MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  avglt2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem avglt2 12482
Description: Ordering property for average. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
avglt2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” ((๐ด + ๐ต) / 2) < ๐ต))

Proof of Theorem avglt2
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
21recnd 11273 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
3 2times 12379 . . . 4 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (2 ยท ๐ต) = (๐ต + ๐ต))
42, 3syl 17 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (2 ยท ๐ต) = (๐ต + ๐ต))
54breq2d 5160 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด + ๐ต) < (2 ยท ๐ต) โ†” (๐ด + ๐ต) < (๐ต + ๐ต)))
6 readdcl 11222 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„)
7 2re 12317 . . . . 5 2 โˆˆ โ„
8 2pos 12346 . . . . 5 0 < 2
97, 8pm3.2i 470 . . . 4 (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2)
109a1i 11 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2))
11 ltdivmul 12120 . . 3 (((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2)) โ†’ (((๐ด + ๐ต) / 2) < ๐ต โ†” (๐ด + ๐ต) < (2 ยท ๐ต)))
126, 1, 10, 11syl3anc 1369 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด + ๐ต) / 2) < ๐ต โ†” (๐ด + ๐ต) < (2 ยท ๐ต)))
13 ltadd1 11712 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (๐ด + ๐ต) < (๐ต + ๐ต)))
14133anidm23 1419 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (๐ด + ๐ต) < (๐ต + ๐ต)))
155, 12, 143bitr4rd 312 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” ((๐ด + ๐ต) / 2) < ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   class class class wbr 5148  (class class class)co 7420  โ„‚cc 11137  โ„cr 11138  0cc0 11139   + caddc 11142   ยท cmul 11144   < clt 11279   / cdiv 11902  2c2 12298
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-2 12306
This theorem is referenced by:  avgle1  12483  geomulcvg  15855  ruclem2  16209  ruclem3  16210  dvferm1lem  25929  dvferm2lem  25931  radcnvle  26369  psercnlem1  26375  pserdvlem1  26377  pserdvlem2  26378  logtayl  26607  iooelexlt  36841  ioomidp  44899  dvbdfbdioolem2  45317  dvbdfbdioo  45318  fourierdlem10  45505  fourierdlem79  45573
  Copyright terms: Public domain W3C validator