Theorem halfaddsub 11591

Description: Sum and difference of half-sum and half-difference. (Contributed by Paul Chapman, 12-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
halfaddsub	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴 − 𝐵) / 2)) = 𝐴 ∧ (((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴 − 𝐵) / 2)) = 𝐵))

Proof of Theorem halfaddsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ppncan 10644	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)) = (𝐴 + 𝐴))
2	1	3anidm13 1549	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)) = (𝐴 + 𝐴))
3		2times 11494	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
4	3	adantr 474	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
5	2, 4	eqtr4d 2864	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)) = (2 · 𝐴))
6	5	oveq1d 6920	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)) / 2) = ((2 · 𝐴) / 2))
7		addcl 10334	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
8		subcl 10600	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
9		2cnne0 11568	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
10		divdir 11035	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)) / 2) = (((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴 − 𝐵) / 2)))
11	9, 10	mp3an3 1580	. . . 4 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)) / 2) = (((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴 − 𝐵) / 2)))
12	7, 8, 11	syl2anc 581	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)) / 2) = (((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴 − 𝐵) / 2)))
13		2cn 11426	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
14		2ne0 11462	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
15		divcan3 11036	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((2 · 𝐴) / 2) = 𝐴)
16	13, 14, 15	mp3an23 1583	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · 𝐴) / 2) = 𝐴)
17	16	adantr 474	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((2 · 𝐴) / 2) = 𝐴)
18	6, 12, 17	3eqtr3d 2869	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴 − 𝐵) / 2)) = 𝐴)
19		pnncan 10643	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐵)) = (𝐵 + 𝐵))
20	19	3anidm23 1550	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐵)) = (𝐵 + 𝐵))
21		2times 11494	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (2 · 𝐵) = (𝐵 + 𝐵))
22	21	adantl 475	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · 𝐵) = (𝐵 + 𝐵))
23	20, 22	eqtr4d 2864	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐵)) = (2 · 𝐵))
24	23	oveq1d 6920	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐵)) / 2) = ((2 · 𝐵) / 2))
25		divsubdir 11046	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐵)) / 2) = (((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴 − 𝐵) / 2)))
26	9, 25	mp3an3 1580	. . . 4 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐵)) / 2) = (((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴 − 𝐵) / 2)))
27	7, 8, 26	syl2anc 581	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐵)) / 2) = (((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴 − 𝐵) / 2)))
28		divcan3 11036	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((2 · 𝐵) / 2) = 𝐵)
29	13, 14, 28	mp3an23 1583	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ((2 · 𝐵) / 2) = 𝐵)
30	29	adantl 475	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((2 · 𝐵) / 2) = 𝐵)
31	24, 27, 30	3eqtr3d 2869	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴 − 𝐵) / 2)) = 𝐵)
32	18, 31	jca 509	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴 − 𝐵) / 2)) = 𝐴 ∧ (((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴 − 𝐵) / 2)) = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   ≠ wne 2999  (class class class)co 6905  ℂcc 10250  0cc0 10252   + caddc 10255   · cmul 10257   − cmin 10585   / cdiv 11009  2c2 11406

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4659  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-id 5250  df-po 5263  df-so 5264  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-2 11414

This theorem is referenced by:  addsin  15272  subsin  15273  addcos  15276  subcos  15277  ioo2bl  22966  dcubic  24986  fourierdlem79  41196