Theorem cos2t 16087

Description: Double-angle formula for cosine. (Contributed by Paul Chapman, 24-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
cos2t	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(2 · 𝐴)) = ((2 · ((cos‘𝐴)↑2)) − 1))

Proof of Theorem cos2t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coscl 16036	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
2	1	sqcld 14051	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
3		ax-1cn 11067	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
4		subsub3 11396	. . . 4 ⊢ ((((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ) → (((cos‘𝐴)↑2) − (1 − ((cos‘𝐴)↑2))) = ((((cos‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) − 1))
5	3, 4	mp3an2 1451	. . 3 ⊢ ((((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ ∧ ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ) → (((cos‘𝐴)↑2) − (1 − ((cos‘𝐴)↑2))) = ((((cos‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) − 1))
6	2, 2, 5	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴)↑2) − (1 − ((cos‘𝐴)↑2))) = ((((cos‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) − 1))
7		cosadd 16074	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (cos‘(𝐴 + 𝐴)) = (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐴)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐴))))
8	7	anidms 566	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(𝐴 + 𝐴)) = (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐴)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐴))))
9		2times 12259	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
10	9	fveq2d 6826	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(2 · 𝐴)) = (cos‘(𝐴 + 𝐴)))
11	1	sqvald 14050	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴)↑2) = ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐴)))
12		sincl 16035	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
13	12	sqvald 14050	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴)↑2) = ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐴)))
14	11, 13	oveq12d 7367	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴)↑2) − ((sin‘𝐴)↑2)) = (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐴)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐴))))
15	8, 10, 14	3eqtr4d 2774	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(2 · 𝐴)) = (((cos‘𝐴)↑2) − ((sin‘𝐴)↑2)))
16	12	sqcld 14051	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
17	16, 2	addcomd 11318	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = (((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)))
18		sincossq 16085	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)
19	17, 18	eqtr3d 2766	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)) = 1)
20		subadd 11366	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ ∧ ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℂ) → ((1 − ((cos‘𝐴)↑2)) = ((sin‘𝐴)↑2) ↔ (((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)) = 1))
21	3, 2, 16, 20	mp3an2i 1468	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 − ((cos‘𝐴)↑2)) = ((sin‘𝐴)↑2) ↔ (((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)) = 1))
22	19, 21	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 − ((cos‘𝐴)↑2)) = ((sin‘𝐴)↑2))
23	22	oveq2d 7365	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴)↑2) − (1 − ((cos‘𝐴)↑2))) = (((cos‘𝐴)↑2) − ((sin‘𝐴)↑2)))
24	15, 23	eqtr4d 2767	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(2 · 𝐴)) = (((cos‘𝐴)↑2) − (1 − ((cos‘𝐴)↑2))))
25	2	2timesd 12367	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · ((cos‘𝐴)↑2)) = (((cos‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)))
26	25	oveq1d 7364	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · ((cos‘𝐴)↑2)) − 1) = ((((cos‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) − 1))
27	6, 24, 26	3eqtr4d 2774	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(2 · 𝐴)) = ((2 · ((cos‘𝐴)↑2)) − 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ℂcc 11007  1c1 11010   + caddc 11012   · cmul 11014   − cmin 11347  2c2 12183  ↑cexp 13968  sincsin 15970  cosccos 15971

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-inf2 9537  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-pm 8756  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-sup 9332  df-inf 9333  df-oi 9402  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-rp 12894  df-ico 13254  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-fl 13696  df-seq 13909  df-exp 13969  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14974  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-limsup 15378  df-clim 15395  df-rlim 15396  df-sum 15594  df-ef 15974  df-sin 15976  df-cos 15977

This theorem is referenced by:  cos2tsin  16088  cos2bnd  16097  cospi  26379  cos2pi  26383  tangtx  26412  coskpi  26430  sin2h  37590  cos2h  37591