbid 146	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...(𝑀 − 1)) = ∅)
16	5	sneqd 3596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → {((𝑀 − 1) + 1)} = {𝑀})
17	15, 16	uneq12d 3282	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀...(𝑀 − 1)) ∪ {((𝑀 − 1) + 1)}) = (∅ ∪ {𝑀}))
18		fzsn 10022	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
19	9, 17, 18	3eqtr4a 2229	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀...(𝑀 − 1)) ∪ {((𝑀 − 1) + 1)}) = (𝑀...𝑀))
20	6, 19	eqtr4d 2206	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...((𝑀 − 1) + 1)) = ((𝑀...(𝑀 − 1)) ∪ {((𝑀 − 1) + 1)}))
21		oveq1 5860	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = (𝑀 − 1) → (𝑁 + 1) = ((𝑀 − 1) + 1))
22	21	oveq2d 5869	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = (𝑀 − 1) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = (𝑀...((𝑀 − 1) + 1)))
23		oveq2 5861	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = (𝑀 − 1) → (𝑀...𝑁) = (𝑀...(𝑀 − 1)))
24	21	sneqd 3596	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = (𝑀 − 1) → {(𝑁 + 1)} = {((𝑀 − 1) + 1)})
25	23, 24	uneq12d 3282	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = (𝑀 − 1) → ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}) = ((𝑀...(𝑀 − 1)) ∪ {((𝑀 − 1) + 1)}))
26	22, 25	eqeq12d 2185	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = (𝑀 − 1) → ((𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}) ↔ (𝑀...((𝑀 − 1) + 1)) = ((𝑀...(𝑀 − 1)) ∪ {((𝑀 − 1) + 1)})))
27	20, 26	syl5ibrcom 156	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 = (𝑀 − 1) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)})))
28	27	imp 123	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
29	5	fveq2d 5500	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘((𝑀 − 1) + 1)) = (ℤ≥‘𝑀))
30	29	eleq2d 2240	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝑀 − 1) + 1)) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
31	30	biimpa 294	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝑀 − 1) + 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
32		fzsuc 10025	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
33	31, 32	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝑀 − 1) + 1))) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
34	28, 33	jaodan 792	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 = (𝑀 − 1) ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝑀 − 1) + 1)))) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
35	1, 34	sylan2 284	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1))) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 703   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   ∪ cun 3119  ∅c0 3414  {csn 3583   class class class wbr 3989  ‘cfv 5198  (class class class)co 5853  ℂcc 7772  1c1 7775   + caddc 7777   < clt 7954   − cmin 8090  ℤcz 9212  ℤ_≥cuz 9487  ...cfz 9965

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-fz 9966

This theorem is referenced by:  fseq1p1m1  10050  frecfzennn  10382  zfz1isolemsplit  10773  fsumm1  11379  fprodm1  11561