MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cos2t Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cos2t 16059
Description: Double-angle formula for cosine. (Contributed by Paul Chapman, 24-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
cos2t (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(2 · 𝐴)) = ((2 · ((cos‘𝐴)↑2)) − 1))

Proof of Theorem cos2t
StepHypRef Expression
1 coscl 16008 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
21sqcld 14048 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
3 ax-1cn 11108 . . . 4 1 ∈ ℂ
4 subsub3 11432 . . . 4 ((((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ) → (((cos‘𝐴)↑2) − (1 − ((cos‘𝐴)↑2))) = ((((cos‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) − 1))
53, 4mp3an2 1449 . . 3 ((((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ ∧ ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ) → (((cos‘𝐴)↑2) − (1 − ((cos‘𝐴)↑2))) = ((((cos‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) − 1))
62, 2, 5syl2anc 584 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴)↑2) − (1 − ((cos‘𝐴)↑2))) = ((((cos‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) − 1))
7 cosadd 16046 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (cos‘(𝐴 + 𝐴)) = (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐴)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐴))))
87anidms 567 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(𝐴 + 𝐴)) = (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐴)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐴))))
9 2times 12288 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
109fveq2d 6846 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(2 · 𝐴)) = (cos‘(𝐴 + 𝐴)))
111sqvald 14047 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴)↑2) = ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐴)))
12 sincl 16007 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
1312sqvald 14047 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴)↑2) = ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐴)))
1411, 13oveq12d 7374 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴)↑2) − ((sin‘𝐴)↑2)) = (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐴)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐴))))
158, 10, 143eqtr4d 2786 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(2 · 𝐴)) = (((cos‘𝐴)↑2) − ((sin‘𝐴)↑2)))
1612sqcld 14048 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
1716, 2addcomd 11356 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = (((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)))
18 sincossq 16057 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)
1917, 18eqtr3d 2778 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)) = 1)
20 subadd 11403 . . . . . 6 ((1 ∈ ℂ ∧ ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ ∧ ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℂ) → ((1 − ((cos‘𝐴)↑2)) = ((sin‘𝐴)↑2) ↔ (((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)) = 1))
213, 2, 16, 20mp3an2i 1466 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 − ((cos‘𝐴)↑2)) = ((sin‘𝐴)↑2) ↔ (((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)) = 1))
2219, 21mpbird 256 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (1 − ((cos‘𝐴)↑2)) = ((sin‘𝐴)↑2))
2322oveq2d 7372 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴)↑2) − (1 − ((cos‘𝐴)↑2))) = (((cos‘𝐴)↑2) − ((sin‘𝐴)↑2)))
2415, 23eqtr4d 2779 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(2 · 𝐴)) = (((cos‘𝐴)↑2) − (1 − ((cos‘𝐴)↑2))))
2522timesd 12395 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · ((cos‘𝐴)↑2)) = (((cos‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)))
2625oveq1d 7371 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · ((cos‘𝐴)↑2)) − 1) = ((((cos‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) − 1))
276, 24, 263eqtr4d 2786 1 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(2 · 𝐴)) = ((2 · ((cos‘𝐴)↑2)) − 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1541  wcel 2106  cfv 6496  (class class class)co 7356  cc 11048  1c1 11051   + caddc 11053   · cmul 11055  cmin 11384  2c2 12207  cexp 13966  sincsin 15945  cosccos 15946
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671  ax-inf2 9576  ax-cnex 11106  ax-resscn 11107  ax-1cn 11108  ax-icn 11109  ax-addcl 11110  ax-addrcl 11111  ax-mulcl 11112  ax-mulrcl 11113  ax-mulcom 11114  ax-addass 11115  ax-mulass 11116  ax-distr 11117  ax-i2m1 11118  ax-1ne0 11119  ax-1rid 11120  ax-rnegex 11121  ax-rrecex 11122  ax-cnre 11123  ax-pre-lttri 11124  ax-pre-lttrn 11125  ax-pre-ltadd 11126  ax-pre-mulgt0 11127  ax-pre-sup 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7312  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7802  df-1st 7920  df-2nd 7921  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8316  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8647  df-pm 8767  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-sup 9377  df-inf 9378  df-oi 9445  df-card 9874  df-pnf 11190  df-mnf 11191  df-xr 11192  df-ltxr 11193  df-le 11194  df-sub 11386  df-neg 11387  df-div 11812  df-nn 12153  df-2 12215  df-3 12216  df-n0 12413  df-z 12499  df-uz 12763  df-rp 12915  df-ico 13269  df-fz 13424  df-fzo 13567  df-fl 13696  df-seq 13906  df-exp 13967  df-fac 14173  df-bc 14202  df-hash 14230  df-shft 14951  df-cj 14983  df-re 14984  df-im 14985  df-sqrt 15119  df-abs 15120  df-limsup 15352  df-clim 15369  df-rlim 15370  df-sum 15570  df-ef 15949  df-sin 15951  df-cos 15952
This theorem is referenced by:  cos2tsin  16060  cos2bnd  16069  cospi  25827  cos2pi  25831  tangtx  25860  coskpi  25877  sin2h  36059  cos2h  36060
  Copyright terms: Public domain W3C validator