MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cos2t Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cos2t 16124
Description: Double-angle formula for cosine. (Contributed by Paul Chapman, 24-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
cos2t (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (cosβ€˜(2 Β· 𝐴)) = ((2 Β· ((cosβ€˜π΄)↑2)) βˆ’ 1))

Proof of Theorem cos2t
StepHypRef Expression
1 coscl 16073 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (cosβ€˜π΄) ∈ β„‚)
21sqcld 14110 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((cosβ€˜π΄)↑2) ∈ β„‚)
3 ax-1cn 11165 . . . 4 1 ∈ β„‚
4 subsub3 11491 . . . 4 ((((cosβ€˜π΄)↑2) ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚ ∧ ((cosβ€˜π΄)↑2) ∈ β„‚) β†’ (((cosβ€˜π΄)↑2) βˆ’ (1 βˆ’ ((cosβ€˜π΄)↑2))) = ((((cosβ€˜π΄)↑2) + ((cosβ€˜π΄)↑2)) βˆ’ 1))
53, 4mp3an2 1445 . . 3 ((((cosβ€˜π΄)↑2) ∈ β„‚ ∧ ((cosβ€˜π΄)↑2) ∈ β„‚) β†’ (((cosβ€˜π΄)↑2) βˆ’ (1 βˆ’ ((cosβ€˜π΄)↑2))) = ((((cosβ€˜π΄)↑2) + ((cosβ€˜π΄)↑2)) βˆ’ 1))
62, 2, 5syl2anc 583 . 2 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((cosβ€˜π΄)↑2) βˆ’ (1 βˆ’ ((cosβ€˜π΄)↑2))) = ((((cosβ€˜π΄)↑2) + ((cosβ€˜π΄)↑2)) βˆ’ 1))
7 cosadd 16111 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (cosβ€˜(𝐴 + 𝐴)) = (((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΄)) βˆ’ ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜π΄))))
87anidms 566 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (cosβ€˜(𝐴 + 𝐴)) = (((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΄)) βˆ’ ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜π΄))))
9 2times 12347 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (2 Β· 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
109fveq2d 6886 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (cosβ€˜(2 Β· 𝐴)) = (cosβ€˜(𝐴 + 𝐴)))
111sqvald 14109 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((cosβ€˜π΄)↑2) = ((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΄)))
12 sincl 16072 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜π΄) ∈ β„‚)
1312sqvald 14109 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((sinβ€˜π΄)↑2) = ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜π΄)))
1411, 13oveq12d 7420 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((cosβ€˜π΄)↑2) βˆ’ ((sinβ€˜π΄)↑2)) = (((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΄)) βˆ’ ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜π΄))))
158, 10, 143eqtr4d 2774 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (cosβ€˜(2 Β· 𝐴)) = (((cosβ€˜π΄)↑2) βˆ’ ((sinβ€˜π΄)↑2)))
1612sqcld 14110 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((sinβ€˜π΄)↑2) ∈ β„‚)
1716, 2addcomd 11415 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((sinβ€˜π΄)↑2) + ((cosβ€˜π΄)↑2)) = (((cosβ€˜π΄)↑2) + ((sinβ€˜π΄)↑2)))
18 sincossq 16122 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((sinβ€˜π΄)↑2) + ((cosβ€˜π΄)↑2)) = 1)
1917, 18eqtr3d 2766 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((cosβ€˜π΄)↑2) + ((sinβ€˜π΄)↑2)) = 1)
20 subadd 11462 . . . . . 6 ((1 ∈ β„‚ ∧ ((cosβ€˜π΄)↑2) ∈ β„‚ ∧ ((sinβ€˜π΄)↑2) ∈ β„‚) β†’ ((1 βˆ’ ((cosβ€˜π΄)↑2)) = ((sinβ€˜π΄)↑2) ↔ (((cosβ€˜π΄)↑2) + ((sinβ€˜π΄)↑2)) = 1))
213, 2, 16, 20mp3an2i 1462 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((1 βˆ’ ((cosβ€˜π΄)↑2)) = ((sinβ€˜π΄)↑2) ↔ (((cosβ€˜π΄)↑2) + ((sinβ€˜π΄)↑2)) = 1))
2219, 21mpbird 257 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (1 βˆ’ ((cosβ€˜π΄)↑2)) = ((sinβ€˜π΄)↑2))
2322oveq2d 7418 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((cosβ€˜π΄)↑2) βˆ’ (1 βˆ’ ((cosβ€˜π΄)↑2))) = (((cosβ€˜π΄)↑2) βˆ’ ((sinβ€˜π΄)↑2)))
2415, 23eqtr4d 2767 . 2 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (cosβ€˜(2 Β· 𝐴)) = (((cosβ€˜π΄)↑2) βˆ’ (1 βˆ’ ((cosβ€˜π΄)↑2))))
2522timesd 12454 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (2 Β· ((cosβ€˜π΄)↑2)) = (((cosβ€˜π΄)↑2) + ((cosβ€˜π΄)↑2)))
2625oveq1d 7417 . 2 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((2 Β· ((cosβ€˜π΄)↑2)) βˆ’ 1) = ((((cosβ€˜π΄)↑2) + ((cosβ€˜π΄)↑2)) βˆ’ 1))
276, 24, 263eqtr4d 2774 1 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (cosβ€˜(2 Β· 𝐴)) = ((2 Β· ((cosβ€˜π΄)↑2)) βˆ’ 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  β„‚cc 11105  1c1 11108   + caddc 11110   Β· cmul 11112   βˆ’ cmin 11443  2c2 12266  β†‘cexp 14028  sincsin 16009  cosccos 16010
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-pm 8820  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12976  df-ico 13331  df-fz 13486  df-fzo 13629  df-fl 13758  df-seq 13968  df-exp 14029  df-fac 14235  df-bc 14264  df-hash 14292  df-shft 15016  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-limsup 15417  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-ef 16013  df-sin 16015  df-cos 16016
This theorem is referenced by:  cos2tsin  16125  cos2bnd  16134  cospi  26347  cos2pi  26351  tangtx  26380  coskpi  26397  sin2h  36981  cos2h  36982
  Copyright terms: Public domain W3C validator