Theorem 2timesgt 44449

Description: Double of a positive real is larger than the real itself. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
2timesgt	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 < (2 · 𝐴))

Proof of Theorem 2timesgt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 12978	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		id 22	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ+)
3	1, 2	ltaddrp2d 13046	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 < (𝐴 + 𝐴))
4		rpcn 12980	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℂ)
5		2times 12344	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
6	5	eqcomd 2730	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 𝐴) = (2 · 𝐴))
7	4, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 + 𝐴) = (2 · 𝐴))
8	3, 7	breqtrd 5164	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 < (2 · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5138  (class class class)co 7401  ℂcc 11103   + caddc 11108   · cmul 11110   < clt 11244  2c2 12263  ℝ⁺crp 12970

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-po 5578  df-so 5579  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7404  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-ltxr 11249  df-2 12271  df-rp 12971

This theorem is referenced by:  limsup10exlem  44939  fourierdlem24  45298  fourierdlem43  45317  fourierdlem44  45318  sqwvfoura  45395  sqwvfourb  45396  fourierswlem  45397  fouriersw  45398