Theorem expubnd 13895

Description: An upper bound on 𝐴↑𝑁 when 2 ≤ 𝐴. (Contributed by NM, 19-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
expubnd	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝐴) → (𝐴↑𝑁) ≤ ((2↑𝑁) · ((𝐴 − 1)↑𝑁)))

Proof of Theorem expubnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1135	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
2		2re 12047	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
3		peano2rem 11288	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
4		remulcl 10956	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 1) ∈ ℝ) → (2 · (𝐴 − 1)) ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (2 · (𝐴 − 1)) ∈ ℝ)
6	5	3ad2ant1 1132	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝐴) → (2 · (𝐴 − 1)) ∈ ℝ)
7		simp2 1136	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝐴) → 𝑁 ∈ ℕ0)
8		0le2 12075	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 2
9		0re 10977	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
10		letr 11069	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 𝐴) → 0 ≤ 𝐴))
11	9, 2, 10	mp3an12 1450	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 𝐴) → 0 ≤ 𝐴))
12	8, 11	mpani 693	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (2 ≤ 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
13	12	imp 407	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝐴) → 0 ≤ 𝐴)
14		resubcl 11285	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (𝐴 − 2) ∈ ℝ)
15	2, 14	mpan2 688	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 2) ∈ ℝ)
16		leadd2 11444	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 2) ∈ ℝ) → (2 ≤ 𝐴 ↔ ((𝐴 − 2) + 2) ≤ ((𝐴 − 2) + 𝐴)))
17	2, 16	mp3an1 1447	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 2) ∈ ℝ) → (2 ≤ 𝐴 ↔ ((𝐴 − 2) + 2) ≤ ((𝐴 − 2) + 𝐴)))
18	15, 17	mpdan 684	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (2 ≤ 𝐴 ↔ ((𝐴 − 2) + 2) ≤ ((𝐴 − 2) + 𝐴)))
19	18	biimpa 477	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝐴) → ((𝐴 − 2) + 2) ≤ ((𝐴 − 2) + 𝐴))
20		recn 10961	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
21		2cn 12048	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
22		npcan 11230	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 2) + 2) = 𝐴)
23	20, 21, 22	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 − 2) + 2) = 𝐴)
24	23	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝐴) → ((𝐴 − 2) + 2) = 𝐴)
25		ax-1cn 10929	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
26		subdi 11408	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (2 · (𝐴 − 1)) = ((2 · 𝐴) − (2 · 1)))
27	21, 25, 26	mp3an13 1451	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (𝐴 − 1)) = ((2 · 𝐴) − (2 · 1)))
28		2times 12109	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
29		2t1e2 12136	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · 1) = 2
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 1) = 2)
31	28, 30	oveq12d 7293	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · 𝐴) − (2 · 1)) = ((𝐴 + 𝐴) − 2))
32		addsub 11232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐴) − 2) = ((𝐴 − 2) + 𝐴))
33	21, 32	mp3an3 1449	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐴) − 2) = ((𝐴 − 2) + 𝐴))
34	33	anidms 567	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 𝐴) − 2) = ((𝐴 − 2) + 𝐴))
35	27, 31, 34	3eqtrrd 2783	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 2) + 𝐴) = (2 · (𝐴 − 1)))
36	20, 35	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 − 2) + 𝐴) = (2 · (𝐴 − 1)))
37	36	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝐴) → ((𝐴 − 2) + 𝐴) = (2 · (𝐴 − 1)))
38	19, 24, 37	3brtr3d 5105	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝐴) → 𝐴 ≤ (2 · (𝐴 − 1)))
39	13, 38	jca 512	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝐴) → (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ (2 · (𝐴 − 1))))
40	39	3adant2 1130	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝐴) → (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ (2 · (𝐴 − 1))))
41		leexp1a 13893	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (2 · (𝐴 − 1)) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ (2 · (𝐴 − 1)))) → (𝐴↑𝑁) ≤ ((2 · (𝐴 − 1))↑𝑁))
42	1, 6, 7, 40, 41	syl31anc 1372	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝐴) → (𝐴↑𝑁) ≤ ((2 · (𝐴 − 1))↑𝑁))
43	3	recnd 11003	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
44		mulexp 13822	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 1) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((2 · (𝐴 − 1))↑𝑁) = ((2↑𝑁) · ((𝐴 − 1)↑𝑁)))
45	21, 44	mp3an1 1447	. . . 4 ⊢ (((𝐴 − 1) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((2 · (𝐴 − 1))↑𝑁) = ((2↑𝑁) · ((𝐴 − 1)↑𝑁)))
46	43, 45	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((2 · (𝐴 − 1))↑𝑁) = ((2↑𝑁) · ((𝐴 − 1)↑𝑁)))
47	46	3adant3 1131	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝐴) → ((2 · (𝐴 − 1))↑𝑁) = ((2↑𝑁) · ((𝐴 − 1)↑𝑁)))
48	42, 47	breqtrd 5100	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝐴) → (𝐴↑𝑁) ≤ ((2↑𝑁) · ((𝐴 − 1)↑𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876   ≤ cle 11010   − cmin 11205  2c2 12028  ℕ₀cn0 12233  ↑cexp 13782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-seq 13722  df-exp 13783

This theorem is referenced by:  faclbnd4lem1  14007