Theorem sinmul 16369

Description: Product of sines can be rewritten as half the difference of certain cosines. This follows from cosadd 16362 and cossub 16366. (Contributed by David A. Wheeler, 26-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
sinmul	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) = (((cos‘(𝐴 − 𝐵)) − (cos‘(𝐴 + 𝐵))) / 2))

Proof of Theorem sinmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cossub 16366	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (cos‘(𝐴 − 𝐵)) = (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
2		cosadd 16362	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (cos‘(𝐴 + 𝐵)) = (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
3	1, 2	oveq12d 7461	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cos‘(𝐴 − 𝐵)) − (cos‘(𝐴 + 𝐵))) = ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))) − (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)))))
4		coscl 16324	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
5		coscl 16324	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (cos‘𝐵) ∈ ℂ)
6		mulcl 11311	. . . . . 6 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐵) ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) ∈ ℂ)
7	4, 5, 6	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) ∈ ℂ)
8		sincl 16323	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
9		sincl 16323	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (sin‘𝐵) ∈ ℂ)
10		mulcl 11311	. . . . . 6 ⊢ (((sin‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐵) ∈ ℂ) → ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) ∈ ℂ)
11	8, 9, 10	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) ∈ ℂ)
12		pnncan 11626	. . . . . . 7 ⊢ ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) ∈ ℂ ∧ ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) ∈ ℂ ∧ ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) ∈ ℂ) → ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))) − (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)))) = (((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) + ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
13	12	3anidm23 1449	. . . . . 6 ⊢ ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) ∈ ℂ ∧ ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) ∈ ℂ) → ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))) − (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)))) = (((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) + ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
14		2times 12505	. . . . . . 7 ⊢ (((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) ∈ ℂ → (2 · ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))) = (((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) + ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
15	14	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) ∈ ℂ ∧ ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) ∈ ℂ) → (2 · ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))) = (((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) + ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
16	13, 15	eqtr4d 2801	. . . . 5 ⊢ ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) ∈ ℂ ∧ ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) ∈ ℂ) → ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))) − (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)))) = (2 · ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
17	7, 11, 16	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))) − (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)))) = (2 · ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
18		2cn 12445	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
19		mulcom 11313	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) ∈ ℂ) → (2 · ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))) = (((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) · 2))
20	18, 11, 19	sylancr 599	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))) = (((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) · 2))
21	3, 17, 20	3eqtrd 2802	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cos‘(𝐴 − 𝐵)) − (cos‘(𝐴 + 𝐵))) = (((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) · 2))
22	21	oveq1d 7458	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((cos‘(𝐴 − 𝐵)) − (cos‘(𝐴 + 𝐵))) / 2) = ((((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) · 2) / 2))
23		2ne0 12476	. . . 4 ⊢ 2 ≠ 0
24		divcan4 12028	. . . 4 ⊢ ((((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) · 2) / 2) = ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)))
25	18, 23, 24	mp3an23 1483	. . 3 ⊢ (((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) ∈ ℂ → ((((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) · 2) / 2) = ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)))
26	11, 25	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) · 2) / 2) = ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)))
27	22, 26	eqtr2d 2799	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) = (((cos‘(𝐴 − 𝐵)) − (cos‘(𝐴 + 𝐵))) / 2))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  ℂcc 11225  0cc0 11227   + caddc 11230   · cmul 11232   − cmin 11568   / cdiv 12000  2c2 12424  sincsin 16258  cosccos 16259

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-inf2 9669  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-er 8745  df-pm 8878  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-sup 9461  df-inf 9462  df-oi 9531  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-rp 13148  df-ico 13509  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-fl 13959  df-seq 14172  df-exp 14232  df-fac 14445  df-bc 14474  df-hash 14502  df-shft 15249  df-cj 15295  df-re 15296  df-im 15297  df-sqrt 15431  df-abs 15432  df-limsup 15667  df-clim 15684  df-rlim 15685  df-sum 15883  df-ef 16262  df-sin 16264  df-cos 16265

This theorem is used by:  ptolemy  26855