Theorem opnneiid 23283

Description: Only an open set is a neighborhood of itself. (Contributed by FL, 2-Oct-2006.)

Assertion

Ref	Expression
opnneiid	⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑁) ↔ 𝑁 ∈ 𝐽))

Proof of Theorem opnneiid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neii2 23265	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑁)) → ∃𝑥 ∈ 𝐽 (𝑁 ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑁))
2		eqss 3952	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 𝑥 ↔ (𝑁 ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑁))
3		eleq1a 2858	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐽 → (𝑁 = 𝑥 → 𝑁 ∈ 𝐽))
4	2, 3	biimtrrid 246	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐽 → ((𝑁 ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑁) → 𝑁 ∈ 𝐽))
5	4	rexlimiv 3159	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐽 (𝑁 ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑁) → 𝑁 ∈ 𝐽)
6	1, 5	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑁)) → 𝑁 ∈ 𝐽)
7	6	ex 417	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑁) → 𝑁 ∈ 𝐽))
8		ssid 3959	. . 3 ⊢ 𝑁 ⊆ 𝑁
9		opnneiss 23275	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ 𝐽 ∧ 𝑁 ⊆ 𝑁) → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑁))
10	9	3exp 1137	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑁 ∈ 𝐽 → (𝑁 ⊆ 𝑁 → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑁))))
11	8, 10	mpii 47	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑁 ∈ 𝐽 → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑁)))
12	7, 11	impbid 215	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑁) ↔ 𝑁 ∈ 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∃wrex 3089   ⊆ wss 3905  ‘cfv 6536  Topctop 23050  neicnei 23254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-top 23051  df-nei 23255

This theorem is referenced by:  0nei  23285