Theorem pythagtriplem16 16459

Description: Lemma for pythagtrip 16463. Show the relationship between 𝑀, 𝑁, and 𝐵. (Contributed by Scott Fenton, 17-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pythagtriplem15.1	⊢ 𝑀 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)
pythagtriplem15.2	⊢ 𝑁 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)

Assertion

Ref	Expression
pythagtriplem16	⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → 𝐵 = (2 · (𝑀 · 𝑁)))

Proof of Theorem pythagtriplem16

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pythagtriplem15.1	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)
2		pythagtriplem15.2	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)
3	1, 2	oveq12i 7267	. . . 4 ⊢ (𝑀 · 𝑁) = ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2))
4		nncn 11911	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → 𝐶 ∈ ℂ)
5		nncn 11911	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
6		addcl 10884	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℂ)
7	4, 5, 6	syl2anr 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℂ)
8	7	sqrtcld 15077	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (√‘(𝐶 + 𝐵)) ∈ ℂ)
9		subcl 11150	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ)
10	4, 5, 9	syl2anr 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ)
11	10	sqrtcld 15077	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (√‘(𝐶 − 𝐵)) ∈ ℂ)
12		addcl 10884	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((√‘(𝐶 + 𝐵)) ∈ ℂ ∧ (√‘(𝐶 − 𝐵)) ∈ ℂ) → ((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) ∈ ℂ)
13	8, 11, 12	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) ∈ ℂ)
14	13	3adant1 1128	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) ∈ ℂ)
15	14	3ad2ant1 1131	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → ((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) ∈ ℂ)
16		subcl 11150	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((√‘(𝐶 + 𝐵)) ∈ ℂ ∧ (√‘(𝐶 − 𝐵)) ∈ ℂ) → ((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) ∈ ℂ)
17	8, 11, 16	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) ∈ ℂ)
18	17	3adant1 1128	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) ∈ ℂ)
19	18	3ad2ant1 1131	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → ((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) ∈ ℂ)
20		2cnne0 12113	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
21		divmuldiv 11605	. . . . . . . 8 ⊢ (((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) ∈ ℂ ∧ ((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) ∈ ℂ) ∧ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))) → ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)) = ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) · ((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵)))) / (2 · 2)))
22	20, 20, 21	mpanr12 701	. . . . . . 7 ⊢ ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) ∈ ℂ ∧ ((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) ∈ ℂ) → ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)) = ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) · ((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵)))) / (2 · 2)))
23	15, 19, 22	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)) = ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) · ((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵)))) / (2 · 2)))
24	13, 17	mulcld 10926	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) · ((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵)))) ∈ ℂ)
25	24	3adant1 1128	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) · ((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵)))) ∈ ℂ)
26	25	3ad2ant1 1131	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) · ((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵)))) ∈ ℂ)
27		divdiv1 11616	. . . . . . . 8 ⊢ (((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) · ((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵)))) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) · ((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵)))) / 2) / 2) = ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) · ((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵)))) / (2 · 2)))
28	20, 20, 27	mp3an23 1451	. . . . . . 7 ⊢ ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) · ((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵)))) ∈ ℂ → (((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) · ((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵)))) / 2) / 2) = ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) · ((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵)))) / (2 · 2)))
29	26, 28	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) · ((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵)))) / 2) / 2) = ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) · ((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵)))) / (2 · 2)))
30	23, 29	eqtr4d 2781	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)) = (((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) · ((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵)))) / 2) / 2))
31		nnre 11910	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → 𝐶 ∈ ℝ)
32		nnre 11910	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
33		readdcl 10885	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ)
34	31, 32, 33	syl2anr 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ)
35	34	3adant1 1128	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ)
36	35	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ)
37	31	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℝ)
38	32	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
39		nngt0 11934	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → 0 < 𝐶)
40	39	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 0 < 𝐶)
41		nngt0 11934	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 0 < 𝐵)
42	41	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 0 < 𝐵)
43	37, 38, 40, 42	addgt0d 11480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 0 < (𝐶 + 𝐵))
44		0re 10908	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℝ
45		ltle 10994	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ) → (0 < (𝐶 + 𝐵) → 0 ≤ (𝐶 + 𝐵)))
46	44, 45	mpan 686	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ → (0 < (𝐶 + 𝐵) → 0 ≤ (𝐶 + 𝐵)))
47	34, 43, 46	sylc 65	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐶 + 𝐵))
48	47	3adant1 1128	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐶 + 𝐵))
49	48	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → 0 ≤ (𝐶 + 𝐵))
50		resqrtth 14895	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐶 + 𝐵)) → ((√‘(𝐶 + 𝐵))↑2) = (𝐶 + 𝐵))
51	36, 49, 50	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → ((√‘(𝐶 + 𝐵))↑2) = (𝐶 + 𝐵))
52		resubcl 11215	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℝ)
53	31, 32, 52	syl2anr 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℝ)
54	53	3adant1 1128	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℝ)
55	54	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℝ)
56		pythagtriplem10 16449	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2)) → 0 < (𝐶 − 𝐵))
57	56	3adant3 1130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → 0 < (𝐶 − 𝐵))
58		ltle 10994	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐶 − 𝐵) ∈ ℝ) → (0 < (𝐶 − 𝐵) → 0 ≤ (𝐶 − 𝐵)))
59	44, 58	mpan 686	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 − 𝐵) ∈ ℝ → (0 < (𝐶 − 𝐵) → 0 ≤ (𝐶 − 𝐵)))
60	55, 57, 59	sylc 65	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → 0 ≤ (𝐶 − 𝐵))
61		resqrtth 14895	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐶 − 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐶 − 𝐵)) → ((√‘(𝐶 − 𝐵))↑2) = (𝐶 − 𝐵))
62	55, 60, 61	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → ((√‘(𝐶 − 𝐵))↑2) = (𝐶 − 𝐵))
63	51, 62	oveq12d 7273	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (((√‘(𝐶 + 𝐵))↑2) − ((√‘(𝐶 − 𝐵))↑2)) = ((𝐶 + 𝐵) − (𝐶 − 𝐵)))
64	63	oveq1d 7270	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → ((((√‘(𝐶 + 𝐵))↑2) − ((√‘(𝐶 − 𝐵))↑2)) / 2) = (((𝐶 + 𝐵) − (𝐶 − 𝐵)) / 2))
65		simp12 1202	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℕ)
66		simp13 1203	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → 𝐶 ∈ ℕ)
67	65, 66, 8	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (√‘(𝐶 + 𝐵)) ∈ ℂ)
68	65, 66, 11	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (√‘(𝐶 − 𝐵)) ∈ ℂ)
69		subsq 13854	. . . . . . . . 9 ⊢ (((√‘(𝐶 + 𝐵)) ∈ ℂ ∧ (√‘(𝐶 − 𝐵)) ∈ ℂ) → (((√‘(𝐶 + 𝐵))↑2) − ((√‘(𝐶 − 𝐵))↑2)) = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) · ((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵)))))
70	67, 68, 69	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (((√‘(𝐶 + 𝐵))↑2) − ((√‘(𝐶 − 𝐵))↑2)) = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) · ((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵)))))
71	70	oveq1d 7270	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → ((((√‘(𝐶 + 𝐵))↑2) − ((√‘(𝐶 − 𝐵))↑2)) / 2) = ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) · ((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵)))) / 2))
72		pnncan 11192	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐶 + 𝐵) − (𝐶 − 𝐵)) = (𝐵 + 𝐵))
73	72	3anidm23 1419	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐶 + 𝐵) − (𝐶 − 𝐵)) = (𝐵 + 𝐵))
74		2times 12039	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (2 · 𝐵) = (𝐵 + 𝐵))
75	74	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · 𝐵) = (𝐵 + 𝐵))
76	73, 75	eqtr4d 2781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐶 + 𝐵) − (𝐶 − 𝐵)) = (2 · 𝐵))
77	4, 5, 76	syl2anr 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((𝐶 + 𝐵) − (𝐶 − 𝐵)) = (2 · 𝐵))
78	77	3adant1 1128	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((𝐶 + 𝐵) − (𝐶 − 𝐵)) = (2 · 𝐵))
79	78	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → ((𝐶 + 𝐵) − (𝐶 − 𝐵)) = (2 · 𝐵))
80	79	oveq1d 7270	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (((𝐶 + 𝐵) − (𝐶 − 𝐵)) / 2) = ((2 · 𝐵) / 2))
81		2cn 11978	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
82		2ne0 12007	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ≠ 0
83		divcan3 11589	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((2 · 𝐵) / 2) = 𝐵)
84	81, 82, 83	mp3an23 1451	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ((2 · 𝐵) / 2) = 𝐵)
85	65, 5, 84	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → ((2 · 𝐵) / 2) = 𝐵)
86	80, 85	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (((𝐶 + 𝐵) − (𝐶 − 𝐵)) / 2) = 𝐵)
87	64, 71, 86	3eqtr3d 2786	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) · ((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵)))) / 2) = 𝐵)
88	87	oveq1d 7270	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) · ((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵)))) / 2) / 2) = (𝐵 / 2))
89	30, 88	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)) = (𝐵 / 2))
90	3, 89	eqtrid 2790	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (𝑀 · 𝑁) = (𝐵 / 2))
91	90	oveq2d 7271	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (2 · (𝑀 · 𝑁)) = (2 · (𝐵 / 2)))
92		divcan2 11571	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (2 · (𝐵 / 2)) = 𝐵)
93	81, 82, 92	mp3an23 1451	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (2 · (𝐵 / 2)) = 𝐵)
94	5, 93	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (2 · (𝐵 / 2)) = 𝐵)
95	94	3ad2ant2 1132	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (2 · (𝐵 / 2)) = 𝐵)
96	95	3ad2ant1 1131	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (2 · (𝐵 / 2)) = 𝐵)
97	91, 96	eqtr2d 2779	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → 𝐵 = (2 · (𝑀 · 𝑁)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807   < clt 10940   ≤ cle 10941   − cmin 11135   / cdiv 11562  ℕcn 11903  2c2 11958  ↑cexp 13710  √csqrt 14872   ∥ cdvds 15891   gcd cgcd 16129

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875

This theorem is referenced by:  pythagtriplem18  16461  flt4lem5  40403  flt4lem5b  40406  flt4lem5c  40407