| Step | Hyp | Ref
| Expression |
|---|
| 1 | | simpl3 1191 |
. . . . . . . . . 10
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ ๐ต โ โ) |
| 2 | 1 | nnred 12231 |
. . . . . . . . 9
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ ๐ต โ โ) |
| 3 | 2 | resqcld 14094 |
. . . . . . . 8
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ (๐ตโ2) โ โ) |
| 4 | 2 | sqge0d 14106 |
. . . . . . . 8
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ 0 โค (๐ตโ2)) |
| 5 | 3, 4 | absidd 15373 |
. . . . . . 7
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ (absโ(๐ตโ2)) = (๐ตโ2)) |
| 6 | 5 | eqcomd 2736 |
. . . . . 6
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ (๐ตโ2) = (absโ(๐ตโ2))) |
| 7 | 6 | oveq2d 7427 |
. . . . 5
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ ((absโ((๐ดโ2) โ (๐ท ยท (๐ตโ2)))) / (๐ตโ2)) = ((absโ((๐ดโ2) โ (๐ท ยท (๐ตโ2)))) / (absโ(๐ตโ2)))) |
| 8 | | simpl2 1190 |
. . . . . . . . 9
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ ๐ด โ โ) |
| 9 | 8 | nncnd 12232 |
. . . . . . . 8
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ ๐ด โ โ) |
| 10 | 9 | sqcld 14113 |
. . . . . . 7
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ (๐ดโ2) โ โ) |
| 11 | | simpl1 1189 |
. . . . . . . . 9
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ ๐ท โ โ) |
| 12 | 11 | nncnd 12232 |
. . . . . . . 8
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ ๐ท โ โ) |
| 13 | 1 | nncnd 12232 |
. . . . . . . . 9
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ ๐ต โ โ) |
| 14 | 13 | sqcld 14113 |
. . . . . . . 8
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ (๐ตโ2) โ โ) |
| 15 | 12, 14 | mulcld 11238 |
. . . . . . 7
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ (๐ท ยท (๐ตโ2)) โ โ) |
| 16 | 10, 15 | subcld 11575 |
. . . . . 6
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ ((๐ดโ2) โ (๐ท ยท (๐ตโ2))) โ โ) |
| 17 | 1 | nnne0d 12266 |
. . . . . . 7
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ ๐ต โ 0) |
| 18 | | sqne0 14092 |
. . . . . . . 8
โข (๐ต โ โ โ ((๐ตโ2) โ 0 โ ๐ต โ 0)) |
| 19 | 18 | biimpar 476 |
. . . . . . 7
โข ((๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โ (๐ตโ2) โ
0) |
| 20 | 13, 17, 19 | syl2anc 582 |
. . . . . 6
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ (๐ตโ2) โ 0) |
| 21 | 16, 14, 20 | absdivd 15406 |
. . . . 5
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ (absโ(((๐ดโ2) โ (๐ท ยท (๐ตโ2))) / (๐ตโ2))) = ((absโ((๐ดโ2) โ (๐ท ยท (๐ตโ2)))) / (absโ(๐ตโ2)))) |
| 22 | 7, 21 | eqtr4d 2773 |
. . . 4
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ ((absโ((๐ดโ2) โ (๐ท ยท (๐ตโ2)))) / (๐ตโ2)) = (absโ(((๐ดโ2) โ (๐ท ยท (๐ตโ2))) / (๐ตโ2)))) |
| 23 | 22 | oveq2d 7427 |
. . 3
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ ((๐ตโ2) ยท ((absโ((๐ดโ2) โ (๐ท ยท (๐ตโ2)))) / (๐ตโ2))) = ((๐ตโ2) ยท (absโ(((๐ดโ2) โ (๐ท ยท (๐ตโ2))) / (๐ตโ2))))) |
| 24 | 16 | abscld 15387 |
. . . . 5
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ (absโ((๐ดโ2) โ (๐ท ยท (๐ตโ2)))) โ โ) |
| 25 | 24 | recnd 11246 |
. . . 4
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ (absโ((๐ดโ2) โ (๐ท ยท (๐ตโ2)))) โ โ) |
| 26 | 25, 14, 20 | divcan2d 11996 |
. . 3
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ ((๐ตโ2) ยท ((absโ((๐ดโ2) โ (๐ท ยท (๐ตโ2)))) / (๐ตโ2))) = (absโ((๐ดโ2) โ (๐ท ยท (๐ตโ2))))) |
| 27 | 10, 15, 14, 20 | divsubdird 12033 |
. . . . . 6
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ (((๐ดโ2) โ (๐ท ยท (๐ตโ2))) / (๐ตโ2)) = (((๐ดโ2) / (๐ตโ2)) โ ((๐ท ยท (๐ตโ2)) / (๐ตโ2)))) |
| 28 | 9, 13, 17 | sqdivd 14128 |
. . . . . . . 8
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ ((๐ด / ๐ต)โ2) = ((๐ดโ2) / (๐ตโ2))) |
| 29 | 28 | eqcomd 2736 |
. . . . . . 7
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ ((๐ดโ2) / (๐ตโ2)) = ((๐ด / ๐ต)โ2)) |
| 30 | 11 | nnred 12231 |
. . . . . . . . 9
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ ๐ท โ โ) |
| 31 | 11 | nnnn0d 12536 |
. . . . . . . . . 10
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ ๐ท โ
โ0) |
| 32 | 31 | nn0ge0d 12539 |
. . . . . . . . 9
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ 0 โค ๐ท) |
| 33 | | remsqsqrt 15207 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ท โ โ โง 0 โค
๐ท) โ
((โโ๐ท) ยท
(โโ๐ท)) = ๐ท) |
| 34 | 30, 32, 33 | syl2anc 582 |
. . . . . . . 8
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ ((โโ๐ท) ยท (โโ๐ท)) = ๐ท) |
| 35 | 30, 32 | resqrtcld 15368 |
. . . . . . . . . 10
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ (โโ๐ท) โ
โ) |
| 36 | 35 | recnd 11246 |
. . . . . . . . 9
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ (โโ๐ท) โ
โ) |
| 37 | 36 | sqvald 14112 |
. . . . . . . 8
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ ((โโ๐ท)โ2) =
((โโ๐ท) ยท
(โโ๐ท))) |
| 38 | 12, 14, 20 | divcan4d 12000 |
. . . . . . . 8
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ ((๐ท ยท (๐ตโ2)) / (๐ตโ2)) = ๐ท) |
| 39 | 34, 37, 38 | 3eqtr4rd 2781 |
. . . . . . 7
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ ((๐ท ยท (๐ตโ2)) / (๐ตโ2)) = ((โโ๐ท)โ2)) |
| 40 | 29, 39 | oveq12d 7429 |
. . . . . 6
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ (((๐ดโ2) / (๐ตโ2)) โ ((๐ท ยท (๐ตโ2)) / (๐ตโ2))) = (((๐ด / ๐ต)โ2) โ ((โโ๐ท)โ2))) |
| 41 | 9, 13, 17 | divcld 11994 |
. . . . . . . 8
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ (๐ด / ๐ต) โ โ) |
| 42 | | subsq 14178 |
. . . . . . . 8
โข (((๐ด / ๐ต) โ โ โง (โโ๐ท) โ โ) โ
(((๐ด / ๐ต)โ2) โ ((โโ๐ท)โ2)) = (((๐ด / ๐ต) + (โโ๐ท)) ยท ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท)))) |
| 43 | 41, 36, 42 | syl2anc 582 |
. . . . . . 7
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ (((๐ด / ๐ต)โ2) โ ((โโ๐ท)โ2)) = (((๐ด / ๐ต) + (โโ๐ท)) ยท ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท)))) |
| 44 | 41, 36 | addcld 11237 |
. . . . . . . 8
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ ((๐ด / ๐ต) + (โโ๐ท)) โ โ) |
| 45 | 8 | nnred 12231 |
. . . . . . . . . . 11
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ ๐ด โ โ) |
| 46 | 45, 1 | nndivred 12270 |
. . . . . . . . . 10
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ (๐ด / ๐ต) โ โ) |
| 47 | 46, 35 | resubcld 11646 |
. . . . . . . . 9
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท)) โ โ) |
| 48 | 47 | recnd 11246 |
. . . . . . . 8
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท)) โ โ) |
| 49 | 44, 48 | mulcomd 11239 |
. . . . . . 7
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ (((๐ด / ๐ต) + (โโ๐ท)) ยท ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) = (((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท)) ยท ((๐ด / ๐ต) + (โโ๐ท)))) |
| 50 | 43, 49 | eqtrd 2770 |
. . . . . 6
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ (((๐ด / ๐ต)โ2) โ ((โโ๐ท)โ2)) = (((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท)) ยท ((๐ด / ๐ต) + (โโ๐ท)))) |
| 51 | 27, 40, 50 | 3eqtrd 2774 |
. . . . 5
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ (((๐ดโ2) โ (๐ท ยท (๐ตโ2))) / (๐ตโ2)) = (((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท)) ยท ((๐ด / ๐ต) + (โโ๐ท)))) |
| 52 | 51 | fveq2d 6894 |
. . . 4
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ (absโ(((๐ดโ2) โ (๐ท ยท (๐ตโ2))) / (๐ตโ2))) = (absโ(((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท)) ยท ((๐ด / ๐ต) + (โโ๐ท))))) |
| 53 | 52 | oveq2d 7427 |
. . 3
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ ((๐ตโ2) ยท (absโ(((๐ดโ2) โ (๐ท ยท (๐ตโ2))) / (๐ตโ2)))) = ((๐ตโ2) ยท (absโ(((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท)) ยท ((๐ด / ๐ต) + (โโ๐ท)))))) |
| 54 | 23, 26, 53 | 3eqtr3d 2778 |
. 2
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ (absโ((๐ดโ2) โ (๐ท ยท (๐ตโ2)))) = ((๐ตโ2) ยท (absโ(((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท)) ยท ((๐ด / ๐ต) + (โโ๐ท)))))) |
| 55 | 48, 44 | absmuld 15405 |
. . . 4
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ (absโ(((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท)) ยท ((๐ด / ๐ต) + (โโ๐ท)))) = ((absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) ยท (absโ((๐ด / ๐ต) + (โโ๐ท))))) |
| 56 | 55 | oveq2d 7427 |
. . 3
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ ((๐ตโ2) ยท (absโ(((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท)) ยท ((๐ด / ๐ต) + (โโ๐ท))))) = ((๐ตโ2) ยท ((absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) ยท (absโ((๐ด / ๐ต) + (โโ๐ท)))))) |
| 57 | 48 | abscld 15387 |
. . . . . 6
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ (absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) โ โ) |
| 58 | 44 | abscld 15387 |
. . . . . 6
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ (absโ((๐ด / ๐ต) + (โโ๐ท))) โ โ) |
| 59 | 57, 58 | remulcld 11248 |
. . . . 5
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ ((absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) ยท (absโ((๐ด / ๐ต) + (โโ๐ท)))) โ โ) |
| 60 | 3, 59 | remulcld 11248 |
. . . 4
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ ((๐ตโ2) ยท ((absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) ยท (absโ((๐ด / ๐ต) + (โโ๐ท))))) โ โ) |
| 61 | | 2nn0 12493 |
. . . . . . . . 9
โข 2 โ
โ0 |
| 62 | 61 | nn0negzi 12605 |
. . . . . . . 8
โข -2 โ
โค |
| 63 | 62 | a1i 11 |
. . . . . . 7
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ -2 โ
โค) |
| 64 | 2, 17, 63 | reexpclzd 14216 |
. . . . . 6
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ (๐ตโ-2) โ โ) |
| 65 | 64, 58 | remulcld 11248 |
. . . . 5
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ ((๐ตโ-2) ยท (absโ((๐ด / ๐ต) + (โโ๐ท)))) โ โ) |
| 66 | 3, 65 | remulcld 11248 |
. . . 4
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ ((๐ตโ2) ยท ((๐ตโ-2) ยท (absโ((๐ด / ๐ต) + (โโ๐ท))))) โ โ) |
| 67 | | 1red 11219 |
. . . . 5
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ 1 โ
โ) |
| 68 | | 2re 12290 |
. . . . . . 7
โข 2 โ
โ |
| 69 | 68 | a1i 11 |
. . . . . 6
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ 2 โ
โ) |
| 70 | 69, 35 | remulcld 11248 |
. . . . 5
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ (2 ยท
(โโ๐ท)) โ
โ) |
| 71 | 67, 70 | readdcld 11247 |
. . . 4
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ (1 + (2 ยท
(โโ๐ท))) โ
โ) |
| 72 | | simpr 483 |
. . . . . 6
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ (absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) |
| 73 | 8 | nngt0d 12265 |
. . . . . . . . . . 11
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ 0 < ๐ด) |
| 74 | 1 | nngt0d 12265 |
. . . . . . . . . . 11
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ 0 < ๐ต) |
| 75 | 45, 2, 73, 74 | divgt0d 12153 |
. . . . . . . . . 10
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ 0 < (๐ด / ๐ต)) |
| 76 | 11 | nngt0d 12265 |
. . . . . . . . . . 11
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ 0 < ๐ท) |
| 77 | | sqrtgt0 15209 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ท โ โ โง 0 <
๐ท) โ 0 <
(โโ๐ท)) |
| 78 | 30, 76, 77 | syl2anc 582 |
. . . . . . . . . 10
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ 0 <
(โโ๐ท)) |
| 79 | 46, 35, 75, 78 | addgt0d 11793 |
. . . . . . . . 9
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ 0 < ((๐ด / ๐ต) + (โโ๐ท))) |
| 80 | 79 | gt0ne0d 11782 |
. . . . . . . 8
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ ((๐ด / ๐ต) + (โโ๐ท)) โ 0) |
| 81 | | absgt0 15275 |
. . . . . . . . 9
โข (((๐ด / ๐ต) + (โโ๐ท)) โ โ โ (((๐ด / ๐ต) + (โโ๐ท)) โ 0 โ 0 < (absโ((๐ด / ๐ต) + (โโ๐ท))))) |
| 82 | 81 | biimpa 475 |
. . . . . . . 8
โข ((((๐ด / ๐ต) + (โโ๐ท)) โ โ โง ((๐ด / ๐ต) + (โโ๐ท)) โ 0) โ 0 < (absโ((๐ด / ๐ต) + (โโ๐ท)))) |
| 83 | 44, 80, 82 | syl2anc 582 |
. . . . . . 7
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ 0 < (absโ((๐ด / ๐ต) + (โโ๐ท)))) |
| 84 | | ltmul1 12068 |
. . . . . . 7
โข
(((absโ((๐ด /
๐ต) โ
(โโ๐ท))) โ
โ โง (๐ตโ-2)
โ โ โง ((absโ((๐ด / ๐ต) + (โโ๐ท))) โ โ โง 0 <
(absโ((๐ด / ๐ต) + (โโ๐ท))))) โ ((absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2) โ ((absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) ยท (absโ((๐ด / ๐ต) + (โโ๐ท)))) < ((๐ตโ-2) ยท (absโ((๐ด / ๐ต) + (โโ๐ท)))))) |
| 85 | 57, 64, 58, 83, 84 | syl112anc 1372 |
. . . . . 6
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ ((absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2) โ ((absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) ยท (absโ((๐ด / ๐ต) + (โโ๐ท)))) < ((๐ตโ-2) ยท (absโ((๐ด / ๐ต) + (โโ๐ท)))))) |
| 86 | 72, 85 | mpbid 231 |
. . . . 5
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ ((absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) ยท (absโ((๐ด / ๐ต) + (โโ๐ท)))) < ((๐ตโ-2) ยท (absโ((๐ด / ๐ต) + (โโ๐ท))))) |
| 87 | 2, 17 | sqgt0d 14217 |
. . . . . 6
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ 0 < (๐ตโ2)) |
| 88 | | ltmul2 12069 |
. . . . . 6
โข
((((absโ((๐ด /
๐ต) โ
(โโ๐ท)))
ยท (absโ((๐ด /
๐ต) + (โโ๐ท)))) โ โ โง
((๐ตโ-2) ยท
(absโ((๐ด / ๐ต) + (โโ๐ท)))) โ โ โง
((๐ตโ2) โ โ
โง 0 < (๐ตโ2)))
โ (((absโ((๐ด /
๐ต) โ
(โโ๐ท)))
ยท (absโ((๐ด /
๐ต) + (โโ๐ท)))) < ((๐ตโ-2) ยท (absโ((๐ด / ๐ต) + (โโ๐ท)))) โ ((๐ตโ2) ยท ((absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) ยท (absโ((๐ด / ๐ต) + (โโ๐ท))))) < ((๐ตโ2) ยท ((๐ตโ-2) ยท (absโ((๐ด / ๐ต) + (โโ๐ท))))))) |
| 89 | 59, 65, 3, 87, 88 | syl112anc 1372 |
. . . . 5
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ (((absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) ยท (absโ((๐ด / ๐ต) + (โโ๐ท)))) < ((๐ตโ-2) ยท (absโ((๐ด / ๐ต) + (โโ๐ท)))) โ ((๐ตโ2) ยท ((absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) ยท (absโ((๐ด / ๐ต) + (โโ๐ท))))) < ((๐ตโ2) ยท ((๐ตโ-2) ยท (absโ((๐ด / ๐ต) + (โโ๐ท))))))) |
| 90 | 86, 89 | mpbid 231 |
. . . 4
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ ((๐ตโ2) ยท ((absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) ยท (absโ((๐ด / ๐ต) + (โโ๐ท))))) < ((๐ตโ2) ยท ((๐ตโ-2) ยท (absโ((๐ด / ๐ต) + (โโ๐ท)))))) |
| 91 | 13, 17, 63 | expclzd 14120 |
. . . . . . 7
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ (๐ตโ-2) โ โ) |
| 92 | 58 | recnd 11246 |
. . . . . . 7
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ (absโ((๐ด / ๐ต) + (โโ๐ท))) โ โ) |
| 93 | | mulass 11200 |
. . . . . . . 8
โข (((๐ตโ2) โ โ โง
(๐ตโ-2) โ โ
โง (absโ((๐ด /
๐ต) + (โโ๐ท))) โ โ) โ
(((๐ตโ2) ยท
(๐ตโ-2)) ยท
(absโ((๐ด / ๐ต) + (โโ๐ท)))) = ((๐ตโ2) ยท ((๐ตโ-2) ยท (absโ((๐ด / ๐ต) + (โโ๐ท)))))) |
| 94 | 93 | eqcomd 2736 |
. . . . . . 7
โข (((๐ตโ2) โ โ โง
(๐ตโ-2) โ โ
โง (absโ((๐ด /
๐ต) + (โโ๐ท))) โ โ) โ
((๐ตโ2) ยท
((๐ตโ-2) ยท
(absโ((๐ด / ๐ต) + (โโ๐ท))))) = (((๐ตโ2) ยท (๐ตโ-2)) ยท (absโ((๐ด / ๐ต) + (โโ๐ท))))) |
| 95 | 14, 91, 92, 94 | syl3anc 1369 |
. . . . . 6
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ ((๐ตโ2) ยท ((๐ตโ-2) ยท (absโ((๐ด / ๐ต) + (โโ๐ท))))) = (((๐ตโ2) ยท (๐ตโ-2)) ยท (absโ((๐ด / ๐ต) + (โโ๐ท))))) |
| 96 | | expneg 14039 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ต โ โ โง 2 โ
โ0) โ (๐ตโ-2) = (1 / (๐ตโ2))) |
| 97 | 13, 61, 96 | sylancl 584 |
. . . . . . . . 9
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ (๐ตโ-2) = (1 / (๐ตโ2))) |
| 98 | 97 | oveq2d 7427 |
. . . . . . . 8
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ ((๐ตโ2) ยท (๐ตโ-2)) = ((๐ตโ2) ยท (1 / (๐ตโ2)))) |
| 99 | 14, 20 | recidd 11989 |
. . . . . . . 8
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ ((๐ตโ2) ยท (1 / (๐ตโ2))) = 1) |
| 100 | 98, 99 | eqtrd 2770 |
. . . . . . 7
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ ((๐ตโ2) ยท (๐ตโ-2)) = 1) |
| 101 | 100 | oveq1d 7426 |
. . . . . 6
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ (((๐ตโ2) ยท (๐ตโ-2)) ยท (absโ((๐ด / ๐ต) + (โโ๐ท)))) = (1 ยท (absโ((๐ด / ๐ต) + (โโ๐ท))))) |
| 102 | 92 | mullidd 11236 |
. . . . . 6
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ (1 ยท
(absโ((๐ด / ๐ต) + (โโ๐ท)))) = (absโ((๐ด / ๐ต) + (โโ๐ท)))) |
| 103 | 95, 101, 102 | 3eqtrd 2774 |
. . . . 5
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ ((๐ตโ2) ยท ((๐ตโ-2) ยท (absโ((๐ด / ๐ต) + (โโ๐ท))))) = (absโ((๐ด / ๐ต) + (โโ๐ท)))) |
| 104 | 41, 36 | addcomd 11420 |
. . . . . . . 8
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ ((๐ด / ๐ต) + (โโ๐ท)) = ((โโ๐ท) + (๐ด / ๐ต))) |
| 105 | | ppncan 11506 |
. . . . . . . . . 10
โข
(((โโ๐ท)
โ โ โง (โโ๐ท) โ โ โง (๐ด / ๐ต) โ โ) โ
(((โโ๐ท) +
(โโ๐ท)) +
((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) = ((โโ๐ท) + (๐ด / ๐ต))) |
| 106 | 105 | eqcomd 2736 |
. . . . . . . . 9
โข
(((โโ๐ท)
โ โ โง (โโ๐ท) โ โ โง (๐ด / ๐ต) โ โ) โ
((โโ๐ท) + (๐ด / ๐ต)) = (((โโ๐ท) + (โโ๐ท)) + ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท)))) |
| 107 | 36, 36, 41, 106 | syl3anc 1369 |
. . . . . . . 8
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ ((โโ๐ท) + (๐ด / ๐ต)) = (((โโ๐ท) + (โโ๐ท)) + ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท)))) |
| 108 | 36, 36 | addcld 11237 |
. . . . . . . . . 10
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ ((โโ๐ท) + (โโ๐ท)) โ
โ) |
| 109 | 108, 48 | addcomd 11420 |
. . . . . . . . 9
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ (((โโ๐ท) + (โโ๐ท)) + ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) = (((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท)) + ((โโ๐ท) + (โโ๐ท)))) |
| 110 | | 2times 12352 |
. . . . . . . . . . . 12
โข
((โโ๐ท)
โ โ โ (2 ยท (โโ๐ท)) = ((โโ๐ท) + (โโ๐ท))) |
| 111 | 110 | eqcomd 2736 |
. . . . . . . . . . 11
โข
((โโ๐ท)
โ โ โ ((โโ๐ท) + (โโ๐ท)) = (2 ยท (โโ๐ท))) |
| 112 | 36, 111 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ ((โโ๐ท) + (โโ๐ท)) = (2 ยท
(โโ๐ท))) |
| 113 | 112 | oveq2d 7427 |
. . . . . . . . 9
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ (((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท)) + ((โโ๐ท) + (โโ๐ท))) = (((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท)) + (2 ยท (โโ๐ท)))) |
| 114 | 109, 113 | eqtrd 2770 |
. . . . . . . 8
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ (((โโ๐ท) + (โโ๐ท)) + ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) = (((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท)) + (2 ยท (โโ๐ท)))) |
| 115 | 104, 107,
114 | 3eqtrd 2774 |
. . . . . . 7
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ ((๐ด / ๐ต) + (โโ๐ท)) = (((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท)) + (2 ยท (โโ๐ท)))) |
| 116 | 115 | fveq2d 6894 |
. . . . . 6
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ (absโ((๐ด / ๐ต) + (โโ๐ท))) = (absโ(((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท)) + (2 ยท (โโ๐ท))))) |
| 117 | 47, 70 | readdcld 11247 |
. . . . . . . . 9
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ (((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท)) + (2 ยท (โโ๐ท))) โ
โ) |
| 118 | 117 | recnd 11246 |
. . . . . . . 8
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ (((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท)) + (2 ยท (โโ๐ท))) โ
โ) |
| 119 | 118 | abscld 15387 |
. . . . . . 7
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ (absโ(((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท)) + (2 ยท (โโ๐ท)))) โ
โ) |
| 120 | 70 | recnd 11246 |
. . . . . . . . 9
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ (2 ยท
(โโ๐ท)) โ
โ) |
| 121 | 120 | abscld 15387 |
. . . . . . . 8
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ (absโ(2 ยท
(โโ๐ท))) โ
โ) |
| 122 | 57, 121 | readdcld 11247 |
. . . . . . 7
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ ((absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) + (absโ(2 ยท
(โโ๐ท)))) โ
โ) |
| 123 | 48, 120 | abstrid 15407 |
. . . . . . 7
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ (absโ(((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท)) + (2 ยท (โโ๐ท)))) โค ((absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) + (absโ(2 ยท
(โโ๐ท))))) |
| 124 | | 0le2 12318 |
. . . . . . . . . . . 12
โข 0 โค
2 |
| 125 | 124 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ 0 โค 2) |
| 126 | 30, 32 | sqrtge0d 15371 |
. . . . . . . . . . 11
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ 0 โค
(โโ๐ท)) |
| 127 | 69, 35, 125, 126 | mulge0d 11795 |
. . . . . . . . . 10
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ 0 โค (2 ยท
(โโ๐ท))) |
| 128 | 70, 127 | absidd 15373 |
. . . . . . . . 9
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ (absโ(2 ยท
(โโ๐ท))) = (2
ยท (โโ๐ท))) |
| 129 | 128 | oveq2d 7427 |
. . . . . . . 8
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ ((absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) + (absโ(2 ยท
(โโ๐ท)))) =
((absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) + (2 ยท
(โโ๐ท)))) |
| 130 | 1 | nnsqcld 14211 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ (๐ตโ2) โ โ) |
| 131 | 130 | nnge1d 12264 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ 1 โค (๐ตโ2)) |
| 132 | | 0lt1 11740 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข 0 <
1 |
| 133 | 132 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ 0 < 1) |
| 134 | | lerec 12101 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (((1
โ โ โง 0 < 1) โง ((๐ตโ2) โ โ โง 0 < (๐ตโ2))) โ (1 โค (๐ตโ2) โ (1 / (๐ตโ2)) โค (1 /
1))) |
| 135 | 67, 133, 3, 87, 134 | syl22anc 835 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ (1 โค (๐ตโ2) โ (1 / (๐ตโ2)) โค (1 / 1))) |
| 136 | 131, 135 | mpbid 231 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ (1 / (๐ตโ2)) โค (1 / 1)) |
| 137 | | 1div1e1 11908 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (1 / 1) =
1 |
| 138 | 136, 137 | breqtrdi 5188 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ (1 / (๐ตโ2)) โค 1) |
| 139 | 97, 138 | eqbrtrd 5169 |
. . . . . . . . . . 11
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ (๐ตโ-2) โค 1) |
| 140 | 57, 64, 67, 72, 139 | ltletrd 11378 |
. . . . . . . . . 10
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ (absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < 1) |
| 141 | 57, 67, 140 | ltled 11366 |
. . . . . . . . 9
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ (absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) โค 1) |
| 142 | 57, 67, 70, 141 | leadd1dd 11832 |
. . . . . . . 8
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ ((absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) + (2 ยท (โโ๐ท))) โค (1 + (2 ยท
(โโ๐ท)))) |
| 143 | 129, 142 | eqbrtrd 5169 |
. . . . . . 7
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ ((absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) + (absโ(2 ยท
(โโ๐ท)))) โค
(1 + (2 ยท (โโ๐ท)))) |
| 144 | 119, 122,
71, 123, 143 | letrd 11375 |
. . . . . 6
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ (absโ(((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท)) + (2 ยท (โโ๐ท)))) โค (1 + (2 ยท
(โโ๐ท)))) |
| 145 | 116, 144 | eqbrtrd 5169 |
. . . . 5
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ (absโ((๐ด / ๐ต) + (โโ๐ท))) โค (1 + (2 ยท
(โโ๐ท)))) |
| 146 | 103, 145 | eqbrtrd 5169 |
. . . 4
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ ((๐ตโ2) ยท ((๐ตโ-2) ยท (absโ((๐ด / ๐ต) + (โโ๐ท))))) โค (1 + (2 ยท
(โโ๐ท)))) |
| 147 | 60, 66, 71, 90, 146 | ltletrd 11378 |
. . 3
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ ((๐ตโ2) ยท ((absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) ยท (absโ((๐ด / ๐ต) + (โโ๐ท))))) < (1 + (2 ยท
(โโ๐ท)))) |
| 148 | 56, 147 | eqbrtrd 5169 |
. 2
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ ((๐ตโ2) ยท (absโ(((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท)) ยท ((๐ด / ๐ต) + (โโ๐ท))))) < (1 + (2 ยท
(โโ๐ท)))) |
| 149 | 54, 148 | eqbrtrd 5169 |
1
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง
(absโ((๐ด / ๐ต) โ (โโ๐ท))) < (๐ตโ-2)) โ (absโ((๐ดโ2) โ (๐ท ยท (๐ตโ2)))) < (1 + (2 ยท
(โโ๐ท)))) |
