MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pythagtriplem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pythagtriplem4 16773
Description: Lemma for pythagtrip 16788. Show that ๐ถ โˆ’ ๐ต and ๐ถ + ๐ต are relatively prime. (Contributed by Scott Fenton, 12-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
pythagtriplem4 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = 1)

Proof of Theorem pythagtriplem4
StepHypRef Expression
1 simp3r 1200 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)
2 nnz 12595 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ถ โˆˆ โ„• โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
3 nnz 12595 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
4 zsubcl 12620 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค)
52, 3, 4syl2anr 596 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค)
653adant1 1128 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค)
763ad2ant1 1131 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค)
8 simp13 1203 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•)
9 simp12 1202 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
108, 9nnaddcld 12280 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (๐ถ + ๐ต) โˆˆ โ„•)
1110nnzd 12601 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (๐ถ + ๐ต) โˆˆ โ„ค)
12 gcddvds 16463 . . . . . . . . . 10 (((๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ถ + ๐ต) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) โˆฅ (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆง ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) โˆฅ (๐ถ + ๐ต)))
137, 11, 12syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) โˆฅ (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆง ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) โˆฅ (๐ถ + ๐ต)))
1413simprd 495 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) โˆฅ (๐ถ + ๐ต))
15 breq1 5145 . . . . . . . . 9 (((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = 2 โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) โˆฅ (๐ถ + ๐ต) โ†” 2 โˆฅ (๐ถ + ๐ต)))
1615biimpd 228 . . . . . . . 8 (((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = 2 โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) โˆฅ (๐ถ + ๐ต) โ†’ 2 โˆฅ (๐ถ + ๐ต)))
1714, 16mpan9 506 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = 2) โ†’ 2 โˆฅ (๐ถ + ๐ต))
18 2z 12610 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„ค
19 simpl13 1248 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = 2) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•)
2019nnzd 12601 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = 2) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
21 simpl12 1247 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = 2) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
2221nnzd 12601 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = 2) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
2320, 22zaddcld 12686 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = 2) โ†’ (๐ถ + ๐ต) โˆˆ โ„ค)
2420, 22zsubcld 12687 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = 2) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค)
25 dvdsmultr1 16258 . . . . . . . 8 ((2 โˆˆ โ„ค โˆง (๐ถ + ๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 โˆฅ (๐ถ + ๐ต) โ†’ 2 โˆฅ ((๐ถ + ๐ต) ยท (๐ถ โˆ’ ๐ต))))
2618, 23, 24, 25mp3an2i 1463 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = 2) โ†’ (2 โˆฅ (๐ถ + ๐ต) โ†’ 2 โˆฅ ((๐ถ + ๐ต) ยท (๐ถ โˆ’ ๐ต))))
2717, 26mpd 15 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = 2) โ†’ 2 โˆฅ ((๐ถ + ๐ต) ยท (๐ถ โˆ’ ๐ต)))
2819nncnd 12244 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = 2) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
2921nncnd 12244 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = 2) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
30 subsq 14191 . . . . . . 7 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ถโ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)) = ((๐ถ + ๐ต) ยท (๐ถ โˆ’ ๐ต)))
3128, 29, 30syl2anc 583 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = 2) โ†’ ((๐ถโ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)) = ((๐ถ + ๐ต) ยท (๐ถ โˆ’ ๐ต)))
3227, 31breqtrrd 5170 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = 2) โ†’ 2 โˆฅ ((๐ถโ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)))
33 simpl2 1190 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = 2) โ†’ ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2))
3433oveq1d 7429 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = 2) โ†’ (((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) โˆ’ (๐ตโ†‘2)) = ((๐ถโ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)))
35 simpl11 1246 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = 2) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
3635nnsqcld 14224 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = 2) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„•)
3736nncnd 12244 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = 2) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
3821nnsqcld 14224 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = 2) โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„•)
3938nncnd 12244 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = 2) โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
4037, 39pncand 11588 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = 2) โ†’ (((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) โˆ’ (๐ตโ†‘2)) = (๐ดโ†‘2))
4134, 40eqtr3d 2769 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = 2) โ†’ ((๐ถโ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)) = (๐ดโ†‘2))
4232, 41breqtrd 5168 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = 2) โ†’ 2 โˆฅ (๐ดโ†‘2))
43 nnz 12595 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
44433ad2ant1 1131 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
45443ad2ant1 1131 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
4645adantr 480 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = 2) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
47 2prm 16648 . . . . . 6 2 โˆˆ โ„™
48 2nn 12301 . . . . . 6 2 โˆˆ โ„•
49 prmdvdsexp 16671 . . . . . 6 ((2 โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆˆ โ„•) โ†’ (2 โˆฅ (๐ดโ†‘2) โ†” 2 โˆฅ ๐ด))
5047, 48, 49mp3an13 1449 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ (2 โˆฅ (๐ดโ†‘2) โ†” 2 โˆฅ ๐ด))
5146, 50syl 17 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = 2) โ†’ (2 โˆฅ (๐ดโ†‘2) โ†” 2 โˆฅ ๐ด))
5242, 51mpbid 231 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = 2) โ†’ 2 โˆฅ ๐ด)
531, 52mtand 815 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ยฌ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = 2)
54 neg1z 12614 . . . . . . . 8 -1 โˆˆ โ„ค
55 gcdaddm 16485 . . . . . . . 8 ((-1 โˆˆ โ„ค โˆง (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ถ + ๐ต) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd ((๐ถ + ๐ต) + (-1 ยท (๐ถ โˆ’ ๐ต)))))
5654, 7, 11, 55mp3an2i 1463 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd ((๐ถ + ๐ต) + (-1 ยท (๐ถ โˆ’ ๐ต)))))
578nncnd 12244 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
589nncnd 12244 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
59 pnncan 11517 . . . . . . . . . . 11 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ถ + ๐ต) โˆ’ (๐ถ โˆ’ ๐ต)) = (๐ต + ๐ต))
60593anidm23 1419 . . . . . . . . . 10 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ถ + ๐ต) โˆ’ (๐ถ โˆ’ ๐ต)) = (๐ต + ๐ต))
61 subcl 11475 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚)
6261mulm1d 11682 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (-1 ยท (๐ถ โˆ’ ๐ต)) = -(๐ถ โˆ’ ๐ต))
6362oveq2d 7430 . . . . . . . . . . 11 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ถ + ๐ต) + (-1 ยท (๐ถ โˆ’ ๐ต))) = ((๐ถ + ๐ต) + -(๐ถ โˆ’ ๐ต)))
64 addcl 11206 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ถ + ๐ต) โˆˆ โ„‚)
6564, 61negsubd 11593 . . . . . . . . . . 11 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ถ + ๐ต) + -(๐ถ โˆ’ ๐ต)) = ((๐ถ + ๐ต) โˆ’ (๐ถ โˆ’ ๐ต)))
6663, 65eqtrd 2767 . . . . . . . . . 10 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ถ + ๐ต) + (-1 ยท (๐ถ โˆ’ ๐ต))) = ((๐ถ + ๐ต) โˆ’ (๐ถ โˆ’ ๐ต)))
67 2times 12364 . . . . . . . . . . 11 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (2 ยท ๐ต) = (๐ต + ๐ต))
6867adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท ๐ต) = (๐ต + ๐ต))
6960, 66, 683eqtr4d 2777 . . . . . . . . 9 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ถ + ๐ต) + (-1 ยท (๐ถ โˆ’ ๐ต))) = (2 ยท ๐ต))
7069oveq2d 7430 . . . . . . . 8 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd ((๐ถ + ๐ต) + (-1 ยท (๐ถ โˆ’ ๐ต)))) = ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (2 ยท ๐ต)))
7157, 58, 70syl2anc 583 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd ((๐ถ + ๐ต) + (-1 ยท (๐ถ โˆ’ ๐ต)))) = ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (2 ยท ๐ต)))
7256, 71eqtrd 2767 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (2 ยท ๐ต)))
739nnzd 12601 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
74 zmulcl 12627 . . . . . . . . 9 ((2 โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 ยท ๐ต) โˆˆ โ„ค)
7518, 73, 74sylancr 586 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (2 ยท ๐ต) โˆˆ โ„ค)
76 gcddvds 16463 . . . . . . . 8 (((๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง (2 ยท ๐ต) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (2 ยท ๐ต)) โˆฅ (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆง ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (2 ยท ๐ต)) โˆฅ (2 ยท ๐ต)))
777, 75, 76syl2anc 583 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (2 ยท ๐ต)) โˆฅ (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆง ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (2 ยท ๐ต)) โˆฅ (2 ยท ๐ต)))
7877simprd 495 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (2 ยท ๐ต)) โˆฅ (2 ยท ๐ต))
7972, 78eqbrtrd 5164 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) โˆฅ (2 ยท ๐ต))
80 1z 12608 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„ค
81 gcdaddm 16485 . . . . . . . 8 ((1 โˆˆ โ„ค โˆง (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ถ + ๐ต) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd ((๐ถ + ๐ต) + (1 ยท (๐ถ โˆ’ ๐ต)))))
8280, 7, 11, 81mp3an2i 1463 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd ((๐ถ + ๐ต) + (1 ยท (๐ถ โˆ’ ๐ต)))))
83 ppncan 11518 . . . . . . . . . . 11 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ถ + ๐ต) + (๐ถ โˆ’ ๐ต)) = (๐ถ + ๐ถ))
84833anidm13 1418 . . . . . . . . . 10 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ถ + ๐ต) + (๐ถ โˆ’ ๐ต)) = (๐ถ + ๐ถ))
8561mullidd 11248 . . . . . . . . . . 11 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 ยท (๐ถ โˆ’ ๐ต)) = (๐ถ โˆ’ ๐ต))
8685oveq2d 7430 . . . . . . . . . 10 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ถ + ๐ต) + (1 ยท (๐ถ โˆ’ ๐ต))) = ((๐ถ + ๐ต) + (๐ถ โˆ’ ๐ต)))
87 2times 12364 . . . . . . . . . . 11 (๐ถ โˆˆ โ„‚ โ†’ (2 ยท ๐ถ) = (๐ถ + ๐ถ))
8887adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท ๐ถ) = (๐ถ + ๐ถ))
8984, 86, 883eqtr4d 2777 . . . . . . . . 9 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ถ + ๐ต) + (1 ยท (๐ถ โˆ’ ๐ต))) = (2 ยท ๐ถ))
9057, 58, 89syl2anc 583 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ((๐ถ + ๐ต) + (1 ยท (๐ถ โˆ’ ๐ต))) = (2 ยท ๐ถ))
9190oveq2d 7430 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd ((๐ถ + ๐ต) + (1 ยท (๐ถ โˆ’ ๐ต)))) = ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (2 ยท ๐ถ)))
9282, 91eqtrd 2767 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (2 ยท ๐ถ)))
938nnzd 12601 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
94 zmulcl 12627 . . . . . . . . 9 ((2 โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 ยท ๐ถ) โˆˆ โ„ค)
9518, 93, 94sylancr 586 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (2 ยท ๐ถ) โˆˆ โ„ค)
96 gcddvds 16463 . . . . . . . 8 (((๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง (2 ยท ๐ถ) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (2 ยท ๐ถ)) โˆฅ (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆง ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (2 ยท ๐ถ)) โˆฅ (2 ยท ๐ถ)))
977, 95, 96syl2anc 583 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (2 ยท ๐ถ)) โˆฅ (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆง ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (2 ยท ๐ถ)) โˆฅ (2 ยท ๐ถ)))
9897simprd 495 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (2 ยท ๐ถ)) โˆฅ (2 ยท ๐ถ))
9992, 98eqbrtrd 5164 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) โˆฅ (2 ยท ๐ถ))
100 nnaddcl 12251 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ถ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ถ + ๐ต) โˆˆ โ„•)
101100nnne0d 12278 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ถ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ถ + ๐ต) โ‰  0)
102101ancoms 458 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ถ + ๐ต) โ‰  0)
1031023adant1 1128 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ถ + ๐ต) โ‰  0)
1041033ad2ant1 1131 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (๐ถ + ๐ต) โ‰  0)
105104neneqd 2940 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ยฌ (๐ถ + ๐ต) = 0)
106105intnand 488 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ยฌ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) = 0 โˆง (๐ถ + ๐ต) = 0))
107 gcdn0cl 16462 . . . . . . . 8 ((((๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ถ + ๐ต) โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) = 0 โˆง (๐ถ + ๐ต) = 0)) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) โˆˆ โ„•)
1087, 11, 106, 107syl21anc 837 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) โˆˆ โ„•)
109108nnzd 12601 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) โˆˆ โ„ค)
110 dvdsgcd 16505 . . . . . 6 ((((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) โˆˆ โ„ค โˆง (2 ยท ๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง (2 ยท ๐ถ) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) โˆฅ (2 ยท ๐ต) โˆง ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) โˆฅ (2 ยท ๐ถ)) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) โˆฅ ((2 ยท ๐ต) gcd (2 ยท ๐ถ))))
111109, 75, 95, 110syl3anc 1369 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ((((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) โˆฅ (2 ยท ๐ต) โˆง ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) โˆฅ (2 ยท ๐ถ)) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) โˆฅ ((2 ยท ๐ต) gcd (2 ยท ๐ถ))))
11279, 99, 111mp2and 698 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) โˆฅ ((2 ยท ๐ต) gcd (2 ยท ๐ถ)))
113 2nn0 12505 . . . . . 6 2 โˆˆ โ„•0
114 mulgcd 16509 . . . . . 6 ((2 โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((2 ยท ๐ต) gcd (2 ยท ๐ถ)) = (2 ยท (๐ต gcd ๐ถ)))
115113, 73, 93, 114mp3an2i 1463 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ((2 ยท ๐ต) gcd (2 ยท ๐ถ)) = (2 ยท (๐ต gcd ๐ถ)))
116 pythagtriplem3 16772 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (๐ต gcd ๐ถ) = 1)
117116oveq2d 7430 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (2 ยท (๐ต gcd ๐ถ)) = (2 ยท 1))
118 2t1e2 12391 . . . . . 6 (2 ยท 1) = 2
119117, 118eqtrdi 2783 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (2 ยท (๐ต gcd ๐ถ)) = 2)
120115, 119eqtrd 2767 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ((2 ยท ๐ต) gcd (2 ยท ๐ถ)) = 2)
121112, 120breqtrd 5168 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) โˆฅ 2)
122 dvdsprime 16643 . . . 4 ((2 โˆˆ โ„™ โˆง ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) โˆฅ 2 โ†” (((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = 2 โˆจ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = 1)))
12347, 108, 122sylancr 586 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) โˆฅ 2 โ†” (((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = 2 โˆจ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = 1)))
124121, 123mpbid 231 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = 2 โˆจ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = 1))
125 orel1 887 . 2 (ยฌ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = 2 โ†’ ((((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = 2 โˆจ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = 1) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = 1))
12653, 124, 125sylc 65 1 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 846   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โ‰  wne 2935   class class class wbr 5142  (class class class)co 7414  โ„‚cc 11122  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   ยท cmul 11129   โˆ’ cmin 11460  -cneg 11461  โ„•cn 12228  2c2 12283  โ„•0cn0 12488  โ„คcz 12574  โ†‘cexp 14044   โˆฅ cdvds 16216   gcd cgcd 16454  โ„™cprime 16627
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-sup 9451  df-inf 9452  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-rp 12993  df-fz 13503  df-fl 13775  df-mod 13853  df-seq 13985  df-exp 14045  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201  df-dvds 16217  df-gcd 16455  df-prm 16628
This theorem is referenced by:  pythagtriplem6  16775  pythagtriplem7  16776  flt4lem3  41984
  Copyright terms: Public domain W3C validator