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Theorem pythagtriplem14 16700
Description: Lemma for pythagtrip 16706. Calculate the square of 𝑁. (Contributed by Scott Fenton, 17-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
pythagtriplem13.1 𝑁 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2)
Assertion
Ref Expression
pythagtriplem14 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (𝑁↑2) = ((𝐶𝐴) / 2))

Proof of Theorem pythagtriplem14
StepHypRef Expression
1 pythagtriplem13.1 . . 3 𝑁 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2)
21oveq1i 7367 . 2 (𝑁↑2) = ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2)↑2)
3 nncn 12161 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ ℕ → 𝐶 ∈ ℂ)
4 nncn 12161 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
5 addcl 11133 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℂ)
63, 4, 5syl2anr 597 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℂ)
76sqrtcld 15322 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (√‘(𝐶 + 𝐵)) ∈ ℂ)
8 subcl 11400 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐶𝐵) ∈ ℂ)
93, 4, 8syl2anr 597 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶𝐵) ∈ ℂ)
109sqrtcld 15322 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (√‘(𝐶𝐵)) ∈ ℂ)
117, 10subcld 11512 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) ∈ ℂ)
12113adant1 1130 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) ∈ ℂ)
13123ad2ant1 1133 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → ((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) ∈ ℂ)
14 2cn 12228 . . . . 5 2 ∈ ℂ
15 2ne0 12257 . . . . 5 2 ≠ 0
16 sqdiv 14026 . . . . 5 ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2)↑2) = ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵)))↑2) / (2↑2)))
1714, 15, 16mp3an23 1453 . . . 4 (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) ∈ ℂ → ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2)↑2) = ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵)))↑2) / (2↑2)))
1813, 17syl 17 . . 3 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2)↑2) = ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵)))↑2) / (2↑2)))
1914sqvali 14084 . . . . 5 (2↑2) = (2 · 2)
2019oveq2i 7368 . . . 4 ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵)))↑2) / (2↑2)) = ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵)))↑2) / (2 · 2))
2113sqcld 14049 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
22 2cnne0 12363 . . . . . . 7 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
23 divdiv1 11866 . . . . . . 7 (((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵)))↑2) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵)))↑2) / 2) / 2) = ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵)))↑2) / (2 · 2)))
2422, 22, 23mp3an23 1453 . . . . . 6 ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵)))↑2) ∈ ℂ → (((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵)))↑2) / 2) / 2) = ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵)))↑2) / (2 · 2)))
2521, 24syl 17 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵)))↑2) / 2) / 2) = ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵)))↑2) / (2 · 2)))
26 simp12 1204 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℕ)
27 simp13 1205 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → 𝐶 ∈ ℕ)
2826, 27, 7syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (√‘(𝐶 + 𝐵)) ∈ ℂ)
2926, 27, 10syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (√‘(𝐶𝐵)) ∈ ℂ)
30 binom2sub 14123 . . . . . . . . . 10 (((√‘(𝐶 + 𝐵)) ∈ ℂ ∧ (√‘(𝐶𝐵)) ∈ ℂ) → (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵)))↑2) = ((((√‘(𝐶 + 𝐵))↑2) − (2 · ((√‘(𝐶 + 𝐵)) · (√‘(𝐶𝐵))))) + ((√‘(𝐶𝐵))↑2)))
3128, 29, 30syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵)))↑2) = ((((√‘(𝐶 + 𝐵))↑2) − (2 · ((√‘(𝐶 + 𝐵)) · (√‘(𝐶𝐵))))) + ((√‘(𝐶𝐵))↑2)))
32 nnre 12160 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐶 ∈ ℕ → 𝐶 ∈ ℝ)
33 nnre 12160 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
34 readdcl 11134 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ)
3532, 33, 34syl2anr 597 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ)
36353adant1 1130 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ)
37363ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ)
3837recnd 11183 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℂ)
39 resubcl 11465 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶𝐵) ∈ ℝ)
4032, 33, 39syl2anr 597 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶𝐵) ∈ ℝ)
41403adant1 1130 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶𝐵) ∈ ℝ)
42413ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (𝐶𝐵) ∈ ℝ)
4342recnd 11183 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (𝐶𝐵) ∈ ℂ)
4473adant1 1130 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (√‘(𝐶 + 𝐵)) ∈ ℂ)
45103adant1 1130 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (√‘(𝐶𝐵)) ∈ ℂ)
4644, 45mulcld 11175 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((√‘(𝐶 + 𝐵)) · (√‘(𝐶𝐵))) ∈ ℂ)
47 mulcl 11135 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℂ ∧ ((√‘(𝐶 + 𝐵)) · (√‘(𝐶𝐵))) ∈ ℂ) → (2 · ((√‘(𝐶 + 𝐵)) · (√‘(𝐶𝐵)))) ∈ ℂ)
4814, 46, 47sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (2 · ((√‘(𝐶 + 𝐵)) · (√‘(𝐶𝐵)))) ∈ ℂ)
49483ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (2 · ((√‘(𝐶 + 𝐵)) · (√‘(𝐶𝐵)))) ∈ ℂ)
5038, 43, 49addsubd 11533 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (((𝐶 + 𝐵) + (𝐶𝐵)) − (2 · ((√‘(𝐶 + 𝐵)) · (√‘(𝐶𝐵))))) = (((𝐶 + 𝐵) − (2 · ((√‘(𝐶 + 𝐵)) · (√‘(𝐶𝐵))))) + (𝐶𝐵)))
5127nncnd 12169 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → 𝐶 ∈ ℂ)
52 simp11 1203 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℕ)
5352nncnd 12169 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
54 subdi 11588 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (2 · (𝐶𝐴)) = ((2 · 𝐶) − (2 · 𝐴)))
5514, 51, 53, 54mp3an2i 1466 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (2 · (𝐶𝐴)) = ((2 · 𝐶) − (2 · 𝐴)))
56 ppncan 11443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐶 + 𝐵) + (𝐶𝐵)) = (𝐶 + 𝐶))
57563anidm13 1420 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐶 + 𝐵) + (𝐶𝐵)) = (𝐶 + 𝐶))
58 2times 12289 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐶 ∈ ℂ → (2 · 𝐶) = (𝐶 + 𝐶))
5958adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · 𝐶) = (𝐶 + 𝐶))
6057, 59eqtr4d 2779 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐶 + 𝐵) + (𝐶𝐵)) = (2 · 𝐶))
613, 4, 60syl2anr 597 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((𝐶 + 𝐵) + (𝐶𝐵)) = (2 · 𝐶))
62613adant1 1130 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((𝐶 + 𝐵) + (𝐶𝐵)) = (2 · 𝐶))
63623ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → ((𝐶 + 𝐵) + (𝐶𝐵)) = (2 · 𝐶))
6426nncnd 12169 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℂ)
65 subsq 14114 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐶↑2) − (𝐵↑2)) = ((𝐶 + 𝐵) · (𝐶𝐵)))
6651, 64, 65syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → ((𝐶↑2) − (𝐵↑2)) = ((𝐶 + 𝐵) · (𝐶𝐵)))
67 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − (𝐵↑2)) = ((𝐶↑2) − (𝐵↑2)))
68673ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − (𝐵↑2)) = ((𝐶↑2) − (𝐵↑2)))
69 nncn 12161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
7069sqcld 14049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
71703ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
724sqcld 14049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
73723ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
7471, 73pncand 11513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − (𝐵↑2)) = (𝐴↑2))
75743ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − (𝐵↑2)) = (𝐴↑2))
7668, 75eqtr3d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → ((𝐶↑2) − (𝐵↑2)) = (𝐴↑2))
7766, 76eqtr3d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → ((𝐶 + 𝐵) · (𝐶𝐵)) = (𝐴↑2))
7877fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (√‘((𝐶 + 𝐵) · (𝐶𝐵))) = (√‘(𝐴↑2)))
7932adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℝ)
8033adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
81 nngt0 12184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐶 ∈ ℕ → 0 < 𝐶)
8281adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 0 < 𝐶)
83 nngt0 12184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐵 ∈ ℕ → 0 < 𝐵)
8483adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 0 < 𝐵)
8579, 80, 82, 84addgt0d 11730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 0 < (𝐶 + 𝐵))
86 0re 11157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0 ∈ ℝ
87 ltle 11243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ) → (0 < (𝐶 + 𝐵) → 0 ≤ (𝐶 + 𝐵)))
8886, 87mpan 688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ → (0 < (𝐶 + 𝐵) → 0 ≤ (𝐶 + 𝐵)))
8935, 85, 88sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐶 + 𝐵))
90893adant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐶 + 𝐵))
91903ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → 0 ≤ (𝐶 + 𝐵))
92 pythagtriplem10 16692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2)) → 0 < (𝐶𝐵))
93923adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → 0 < (𝐶𝐵))
94 ltle 11243 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐶𝐵) ∈ ℝ) → (0 < (𝐶𝐵) → 0 ≤ (𝐶𝐵)))
9586, 94mpan 688 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐶𝐵) ∈ ℝ → (0 < (𝐶𝐵) → 0 ≤ (𝐶𝐵)))
9642, 93, 95sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → 0 ≤ (𝐶𝐵))
9737, 91, 42, 96sqrtmuld 15309 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (√‘((𝐶 + 𝐵) · (𝐶𝐵))) = ((√‘(𝐶 + 𝐵)) · (√‘(𝐶𝐵))))
9878, 97eqtr3d 2778 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (√‘(𝐴↑2)) = ((√‘(𝐶 + 𝐵)) · (√‘(𝐶𝐵))))
99 nnre 12160 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
100993ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
1011003ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ)
102 nnnn0 12420 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℕ0)
103102nn0ge0d 12476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝐴)
1041033ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐴)
1051043ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → 0 ≤ 𝐴)
106101, 105sqrtsqd 15304 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (√‘(𝐴↑2)) = 𝐴)
10798, 106eqtr3d 2778 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → ((√‘(𝐶 + 𝐵)) · (√‘(𝐶𝐵))) = 𝐴)
108107oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (2 · ((√‘(𝐶 + 𝐵)) · (√‘(𝐶𝐵)))) = (2 · 𝐴))
10963, 108oveq12d 7375 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (((𝐶 + 𝐵) + (𝐶𝐵)) − (2 · ((√‘(𝐶 + 𝐵)) · (√‘(𝐶𝐵))))) = ((2 · 𝐶) − (2 · 𝐴)))
11055, 109eqtr4d 2779 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (2 · (𝐶𝐴)) = (((𝐶 + 𝐵) + (𝐶𝐵)) − (2 · ((√‘(𝐶 + 𝐵)) · (√‘(𝐶𝐵))))))
111 resqrtth 15140 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐶 + 𝐵)) → ((√‘(𝐶 + 𝐵))↑2) = (𝐶 + 𝐵))
11237, 91, 111syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → ((√‘(𝐶 + 𝐵))↑2) = (𝐶 + 𝐵))
113112oveq1d 7372 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (((√‘(𝐶 + 𝐵))↑2) − (2 · ((√‘(𝐶 + 𝐵)) · (√‘(𝐶𝐵))))) = ((𝐶 + 𝐵) − (2 · ((√‘(𝐶 + 𝐵)) · (√‘(𝐶𝐵))))))
114 resqrtth 15140 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐶𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐶𝐵)) → ((√‘(𝐶𝐵))↑2) = (𝐶𝐵))
11542, 96, 114syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → ((√‘(𝐶𝐵))↑2) = (𝐶𝐵))
116113, 115oveq12d 7375 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → ((((√‘(𝐶 + 𝐵))↑2) − (2 · ((√‘(𝐶 + 𝐵)) · (√‘(𝐶𝐵))))) + ((√‘(𝐶𝐵))↑2)) = (((𝐶 + 𝐵) − (2 · ((√‘(𝐶 + 𝐵)) · (√‘(𝐶𝐵))))) + (𝐶𝐵)))
11750, 110, 1163eqtr4rd 2787 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → ((((√‘(𝐶 + 𝐵))↑2) − (2 · ((√‘(𝐶 + 𝐵)) · (√‘(𝐶𝐵))))) + ((√‘(𝐶𝐵))↑2)) = (2 · (𝐶𝐴)))
11831, 117eqtrd 2776 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵)))↑2) = (2 · (𝐶𝐴)))
119118oveq1d 7372 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵)))↑2) / 2) = ((2 · (𝐶𝐴)) / 2))
120 subcl 11400 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐶𝐴) ∈ ℂ)
1213, 69, 120syl2anr 597 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶𝐴) ∈ ℂ)
1221213adant2 1131 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶𝐴) ∈ ℂ)
1231223ad2ant1 1133 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (𝐶𝐴) ∈ ℂ)
124 divcan3 11839 . . . . . . . . 9 (((𝐶𝐴) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((2 · (𝐶𝐴)) / 2) = (𝐶𝐴))
12514, 15, 124mp3an23 1453 . . . . . . . 8 ((𝐶𝐴) ∈ ℂ → ((2 · (𝐶𝐴)) / 2) = (𝐶𝐴))
126123, 125syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → ((2 · (𝐶𝐴)) / 2) = (𝐶𝐴))
127119, 126eqtrd 2776 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵)))↑2) / 2) = (𝐶𝐴))
128127oveq1d 7372 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵)))↑2) / 2) / 2) = ((𝐶𝐴) / 2))
12925, 128eqtr3d 2778 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵)))↑2) / (2 · 2)) = ((𝐶𝐴) / 2))
13020, 129eqtrid 2788 . . 3 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵)))↑2) / (2↑2)) = ((𝐶𝐴) / 2))
13118, 130eqtrd 2776 . 2 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2)↑2) = ((𝐶𝐴) / 2))
1322, 131eqtrid 2788 1 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (𝑁↑2) = ((𝐶𝐴) / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385   / cdiv 11812  cn 12153  2c2 12208  cexp 13967  csqrt 15118  cdvds 16136   gcd cgcd 16374
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121
This theorem is referenced by:  pythagtriplem15  16701  pythagtriplem17  16703
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