MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expubnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expubnd 13175
Description: An upper bound on 𝐴𝑁 when 2 ≤ 𝐴. (Contributed by NM, 19-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
expubnd ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝐴) → (𝐴𝑁) ≤ ((2↑𝑁) · ((𝐴 − 1)↑𝑁)))

Proof of Theorem expubnd
StepHypRef Expression
1 simp1 1167 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
2 2re 11387 . . . . 5 2 ∈ ℝ
3 peano2rem 10640 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
4 remulcl 10309 . . . . 5 ((2 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 1) ∈ ℝ) → (2 · (𝐴 − 1)) ∈ ℝ)
52, 3, 4sylancr 582 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (2 · (𝐴 − 1)) ∈ ℝ)
653ad2ant1 1164 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝐴) → (2 · (𝐴 − 1)) ∈ ℝ)
7 simp2 1168 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝐴) → 𝑁 ∈ ℕ0)
8 0le2 11422 . . . . . . 7 0 ≤ 2
9 0re 10330 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
10 letr 10421 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 𝐴) → 0 ≤ 𝐴))
119, 2, 10mp3an12 1576 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → ((0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 𝐴) → 0 ≤ 𝐴))
128, 11mpani 688 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (2 ≤ 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
1312imp 396 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝐴) → 0 ≤ 𝐴)
14 resubcl 10637 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (𝐴 − 2) ∈ ℝ)
152, 14mpan2 683 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 2) ∈ ℝ)
16 leadd2 10789 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 2) ∈ ℝ) → (2 ≤ 𝐴 ↔ ((𝐴 − 2) + 2) ≤ ((𝐴 − 2) + 𝐴)))
172, 16mp3an1 1573 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 2) ∈ ℝ) → (2 ≤ 𝐴 ↔ ((𝐴 − 2) + 2) ≤ ((𝐴 − 2) + 𝐴)))
1815, 17mpdan 679 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (2 ≤ 𝐴 ↔ ((𝐴 − 2) + 2) ≤ ((𝐴 − 2) + 𝐴)))
1918biimpa 469 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝐴) → ((𝐴 − 2) + 2) ≤ ((𝐴 − 2) + 𝐴))
20 recn 10314 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
21 2cn 11388 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
22 npcan 10582 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 2) + 2) = 𝐴)
2320, 21, 22sylancl 581 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 − 2) + 2) = 𝐴)
2423adantr 473 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝐴) → ((𝐴 − 2) + 2) = 𝐴)
25 ax-1cn 10282 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
26 subdi 10755 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (2 · (𝐴 − 1)) = ((2 · 𝐴) − (2 · 1)))
2721, 25, 26mp3an13 1577 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (𝐴 − 1)) = ((2 · 𝐴) − (2 · 1)))
28 2times 11456 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
29 2t1e2 11483 . . . . . . . . . . 11 (2 · 1) = 2
3029a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 1) = 2)
3128, 30oveq12d 6896 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · 𝐴) − (2 · 1)) = ((𝐴 + 𝐴) − 2))
32 addsub 10584 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐴) − 2) = ((𝐴 − 2) + 𝐴))
3321, 32mp3an3 1575 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐴) − 2) = ((𝐴 − 2) + 𝐴))
3433anidms 563 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 𝐴) − 2) = ((𝐴 − 2) + 𝐴))
3527, 31, 343eqtrrd 2838 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 2) + 𝐴) = (2 · (𝐴 − 1)))
3620, 35syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 − 2) + 𝐴) = (2 · (𝐴 − 1)))
3736adantr 473 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝐴) → ((𝐴 − 2) + 𝐴) = (2 · (𝐴 − 1)))
3819, 24, 373brtr3d 4874 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝐴) → 𝐴 ≤ (2 · (𝐴 − 1)))
3913, 38jca 508 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝐴) → (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ (2 · (𝐴 − 1))))
40393adant2 1162 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝐴) → (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ (2 · (𝐴 − 1))))
41 leexp1a 13173 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (2 · (𝐴 − 1)) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ (2 · (𝐴 − 1)))) → (𝐴𝑁) ≤ ((2 · (𝐴 − 1))↑𝑁))
421, 6, 7, 40, 41syl31anc 1493 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝐴) → (𝐴𝑁) ≤ ((2 · (𝐴 − 1))↑𝑁))
433recnd 10357 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
44 mulexp 13153 . . . . 5 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 1) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((2 · (𝐴 − 1))↑𝑁) = ((2↑𝑁) · ((𝐴 − 1)↑𝑁)))
4521, 44mp3an1 1573 . . . 4 (((𝐴 − 1) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((2 · (𝐴 − 1))↑𝑁) = ((2↑𝑁) · ((𝐴 − 1)↑𝑁)))
4643, 45sylan 576 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((2 · (𝐴 − 1))↑𝑁) = ((2↑𝑁) · ((𝐴 − 1)↑𝑁)))
47463adant3 1163 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝐴) → ((2 · (𝐴 − 1))↑𝑁) = ((2↑𝑁) · ((𝐴 − 1)↑𝑁)))
4842, 47breqtrd 4869 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝐴) → (𝐴𝑁) ≤ ((2↑𝑁) · ((𝐴 − 1)↑𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157   class class class wbr 4843  (class class class)co 6878  cc 10222  cr 10223  0cc0 10224  1c1 10225   + caddc 10227   · cmul 10229  cle 10364  cmin 10556  2c2 11368  0cn0 11580  cexp 13114
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-seq 13056  df-exp 13115
This theorem is referenced by:  faclbnd4lem1  13333
  Copyright terms: Public domain W3C validator