Theorem 2timesgt 46273

Description: Double of a positive real is larger than the real itself. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
2timesgt	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 < (2 · 𝐴))

Proof of Theorem 2timesgt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 13122	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		id 23	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ+)
3	1, 2	ltaddrp2d 13191	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 < (𝐴 + 𝐴))
4		rpcn 13124	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℂ)
5		2times 12471	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
6	5	eqcomd 2767	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 𝐴) = (2 · 𝐴))
7	4, 6	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 + 𝐴) = (2 · 𝐴))
8	3, 7	breqtrd 5131	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 < (2 · 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7418  ℂcc 11191   + caddc 11196   · cmul 11198   < clt 11336  2c2 12390  ℝ⁺crp 13113

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7421  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-ltxr 11341  df-2 12398  df-rp 13114

This theorem is used by:  limsup10exlem  46751  fourierdlem24  47110  fourierdlem43  47129  fourierdlem44  47130  sqwvfoura  47207  sqwvfourb  47208  fourierswlem  47209  fouriersw  47210