Theorem sinmul 16253

Description: Product of sines can be rewritten as half the difference of certain cosines. This follows from cosadd 16246 and cossub 16250. (Contributed by David A. Wheeler, 26-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
sinmul	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) = (((cos‘(𝐴 − 𝐵)) − (cos‘(𝐴 + 𝐵))) / 2))

Proof of Theorem sinmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cossub 16250	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (cos‘(𝐴 − 𝐵)) = (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
2		cosadd 16246	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (cos‘(𝐴 + 𝐵)) = (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
3	1, 2	oveq12d 7441	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cos‘(𝐴 − 𝐵)) − (cos‘(𝐴 + 𝐵))) = ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))) − (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)))))
4		coscl 16208	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
5		coscl 16208	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (cos‘𝐵) ∈ ℂ)
6		mulcl 11202	. . . . . 6 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐵) ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) ∈ ℂ)
7	4, 5, 6	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) ∈ ℂ)
8		sincl 16207	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
9		sincl 16207	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (sin‘𝐵) ∈ ℂ)
10		mulcl 11202	. . . . . 6 ⊢ (((sin‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐵) ∈ ℂ) → ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) ∈ ℂ)
11	8, 9, 10	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) ∈ ℂ)
12		pnncan 11517	. . . . . . 7 ⊢ ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) ∈ ℂ ∧ ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) ∈ ℂ ∧ ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) ∈ ℂ) → ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))) − (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)))) = (((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) + ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
13	12	3anidm23 1448	. . . . . 6 ⊢ ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) ∈ ℂ ∧ ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) ∈ ℂ) → ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))) − (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)))) = (((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) + ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
14		2times 12394	. . . . . . 7 ⊢ (((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) ∈ ℂ → (2 · ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))) = (((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) + ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
15	14	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) ∈ ℂ ∧ ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) ∈ ℂ) → (2 · ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))) = (((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) + ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
16	13, 15	eqtr4d 2804	. . . . 5 ⊢ ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) ∈ ℂ ∧ ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) ∈ ℂ) → ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))) − (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)))) = (2 · ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
17	7, 11, 16	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))) − (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)))) = (2 · ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
18		2cn 12334	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
19		mulcom 11204	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) ∈ ℂ) → (2 · ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))) = (((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) · 2))
20	18, 11, 19	sylancr 599	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))) = (((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) · 2))
21	3, 17, 20	3eqtrd 2805	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cos‘(𝐴 − 𝐵)) − (cos‘(𝐴 + 𝐵))) = (((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) · 2))
22	21	oveq1d 7438	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((cos‘(𝐴 − 𝐵)) − (cos‘(𝐴 + 𝐵))) / 2) = ((((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) · 2) / 2))
23		2ne0 12365	. . . 4 ⊢ 2 ≠ 0
24		divcan4 11917	. . . 4 ⊢ ((((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) · 2) / 2) = ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)))
25	18, 23, 24	mp3an23 1482	. . 3 ⊢ (((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) ∈ ℂ → ((((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) · 2) / 2) = ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)))
26	11, 25	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) · 2) / 2) = ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)))
27	22, 26	eqtr2d 2802	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) = (((cos‘(𝐴 − 𝐵)) − (cos‘(𝐴 + 𝐵))) / 2))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  ℂcc 11116  0cc0 11118   + caddc 11121   · cmul 11123   − cmin 11459   / cdiv 11889  2c2 12313  sincsin 16142  cosccos 16143

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-inf2 9620  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-pm 8836  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-rp 13035  df-ico 13396  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-seq 14058  df-exp 14118  df-fac 14330  df-bc 14359  df-hash 14387  df-shft 15130  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-limsup 15548  df-clim 15565  df-rlim 15566  df-sum 15764  df-ef 16146  df-sin 16148  df-cos 16149

This theorem is used by:  ptolemy  26698