Theorem fzsuc2 10081

Description: Join a successor to the end of a finite set of sequential integers. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fzsuc2	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1))) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))

Proof of Theorem fzsuc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzp1 9563	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) → (𝑁 = (𝑀 − 1) ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝑀 − 1) + 1))))
2		zcn 9260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
3		ax-1cn 7906	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
4		npcan 8168	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
5	2, 3, 4	sylancl 413	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
6	5	oveq2d 5893	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...((𝑀 − 1) + 1)) = (𝑀...𝑀))
7		uncom 3281	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ∪ {𝑀}) = ({𝑀} ∪ ∅)
8		un0 3458	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑀} ∪ ∅) = {𝑀}
9	7, 8	eqtri 2198	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ∪ {𝑀}) = {𝑀}
10		zre 9259	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
11	10	ltm1d 8891	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) < 𝑀)
12		peano2zm 9293	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
13		fzn 10044	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 1) ∈ ℤ) → ((𝑀 − 1) < 𝑀 ↔ (𝑀...(𝑀 − 1)) = ∅))
14	12, 13	mpdan 421	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 − 1) < 𝑀 ↔ (𝑀...(𝑀 − 1)) = ∅))
15	11, 14	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...(𝑀 − 1)) = ∅)
16	5	sneqd 3607	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → {((𝑀 − 1) + 1)} = {𝑀})
17	15, 16	uneq12d 3292	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀...(𝑀 − 1)) ∪ {((𝑀 − 1) + 1)}) = (∅ ∪ {𝑀}))
18		fzsn 10068	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
19	9, 17, 18	3eqtr4a 2236	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀...(𝑀 − 1)) ∪ {((𝑀 − 1) + 1)}) = (𝑀...𝑀))
20	6, 19	eqtr4d 2213	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...((𝑀 − 1) + 1)) = ((𝑀...(𝑀 − 1)) ∪ {((𝑀 − 1) + 1)}))
21		oveq1 5884	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = (𝑀 − 1) → (𝑁 + 1) = ((𝑀 − 1) + 1))
22	21	oveq2d 5893	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = (𝑀 − 1) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = (𝑀...((𝑀 − 1) + 1)))
23		oveq2 5885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = (𝑀 − 1) → (𝑀...𝑁) = (𝑀...(𝑀 − 1)))
24	21	sneqd 3607	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = (𝑀 − 1) → {(𝑁 + 1)} = {((𝑀 − 1) + 1)})
25	23, 24	uneq12d 3292	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = (𝑀 − 1) → ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}) = ((𝑀...(𝑀 − 1)) ∪ {((𝑀 − 1) + 1)}))
26	22, 25	eqeq12d 2192	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = (𝑀 − 1) → ((𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}) ↔ (𝑀...((𝑀 − 1) + 1)) = ((𝑀...(𝑀 − 1)) ∪ {((𝑀 − 1) + 1)})))
27	20, 26	syl5ibrcom 157	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 = (𝑀 − 1) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)})))
28	27	imp 124	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
29	5	fveq2d 5521	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘((𝑀 − 1) + 1)) = (ℤ≥‘𝑀))
30	29	eleq2d 2247	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝑀 − 1) + 1)) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
31	30	biimpa 296	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝑀 − 1) + 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
32		fzsuc 10071	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
33	31, 32	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝑀 − 1) + 1))) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
34	28, 33	jaodan 797	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 = (𝑀 − 1) ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝑀 − 1) + 1)))) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
35	1, 34	sylan2 286	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1))) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 708   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ∪ cun 3129  ∅c0 3424  {csn 3594   class class class wbr 4005  ‘cfv 5218  (class class class)co 5877  ℂcc 7811  1c1 7814   + caddc 7816   < clt 7994   − cmin 8130  ℤcz 9255  ℤ_≥cuz 9530  ...cfz 10010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-fz 10011

This theorem is referenced by:  fseq1p1m1  10096  frecfzennn  10428  zfz1isolemsplit  10820  fsumm1  11426  fprodm1  11608