Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pellexlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pellexlem2 40172
 Description: Lemma for pellex 40177. Arithmetical core of pellexlem3, norm upper bound. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pellexlem2 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → (abs‘((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷))))

Proof of Theorem pellexlem2
StepHypRef Expression
1 simpl3 1190 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → 𝐵 ∈ ℕ)
21nnred 11694 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → 𝐵 ∈ ℝ)
32resqcld 13666 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
42sqge0d 13667 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → 0 ≤ (𝐵↑2))
53, 4absidd 14835 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → (abs‘(𝐵↑2)) = (𝐵↑2))
65eqcomd 2764 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → (𝐵↑2) = (abs‘(𝐵↑2)))
76oveq2d 7171 . . . . 5 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → ((abs‘((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2)))) / (𝐵↑2)) = ((abs‘((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2)))) / (abs‘(𝐵↑2))))
8 simpl2 1189 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → 𝐴 ∈ ℕ)
98nncnd 11695 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → 𝐴 ∈ ℂ)
109sqcld 13563 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
11 simpl1 1188 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → 𝐷 ∈ ℕ)
1211nncnd 11695 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → 𝐷 ∈ ℂ)
131nncnd 11695 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → 𝐵 ∈ ℂ)
1413sqcld 13563 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
1512, 14mulcld 10704 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → (𝐷 · (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
1610, 15subcld 11040 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) ∈ ℂ)
171nnne0d 11729 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → 𝐵 ≠ 0)
18 sqne0 13544 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℂ → ((𝐵↑2) ≠ 0 ↔ 𝐵 ≠ 0))
1918biimpar 481 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵↑2) ≠ 0)
2013, 17, 19syl2anc 587 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → (𝐵↑2) ≠ 0)
2116, 14, 20absdivd 14868 . . . . 5 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → (abs‘(((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) / (𝐵↑2))) = ((abs‘((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2)))) / (abs‘(𝐵↑2))))
227, 21eqtr4d 2796 . . . 4 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → ((abs‘((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2)))) / (𝐵↑2)) = (abs‘(((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) / (𝐵↑2))))
2322oveq2d 7171 . . 3 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → ((𝐵↑2) · ((abs‘((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2)))) / (𝐵↑2))) = ((𝐵↑2) · (abs‘(((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) / (𝐵↑2)))))
2416abscld 14849 . . . . 5 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → (abs‘((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2)))) ∈ ℝ)
2524recnd 10712 . . . 4 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → (abs‘((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2)))) ∈ ℂ)
2625, 14, 20divcan2d 11461 . . 3 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → ((𝐵↑2) · ((abs‘((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2)))) / (𝐵↑2))) = (abs‘((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2)))))
2710, 15, 14, 20divsubdird 11498 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → (((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) / (𝐵↑2)) = (((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) − ((𝐷 · (𝐵↑2)) / (𝐵↑2))))
289, 13, 17sqdivd 13578 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → ((𝐴 / 𝐵)↑2) = ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)))
2928eqcomd 2764 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) = ((𝐴 / 𝐵)↑2))
3011nnred 11694 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → 𝐷 ∈ ℝ)
3111nnnn0d 11999 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → 𝐷 ∈ ℕ0)
3231nn0ge0d 12002 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → 0 ≤ 𝐷)
33 remsqsqrt 14669 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((√‘𝐷) · (√‘𝐷)) = 𝐷)
3430, 32, 33syl2anc 587 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → ((√‘𝐷) · (√‘𝐷)) = 𝐷)
3530, 32resqrtcld 14830 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → (√‘𝐷) ∈ ℝ)
3635recnd 10712 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → (√‘𝐷) ∈ ℂ)
3736sqvald 13562 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → ((√‘𝐷)↑2) = ((√‘𝐷) · (√‘𝐷)))
3812, 14, 20divcan4d 11465 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → ((𝐷 · (𝐵↑2)) / (𝐵↑2)) = 𝐷)
3934, 37, 383eqtr4rd 2804 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → ((𝐷 · (𝐵↑2)) / (𝐵↑2)) = ((√‘𝐷)↑2))
4029, 39oveq12d 7173 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → (((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) − ((𝐷 · (𝐵↑2)) / (𝐵↑2))) = (((𝐴 / 𝐵)↑2) − ((√‘𝐷)↑2)))
419, 13, 17divcld 11459 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
42 subsq 13627 . . . . . . . 8 (((𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ ∧ (√‘𝐷) ∈ ℂ) → (((𝐴 / 𝐵)↑2) − ((√‘𝐷)↑2)) = (((𝐴 / 𝐵) + (√‘𝐷)) · ((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))))
4341, 36, 42syl2anc 587 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → (((𝐴 / 𝐵)↑2) − ((√‘𝐷)↑2)) = (((𝐴 / 𝐵) + (√‘𝐷)) · ((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))))
4441, 36addcld 10703 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → ((𝐴 / 𝐵) + (√‘𝐷)) ∈ ℂ)
458nnred 11694 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → 𝐴 ∈ ℝ)
4645, 1nndivred 11733 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
4746, 35resubcld 11111 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → ((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷)) ∈ ℝ)
4847recnd 10712 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → ((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷)) ∈ ℂ)
4944, 48mulcomd 10705 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → (((𝐴 / 𝐵) + (√‘𝐷)) · ((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) = (((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷)) · ((𝐴 / 𝐵) + (√‘𝐷))))
5043, 49eqtrd 2793 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → (((𝐴 / 𝐵)↑2) − ((√‘𝐷)↑2)) = (((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷)) · ((𝐴 / 𝐵) + (√‘𝐷))))
5127, 40, 503eqtrd 2797 . . . . 5 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → (((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) / (𝐵↑2)) = (((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷)) · ((𝐴 / 𝐵) + (√‘𝐷))))
5251fveq2d 6666 . . . 4 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → (abs‘(((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) / (𝐵↑2))) = (abs‘(((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷)) · ((𝐴 / 𝐵) + (√‘𝐷)))))
5352oveq2d 7171 . . 3 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → ((𝐵↑2) · (abs‘(((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) / (𝐵↑2)))) = ((𝐵↑2) · (abs‘(((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷)) · ((𝐴 / 𝐵) + (√‘𝐷))))))
5423, 26, 533eqtr3d 2801 . 2 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → (abs‘((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2)))) = ((𝐵↑2) · (abs‘(((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷)) · ((𝐴 / 𝐵) + (√‘𝐷))))))
5548, 44absmuld 14867 . . . 4 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → (abs‘(((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷)) · ((𝐴 / 𝐵) + (√‘𝐷)))) = ((abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) · (abs‘((𝐴 / 𝐵) + (√‘𝐷)))))
5655oveq2d 7171 . . 3 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → ((𝐵↑2) · (abs‘(((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷)) · ((𝐴 / 𝐵) + (√‘𝐷))))) = ((𝐵↑2) · ((abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) · (abs‘((𝐴 / 𝐵) + (√‘𝐷))))))
5748abscld 14849 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) ∈ ℝ)
5844abscld 14849 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → (abs‘((𝐴 / 𝐵) + (√‘𝐷))) ∈ ℝ)
5957, 58remulcld 10714 . . . . 5 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → ((abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) · (abs‘((𝐴 / 𝐵) + (√‘𝐷)))) ∈ ℝ)
603, 59remulcld 10714 . . . 4 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → ((𝐵↑2) · ((abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) · (abs‘((𝐴 / 𝐵) + (√‘𝐷))))) ∈ ℝ)
61 2nn0 11956 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ0
6261nn0negzi 12065 . . . . . . . 8 -2 ∈ ℤ
6362a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → -2 ∈ ℤ)
642, 17, 63reexpclzd 13665 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → (𝐵↑-2) ∈ ℝ)
6564, 58remulcld 10714 . . . . 5 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → ((𝐵↑-2) · (abs‘((𝐴 / 𝐵) + (√‘𝐷)))) ∈ ℝ)
663, 65remulcld 10714 . . . 4 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → ((𝐵↑2) · ((𝐵↑-2) · (abs‘((𝐴 / 𝐵) + (√‘𝐷))))) ∈ ℝ)
67 1red 10685 . . . . 5 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → 1 ∈ ℝ)
68 2re 11753 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
6968a1i 11 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → 2 ∈ ℝ)
7069, 35remulcld 10714 . . . . 5 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → (2 · (√‘𝐷)) ∈ ℝ)
7167, 70readdcld 10713 . . . 4 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → (1 + (2 · (√‘𝐷))) ∈ ℝ)
72 simpr 488 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2))
738nngt0d 11728 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → 0 < 𝐴)
741nngt0d 11728 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → 0 < 𝐵)
7545, 2, 73, 74divgt0d 11618 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → 0 < (𝐴 / 𝐵))
7611nngt0d 11728 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → 0 < 𝐷)
77 sqrtgt0 14671 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷) → 0 < (√‘𝐷))
7830, 76, 77syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → 0 < (√‘𝐷))
7946, 35, 75, 78addgt0d 11258 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → 0 < ((𝐴 / 𝐵) + (√‘𝐷)))
8079gt0ne0d 11247 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → ((𝐴 / 𝐵) + (√‘𝐷)) ≠ 0)
81 absgt0 14737 . . . . . . . . 9 (((𝐴 / 𝐵) + (√‘𝐷)) ∈ ℂ → (((𝐴 / 𝐵) + (√‘𝐷)) ≠ 0 ↔ 0 < (abs‘((𝐴 / 𝐵) + (√‘𝐷)))))
8281biimpa 480 . . . . . . . 8 ((((𝐴 / 𝐵) + (√‘𝐷)) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 / 𝐵) + (√‘𝐷)) ≠ 0) → 0 < (abs‘((𝐴 / 𝐵) + (√‘𝐷))))
8344, 80, 82syl2anc 587 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → 0 < (abs‘((𝐴 / 𝐵) + (√‘𝐷))))
84 ltmul1 11533 . . . . . . 7 (((abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) ∈ ℝ ∧ (𝐵↑-2) ∈ ℝ ∧ ((abs‘((𝐴 / 𝐵) + (√‘𝐷))) ∈ ℝ ∧ 0 < (abs‘((𝐴 / 𝐵) + (√‘𝐷))))) → ((abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2) ↔ ((abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) · (abs‘((𝐴 / 𝐵) + (√‘𝐷)))) < ((𝐵↑-2) · (abs‘((𝐴 / 𝐵) + (√‘𝐷))))))
8557, 64, 58, 83, 84syl112anc 1371 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → ((abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2) ↔ ((abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) · (abs‘((𝐴 / 𝐵) + (√‘𝐷)))) < ((𝐵↑-2) · (abs‘((𝐴 / 𝐵) + (√‘𝐷))))))
8672, 85mpbid 235 . . . . 5 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → ((abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) · (abs‘((𝐴 / 𝐵) + (√‘𝐷)))) < ((𝐵↑-2) · (abs‘((𝐴 / 𝐵) + (√‘𝐷)))))
872, 17sqgt0d 13668 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → 0 < (𝐵↑2))
88 ltmul2 11534 . . . . . 6 ((((abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) · (abs‘((𝐴 / 𝐵) + (√‘𝐷)))) ∈ ℝ ∧ ((𝐵↑-2) · (abs‘((𝐴 / 𝐵) + (√‘𝐷)))) ∈ ℝ ∧ ((𝐵↑2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵↑2))) → (((abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) · (abs‘((𝐴 / 𝐵) + (√‘𝐷)))) < ((𝐵↑-2) · (abs‘((𝐴 / 𝐵) + (√‘𝐷)))) ↔ ((𝐵↑2) · ((abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) · (abs‘((𝐴 / 𝐵) + (√‘𝐷))))) < ((𝐵↑2) · ((𝐵↑-2) · (abs‘((𝐴 / 𝐵) + (√‘𝐷)))))))
8959, 65, 3, 87, 88syl112anc 1371 . . . . 5 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → (((abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) · (abs‘((𝐴 / 𝐵) + (√‘𝐷)))) < ((𝐵↑-2) · (abs‘((𝐴 / 𝐵) + (√‘𝐷)))) ↔ ((𝐵↑2) · ((abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) · (abs‘((𝐴 / 𝐵) + (√‘𝐷))))) < ((𝐵↑2) · ((𝐵↑-2) · (abs‘((𝐴 / 𝐵) + (√‘𝐷)))))))
9086, 89mpbid 235 . . . 4 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → ((𝐵↑2) · ((abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) · (abs‘((𝐴 / 𝐵) + (√‘𝐷))))) < ((𝐵↑2) · ((𝐵↑-2) · (abs‘((𝐴 / 𝐵) + (√‘𝐷))))))
9113, 17, 63expclzd 13570 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → (𝐵↑-2) ∈ ℂ)
9258recnd 10712 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → (abs‘((𝐴 / 𝐵) + (√‘𝐷))) ∈ ℂ)
93 mulass 10668 . . . . . . . 8 (((𝐵↑2) ∈ ℂ ∧ (𝐵↑-2) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) + (√‘𝐷))) ∈ ℂ) → (((𝐵↑2) · (𝐵↑-2)) · (abs‘((𝐴 / 𝐵) + (√‘𝐷)))) = ((𝐵↑2) · ((𝐵↑-2) · (abs‘((𝐴 / 𝐵) + (√‘𝐷))))))
9493eqcomd 2764 . . . . . . 7 (((𝐵↑2) ∈ ℂ ∧ (𝐵↑-2) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) + (√‘𝐷))) ∈ ℂ) → ((𝐵↑2) · ((𝐵↑-2) · (abs‘((𝐴 / 𝐵) + (√‘𝐷))))) = (((𝐵↑2) · (𝐵↑-2)) · (abs‘((𝐴 / 𝐵) + (√‘𝐷)))))
9514, 91, 92, 94syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → ((𝐵↑2) · ((𝐵↑-2) · (abs‘((𝐴 / 𝐵) + (√‘𝐷))))) = (((𝐵↑2) · (𝐵↑-2)) · (abs‘((𝐴 / 𝐵) + (√‘𝐷)))))
96 expneg 13492 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝐵↑-2) = (1 / (𝐵↑2)))
9713, 61, 96sylancl 589 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → (𝐵↑-2) = (1 / (𝐵↑2)))
9897oveq2d 7171 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → ((𝐵↑2) · (𝐵↑-2)) = ((𝐵↑2) · (1 / (𝐵↑2))))
9914, 20recidd 11454 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → ((𝐵↑2) · (1 / (𝐵↑2))) = 1)
10098, 99eqtrd 2793 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → ((𝐵↑2) · (𝐵↑-2)) = 1)
101100oveq1d 7170 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → (((𝐵↑2) · (𝐵↑-2)) · (abs‘((𝐴 / 𝐵) + (√‘𝐷)))) = (1 · (abs‘((𝐴 / 𝐵) + (√‘𝐷)))))
10292mulid2d 10702 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → (1 · (abs‘((𝐴 / 𝐵) + (√‘𝐷)))) = (abs‘((𝐴 / 𝐵) + (√‘𝐷))))
10395, 101, 1023eqtrd 2797 . . . . 5 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → ((𝐵↑2) · ((𝐵↑-2) · (abs‘((𝐴 / 𝐵) + (√‘𝐷))))) = (abs‘((𝐴 / 𝐵) + (√‘𝐷))))
10441, 36addcomd 10885 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → ((𝐴 / 𝐵) + (√‘𝐷)) = ((√‘𝐷) + (𝐴 / 𝐵)))
105 ppncan 10971 . . . . . . . . . 10 (((√‘𝐷) ∈ ℂ ∧ (√‘𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ) → (((√‘𝐷) + (√‘𝐷)) + ((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) = ((√‘𝐷) + (𝐴 / 𝐵)))
106105eqcomd 2764 . . . . . . . . 9 (((√‘𝐷) ∈ ℂ ∧ (√‘𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ) → ((√‘𝐷) + (𝐴 / 𝐵)) = (((√‘𝐷) + (√‘𝐷)) + ((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))))
10736, 36, 41, 106syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → ((√‘𝐷) + (𝐴 / 𝐵)) = (((√‘𝐷) + (√‘𝐷)) + ((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))))
10836, 36addcld 10703 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → ((√‘𝐷) + (√‘𝐷)) ∈ ℂ)
109108, 48addcomd 10885 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → (((√‘𝐷) + (√‘𝐷)) + ((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) = (((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷)) + ((√‘𝐷) + (√‘𝐷))))
110 2times 11815 . . . . . . . . . . . 12 ((√‘𝐷) ∈ ℂ → (2 · (√‘𝐷)) = ((√‘𝐷) + (√‘𝐷)))
111110eqcomd 2764 . . . . . . . . . . 11 ((√‘𝐷) ∈ ℂ → ((√‘𝐷) + (√‘𝐷)) = (2 · (√‘𝐷)))
11236, 111syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → ((√‘𝐷) + (√‘𝐷)) = (2 · (√‘𝐷)))
113112oveq2d 7171 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → (((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷)) + ((√‘𝐷) + (√‘𝐷))) = (((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷)) + (2 · (√‘𝐷))))
114109, 113eqtrd 2793 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → (((√‘𝐷) + (√‘𝐷)) + ((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) = (((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷)) + (2 · (√‘𝐷))))
115104, 107, 1143eqtrd 2797 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → ((𝐴 / 𝐵) + (√‘𝐷)) = (((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷)) + (2 · (√‘𝐷))))
116115fveq2d 6666 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → (abs‘((𝐴 / 𝐵) + (√‘𝐷))) = (abs‘(((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷)) + (2 · (√‘𝐷)))))
11747, 70readdcld 10713 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → (((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷)) + (2 · (√‘𝐷))) ∈ ℝ)
118117recnd 10712 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → (((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷)) + (2 · (√‘𝐷))) ∈ ℂ)
119118abscld 14849 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → (abs‘(((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷)) + (2 · (√‘𝐷)))) ∈ ℝ)
12070recnd 10712 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → (2 · (√‘𝐷)) ∈ ℂ)
121120abscld 14849 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → (abs‘(2 · (√‘𝐷))) ∈ ℝ)
12257, 121readdcld 10713 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → ((abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) + (abs‘(2 · (√‘𝐷)))) ∈ ℝ)
12348, 120abstrid 14869 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → (abs‘(((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷)) + (2 · (√‘𝐷)))) ≤ ((abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) + (abs‘(2 · (√‘𝐷)))))
124 0le2 11781 . . . . . . . . . . . 12 0 ≤ 2
125124a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → 0 ≤ 2)
12630, 32sqrtge0d 14833 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → 0 ≤ (√‘𝐷))
12769, 35, 125, 126mulge0d 11260 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → 0 ≤ (2 · (√‘𝐷)))
12870, 127absidd 14835 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → (abs‘(2 · (√‘𝐷))) = (2 · (√‘𝐷)))
129128oveq2d 7171 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → ((abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) + (abs‘(2 · (√‘𝐷)))) = ((abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) + (2 · (√‘𝐷))))
1301nnsqcld 13660 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → (𝐵↑2) ∈ ℕ)
131130nnge1d 11727 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → 1 ≤ (𝐵↑2))
132 0lt1 11205 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 < 1
133132a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → 0 < 1)
134 lerec 11566 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ ((𝐵↑2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵↑2))) → (1 ≤ (𝐵↑2) ↔ (1 / (𝐵↑2)) ≤ (1 / 1)))
13567, 133, 3, 87, 134syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → (1 ≤ (𝐵↑2) ↔ (1 / (𝐵↑2)) ≤ (1 / 1)))
136131, 135mpbid 235 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → (1 / (𝐵↑2)) ≤ (1 / 1))
137 1div1e1 11373 . . . . . . . . . . . . 13 (1 / 1) = 1
138136, 137breqtrdi 5076 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → (1 / (𝐵↑2)) ≤ 1)
13997, 138eqbrtrd 5057 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → (𝐵↑-2) ≤ 1)
14057, 64, 67, 72, 139ltletrd 10843 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < 1)
14157, 67, 140ltled 10831 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) ≤ 1)
14257, 67, 70, 141leadd1dd 11297 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → ((abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) + (2 · (√‘𝐷))) ≤ (1 + (2 · (√‘𝐷))))
143129, 142eqbrtrd 5057 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → ((abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) + (abs‘(2 · (√‘𝐷)))) ≤ (1 + (2 · (√‘𝐷))))
144119, 122, 71, 123, 143letrd 10840 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → (abs‘(((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷)) + (2 · (√‘𝐷)))) ≤ (1 + (2 · (√‘𝐷))))
145116, 144eqbrtrd 5057 . . . . 5 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → (abs‘((𝐴 / 𝐵) + (√‘𝐷))) ≤ (1 + (2 · (√‘𝐷))))
146103, 145eqbrtrd 5057 . . . 4 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → ((𝐵↑2) · ((𝐵↑-2) · (abs‘((𝐴 / 𝐵) + (√‘𝐷))))) ≤ (1 + (2 · (√‘𝐷))))
14760, 66, 71, 90, 146ltletrd 10843 . . 3 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → ((𝐵↑2) · ((abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) · (abs‘((𝐴 / 𝐵) + (√‘𝐷))))) < (1 + (2 · (√‘𝐷))))
14856, 147eqbrtrd 5057 . 2 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → ((𝐵↑2) · (abs‘(((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷)) · ((𝐴 / 𝐵) + (√‘𝐷))))) < (1 + (2 · (√‘𝐷))))
14954, 148eqbrtrd 5057 1 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (abs‘((𝐴 / 𝐵) − (√‘𝐷))) < (𝐵↑-2)) → (abs‘((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951   class class class wbr 5035  ‘cfv 6339  (class class class)co 7155  ℂcc 10578  ℝcr 10579  0cc0 10580  1c1 10581   + caddc 10583   · cmul 10585   < clt 10718   ≤ cle 10719   − cmin 10913  -cneg 10914   / cdiv 11340  ℕcn 11679  2c2 11734  ℕ0cn0 11939  ℤcz 12025  ↑cexp 13484  √csqrt 14645  abscabs 14646 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657  ax-pre-sup 10658 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7585  df-2nd 7699  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-er 8304  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-sup 8944  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-div 11341  df-nn 11680  df-2 11742  df-3 11743  df-n0 11940  df-z 12026  df-uz 12288  df-rp 12436  df-seq 13424  df-exp 13485  df-cj 14511  df-re 14512  df-im 14513  df-sqrt 14647  df-abs 14648 This theorem is referenced by:  pellexlem3  40173
 Copyright terms: Public domain W3C validator