MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  halfaddsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem halfaddsub 11869
Description: Sum and difference of half-sum and half-difference. (Contributed by Paul Chapman, 12-Oct-2007.)
Assertion
Ref Expression
halfaddsub ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴𝐵) / 2)) = 𝐴 ∧ (((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴𝐵) / 2)) = 𝐵))

Proof of Theorem halfaddsub
StepHypRef Expression
1 ppncan 10927 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴𝐵)) = (𝐴 + 𝐴))
213anidm13 1416 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴𝐵)) = (𝐴 + 𝐴))
3 2times 11772 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
43adantr 483 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
52, 4eqtr4d 2859 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴𝐵)) = (2 · 𝐴))
65oveq1d 7170 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) + (𝐴𝐵)) / 2) = ((2 · 𝐴) / 2))
7 addcl 10618 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
8 subcl 10884 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
9 2cnne0 11846 . . . . 5 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
10 divdir 11322 . . . . 5 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐵) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((𝐴 + 𝐵) + (𝐴𝐵)) / 2) = (((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴𝐵) / 2)))
119, 10mp3an3 1446 . . . 4 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐵) ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) + (𝐴𝐵)) / 2) = (((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴𝐵) / 2)))
127, 8, 11syl2anc 586 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) + (𝐴𝐵)) / 2) = (((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴𝐵) / 2)))
13 2cn 11711 . . . . 5 2 ∈ ℂ
14 2ne0 11740 . . . . 5 2 ≠ 0
15 divcan3 11323 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((2 · 𝐴) / 2) = 𝐴)
1613, 14, 15mp3an23 1449 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · 𝐴) / 2) = 𝐴)
1716adantr 483 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((2 · 𝐴) / 2) = 𝐴)
186, 12, 173eqtr3d 2864 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴𝐵) / 2)) = 𝐴)
19 pnncan 10926 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴𝐵)) = (𝐵 + 𝐵))
20193anidm23 1417 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴𝐵)) = (𝐵 + 𝐵))
21 2times 11772 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℂ → (2 · 𝐵) = (𝐵 + 𝐵))
2221adantl 484 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · 𝐵) = (𝐵 + 𝐵))
2320, 22eqtr4d 2859 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴𝐵)) = (2 · 𝐵))
2423oveq1d 7170 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) − (𝐴𝐵)) / 2) = ((2 · 𝐵) / 2))
25 divsubdir 11333 . . . . 5 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐵) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((𝐴 + 𝐵) − (𝐴𝐵)) / 2) = (((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴𝐵) / 2)))
269, 25mp3an3 1446 . . . 4 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐵) ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) − (𝐴𝐵)) / 2) = (((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴𝐵) / 2)))
277, 8, 26syl2anc 586 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) − (𝐴𝐵)) / 2) = (((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴𝐵) / 2)))
28 divcan3 11323 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((2 · 𝐵) / 2) = 𝐵)
2913, 14, 28mp3an23 1449 . . . 4 (𝐵 ∈ ℂ → ((2 · 𝐵) / 2) = 𝐵)
3029adantl 484 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((2 · 𝐵) / 2) = 𝐵)
3124, 27, 303eqtr3d 2864 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴𝐵) / 2)) = 𝐵)
3218, 31jca 514 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴𝐵) / 2)) = 𝐴 ∧ (((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴𝐵) / 2)) = 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1533  wcel 2110  wne 3016  (class class class)co 7155  cc 10534  0cc0 10536   + caddc 10539   · cmul 10541  cmin 10869   / cdiv 11296  2c2 11691
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4838  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-id 5459  df-po 5473  df-so 5474  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-2 11699
This theorem is referenced by:  addsin  15522  subsin  15523  addcos  15526  subcos  15527  ioo2bl  23400  dcubic  25423  fourierdlem79  42469
  Copyright terms: Public domain W3C validator