Theorem cos2t 16214

Description: Double-angle formula for cosine. (Contributed by Paul Chapman, 24-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
cos2t	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(2 · 𝐴)) = ((2 · ((cos‘𝐴)↑2)) − 1))

Proof of Theorem cos2t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coscl 16163	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
2	1	sqcld 14184	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
3		ax-1cn 11213	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
4		subsub3 11541	. . . 4 ⊢ ((((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ) → (((cos‘𝐴)↑2) − (1 − ((cos‘𝐴)↑2))) = ((((cos‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) − 1))
5	3, 4	mp3an2 1451	. . 3 ⊢ ((((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ ∧ ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ) → (((cos‘𝐴)↑2) − (1 − ((cos‘𝐴)↑2))) = ((((cos‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) − 1))
6	2, 2, 5	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴)↑2) − (1 − ((cos‘𝐴)↑2))) = ((((cos‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) − 1))
7		cosadd 16201	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (cos‘(𝐴 + 𝐴)) = (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐴)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐴))))
8	7	anidms 566	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(𝐴 + 𝐴)) = (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐴)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐴))))
9		2times 12402	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
10	9	fveq2d 6910	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(2 · 𝐴)) = (cos‘(𝐴 + 𝐴)))
11	1	sqvald 14183	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴)↑2) = ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐴)))
12		sincl 16162	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
13	12	sqvald 14183	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴)↑2) = ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐴)))
14	11, 13	oveq12d 7449	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴)↑2) − ((sin‘𝐴)↑2)) = (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐴)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐴))))
15	8, 10, 14	3eqtr4d 2787	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(2 · 𝐴)) = (((cos‘𝐴)↑2) − ((sin‘𝐴)↑2)))
16	12	sqcld 14184	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
17	16, 2	addcomd 11463	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = (((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)))
18		sincossq 16212	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)
19	17, 18	eqtr3d 2779	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)) = 1)
20		subadd 11511	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ ∧ ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℂ) → ((1 − ((cos‘𝐴)↑2)) = ((sin‘𝐴)↑2) ↔ (((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)) = 1))
21	3, 2, 16, 20	mp3an2i 1468	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 − ((cos‘𝐴)↑2)) = ((sin‘𝐴)↑2) ↔ (((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)) = 1))
22	19, 21	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 − ((cos‘𝐴)↑2)) = ((sin‘𝐴)↑2))
23	22	oveq2d 7447	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴)↑2) − (1 − ((cos‘𝐴)↑2))) = (((cos‘𝐴)↑2) − ((sin‘𝐴)↑2)))
24	15, 23	eqtr4d 2780	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(2 · 𝐴)) = (((cos‘𝐴)↑2) − (1 − ((cos‘𝐴)↑2))))
25	2	2timesd 12509	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · ((cos‘𝐴)↑2)) = (((cos‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)))
26	25	oveq1d 7446	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · ((cos‘𝐴)↑2)) − 1) = ((((cos‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) − 1))
27	6, 24, 26	3eqtr4d 2787	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(2 · 𝐴)) = ((2 · ((cos‘𝐴)↑2)) − 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   − cmin 11492  2c2 12321  ↑cexp 14102  sincsin 16099  cosccos 16100

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-ico 13393  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106

This theorem is referenced by:  cos2tsin  16215  cos2bnd  16224  cospi  26514  cos2pi  26518  tangtx  26547  coskpi  26565  sin2h  37617  cos2h  37618