Theorem avglt2 12142

Description: Ordering property for average. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
avglt2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝐵))

Proof of Theorem avglt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
2	1	recnd 10934	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
3		2times 12039	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (2 · 𝐵) = (𝐵 + 𝐵))
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (2 · 𝐵) = (𝐵 + 𝐵))
5	4	breq2d 5082	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) < (2 · 𝐵) ↔ (𝐴 + 𝐵) < (𝐵 + 𝐵)))
6		readdcl 10885	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
7		2re 11977	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
8		2pos 12006	. . . . 5 ⊢ 0 < 2
9	7, 8	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
11		ltdivmul 11780	. . 3 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐵) < (2 · 𝐵)))
12	6, 1, 10, 11	syl3anc 1369	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐵) < (2 · 𝐵)))
13		ltadd1 11372	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐵) < (𝐵 + 𝐵)))
14	13	3anidm23 1419	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐵) < (𝐵 + 𝐵)))
15	5, 12, 14	3bitr4rd 311	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802   + caddc 10805   · cmul 10807   < clt 10940   / cdiv 11562  2c2 11958

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-2 11966

This theorem is referenced by:  avgle1  12143  geomulcvg  15516  ruclem2  15869  ruclem3  15870  dvferm1lem  25053  dvferm2lem  25055  radcnvle  25484  psercnlem1  25489  pserdvlem1  25491  pserdvlem2  25492  logtayl  25720  iooelexlt  35460  ioomidp  42942  dvbdfbdioolem2  43360  dvbdfbdioo  43361  fourierdlem10  43548  fourierdlem79  43616