Theorem 2timesgt 45603

Description: Double of a positive real is larger than the real itself. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
2timesgt	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 < (2 · 𝐴))

Proof of Theorem 2timesgt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 12918	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		id 22	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ+)
3	1, 2	ltaddrp2d 12987	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 < (𝐴 + 𝐴))
4		rpcn 12920	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℂ)
5		2times 12280	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
6	5	eqcomd 2743	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 𝐴) = (2 · 𝐴))
7	4, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 + 𝐴) = (2 · 𝐴))
8	3, 7	breqtrd 5125	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 < (2 · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5099  (class class class)co 7360  ℂcc 11028   + caddc 11033   · cmul 11035   < clt 11170  2c2 12204  ℝ⁺crp 12909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7363  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175  df-2 12212  df-rp 12910

This theorem is referenced by:  limsup10exlem  46083  fourierdlem24  46442  fourierdlem43  46461  fourierdlem44  46462  sqwvfoura  46539  sqwvfourb  46540  fourierswlem  46541  fouriersw  46542