MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2halves Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2halves 11467
Description: Two halves make a whole. (Contributed by NM, 11-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
2halves (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 / 2) + (𝐴 / 2)) = 𝐴)

Proof of Theorem 2halves
StepHypRef Expression
1 2times 11352 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
21oveq1d 6811 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · 𝐴) / 2) = ((𝐴 + 𝐴) / 2))
3 2cn 11297 . . 3 2 ∈ ℂ
4 2ne0 11319 . . 3 2 ≠ 0
5 divcan3 10917 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((2 · 𝐴) / 2) = 𝐴)
63, 4, 5mp3an23 1564 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · 𝐴) / 2) = 𝐴)
7 2cnne0 11449 . . . 4 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
8 divdir 10916 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((𝐴 + 𝐴) / 2) = ((𝐴 / 2) + (𝐴 / 2)))
97, 8mp3an3 1561 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐴) / 2) = ((𝐴 / 2) + (𝐴 / 2)))
109anidms 556 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 𝐴) / 2) = ((𝐴 / 2) + (𝐴 / 2)))
112, 6, 103eqtr3rd 2814 1 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 / 2) + (𝐴 / 2)) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  (class class class)co 6796  cc 10140  0cc0 10142   + caddc 10145   · cmul 10147   / cdiv 10890  2c2 11276
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-po 5171  df-so 5172  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-2 11285
This theorem is referenced by:  halfpos  11469  lt2halves  11474  2halvesd  11485  pcoass  23043  pidiv2halves  24440  sincos4thpi  24486  efeq1  24496  cxpsqrt  24670  dvsqrt  24704  dvcnsqrt  24706  subfacval3  31509  dnibndlem5  32809  dnibndlem10  32814  infleinflem1  40097  smflimlem4  41497
  Copyright terms: Public domain W3C validator