MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2sqreunnltlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2sqreunnltlem 26880
Description: Lemma for 2sqreunnlt 26890. (Contributed by AV, 4-Jun-2023.) Specialization to different integers, proposed by GL. (Revised by AV, 11-Jun-2023.)
Assertion
Ref Expression
2sqreunnltlem ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ∃!𝑎 ∈ ℕ ∃!𝑏 ∈ ℕ (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
Distinct variable group:   𝑃,𝑎,𝑏

Proof of Theorem 2sqreunnltlem
StepHypRef Expression
1 2sqreunnlem1 26879 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ∃!𝑎 ∈ ℕ ∃!𝑏 ∈ ℕ (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
2 oveq1 7400 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = 𝑎 → (𝑏↑2) = (𝑎↑2))
32oveq2d 7409 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 𝑎 → ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑎↑2) + (𝑎↑2)))
43adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 = 𝑎 ∧ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) → ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑎↑2) + (𝑎↑2)))
5 nncn 12202 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 ∈ ℕ → 𝑎 ∈ ℂ)
65sqcld 14091 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 ∈ ℕ → (𝑎↑2) ∈ ℂ)
7 2times 12330 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑎↑2) ∈ ℂ → (2 · (𝑎↑2)) = ((𝑎↑2) + (𝑎↑2)))
87eqcomd 2737 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑎↑2) ∈ ℂ → ((𝑎↑2) + (𝑎↑2)) = (2 · (𝑎↑2)))
96, 8syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 ∈ ℕ → ((𝑎↑2) + (𝑎↑2)) = (2 · (𝑎↑2)))
109adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → ((𝑎↑2) + (𝑎↑2)) = (2 · (𝑎↑2)))
1110ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 = 𝑎 ∧ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) → ((𝑎↑2) + (𝑎↑2)) = (2 · (𝑎↑2)))
124, 11eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 = 𝑎 ∧ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) → ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = (2 · (𝑎↑2)))
1312eqeq1d 2733 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 = 𝑎 ∧ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) → (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃 ↔ (2 · (𝑎↑2)) = 𝑃))
14 oveq1 7400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃 = (2 · (𝑎↑2)) → (𝑃 mod 4) = ((2 · (𝑎↑2)) mod 4))
1514eqeq1d 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃 = (2 · (𝑎↑2)) → ((𝑃 mod 4) = 1 ↔ ((2 · (𝑎↑2)) mod 4) = 1))
16 eleq1 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃 = (2 · (𝑎↑2)) → (𝑃 ∈ ℙ ↔ (2 · (𝑎↑2)) ∈ ℙ))
1715, 16anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 = (2 · (𝑎↑2)) → (((𝑃 mod 4) = 1 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ↔ (((2 · (𝑎↑2)) mod 4) = 1 ∧ (2 · (𝑎↑2)) ∈ ℙ)))
18 nnz 12561 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑎 ∈ ℕ → 𝑎 ∈ ℤ)
19 2nn0 12471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 ∈ ℕ0
20 zexpcl 14024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑎↑2) ∈ ℤ)
2118, 19, 20sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑎 ∈ ℕ → (𝑎↑2) ∈ ℤ)
22 2mulprm 16612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑎↑2) ∈ ℤ → ((2 · (𝑎↑2)) ∈ ℙ ↔ (𝑎↑2) = 1))
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑎 ∈ ℕ → ((2 · (𝑎↑2)) ∈ ℙ ↔ (𝑎↑2) = 1))
24 oveq2 7401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑎↑2) = 1 → (2 · (𝑎↑2)) = (2 · 1))
25 2t1e2 12357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (2 · 1) = 2
2624, 25eqtrdi 2787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑎↑2) = 1 → (2 · (𝑎↑2)) = 2)
2726oveq1d 7408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑎↑2) = 1 → ((2 · (𝑎↑2)) mod 4) = (2 mod 4))
28 2re 12268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2 ∈ ℝ
29 4nn 12277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4 ∈ ℕ
30 nnrp 12967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (4 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ+)
3129, 30ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4 ∈ ℝ+
32 0le2 12296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 0 ≤ 2
33 2lt4 12369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2 < 4
34 modid 13843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((2 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 < 4)) → (2 mod 4) = 2)
3528, 31, 32, 33, 34mp4an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (2 mod 4) = 2
3627, 35eqtrdi 2787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑎↑2) = 1 → ((2 · (𝑎↑2)) mod 4) = 2)
3736eqeq1d 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑎↑2) = 1 → (((2 · (𝑎↑2)) mod 4) = 1 ↔ 2 = 1))
38 1ne2 12402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 ≠ 2
39 eqcom 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (2 = 1 ↔ 1 = 2)
40 eqneqall 2950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (1 = 2 → (1 ≠ 2 → (𝑎𝑏𝑏𝑎)))
4140com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (1 ≠ 2 → (1 = 2 → (𝑎𝑏𝑏𝑎)))
4239, 41biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (1 ≠ 2 → (2 = 1 → (𝑎𝑏𝑏𝑎)))
4338, 42ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (2 = 1 → (𝑎𝑏𝑏𝑎))
4437, 43syl6bi 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑎↑2) = 1 → (((2 · (𝑎↑2)) mod 4) = 1 → (𝑎𝑏𝑏𝑎)))
4523, 44syl6bi 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑎 ∈ ℕ → ((2 · (𝑎↑2)) ∈ ℙ → (((2 · (𝑎↑2)) mod 4) = 1 → (𝑎𝑏𝑏𝑎))))
4645impcomd 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑎 ∈ ℕ → ((((2 · (𝑎↑2)) mod 4) = 1 ∧ (2 · (𝑎↑2)) ∈ ℙ) → (𝑎𝑏𝑏𝑎)))
4746com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((2 · (𝑎↑2)) mod 4) = 1 ∧ (2 · (𝑎↑2)) ∈ ℙ) → (𝑎 ∈ ℕ → (𝑎𝑏𝑏𝑎)))
4817, 47syl6bi 252 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 = (2 · (𝑎↑2)) → (((𝑃 mod 4) = 1 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑎 ∈ ℕ → (𝑎𝑏𝑏𝑎))))
4948expd 416 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 = (2 · (𝑎↑2)) → ((𝑃 mod 4) = 1 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑎 ∈ ℕ → (𝑎𝑏𝑏𝑎)))))
5049com34 91 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 = (2 · (𝑎↑2)) → ((𝑃 mod 4) = 1 → (𝑎 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑎𝑏𝑏𝑎)))))
5150eqcoms 2739 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 · (𝑎↑2)) = 𝑃 → ((𝑃 mod 4) = 1 → (𝑎 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑎𝑏𝑏𝑎)))))
5251com14 96 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑃 mod 4) = 1 → (𝑎 ∈ ℕ → ((2 · (𝑎↑2)) = 𝑃 → (𝑎𝑏𝑏𝑎)))))
5352imp31 418 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → ((2 · (𝑎↑2)) = 𝑃 → (𝑎𝑏𝑏𝑎)))
5453ad2antrl 726 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 = 𝑎 ∧ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) → ((2 · (𝑎↑2)) = 𝑃 → (𝑎𝑏𝑏𝑎)))
5513, 54sylbid 239 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 = 𝑎 ∧ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) → (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃 → (𝑎𝑏𝑏𝑎)))
5655expimpd 454 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝑎 → (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → (𝑎𝑏𝑏𝑎)))
57 2a1 28 . . . . . . . . 9 (𝑏𝑎 → (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → (𝑎𝑏𝑏𝑎)))
5856, 57pm2.61ine 3024 . . . . . . . 8 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → (𝑎𝑏𝑏𝑎))
5958pm4.71d 562 . . . . . . 7 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → (𝑎𝑏 ↔ (𝑎𝑏𝑏𝑎)))
60 nnre 12201 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ ℕ → 𝑎 ∈ ℝ)
6160adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → 𝑎 ∈ ℝ)
62 nnre 12201 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ ℕ → 𝑏 ∈ ℝ)
63 ltlen 11297 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑎 < 𝑏 ↔ (𝑎𝑏𝑏𝑎)))
6461, 62, 63syl2an 596 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝑎 < 𝑏 ↔ (𝑎𝑏𝑏𝑎)))
6564bibi2d 342 . . . . . . . 8 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝑎𝑏𝑎 < 𝑏) ↔ (𝑎𝑏 ↔ (𝑎𝑏𝑏𝑎))))
6665adantr 481 . . . . . . 7 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → ((𝑎𝑏𝑎 < 𝑏) ↔ (𝑎𝑏 ↔ (𝑎𝑏𝑏𝑎))))
6759, 66mpbird 256 . . . . . 6 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → (𝑎𝑏𝑎 < 𝑏))
6867ex 413 . . . . 5 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃 → (𝑎𝑏𝑎 < 𝑏)))
6968pm5.32rd 578 . . . 4 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)))
7069reubidva 3391 . . 3 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → (∃!𝑏 ∈ ℕ (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ ∃!𝑏 ∈ ℕ (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)))
7170reubidva 3391 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → (∃!𝑎 ∈ ℕ ∃!𝑏 ∈ ℕ (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ ∃!𝑎 ∈ ℕ ∃!𝑏 ∈ ℕ (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)))
721, 71mpbid 231 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ∃!𝑎 ∈ ℕ ∃!𝑏 ∈ ℕ (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2939  ∃!wreu 3373   class class class wbr 5141  (class class class)co 7393  cc 11090  cr 11091  0cc0 11092  1c1 11093   + caddc 11095   · cmul 11097   < clt 11230  cle 11231  cn 12194  2c2 12249  4c4 12251  0cn0 12454  cz 12540  +crp 12956   mod cmo 13816  cexp 14009  cprime 16590
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169  ax-pre-sup 11170  ax-addf 11171  ax-mulf 11172
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-tp 4627  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-isom 6541  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-of 7653  df-ofr 7654  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-supp 8129  df-tpos 8193  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-2o 8449  df-oadd 8452  df-er 8686  df-ec 8688  df-qs 8692  df-map 8805  df-pm 8806  df-ixp 8875  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-fsupp 9345  df-sup 9419  df-inf 9420  df-oi 9487  df-dju 9878  df-card 9916  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-div 11854  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-4 12259  df-5 12260  df-6 12261  df-7 12262  df-8 12263  df-9 12264  df-n0 12455  df-xnn0 12527  df-z 12541  df-dec 12660  df-uz 12805  df-q 12915  df-rp 12957  df-fz 13467  df-fzo 13610  df-fl 13739  df-mod 13817  df-seq 13949  df-exp 14010  df-hash 14273  df-cj 15028  df-re 15029  df-im 15030  df-sqrt 15164  df-abs 15165  df-dvds 16180  df-gcd 16418  df-prm 16591  df-phi 16681  df-pc 16752  df-gz 16845  df-struct 17062  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17127  df-ress 17156  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-hom 17203  df-cco 17204  df-0g 17369  df-gsum 17370  df-prds 17375  df-pws 17377  df-imas 17436  df-qus 17437  df-mre 17512  df-mrc 17513  df-acs 17515  df-mgm 18543  df-sgrp 18592  df-mnd 18603  df-mhm 18647  df-submnd 18648  df-grp 18797  df-minusg 18798  df-sbg 18799  df-mulg 18923  df-subg 18975  df-nsg 18976  df-eqg 18977  df-ghm 19056  df-cntz 19147  df-cmn 19614  df-abl 19615  df-mgp 19947  df-ur 19964  df-srg 19968  df-ring 20016  df-cring 20017  df-oppr 20102  df-dvdsr 20123  df-unit 20124  df-invr 20154  df-dvr 20165  df-rnghom 20201  df-nzr 20242  df-drng 20267  df-field 20268  df-subrg 20310  df-lmod 20422  df-lss 20492  df-lsp 20532  df-sra 20734  df-rgmod 20735  df-lidl 20736  df-rsp 20737  df-2idl 20803  df-rlreg 20835  df-domn 20836  df-idom 20837  df-cnfld 20879  df-zring 20952  df-zrh 20986  df-zn 20989  df-assa 21341  df-asp 21342  df-ascl 21343  df-psr 21393  df-mvr 21394  df-mpl 21395  df-opsr 21397  df-evls 21564  df-evl 21565  df-psr1 21633  df-vr1 21634  df-ply1 21635  df-coe1 21636  df-evl1 21764  df-mdeg 25499  df-deg1 25500  df-mon1 25577  df-uc1p 25578  df-q1p 25579  df-r1p 25580  df-lgs 26725
This theorem is referenced by:  2sqreunnltblem  26881  2sqreunnlt  26890
  Copyright terms: Public domain W3C validator