MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  halfaddsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem halfaddsub 12320
Description: Sum and difference of half-sum and half-difference. (Contributed by Paul Chapman, 12-Oct-2007.)
Assertion
Ref Expression
halfaddsub ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐ด + ๐ต) / 2) + ((๐ด โˆ’ ๐ต) / 2)) = ๐ด โˆง (((๐ด + ๐ต) / 2) โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) / 2)) = ๐ต))

Proof of Theorem halfaddsub
StepHypRef Expression
1 ppncan 11377 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต) + (๐ด โˆ’ ๐ต)) = (๐ด + ๐ด))
213anidm13 1421 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต) + (๐ด โˆ’ ๐ต)) = (๐ด + ๐ด))
3 2times 12223 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (2 ยท ๐ด) = (๐ด + ๐ด))
43adantr 482 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท ๐ด) = (๐ด + ๐ด))
52, 4eqtr4d 2781 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต) + (๐ด โˆ’ ๐ต)) = (2 ยท ๐ด))
65oveq1d 7365 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ด + ๐ต) + (๐ด โˆ’ ๐ต)) / 2) = ((2 ยท ๐ด) / 2))
7 addcl 11067 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚)
8 subcl 11334 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚)
9 2cnne0 12297 . . . . 5 (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0)
10 divdir 11772 . . . . 5 (((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0)) โ†’ (((๐ด + ๐ต) + (๐ด โˆ’ ๐ต)) / 2) = (((๐ด + ๐ต) / 2) + ((๐ด โˆ’ ๐ต) / 2)))
119, 10mp3an3 1451 . . . 4 (((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ด + ๐ต) + (๐ด โˆ’ ๐ต)) / 2) = (((๐ด + ๐ต) / 2) + ((๐ด โˆ’ ๐ต) / 2)))
127, 8, 11syl2anc 585 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ด + ๐ต) + (๐ด โˆ’ ๐ต)) / 2) = (((๐ด + ๐ต) / 2) + ((๐ด โˆ’ ๐ต) / 2)))
13 2cn 12162 . . . . 5 2 โˆˆ โ„‚
14 2ne0 12191 . . . . 5 2 โ‰  0
15 divcan3 11773 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0) โ†’ ((2 ยท ๐ด) / 2) = ๐ด)
1613, 14, 15mp3an23 1454 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((2 ยท ๐ด) / 2) = ๐ด)
1716adantr 482 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((2 ยท ๐ด) / 2) = ๐ด)
186, 12, 173eqtr3d 2786 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ด + ๐ต) / 2) + ((๐ด โˆ’ ๐ต) / 2)) = ๐ด)
19 pnncan 11376 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต) โˆ’ (๐ด โˆ’ ๐ต)) = (๐ต + ๐ต))
20193anidm23 1422 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต) โˆ’ (๐ด โˆ’ ๐ต)) = (๐ต + ๐ต))
21 2times 12223 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (2 ยท ๐ต) = (๐ต + ๐ต))
2221adantl 483 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท ๐ต) = (๐ต + ๐ต))
2320, 22eqtr4d 2781 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต) โˆ’ (๐ด โˆ’ ๐ต)) = (2 ยท ๐ต))
2423oveq1d 7365 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ด + ๐ต) โˆ’ (๐ด โˆ’ ๐ต)) / 2) = ((2 ยท ๐ต) / 2))
25 divsubdir 11783 . . . . 5 (((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0)) โ†’ (((๐ด + ๐ต) โˆ’ (๐ด โˆ’ ๐ต)) / 2) = (((๐ด + ๐ต) / 2) โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) / 2)))
269, 25mp3an3 1451 . . . 4 (((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ด + ๐ต) โˆ’ (๐ด โˆ’ ๐ต)) / 2) = (((๐ด + ๐ต) / 2) โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) / 2)))
277, 8, 26syl2anc 585 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ด + ๐ต) โˆ’ (๐ด โˆ’ ๐ต)) / 2) = (((๐ด + ๐ต) / 2) โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) / 2)))
28 divcan3 11773 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0) โ†’ ((2 ยท ๐ต) / 2) = ๐ต)
2913, 14, 28mp3an23 1454 . . . 4 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ ((2 ยท ๐ต) / 2) = ๐ต)
3029adantl 483 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((2 ยท ๐ต) / 2) = ๐ต)
3124, 27, 303eqtr3d 2786 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ด + ๐ต) / 2) โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) / 2)) = ๐ต)
3218, 31jca 513 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐ด + ๐ต) / 2) + ((๐ด โˆ’ ๐ต) / 2)) = ๐ด โˆง (((๐ด + ๐ต) / 2) โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) / 2)) = ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2942  (class class class)co 7350  โ„‚cc 10983  0cc0 10985   + caddc 10988   ยท cmul 10990   โˆ’ cmin 11319   / cdiv 11746  2c2 12142
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-id 5529  df-po 5543  df-so 5544  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-er 8582  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-div 11747  df-2 12150
This theorem is referenced by:  addsin  15987  subsin  15988  addcos  15991  subcos  15992  ioo2bl  24079  dcubic  26119  fourierdlem79  44181
  Copyright terms: Public domain W3C validator