MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opnneiid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opnneiid 23023
Description: Only an open set is a neighborhood of itself. (Contributed by FL, 2-Oct-2006.)
Assertion
Ref Expression
opnneiid (𝐽 ∈ Top → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑁) ↔ 𝑁𝐽))

Proof of Theorem opnneiid
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neii2 23005 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑁)) → ∃𝑥𝐽 (𝑁𝑥𝑥𝑁))
2 eqss 3993 . . . . . 6 (𝑁 = 𝑥 ↔ (𝑁𝑥𝑥𝑁))
3 eleq1a 2824 . . . . . 6 (𝑥𝐽 → (𝑁 = 𝑥𝑁𝐽))
42, 3biimtrrid 242 . . . . 5 (𝑥𝐽 → ((𝑁𝑥𝑥𝑁) → 𝑁𝐽))
54rexlimiv 3144 . . . 4 (∃𝑥𝐽 (𝑁𝑥𝑥𝑁) → 𝑁𝐽)
61, 5syl 17 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑁)) → 𝑁𝐽)
76ex 412 . 2 (𝐽 ∈ Top → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑁) → 𝑁𝐽))
8 ssid 4000 . . 3 𝑁𝑁
9 opnneiss 23015 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁𝐽𝑁𝑁) → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑁))
1093exp 1117 . . 3 (𝐽 ∈ Top → (𝑁𝐽 → (𝑁𝑁𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑁))))
118, 10mpii 46 . 2 (𝐽 ∈ Top → (𝑁𝐽𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑁)))
127, 11impbid 211 1 (𝐽 ∈ Top → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑁) ↔ 𝑁𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wrex 3066  wss 3945  cfv 6542  Topctop 22788  neicnei 22994
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-top 22789  df-nei 22995
This theorem is referenced by:  0nei  23025
  Copyright terms: Public domain W3C validator