MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opnneiid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opnneiid 21259
Description: Only an open set is a neighborhood of itself. (Contributed by FL, 2-Oct-2006.)
Assertion
Ref Expression
opnneiid (𝐽 ∈ Top → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑁) ↔ 𝑁𝐽))

Proof of Theorem opnneiid
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neii2 21241 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑁)) → ∃𝑥𝐽 (𝑁𝑥𝑥𝑁))
2 eqss 3813 . . . . . 6 (𝑁 = 𝑥 ↔ (𝑁𝑥𝑥𝑁))
3 eleq1a 2873 . . . . . 6 (𝑥𝐽 → (𝑁 = 𝑥𝑁𝐽))
42, 3syl5bir 235 . . . . 5 (𝑥𝐽 → ((𝑁𝑥𝑥𝑁) → 𝑁𝐽))
54rexlimiv 3208 . . . 4 (∃𝑥𝐽 (𝑁𝑥𝑥𝑁) → 𝑁𝐽)
61, 5syl 17 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑁)) → 𝑁𝐽)
76ex 402 . 2 (𝐽 ∈ Top → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑁) → 𝑁𝐽))
8 ssid 3819 . . 3 𝑁𝑁
9 opnneiss 21251 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁𝐽𝑁𝑁) → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑁))
1093exp 1149 . . 3 (𝐽 ∈ Top → (𝑁𝐽 → (𝑁𝑁𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑁))))
118, 10mpii 46 . 2 (𝐽 ∈ Top → (𝑁𝐽𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑁)))
127, 11impbid 204 1 (𝐽 ∈ Top → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑁) ↔ 𝑁𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  wrex 3090  wss 3769  cfv 6101  Topctop 21026  neicnei 21230
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-top 21027  df-nei 21231
This theorem is referenced by:  0nei  21261
  Copyright terms: Public domain W3C validator