MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pythagtriplem14 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pythagtriplem14 16788
Description: Lemma for pythagtrip 16794. Calculate the square of ๐‘. (Contributed by Scott Fenton, 17-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
pythagtriplem13.1 ๐‘ = (((โˆšโ€˜(๐ถ + ๐ต)) โˆ’ (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต))) / 2)
Assertion
Ref Expression
pythagtriplem14 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (๐‘โ†‘2) = ((๐ถ โˆ’ ๐ด) / 2))

Proof of Theorem pythagtriplem14
StepHypRef Expression
1 pythagtriplem13.1 . . 3 ๐‘ = (((โˆšโ€˜(๐ถ + ๐ต)) โˆ’ (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต))) / 2)
21oveq1i 7424 . 2 (๐‘โ†‘2) = ((((โˆšโ€˜(๐ถ + ๐ต)) โˆ’ (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต))) / 2)โ†‘2)
3 nncn 12242 . . . . . . . . 9 (๐ถ โˆˆ โ„• โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
4 nncn 12242 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
5 addcl 11212 . . . . . . . . 9 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ถ + ๐ต) โˆˆ โ„‚)
63, 4, 5syl2anr 596 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ถ + ๐ต) โˆˆ โ„‚)
76sqrtcld 15408 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆšโ€˜(๐ถ + ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
8 subcl 11481 . . . . . . . . 9 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚)
93, 4, 8syl2anr 596 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚)
109sqrtcld 15408 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
117, 10subcld 11593 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ((โˆšโ€˜(๐ถ + ๐ต)) โˆ’ (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต))) โˆˆ โ„‚)
12113adant1 1128 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ((โˆšโ€˜(๐ถ + ๐ต)) โˆ’ (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต))) โˆˆ โ„‚)
13123ad2ant1 1131 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ((โˆšโ€˜(๐ถ + ๐ต)) โˆ’ (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต))) โˆˆ โ„‚)
14 2cn 12309 . . . . 5 2 โˆˆ โ„‚
15 2ne0 12338 . . . . 5 2 โ‰  0
16 sqdiv 14109 . . . . 5 ((((โˆšโ€˜(๐ถ + ๐ต)) โˆ’ (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต))) โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0) โ†’ ((((โˆšโ€˜(๐ถ + ๐ต)) โˆ’ (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต))) / 2)โ†‘2) = ((((โˆšโ€˜(๐ถ + ๐ต)) โˆ’ (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต)))โ†‘2) / (2โ†‘2)))
1714, 15, 16mp3an23 1450 . . . 4 (((โˆšโ€˜(๐ถ + ๐ต)) โˆ’ (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต))) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((((โˆšโ€˜(๐ถ + ๐ต)) โˆ’ (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต))) / 2)โ†‘2) = ((((โˆšโ€˜(๐ถ + ๐ต)) โˆ’ (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต)))โ†‘2) / (2โ†‘2)))
1813, 17syl 17 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ((((โˆšโ€˜(๐ถ + ๐ต)) โˆ’ (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต))) / 2)โ†‘2) = ((((โˆšโ€˜(๐ถ + ๐ต)) โˆ’ (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต)))โ†‘2) / (2โ†‘2)))
1914sqvali 14167 . . . . 5 (2โ†‘2) = (2 ยท 2)
2019oveq2i 7425 . . . 4 ((((โˆšโ€˜(๐ถ + ๐ต)) โˆ’ (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต)))โ†‘2) / (2โ†‘2)) = ((((โˆšโ€˜(๐ถ + ๐ต)) โˆ’ (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต)))โ†‘2) / (2 ยท 2))
2113sqcld 14132 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (((โˆšโ€˜(๐ถ + ๐ต)) โˆ’ (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต)))โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
22 2cnne0 12444 . . . . . . 7 (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0)
23 divdiv1 11947 . . . . . . 7 (((((โˆšโ€˜(๐ถ + ๐ต)) โˆ’ (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต)))โ†‘2) โˆˆ โ„‚ โˆง (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0) โˆง (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0)) โ†’ (((((โˆšโ€˜(๐ถ + ๐ต)) โˆ’ (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต)))โ†‘2) / 2) / 2) = ((((โˆšโ€˜(๐ถ + ๐ต)) โˆ’ (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต)))โ†‘2) / (2 ยท 2)))
2422, 22, 23mp3an23 1450 . . . . . 6 ((((โˆšโ€˜(๐ถ + ๐ต)) โˆ’ (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต)))โ†‘2) โˆˆ โ„‚ โ†’ (((((โˆšโ€˜(๐ถ + ๐ต)) โˆ’ (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต)))โ†‘2) / 2) / 2) = ((((โˆšโ€˜(๐ถ + ๐ต)) โˆ’ (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต)))โ†‘2) / (2 ยท 2)))
2521, 24syl 17 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (((((โˆšโ€˜(๐ถ + ๐ต)) โˆ’ (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต)))โ†‘2) / 2) / 2) = ((((โˆšโ€˜(๐ถ + ๐ต)) โˆ’ (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต)))โ†‘2) / (2 ยท 2)))
26 simp12 1202 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
27 simp13 1203 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•)
2826, 27, 7syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (โˆšโ€˜(๐ถ + ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
2926, 27, 10syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
30 binom2sub 14206 . . . . . . . . . 10 (((โˆšโ€˜(๐ถ + ๐ต)) โˆˆ โ„‚ โˆง (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต)) โˆˆ โ„‚) โ†’ (((โˆšโ€˜(๐ถ + ๐ต)) โˆ’ (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต)))โ†‘2) = ((((โˆšโ€˜(๐ถ + ๐ต))โ†‘2) โˆ’ (2 ยท ((โˆšโ€˜(๐ถ + ๐ต)) ยท (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต))))) + ((โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต))โ†‘2)))
3128, 29, 30syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (((โˆšโ€˜(๐ถ + ๐ต)) โˆ’ (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต)))โ†‘2) = ((((โˆšโ€˜(๐ถ + ๐ต))โ†‘2) โˆ’ (2 ยท ((โˆšโ€˜(๐ถ + ๐ต)) ยท (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต))))) + ((โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต))โ†‘2)))
32 nnre 12241 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ถ โˆˆ โ„• โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
33 nnre 12241 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
34 readdcl 11213 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ถ + ๐ต) โˆˆ โ„)
3532, 33, 34syl2anr 596 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ถ + ๐ต) โˆˆ โ„)
36353adant1 1128 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ถ + ๐ต) โˆˆ โ„)
37363ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (๐ถ + ๐ต) โˆˆ โ„)
3837recnd 11264 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (๐ถ + ๐ต) โˆˆ โ„‚)
39 resubcl 11546 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„)
4032, 33, 39syl2anr 596 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„)
41403adant1 1128 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„)
42413ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„)
4342recnd 11264 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚)
4473adant1 1128 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆšโ€˜(๐ถ + ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
45103adant1 1128 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
4644, 45mulcld 11256 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ((โˆšโ€˜(๐ถ + ๐ต)) ยท (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต))) โˆˆ โ„‚)
47 mulcl 11214 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ((โˆšโ€˜(๐ถ + ๐ต)) ยท (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต))) โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท ((โˆšโ€˜(๐ถ + ๐ต)) ยท (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต)))) โˆˆ โ„‚)
4814, 46, 47sylancr 586 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (2 ยท ((โˆšโ€˜(๐ถ + ๐ต)) ยท (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต)))) โˆˆ โ„‚)
49483ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (2 ยท ((โˆšโ€˜(๐ถ + ๐ต)) ยท (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต)))) โˆˆ โ„‚)
5038, 43, 49addsubd 11614 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (((๐ถ + ๐ต) + (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โˆ’ (2 ยท ((โˆšโ€˜(๐ถ + ๐ต)) ยท (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต))))) = (((๐ถ + ๐ต) โˆ’ (2 ยท ((โˆšโ€˜(๐ถ + ๐ต)) ยท (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต))))) + (๐ถ โˆ’ ๐ต)))
5127nncnd 12250 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
52 simp11 1201 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
5352nncnd 12250 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
54 subdi 11669 . . . . . . . . . . . 12 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท (๐ถ โˆ’ ๐ด)) = ((2 ยท ๐ถ) โˆ’ (2 ยท ๐ด)))
5514, 51, 53, 54mp3an2i 1463 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (2 ยท (๐ถ โˆ’ ๐ด)) = ((2 ยท ๐ถ) โˆ’ (2 ยท ๐ด)))
56 ppncan 11524 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ถ + ๐ต) + (๐ถ โˆ’ ๐ต)) = (๐ถ + ๐ถ))
57563anidm13 1418 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ถ + ๐ต) + (๐ถ โˆ’ ๐ต)) = (๐ถ + ๐ถ))
58 2times 12370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐ถ โˆˆ โ„‚ โ†’ (2 ยท ๐ถ) = (๐ถ + ๐ถ))
5958adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท ๐ถ) = (๐ถ + ๐ถ))
6057, 59eqtr4d 2770 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ถ + ๐ต) + (๐ถ โˆ’ ๐ต)) = (2 ยท ๐ถ))
613, 4, 60syl2anr 596 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ถ + ๐ต) + (๐ถ โˆ’ ๐ต)) = (2 ยท ๐ถ))
62613adant1 1128 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ถ + ๐ต) + (๐ถ โˆ’ ๐ต)) = (2 ยท ๐ถ))
63623ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ((๐ถ + ๐ต) + (๐ถ โˆ’ ๐ต)) = (2 ยท ๐ถ))
6426nncnd 12250 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
65 subsq 14197 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ถโ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)) = ((๐ถ + ๐ต) ยท (๐ถ โˆ’ ๐ต)))
6651, 64, 65syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ((๐ถโ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)) = ((๐ถ + ๐ต) ยท (๐ถ โˆ’ ๐ต)))
67 oveq1 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โ†’ (((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) โˆ’ (๐ตโ†‘2)) = ((๐ถโ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)))
68673ad2ant2 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) โˆ’ (๐ตโ†‘2)) = ((๐ถโ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)))
69 nncn 12242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
7069sqcld 14132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
71703ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
724sqcld 14132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
73723ad2ant2 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
7471, 73pncand 11594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) โˆ’ (๐ตโ†‘2)) = (๐ดโ†‘2))
75743ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) โˆ’ (๐ตโ†‘2)) = (๐ดโ†‘2))
7668, 75eqtr3d 2769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ((๐ถโ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)) = (๐ดโ†‘2))
7766, 76eqtr3d 2769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ((๐ถ + ๐ต) ยท (๐ถ โˆ’ ๐ต)) = (๐ดโ†‘2))
7877fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (โˆšโ€˜((๐ถ + ๐ต) ยท (๐ถ โˆ’ ๐ต))) = (โˆšโ€˜(๐ดโ†‘2)))
7932adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
8033adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
81 nngt0 12265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐ถ โˆˆ โ„• โ†’ 0 < ๐ถ)
8281adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 < ๐ถ)
83 nngt0 12265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ 0 < ๐ต)
8483adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 < ๐ต)
8579, 80, 82, 84addgt0d 11811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 < (๐ถ + ๐ต))
86 0re 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0 โˆˆ โ„
87 ltle 11324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((0 โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ + ๐ต) โˆˆ โ„) โ†’ (0 < (๐ถ + ๐ต) โ†’ 0 โ‰ค (๐ถ + ๐ต)))
8886, 87mpan 689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐ถ + ๐ต) โˆˆ โ„ โ†’ (0 < (๐ถ + ๐ต) โ†’ 0 โ‰ค (๐ถ + ๐ต)))
8935, 85, 88sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 โ‰ค (๐ถ + ๐ต))
90893adant1 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 โ‰ค (๐ถ + ๐ต))
91903ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ถ + ๐ต))
92 pythagtriplem10 16780 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2)) โ†’ 0 < (๐ถ โˆ’ ๐ต))
93923adant3 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ 0 < (๐ถ โˆ’ ๐ต))
94 ltle 11324 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0 โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„) โ†’ (0 < (๐ถ โˆ’ ๐ต) โ†’ 0 โ‰ค (๐ถ โˆ’ ๐ต)))
9586, 94mpan 689 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ โ†’ (0 < (๐ถ โˆ’ ๐ต) โ†’ 0 โ‰ค (๐ถ โˆ’ ๐ต)))
9642, 93, 95sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ถ โˆ’ ๐ต))
9737, 91, 42, 96sqrtmuld 15395 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (โˆšโ€˜((๐ถ + ๐ต) ยท (๐ถ โˆ’ ๐ต))) = ((โˆšโ€˜(๐ถ + ๐ต)) ยท (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต))))
9878, 97eqtr3d 2769 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (โˆšโ€˜(๐ดโ†‘2)) = ((โˆšโ€˜(๐ถ + ๐ต)) ยท (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต))))
99 nnre 12241 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
100993ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
1011003ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
102 nnnn0 12501 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•0)
103102nn0ge0d 12557 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
1041033ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
1051043ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
106101, 105sqrtsqd 15390 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (โˆšโ€˜(๐ดโ†‘2)) = ๐ด)
10798, 106eqtr3d 2769 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ((โˆšโ€˜(๐ถ + ๐ต)) ยท (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต))) = ๐ด)
108107oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (2 ยท ((โˆšโ€˜(๐ถ + ๐ต)) ยท (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต)))) = (2 ยท ๐ด))
10963, 108oveq12d 7432 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (((๐ถ + ๐ต) + (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โˆ’ (2 ยท ((โˆšโ€˜(๐ถ + ๐ต)) ยท (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต))))) = ((2 ยท ๐ถ) โˆ’ (2 ยท ๐ด)))
11055, 109eqtr4d 2770 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (2 ยท (๐ถ โˆ’ ๐ด)) = (((๐ถ + ๐ต) + (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โˆ’ (2 ยท ((โˆšโ€˜(๐ถ + ๐ต)) ยท (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต))))))
111 resqrtth 15226 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ถ + ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ถ + ๐ต)) โ†’ ((โˆšโ€˜(๐ถ + ๐ต))โ†‘2) = (๐ถ + ๐ต))
11237, 91, 111syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ((โˆšโ€˜(๐ถ + ๐ต))โ†‘2) = (๐ถ + ๐ต))
113112oveq1d 7429 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (((โˆšโ€˜(๐ถ + ๐ต))โ†‘2) โˆ’ (2 ยท ((โˆšโ€˜(๐ถ + ๐ต)) ยท (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต))))) = ((๐ถ + ๐ต) โˆ’ (2 ยท ((โˆšโ€˜(๐ถ + ๐ต)) ยท (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต))))))
114 resqrtth 15226 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โ†’ ((โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต))โ†‘2) = (๐ถ โˆ’ ๐ต))
11542, 96, 114syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ((โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต))โ†‘2) = (๐ถ โˆ’ ๐ต))
116113, 115oveq12d 7432 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ((((โˆšโ€˜(๐ถ + ๐ต))โ†‘2) โˆ’ (2 ยท ((โˆšโ€˜(๐ถ + ๐ต)) ยท (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต))))) + ((โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต))โ†‘2)) = (((๐ถ + ๐ต) โˆ’ (2 ยท ((โˆšโ€˜(๐ถ + ๐ต)) ยท (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต))))) + (๐ถ โˆ’ ๐ต)))
11750, 110, 1163eqtr4rd 2778 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ((((โˆšโ€˜(๐ถ + ๐ต))โ†‘2) โˆ’ (2 ยท ((โˆšโ€˜(๐ถ + ๐ต)) ยท (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต))))) + ((โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต))โ†‘2)) = (2 ยท (๐ถ โˆ’ ๐ด)))
11831, 117eqtrd 2767 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (((โˆšโ€˜(๐ถ + ๐ต)) โˆ’ (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต)))โ†‘2) = (2 ยท (๐ถ โˆ’ ๐ด)))
119118oveq1d 7429 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ((((โˆšโ€˜(๐ถ + ๐ต)) โˆ’ (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต)))โ†‘2) / 2) = ((2 ยท (๐ถ โˆ’ ๐ด)) / 2))
120 subcl 11481 . . . . . . . . . . 11 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚)
1213, 69, 120syl2anr 596 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚)
1221213adant2 1129 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚)
1231223ad2ant1 1131 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚)
124 divcan3 11920 . . . . . . . . 9 (((๐ถ โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0) โ†’ ((2 ยท (๐ถ โˆ’ ๐ด)) / 2) = (๐ถ โˆ’ ๐ด))
12514, 15, 124mp3an23 1450 . . . . . . . 8 ((๐ถ โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((2 ยท (๐ถ โˆ’ ๐ด)) / 2) = (๐ถ โˆ’ ๐ด))
126123, 125syl 17 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ((2 ยท (๐ถ โˆ’ ๐ด)) / 2) = (๐ถ โˆ’ ๐ด))
127119, 126eqtrd 2767 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ((((โˆšโ€˜(๐ถ + ๐ต)) โˆ’ (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต)))โ†‘2) / 2) = (๐ถ โˆ’ ๐ด))
128127oveq1d 7429 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (((((โˆšโ€˜(๐ถ + ๐ต)) โˆ’ (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต)))โ†‘2) / 2) / 2) = ((๐ถ โˆ’ ๐ด) / 2))
12925, 128eqtr3d 2769 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ((((โˆšโ€˜(๐ถ + ๐ต)) โˆ’ (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต)))โ†‘2) / (2 ยท 2)) = ((๐ถ โˆ’ ๐ด) / 2))
13020, 129eqtrid 2779 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ((((โˆšโ€˜(๐ถ + ๐ต)) โˆ’ (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต)))โ†‘2) / (2โ†‘2)) = ((๐ถ โˆ’ ๐ด) / 2))
13118, 130eqtrd 2767 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ((((โˆšโ€˜(๐ถ + ๐ต)) โˆ’ (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต))) / 2)โ†‘2) = ((๐ถ โˆ’ ๐ด) / 2))
1322, 131eqtrid 2779 1 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (๐‘โ†‘2) = ((๐ถ โˆ’ ๐ด) / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โ‰  wne 2935   class class class wbr 5142  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  โ„‚cc 11128  โ„cr 11129  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133   ยท cmul 11135   < clt 11270   โ‰ค cle 11271   โˆ’ cmin 11466   / cdiv 11893  โ„•cn 12234  2c2 12289  โ†‘cexp 14050  โˆšcsqrt 15204   โˆฅ cdvds 16222   gcd cgcd 16460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9457  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 12999  df-seq 13991  df-exp 14051  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207
This theorem is referenced by:  pythagtriplem15  16789  pythagtriplem17  16791
  Copyright terms: Public domain W3C validator