Theorem pythagtriplem16 16890

Description: Lemma for pythagtrip 16894. Show the relationship between 𝑀, 𝑁, and 𝐵. (Contributed by Scott Fenton, 17-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pythagtriplem15.1	⊢ 𝑀 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)
pythagtriplem15.2	⊢ 𝑁 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)

Assertion

Ref	Expression
pythagtriplem16	⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → 𝐵 = (2 · (𝑀 · 𝑁)))

Proof of Theorem pythagtriplem16

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pythagtriplem15.1	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)
2		pythagtriplem15.2	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)
3	1, 2	oveq12i 7423	. . . 4 ⊢ (𝑀 · 𝑁) = ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2))
4		nncn 12241	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → 𝐶 ∈ ℂ)
5		nncn 12241	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
6		addcl 11182	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℂ)
7	4, 5, 6	syl2anr 608	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℂ)
8	7	sqrtcld 15491	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (√‘(𝐶 + 𝐵)) ∈ ℂ)
9		subcl 11456	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ)
10	4, 5, 9	syl2anr 608	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ)
11	10	sqrtcld 15491	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (√‘(𝐶 − 𝐵)) ∈ ℂ)
12		addcl 11182	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((√‘(𝐶 + 𝐵)) ∈ ℂ ∧ (√‘(𝐶 − 𝐵)) ∈ ℂ) → ((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) ∈ ℂ)
13	8, 11, 12	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) ∈ ℂ)
14	13	3adant1 1146	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) ∈ ℂ)
15	14	3ad2ant1 1149	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → ((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) ∈ ℂ)
16		subcl 11456	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((√‘(𝐶 + 𝐵)) ∈ ℂ ∧ (√‘(𝐶 − 𝐵)) ∈ ℂ) → ((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) ∈ ℂ)
17	8, 11, 16	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) ∈ ℂ)
18	17	3adant1 1146	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) ∈ ℂ)
19	18	3ad2ant1 1149	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → ((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) ∈ ℂ)
20		2cnne0 12453	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
21		divmuldiv 11915	. . . . . . . 8 ⊢ (((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) ∈ ℂ ∧ ((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) ∈ ℂ) ∧ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))) → ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)) = ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) · ((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵)))) / (2 · 2)))
22	20, 20, 21	mpanr12 717	. . . . . . 7 ⊢ ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) ∈ ℂ ∧ ((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) ∈ ℂ) → ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)) = ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) · ((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵)))) / (2 · 2)))
23	15, 19, 22	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)) = ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) · ((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵)))) / (2 · 2)))
24	13, 17	mulcld 11229	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) · ((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵)))) ∈ ℂ)
25	24	3adant1 1146	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) · ((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵)))) ∈ ℂ)
26	25	3ad2ant1 1149	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) · ((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵)))) ∈ ℂ)
27		divdiv1 11926	. . . . . . . 8 ⊢ (((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) · ((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵)))) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) · ((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵)))) / 2) / 2) = ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) · ((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵)))) / (2 · 2)))
28	20, 20, 27	mp3an23 1479	. . . . . . 7 ⊢ ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) · ((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵)))) ∈ ℂ → (((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) · ((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵)))) / 2) / 2) = ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) · ((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵)))) / (2 · 2)))
29	26, 28	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) · ((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵)))) / 2) / 2) = ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) · ((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵)))) / (2 · 2)))
30	23, 29	eqtr4d 2807	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)) = (((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) · ((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵)))) / 2) / 2))
31		nnre 12240	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → 𝐶 ∈ ℝ)
32		nnre 12240	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
33		readdcl 11183	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ)
34	31, 32, 33	syl2anr 608	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ)
35	34	3adant1 1146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ)
36	35	3ad2ant1 1149	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ)
37	31	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℝ)
38	32	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
39		nngt0 12267	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → 0 < 𝐶)
40	39	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 0 < 𝐶)
41		nngt0 12267	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 0 < 𝐵)
42	41	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 0 < 𝐵)
43	37, 38, 40, 42	addgt0d 11789	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 0 < (𝐶 + 𝐵))
44		0re 11210	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℝ
45		ltle 11298	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ) → (0 < (𝐶 + 𝐵) → 0 ≤ (𝐶 + 𝐵)))
46	44, 45	mpan 702	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ → (0 < (𝐶 + 𝐵) → 0 ≤ (𝐶 + 𝐵)))
47	34, 43, 46	sylc 66	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐶 + 𝐵))
48	47	3adant1 1146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐶 + 𝐵))
49	48	3ad2ant1 1149	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → 0 ≤ (𝐶 + 𝐵))
50		resqrtth 15306	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐶 + 𝐵)) → ((√‘(𝐶 + 𝐵))↑2) = (𝐶 + 𝐵))
51	36, 49, 50	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → ((√‘(𝐶 + 𝐵))↑2) = (𝐶 + 𝐵))
52		resubcl 11522	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℝ)
53	31, 32, 52	syl2anr 608	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℝ)
54	53	3adant1 1146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℝ)
55	54	3ad2ant1 1149	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℝ)
56		pythagtriplem10 16880	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2)) → 0 < (𝐶 − 𝐵))
57	56	3adant3 1148	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → 0 < (𝐶 − 𝐵))
58		ltle 11298	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐶 − 𝐵) ∈ ℝ) → (0 < (𝐶 − 𝐵) → 0 ≤ (𝐶 − 𝐵)))
59	44, 58	mpan 702	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 − 𝐵) ∈ ℝ → (0 < (𝐶 − 𝐵) → 0 ≤ (𝐶 − 𝐵)))
60	55, 57, 59	sylc 66	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → 0 ≤ (𝐶 − 𝐵))
61		resqrtth 15306	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐶 − 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐶 − 𝐵)) → ((√‘(𝐶 − 𝐵))↑2) = (𝐶 − 𝐵))
62	55, 60, 61	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → ((√‘(𝐶 − 𝐵))↑2) = (𝐶 − 𝐵))
63	51, 62	oveq12d 7429	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (((√‘(𝐶 + 𝐵))↑2) − ((√‘(𝐶 − 𝐵))↑2)) = ((𝐶 + 𝐵) − (𝐶 − 𝐵)))
64	63	oveq1d 7426	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → ((((√‘(𝐶 + 𝐵))↑2) − ((√‘(𝐶 − 𝐵))↑2)) / 2) = (((𝐶 + 𝐵) − (𝐶 − 𝐵)) / 2))
65		simp12 1221	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℕ)
66		simp13 1222	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → 𝐶 ∈ ℕ)
67	65, 66, 8	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (√‘(𝐶 + 𝐵)) ∈ ℂ)
68	65, 66, 11	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (√‘(𝐶 − 𝐵)) ∈ ℂ)
69		subsq 14246	. . . . . . . . 9 ⊢ (((√‘(𝐶 + 𝐵)) ∈ ℂ ∧ (√‘(𝐶 − 𝐵)) ∈ ℂ) → (((√‘(𝐶 + 𝐵))↑2) − ((√‘(𝐶 − 𝐵))↑2)) = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) · ((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵)))))
70	67, 68, 69	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (((√‘(𝐶 + 𝐵))↑2) − ((√‘(𝐶 − 𝐵))↑2)) = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) · ((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵)))))
71	70	oveq1d 7426	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → ((((√‘(𝐶 + 𝐵))↑2) − ((√‘(𝐶 − 𝐵))↑2)) / 2) = ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) · ((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵)))) / 2))
72		pnncan 11499	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐶 + 𝐵) − (𝐶 − 𝐵)) = (𝐵 + 𝐵))
73	72	3anidm23 1446	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐶 + 𝐵) − (𝐶 − 𝐵)) = (𝐵 + 𝐵))
74		2times 12376	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (2 · 𝐵) = (𝐵 + 𝐵))
75	74	adantl 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · 𝐵) = (𝐵 + 𝐵))
76	73, 75	eqtr4d 2807	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐶 + 𝐵) − (𝐶 − 𝐵)) = (2 · 𝐵))
77	4, 5, 76	syl2anr 608	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((𝐶 + 𝐵) − (𝐶 − 𝐵)) = (2 · 𝐵))
78	77	3adant1 1146	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((𝐶 + 𝐵) − (𝐶 − 𝐵)) = (2 · 𝐵))
79	78	3ad2ant1 1149	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → ((𝐶 + 𝐵) − (𝐶 − 𝐵)) = (2 · 𝐵))
80	79	oveq1d 7426	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (((𝐶 + 𝐵) − (𝐶 − 𝐵)) / 2) = ((2 · 𝐵) / 2))
81		2cn 12316	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
82		2ne0 12347	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ≠ 0
83		divcan3 11898	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((2 · 𝐵) / 2) = 𝐵)
84	81, 82, 83	mp3an23 1479	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ((2 · 𝐵) / 2) = 𝐵)
85	65, 5, 84	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → ((2 · 𝐵) / 2) = 𝐵)
86	80, 85	eqtrd 2804	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (((𝐶 + 𝐵) − (𝐶 − 𝐵)) / 2) = 𝐵)
87	64, 71, 86	3eqtr3d 2812	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) · ((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵)))) / 2) = 𝐵)
88	87	oveq1d 7426	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) · ((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵)))) / 2) / 2) = (𝐵 / 2))
89	30, 88	eqtrd 2804	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)) = (𝐵 / 2))
90	3, 89	eqtrid 2816	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (𝑀 · 𝑁) = (𝐵 / 2))
91	90	oveq2d 7427	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (2 · (𝑀 · 𝑁)) = (2 · (𝐵 / 2)))
92		divcan2 11880	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (2 · (𝐵 / 2)) = 𝐵)
93	81, 82, 92	mp3an23 1479	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (2 · (𝐵 / 2)) = 𝐵)
94	5, 93	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (2 · (𝐵 / 2)) = 𝐵)
95	94	3ad2ant2 1150	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (2 · (𝐵 / 2)) = 𝐵)
96	95	3ad2ant1 1149	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (2 · (𝐵 / 2)) = 𝐵)
97	91, 96	eqtr2d 2805	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → 𝐵 = (2 · (𝑀 · 𝑁)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964   class class class wbr 5113  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℂcc 11098  ℝcr 11099  0cc0 11100  1c1 11101   + caddc 11103   · cmul 11105   < clt 11243   ≤ cle 11244   − cmin 11441   / cdiv 11871  ℕcn 12233  2c2 12295  ↑cexp 14097  √csqrt 15284   ∥ cdvds 16310   gcd cgcd 16552

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-sup 9402  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-rp 13017  df-seq 14038  df-exp 14098  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287

This theorem is referenced by:  pythagtriplem18  16892  flt4lem5  43308  flt4lem5b  43311  flt4lem5c  43312