Theorem 2halves 11857

Description: Two halves make a whole. (Contributed by NM, 11-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
2halves	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 / 2) + (𝐴 / 2)) = 𝐴)

Proof of Theorem 2halves

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2times 11765	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
2	1	oveq1d 7163	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · 𝐴) / 2) = ((𝐴 + 𝐴) / 2))
3		2cn 11704	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℂ
4		2ne0 11733	. . 3 ⊢ 2 ≠ 0
5		divcan3 11316	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((2 · 𝐴) / 2) = 𝐴)
6	3, 4, 5	mp3an23 1447	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · 𝐴) / 2) = 𝐴)
7		2cnne0 11839	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
8		divdir 11315	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((𝐴 + 𝐴) / 2) = ((𝐴 / 2) + (𝐴 / 2)))
9	7, 8	mp3an3 1444	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐴) / 2) = ((𝐴 / 2) + (𝐴 / 2)))
10	9	anidms 569	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 𝐴) / 2) = ((𝐴 / 2) + (𝐴 / 2)))
11	2, 6, 10	3eqtr3rd 2863	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 / 2) + (𝐴 / 2)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1531   ∈ wcel 2108   ≠ wne 3014  (class class class)co 7148  ℂcc 10527  0cc0 10529   + caddc 10532   · cmul 10534   / cdiv 11289  2c2 11684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-2 11692

This theorem is referenced by:  halfpos  11859  lt2halves  11864  2halvesd  11875  pcoass  23620  pidiv2halves  25045  sincos4thpi  25091  efeq1  25105  cxpsqrt  25278  dvsqrt  25315  dvcnsqrt  25317  subfacval3  32429  dnibndlem5  33814  dnibndlem10  33819  infleinflem1  41627  smflimlem4  43040