MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pythagtriplem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pythagtriplem4 16699
Description: Lemma for pythagtrip 16714. Show that ๐ถ โˆ’ ๐ต and ๐ถ + ๐ต are relatively prime. (Contributed by Scott Fenton, 12-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
pythagtriplem4 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = 1)

Proof of Theorem pythagtriplem4
StepHypRef Expression
1 simp3r 1203 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)
2 nnz 12528 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ถ โˆˆ โ„• โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
3 nnz 12528 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
4 zsubcl 12553 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค)
52, 3, 4syl2anr 598 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค)
653adant1 1131 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค)
763ad2ant1 1134 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค)
8 simp13 1206 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•)
9 simp12 1205 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
108, 9nnaddcld 12213 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (๐ถ + ๐ต) โˆˆ โ„•)
1110nnzd 12534 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (๐ถ + ๐ต) โˆˆ โ„ค)
12 gcddvds 16391 . . . . . . . . . 10 (((๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ถ + ๐ต) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) โˆฅ (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆง ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) โˆฅ (๐ถ + ๐ต)))
137, 11, 12syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) โˆฅ (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆง ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) โˆฅ (๐ถ + ๐ต)))
1413simprd 497 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) โˆฅ (๐ถ + ๐ต))
15 breq1 5112 . . . . . . . . 9 (((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = 2 โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) โˆฅ (๐ถ + ๐ต) โ†” 2 โˆฅ (๐ถ + ๐ต)))
1615biimpd 228 . . . . . . . 8 (((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = 2 โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) โˆฅ (๐ถ + ๐ต) โ†’ 2 โˆฅ (๐ถ + ๐ต)))
1714, 16mpan9 508 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = 2) โ†’ 2 โˆฅ (๐ถ + ๐ต))
18 2z 12543 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„ค
19 simpl13 1251 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = 2) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•)
2019nnzd 12534 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = 2) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
21 simpl12 1250 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = 2) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
2221nnzd 12534 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = 2) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
2320, 22zaddcld 12619 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = 2) โ†’ (๐ถ + ๐ต) โˆˆ โ„ค)
2420, 22zsubcld 12620 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = 2) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค)
25 dvdsmultr1 16186 . . . . . . . 8 ((2 โˆˆ โ„ค โˆง (๐ถ + ๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 โˆฅ (๐ถ + ๐ต) โ†’ 2 โˆฅ ((๐ถ + ๐ต) ยท (๐ถ โˆ’ ๐ต))))
2618, 23, 24, 25mp3an2i 1467 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = 2) โ†’ (2 โˆฅ (๐ถ + ๐ต) โ†’ 2 โˆฅ ((๐ถ + ๐ต) ยท (๐ถ โˆ’ ๐ต))))
2717, 26mpd 15 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = 2) โ†’ 2 โˆฅ ((๐ถ + ๐ต) ยท (๐ถ โˆ’ ๐ต)))
2819nncnd 12177 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = 2) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
2921nncnd 12177 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = 2) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
30 subsq 14123 . . . . . . 7 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ถโ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)) = ((๐ถ + ๐ต) ยท (๐ถ โˆ’ ๐ต)))
3128, 29, 30syl2anc 585 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = 2) โ†’ ((๐ถโ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)) = ((๐ถ + ๐ต) ยท (๐ถ โˆ’ ๐ต)))
3227, 31breqtrrd 5137 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = 2) โ†’ 2 โˆฅ ((๐ถโ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)))
33 simpl2 1193 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = 2) โ†’ ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2))
3433oveq1d 7376 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = 2) โ†’ (((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) โˆ’ (๐ตโ†‘2)) = ((๐ถโ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)))
35 simpl11 1249 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = 2) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
3635nnsqcld 14156 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = 2) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„•)
3736nncnd 12177 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = 2) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
3821nnsqcld 14156 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = 2) โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„•)
3938nncnd 12177 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = 2) โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
4037, 39pncand 11521 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = 2) โ†’ (((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) โˆ’ (๐ตโ†‘2)) = (๐ดโ†‘2))
4134, 40eqtr3d 2775 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = 2) โ†’ ((๐ถโ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)) = (๐ดโ†‘2))
4232, 41breqtrd 5135 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = 2) โ†’ 2 โˆฅ (๐ดโ†‘2))
43 nnz 12528 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
44433ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
45443ad2ant1 1134 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
4645adantr 482 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = 2) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
47 2prm 16576 . . . . . 6 2 โˆˆ โ„™
48 2nn 12234 . . . . . 6 2 โˆˆ โ„•
49 prmdvdsexp 16599 . . . . . 6 ((2 โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆˆ โ„•) โ†’ (2 โˆฅ (๐ดโ†‘2) โ†” 2 โˆฅ ๐ด))
5047, 48, 49mp3an13 1453 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ (2 โˆฅ (๐ดโ†‘2) โ†” 2 โˆฅ ๐ด))
5146, 50syl 17 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = 2) โ†’ (2 โˆฅ (๐ดโ†‘2) โ†” 2 โˆฅ ๐ด))
5242, 51mpbid 231 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = 2) โ†’ 2 โˆฅ ๐ด)
531, 52mtand 815 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ยฌ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = 2)
54 neg1z 12547 . . . . . . . 8 -1 โˆˆ โ„ค
55 gcdaddm 16413 . . . . . . . 8 ((-1 โˆˆ โ„ค โˆง (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ถ + ๐ต) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd ((๐ถ + ๐ต) + (-1 ยท (๐ถ โˆ’ ๐ต)))))
5654, 7, 11, 55mp3an2i 1467 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd ((๐ถ + ๐ต) + (-1 ยท (๐ถ โˆ’ ๐ต)))))
578nncnd 12177 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
589nncnd 12177 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
59 pnncan 11450 . . . . . . . . . . 11 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ถ + ๐ต) โˆ’ (๐ถ โˆ’ ๐ต)) = (๐ต + ๐ต))
60593anidm23 1422 . . . . . . . . . 10 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ถ + ๐ต) โˆ’ (๐ถ โˆ’ ๐ต)) = (๐ต + ๐ต))
61 subcl 11408 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚)
6261mulm1d 11615 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (-1 ยท (๐ถ โˆ’ ๐ต)) = -(๐ถ โˆ’ ๐ต))
6362oveq2d 7377 . . . . . . . . . . 11 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ถ + ๐ต) + (-1 ยท (๐ถ โˆ’ ๐ต))) = ((๐ถ + ๐ต) + -(๐ถ โˆ’ ๐ต)))
64 addcl 11141 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ถ + ๐ต) โˆˆ โ„‚)
6564, 61negsubd 11526 . . . . . . . . . . 11 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ถ + ๐ต) + -(๐ถ โˆ’ ๐ต)) = ((๐ถ + ๐ต) โˆ’ (๐ถ โˆ’ ๐ต)))
6663, 65eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ถ + ๐ต) + (-1 ยท (๐ถ โˆ’ ๐ต))) = ((๐ถ + ๐ต) โˆ’ (๐ถ โˆ’ ๐ต)))
67 2times 12297 . . . . . . . . . . 11 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (2 ยท ๐ต) = (๐ต + ๐ต))
6867adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท ๐ต) = (๐ต + ๐ต))
6960, 66, 683eqtr4d 2783 . . . . . . . . 9 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ถ + ๐ต) + (-1 ยท (๐ถ โˆ’ ๐ต))) = (2 ยท ๐ต))
7069oveq2d 7377 . . . . . . . 8 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd ((๐ถ + ๐ต) + (-1 ยท (๐ถ โˆ’ ๐ต)))) = ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (2 ยท ๐ต)))
7157, 58, 70syl2anc 585 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd ((๐ถ + ๐ต) + (-1 ยท (๐ถ โˆ’ ๐ต)))) = ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (2 ยท ๐ต)))
7256, 71eqtrd 2773 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (2 ยท ๐ต)))
739nnzd 12534 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
74 zmulcl 12560 . . . . . . . . 9 ((2 โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 ยท ๐ต) โˆˆ โ„ค)
7518, 73, 74sylancr 588 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (2 ยท ๐ต) โˆˆ โ„ค)
76 gcddvds 16391 . . . . . . . 8 (((๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง (2 ยท ๐ต) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (2 ยท ๐ต)) โˆฅ (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆง ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (2 ยท ๐ต)) โˆฅ (2 ยท ๐ต)))
777, 75, 76syl2anc 585 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (2 ยท ๐ต)) โˆฅ (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆง ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (2 ยท ๐ต)) โˆฅ (2 ยท ๐ต)))
7877simprd 497 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (2 ยท ๐ต)) โˆฅ (2 ยท ๐ต))
7972, 78eqbrtrd 5131 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) โˆฅ (2 ยท ๐ต))
80 1z 12541 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„ค
81 gcdaddm 16413 . . . . . . . 8 ((1 โˆˆ โ„ค โˆง (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ถ + ๐ต) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd ((๐ถ + ๐ต) + (1 ยท (๐ถ โˆ’ ๐ต)))))
8280, 7, 11, 81mp3an2i 1467 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd ((๐ถ + ๐ต) + (1 ยท (๐ถ โˆ’ ๐ต)))))
83 ppncan 11451 . . . . . . . . . . 11 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ถ + ๐ต) + (๐ถ โˆ’ ๐ต)) = (๐ถ + ๐ถ))
84833anidm13 1421 . . . . . . . . . 10 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ถ + ๐ต) + (๐ถ โˆ’ ๐ต)) = (๐ถ + ๐ถ))
8561mulid2d 11181 . . . . . . . . . . 11 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 ยท (๐ถ โˆ’ ๐ต)) = (๐ถ โˆ’ ๐ต))
8685oveq2d 7377 . . . . . . . . . 10 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ถ + ๐ต) + (1 ยท (๐ถ โˆ’ ๐ต))) = ((๐ถ + ๐ต) + (๐ถ โˆ’ ๐ต)))
87 2times 12297 . . . . . . . . . . 11 (๐ถ โˆˆ โ„‚ โ†’ (2 ยท ๐ถ) = (๐ถ + ๐ถ))
8887adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท ๐ถ) = (๐ถ + ๐ถ))
8984, 86, 883eqtr4d 2783 . . . . . . . . 9 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ถ + ๐ต) + (1 ยท (๐ถ โˆ’ ๐ต))) = (2 ยท ๐ถ))
9057, 58, 89syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ((๐ถ + ๐ต) + (1 ยท (๐ถ โˆ’ ๐ต))) = (2 ยท ๐ถ))
9190oveq2d 7377 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd ((๐ถ + ๐ต) + (1 ยท (๐ถ โˆ’ ๐ต)))) = ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (2 ยท ๐ถ)))
9282, 91eqtrd 2773 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (2 ยท ๐ถ)))
938nnzd 12534 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
94 zmulcl 12560 . . . . . . . . 9 ((2 โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 ยท ๐ถ) โˆˆ โ„ค)
9518, 93, 94sylancr 588 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (2 ยท ๐ถ) โˆˆ โ„ค)
96 gcddvds 16391 . . . . . . . 8 (((๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง (2 ยท ๐ถ) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (2 ยท ๐ถ)) โˆฅ (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆง ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (2 ยท ๐ถ)) โˆฅ (2 ยท ๐ถ)))
977, 95, 96syl2anc 585 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (2 ยท ๐ถ)) โˆฅ (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆง ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (2 ยท ๐ถ)) โˆฅ (2 ยท ๐ถ)))
9897simprd 497 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (2 ยท ๐ถ)) โˆฅ (2 ยท ๐ถ))
9992, 98eqbrtrd 5131 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) โˆฅ (2 ยท ๐ถ))
100 nnaddcl 12184 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ถ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ถ + ๐ต) โˆˆ โ„•)
101100nnne0d 12211 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ถ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ถ + ๐ต) โ‰  0)
102101ancoms 460 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ถ + ๐ต) โ‰  0)
1031023adant1 1131 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ถ + ๐ต) โ‰  0)
1041033ad2ant1 1134 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (๐ถ + ๐ต) โ‰  0)
105104neneqd 2945 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ยฌ (๐ถ + ๐ต) = 0)
106105intnand 490 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ยฌ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) = 0 โˆง (๐ถ + ๐ต) = 0))
107 gcdn0cl 16390 . . . . . . . 8 ((((๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ถ + ๐ต) โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) = 0 โˆง (๐ถ + ๐ต) = 0)) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) โˆˆ โ„•)
1087, 11, 106, 107syl21anc 837 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) โˆˆ โ„•)
109108nnzd 12534 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) โˆˆ โ„ค)
110 dvdsgcd 16433 . . . . . 6 ((((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) โˆˆ โ„ค โˆง (2 ยท ๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง (2 ยท ๐ถ) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) โˆฅ (2 ยท ๐ต) โˆง ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) โˆฅ (2 ยท ๐ถ)) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) โˆฅ ((2 ยท ๐ต) gcd (2 ยท ๐ถ))))
111109, 75, 95, 110syl3anc 1372 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ((((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) โˆฅ (2 ยท ๐ต) โˆง ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) โˆฅ (2 ยท ๐ถ)) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) โˆฅ ((2 ยท ๐ต) gcd (2 ยท ๐ถ))))
11279, 99, 111mp2and 698 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) โˆฅ ((2 ยท ๐ต) gcd (2 ยท ๐ถ)))
113 2nn0 12438 . . . . . 6 2 โˆˆ โ„•0
114 mulgcd 16437 . . . . . 6 ((2 โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((2 ยท ๐ต) gcd (2 ยท ๐ถ)) = (2 ยท (๐ต gcd ๐ถ)))
115113, 73, 93, 114mp3an2i 1467 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ((2 ยท ๐ต) gcd (2 ยท ๐ถ)) = (2 ยท (๐ต gcd ๐ถ)))
116 pythagtriplem3 16698 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (๐ต gcd ๐ถ) = 1)
117116oveq2d 7377 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (2 ยท (๐ต gcd ๐ถ)) = (2 ยท 1))
118 2t1e2 12324 . . . . . 6 (2 ยท 1) = 2
119117, 118eqtrdi 2789 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (2 ยท (๐ต gcd ๐ถ)) = 2)
120115, 119eqtrd 2773 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ((2 ยท ๐ต) gcd (2 ยท ๐ถ)) = 2)
121112, 120breqtrd 5135 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) โˆฅ 2)
122 dvdsprime 16571 . . . 4 ((2 โˆˆ โ„™ โˆง ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) โˆฅ 2 โ†” (((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = 2 โˆจ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = 1)))
12347, 108, 122sylancr 588 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) โˆฅ 2 โ†” (((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = 2 โˆจ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = 1)))
124121, 123mpbid 231 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = 2 โˆจ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = 1))
125 orel1 888 . 2 (ยฌ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = 2 โ†’ ((((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = 2 โˆจ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = 1) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = 1))
12653, 124, 125sylc 65 1 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940   class class class wbr 5109  (class class class)co 7361  โ„‚cc 11057  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062   ยท cmul 11064   โˆ’ cmin 11393  -cneg 11394  โ„•cn 12161  2c2 12216  โ„•0cn0 12421  โ„คcz 12507  โ†‘cexp 13976   โˆฅ cdvds 16144   gcd cgcd 16382  โ„™cprime 16555
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-inf 9387  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-fz 13434  df-fl 13706  df-mod 13784  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-dvds 16145  df-gcd 16383  df-prm 16556
This theorem is referenced by:  pythagtriplem6  16701  pythagtriplem7  16702  flt4lem3  41033
  Copyright terms: Public domain W3C validator