Theorem 2timesgt 45831

Description: Double of a positive real is larger than the real itself. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
2timesgt	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 < (2 · 𝐴))

Proof of Theorem 2timesgt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 12999	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		id 22	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ+)
3	1, 2	ltaddrp2d 13068	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 < (𝐴 + 𝐴))
4		rpcn 13001	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℂ)
5		2times 12350	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
6	5	eqcomd 2767	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 𝐴) = (2 · 𝐴))
7	4, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 + 𝐴) = (2 · 𝐴))
8	3, 7	breqtrd 5125	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 < (2 · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5099  (class class class)co 7392  ℂcc 11068   + caddc 11073   · cmul 11075   < clt 11213  2c2 12269  ℝ⁺crp 12990

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-po 5553  df-so 5554  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-ov 7395  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-ltxr 11218  df-2 12277  df-rp 12991

This theorem is referenced by:  limsup10exlem  46310  fourierdlem24  46669  fourierdlem43  46688  fourierdlem44  46689  sqwvfoura  46766  sqwvfourb  46767  fourierswlem  46768  fouriersw  46769