MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2sqreunnltlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2sqreunnltlem 27189
Description: Lemma for 2sqreunnlt 27199. (Contributed by AV, 4-Jun-2023.) Specialization to different integers, proposed by GL. (Revised by AV, 11-Jun-2023.)
Assertion
Ref Expression
2sqreunnltlem ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ƒ mod 4) = 1) โ†’ โˆƒ!๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ!๐‘ โˆˆ โ„• (๐‘Ž < ๐‘ โˆง ((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) = ๐‘ƒ))
Distinct variable group:   ๐‘ƒ,๐‘Ž,๐‘

Proof of Theorem 2sqreunnltlem
StepHypRef Expression
1 2sqreunnlem1 27188 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ƒ mod 4) = 1) โ†’ โˆƒ!๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ!๐‘ โˆˆ โ„• (๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โˆง ((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) = ๐‘ƒ))
2 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ = ๐‘Ž โ†’ (๐‘โ†‘2) = (๐‘Žโ†‘2))
32oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ = ๐‘Ž โ†’ ((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) = ((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘Žโ†‘2)))
43adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ = ๐‘Ž โˆง (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ƒ mod 4) = 1) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) = ((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘Žโ†‘2)))
5 nncn 12224 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘Ž โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„‚)
65sqcld 14113 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘Ž โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘Žโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
7 2times 12352 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘Žโ†‘2) โˆˆ โ„‚ โ†’ (2 ยท (๐‘Žโ†‘2)) = ((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘Žโ†‘2)))
87eqcomd 2736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘Žโ†‘2) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘Žโ†‘2)) = (2 ยท (๐‘Žโ†‘2)))
96, 8syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘Ž โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘Žโ†‘2)) = (2 ยท (๐‘Žโ†‘2)))
109adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ƒ mod 4) = 1) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘Žโ†‘2)) = (2 ยท (๐‘Žโ†‘2)))
1110ad2antrl 724 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ = ๐‘Ž โˆง (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ƒ mod 4) = 1) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘Žโ†‘2)) = (2 ยท (๐‘Žโ†‘2)))
124, 11eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ = ๐‘Ž โˆง (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ƒ mod 4) = 1) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) = (2 ยท (๐‘Žโ†‘2)))
1312eqeq1d 2732 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ = ๐‘Ž โˆง (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ƒ mod 4) = 1) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) = ๐‘ƒ โ†” (2 ยท (๐‘Žโ†‘2)) = ๐‘ƒ))
14 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ƒ = (2 ยท (๐‘Žโ†‘2)) โ†’ (๐‘ƒ mod 4) = ((2 ยท (๐‘Žโ†‘2)) mod 4))
1514eqeq1d 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ƒ = (2 ยท (๐‘Žโ†‘2)) โ†’ ((๐‘ƒ mod 4) = 1 โ†” ((2 ยท (๐‘Žโ†‘2)) mod 4) = 1))
16 eleq1 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ƒ = (2 ยท (๐‘Žโ†‘2)) โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†” (2 ยท (๐‘Žโ†‘2)) โˆˆ โ„™))
1715, 16anbi12d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ƒ = (2 ยท (๐‘Žโ†‘2)) โ†’ (((๐‘ƒ mod 4) = 1 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†” (((2 ยท (๐‘Žโ†‘2)) mod 4) = 1 โˆง (2 ยท (๐‘Žโ†‘2)) โˆˆ โ„™)))
18 nnz 12583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘Ž โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„ค)
19 2nn0 12493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 โˆˆ โ„•0
20 zexpcl 14046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘Žโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
2118, 19, 20sylancl 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘Ž โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘Žโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
22 2mulprm 16634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐‘Žโ†‘2) โˆˆ โ„ค โ†’ ((2 ยท (๐‘Žโ†‘2)) โˆˆ โ„™ โ†” (๐‘Žโ†‘2) = 1))
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘Ž โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท (๐‘Žโ†‘2)) โˆˆ โ„™ โ†” (๐‘Žโ†‘2) = 1))
24 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐‘Žโ†‘2) = 1 โ†’ (2 ยท (๐‘Žโ†‘2)) = (2 ยท 1))
25 2t1e2 12379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (2 ยท 1) = 2
2624, 25eqtrdi 2786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐‘Žโ†‘2) = 1 โ†’ (2 ยท (๐‘Žโ†‘2)) = 2)
2726oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐‘Žโ†‘2) = 1 โ†’ ((2 ยท (๐‘Žโ†‘2)) mod 4) = (2 mod 4))
28 2re 12290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2 โˆˆ โ„
29 4nn 12299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4 โˆˆ โ„•
30 nnrp 12989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (4 โˆˆ โ„• โ†’ 4 โˆˆ โ„+)
3129, 30ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4 โˆˆ โ„+
32 0le2 12318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 0 โ‰ค 2
33 2lt4 12391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2 < 4
34 modid 13865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((2 โˆˆ โ„ โˆง 4 โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค 2 โˆง 2 < 4)) โ†’ (2 mod 4) = 2)
3528, 31, 32, 33, 34mp4an 689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (2 mod 4) = 2
3627, 35eqtrdi 2786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐‘Žโ†‘2) = 1 โ†’ ((2 ยท (๐‘Žโ†‘2)) mod 4) = 2)
3736eqeq1d 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐‘Žโ†‘2) = 1 โ†’ (((2 ยท (๐‘Žโ†‘2)) mod 4) = 1 โ†” 2 = 1))
38 1ne2 12424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 โ‰  2
39 eqcom 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (2 = 1 โ†” 1 = 2)
40 eqneqall 2949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (1 = 2 โ†’ (1 โ‰  2 โ†’ (๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โ†’ ๐‘ โ‰  ๐‘Ž)))
4140com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (1 โ‰  2 โ†’ (1 = 2 โ†’ (๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โ†’ ๐‘ โ‰  ๐‘Ž)))
4239, 41biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (1 โ‰  2 โ†’ (2 = 1 โ†’ (๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โ†’ ๐‘ โ‰  ๐‘Ž)))
4338, 42ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (2 = 1 โ†’ (๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โ†’ ๐‘ โ‰  ๐‘Ž))
4437, 43syl6bi 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘Žโ†‘2) = 1 โ†’ (((2 ยท (๐‘Žโ†‘2)) mod 4) = 1 โ†’ (๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โ†’ ๐‘ โ‰  ๐‘Ž)))
4523, 44syl6bi 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘Ž โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท (๐‘Žโ†‘2)) โˆˆ โ„™ โ†’ (((2 ยท (๐‘Žโ†‘2)) mod 4) = 1 โ†’ (๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โ†’ ๐‘ โ‰  ๐‘Ž))))
4645impcomd 410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘Ž โˆˆ โ„• โ†’ ((((2 ยท (๐‘Žโ†‘2)) mod 4) = 1 โˆง (2 ยท (๐‘Žโ†‘2)) โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โ†’ ๐‘ โ‰  ๐‘Ž)))
4746com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((2 ยท (๐‘Žโ†‘2)) mod 4) = 1 โˆง (2 ยท (๐‘Žโ†‘2)) โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘Ž โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โ†’ ๐‘ โ‰  ๐‘Ž)))
4817, 47syl6bi 252 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ƒ = (2 ยท (๐‘Žโ†‘2)) โ†’ (((๐‘ƒ mod 4) = 1 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘Ž โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โ†’ ๐‘ โ‰  ๐‘Ž))))
4948expd 414 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ƒ = (2 ยท (๐‘Žโ†‘2)) โ†’ ((๐‘ƒ mod 4) = 1 โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘Ž โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โ†’ ๐‘ โ‰  ๐‘Ž)))))
5049com34 91 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ƒ = (2 ยท (๐‘Žโ†‘2)) โ†’ ((๐‘ƒ mod 4) = 1 โ†’ (๐‘Ž โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โ†’ ๐‘ โ‰  ๐‘Ž)))))
5150eqcoms 2738 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ยท (๐‘Žโ†‘2)) = ๐‘ƒ โ†’ ((๐‘ƒ mod 4) = 1 โ†’ (๐‘Ž โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โ†’ ๐‘ โ‰  ๐‘Ž)))))
5251com14 96 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ((๐‘ƒ mod 4) = 1 โ†’ (๐‘Ž โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท (๐‘Žโ†‘2)) = ๐‘ƒ โ†’ (๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โ†’ ๐‘ โ‰  ๐‘Ž)))))
5352imp31 416 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ƒ mod 4) = 1) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•) โ†’ ((2 ยท (๐‘Žโ†‘2)) = ๐‘ƒ โ†’ (๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โ†’ ๐‘ โ‰  ๐‘Ž)))
5453ad2antrl 724 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ = ๐‘Ž โˆง (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ƒ mod 4) = 1) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((2 ยท (๐‘Žโ†‘2)) = ๐‘ƒ โ†’ (๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โ†’ ๐‘ โ‰  ๐‘Ž)))
5513, 54sylbid 239 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ = ๐‘Ž โˆง (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ƒ mod 4) = 1) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) = ๐‘ƒ โ†’ (๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โ†’ ๐‘ โ‰  ๐‘Ž)))
5655expimpd 452 . . . . . . . . 9 (๐‘ = ๐‘Ž โ†’ (((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ƒ mod 4) = 1) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) = ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โ†’ ๐‘ โ‰  ๐‘Ž)))
57 2a1 28 . . . . . . . . 9 (๐‘ โ‰  ๐‘Ž โ†’ (((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ƒ mod 4) = 1) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) = ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โ†’ ๐‘ โ‰  ๐‘Ž)))
5856, 57pm2.61ine 3023 . . . . . . . 8 (((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ƒ mod 4) = 1) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) = ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โ†’ ๐‘ โ‰  ๐‘Ž))
5958pm4.71d 560 . . . . . . 7 (((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ƒ mod 4) = 1) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) = ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โ†” (๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘Ž)))
60 nnre 12223 . . . . . . . . . . 11 (๐‘Ž โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„)
6160adantl 480 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ƒ mod 4) = 1) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„)
62 nnre 12223 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
63 ltlen 11319 . . . . . . . . . 10 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘Ž < ๐‘ โ†” (๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘Ž)))
6461, 62, 63syl2an 594 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ƒ mod 4) = 1) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘Ž < ๐‘ โ†” (๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘Ž)))
6564bibi2d 341 . . . . . . . 8 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ƒ mod 4) = 1) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โ†” ๐‘Ž < ๐‘) โ†” (๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โ†” (๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘Ž))))
6665adantr 479 . . . . . . 7 (((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ƒ mod 4) = 1) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) = ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โ†” ๐‘Ž < ๐‘) โ†” (๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โ†” (๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘Ž))))
6759, 66mpbird 256 . . . . . 6 (((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ƒ mod 4) = 1) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) = ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โ†” ๐‘Ž < ๐‘))
6867ex 411 . . . . 5 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ƒ mod 4) = 1) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) = ๐‘ƒ โ†’ (๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โ†” ๐‘Ž < ๐‘)))
6968pm5.32rd 576 . . . 4 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ƒ mod 4) = 1) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โˆง ((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) = ๐‘ƒ) โ†” (๐‘Ž < ๐‘ โˆง ((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) = ๐‘ƒ)))
7069reubidva 3390 . . 3 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ƒ mod 4) = 1) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆƒ!๐‘ โˆˆ โ„• (๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โˆง ((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) = ๐‘ƒ) โ†” โˆƒ!๐‘ โˆˆ โ„• (๐‘Ž < ๐‘ โˆง ((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) = ๐‘ƒ)))
7170reubidva 3390 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ƒ mod 4) = 1) โ†’ (โˆƒ!๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ!๐‘ โˆˆ โ„• (๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โˆง ((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) = ๐‘ƒ) โ†” โˆƒ!๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ!๐‘ โˆˆ โ„• (๐‘Ž < ๐‘ โˆง ((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) = ๐‘ƒ)))
721, 71mpbid 231 1 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ƒ mod 4) = 1) โ†’ โˆƒ!๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ!๐‘ โˆˆ โ„• (๐‘Ž < ๐‘ โˆง ((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) = ๐‘ƒ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   โ‰  wne 2938  โˆƒ!wreu 3372   class class class wbr 5147  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253  โ„•cn 12216  2c2 12271  4c4 12273  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  โ„+crp 12978   mod cmo 13838  โ†‘cexp 14031  โ„™cprime 16612
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-ofr 7673  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-er 8705  df-ec 8707  df-qs 8711  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-dvds 16202  df-gcd 16440  df-prm 16613  df-phi 16703  df-pc 16774  df-gz 16867  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-prds 17397  df-pws 17399  df-imas 17458  df-qus 17459  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-mulg 18987  df-subg 19039  df-nsg 19040  df-eqg 19041  df-ghm 19128  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-srg 20081  df-ring 20129  df-cring 20130  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-dvr 20292  df-rhm 20363  df-nzr 20404  df-subrng 20434  df-subrg 20459  df-drng 20502  df-field 20503  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-lsp 20727  df-sra 20930  df-rgmod 20931  df-lidl 20932  df-rsp 20933  df-2idl 21006  df-rlreg 21099  df-domn 21100  df-idom 21101  df-cnfld 21145  df-zring 21218  df-zrh 21272  df-zn 21275  df-assa 21627  df-asp 21628  df-ascl 21629  df-psr 21681  df-mvr 21682  df-mpl 21683  df-opsr 21685  df-evls 21854  df-evl 21855  df-psr1 21923  df-vr1 21924  df-ply1 21925  df-coe1 21926  df-evl1 22055  df-mdeg 25805  df-deg1 25806  df-mon1 25883  df-uc1p 25884  df-q1p 25885  df-r1p 25886  df-lgs 27034
This theorem is referenced by:  2sqreunnltblem  27190  2sqreunnlt  27199
  Copyright terms: Public domain W3C validator