MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opnneiid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opnneiid 22288
Description: Only an open set is a neighborhood of itself. (Contributed by FL, 2-Oct-2006.)
Assertion
Ref Expression
opnneiid (𝐽 ∈ Top → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑁) ↔ 𝑁𝐽))

Proof of Theorem opnneiid
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neii2 22270 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑁)) → ∃𝑥𝐽 (𝑁𝑥𝑥𝑁))
2 eqss 3941 . . . . . 6 (𝑁 = 𝑥 ↔ (𝑁𝑥𝑥𝑁))
3 eleq1a 2836 . . . . . 6 (𝑥𝐽 → (𝑁 = 𝑥𝑁𝐽))
42, 3syl5bir 242 . . . . 5 (𝑥𝐽 → ((𝑁𝑥𝑥𝑁) → 𝑁𝐽))
54rexlimiv 3211 . . . 4 (∃𝑥𝐽 (𝑁𝑥𝑥𝑁) → 𝑁𝐽)
61, 5syl 17 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑁)) → 𝑁𝐽)
76ex 413 . 2 (𝐽 ∈ Top → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑁) → 𝑁𝐽))
8 ssid 3948 . . 3 𝑁𝑁
9 opnneiss 22280 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁𝐽𝑁𝑁) → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑁))
1093exp 1118 . . 3 (𝐽 ∈ Top → (𝑁𝐽 → (𝑁𝑁𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑁))))
118, 10mpii 46 . 2 (𝐽 ∈ Top → (𝑁𝐽𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑁)))
127, 11impbid 211 1 (𝐽 ∈ Top → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑁) ↔ 𝑁𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1542  wcel 2110  wrex 3067  wss 3892  cfv 6432  Topctop 22053  neicnei 22259
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-id 5490  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-top 22054  df-nei 22260
This theorem is referenced by:  0nei  22290
  Copyright terms: Public domain W3C validator