Theorem halfaddsub 12206

Description: Sum and difference of half-sum and half-difference. (Contributed by Paul Chapman, 12-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
halfaddsub	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴 − 𝐵) / 2)) = 𝐴 ∧ (((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴 − 𝐵) / 2)) = 𝐵))

Proof of Theorem halfaddsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ppncan 11263	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)) = (𝐴 + 𝐴))
2	1	3anidm13 1419	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)) = (𝐴 + 𝐴))
3		2times 12109	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
4	3	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
5	2, 4	eqtr4d 2781	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)) = (2 · 𝐴))
6	5	oveq1d 7290	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)) / 2) = ((2 · 𝐴) / 2))
7		addcl 10953	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
8		subcl 11220	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
9		2cnne0 12183	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
10		divdir 11658	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)) / 2) = (((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴 − 𝐵) / 2)))
11	9, 10	mp3an3 1449	. . . 4 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)) / 2) = (((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴 − 𝐵) / 2)))
12	7, 8, 11	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)) / 2) = (((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴 − 𝐵) / 2)))
13		2cn 12048	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
14		2ne0 12077	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
15		divcan3 11659	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((2 · 𝐴) / 2) = 𝐴)
16	13, 14, 15	mp3an23 1452	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · 𝐴) / 2) = 𝐴)
17	16	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((2 · 𝐴) / 2) = 𝐴)
18	6, 12, 17	3eqtr3d 2786	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴 − 𝐵) / 2)) = 𝐴)
19		pnncan 11262	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐵)) = (𝐵 + 𝐵))
20	19	3anidm23 1420	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐵)) = (𝐵 + 𝐵))
21		2times 12109	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (2 · 𝐵) = (𝐵 + 𝐵))
22	21	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · 𝐵) = (𝐵 + 𝐵))
23	20, 22	eqtr4d 2781	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐵)) = (2 · 𝐵))
24	23	oveq1d 7290	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐵)) / 2) = ((2 · 𝐵) / 2))
25		divsubdir 11669	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐵)) / 2) = (((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴 − 𝐵) / 2)))
26	9, 25	mp3an3 1449	. . . 4 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐵)) / 2) = (((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴 − 𝐵) / 2)))
27	7, 8, 26	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐵)) / 2) = (((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴 − 𝐵) / 2)))
28		divcan3 11659	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((2 · 𝐵) / 2) = 𝐵)
29	13, 14, 28	mp3an23 1452	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ((2 · 𝐵) / 2) = 𝐵)
30	29	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((2 · 𝐵) / 2) = 𝐵)
31	24, 27, 30	3eqtr3d 2786	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴 − 𝐵) / 2)) = 𝐵)
32	18, 31	jca 512	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴 − 𝐵) / 2)) = 𝐴 ∧ (((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴 − 𝐵) / 2)) = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  0cc0 10871   + caddc 10874   · cmul 10876   − cmin 11205   / cdiv 11632  2c2 12028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-2 12036

This theorem is referenced by:  addsin  15879  subsin  15880  addcos  15883  subcos  15884  ioo2bl  23956  dcubic  25996  fourierdlem79  43726