MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2sqreultlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2sqreultlem 27505
Description: Lemma for 2sqreult 27516. (Contributed by AV, 8-Jun-2023.) (Proposed by GL, 8-Jun-2023.)
Assertion
Ref Expression
2sqreultlem ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
Distinct variable group:   𝑃,𝑎,𝑏

Proof of Theorem 2sqreultlem
StepHypRef Expression
1 2sqreulem1 27504 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
2 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = 𝑎 → (𝑏↑2) = (𝑎↑2))
32oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 𝑎 → ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑎↑2) + (𝑎↑2)))
43adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 = 𝑎 ∧ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0)) → ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑎↑2) + (𝑎↑2)))
5 nn0cn 12533 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ℂ)
65sqcld 14180 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 ∈ ℕ0 → (𝑎↑2) ∈ ℂ)
7 2times 12399 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑎↑2) ∈ ℂ → (2 · (𝑎↑2)) = ((𝑎↑2) + (𝑎↑2)))
87eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑎↑2) ∈ ℂ → ((𝑎↑2) + (𝑎↑2)) = (2 · (𝑎↑2)))
96, 8syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 ∈ ℕ0 → ((𝑎↑2) + (𝑎↑2)) = (2 · (𝑎↑2)))
109adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → ((𝑎↑2) + (𝑎↑2)) = (2 · (𝑎↑2)))
1110ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 = 𝑎 ∧ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0)) → ((𝑎↑2) + (𝑎↑2)) = (2 · (𝑎↑2)))
124, 11eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 = 𝑎 ∧ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0)) → ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = (2 · (𝑎↑2)))
1312eqeq1d 2736 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 = 𝑎 ∧ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0)) → (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃 ↔ (2 · (𝑎↑2)) = 𝑃))
14 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃 = (2 · (𝑎↑2)) → (𝑃 mod 4) = ((2 · (𝑎↑2)) mod 4))
1514eqeq1d 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃 = (2 · (𝑎↑2)) → ((𝑃 mod 4) = 1 ↔ ((2 · (𝑎↑2)) mod 4) = 1))
16 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃 = (2 · (𝑎↑2)) → (𝑃 ∈ ℙ ↔ (2 · (𝑎↑2)) ∈ ℙ))
1715, 16anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 = (2 · (𝑎↑2)) → (((𝑃 mod 4) = 1 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ↔ (((2 · (𝑎↑2)) mod 4) = 1 ∧ (2 · (𝑎↑2)) ∈ ℙ)))
18 nn0z 12635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑎 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ℤ)
19 2nn0 12540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 ∈ ℕ0
20 zexpcl 14113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑎↑2) ∈ ℤ)
2118, 19, 20sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑎 ∈ ℕ0 → (𝑎↑2) ∈ ℤ)
22 2mulprm 16726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑎↑2) ∈ ℤ → ((2 · (𝑎↑2)) ∈ ℙ ↔ (𝑎↑2) = 1))
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑎 ∈ ℕ0 → ((2 · (𝑎↑2)) ∈ ℙ ↔ (𝑎↑2) = 1))
24 oveq2 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑎↑2) = 1 → (2 · (𝑎↑2)) = (2 · 1))
25 2t1e2 12426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (2 · 1) = 2
2624, 25eqtrdi 2790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑎↑2) = 1 → (2 · (𝑎↑2)) = 2)
2726oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑎↑2) = 1 → ((2 · (𝑎↑2)) mod 4) = (2 mod 4))
28 2re 12337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2 ∈ ℝ
29 4nn 12346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4 ∈ ℕ
30 nnrp 13043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (4 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ+)
3129, 30ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4 ∈ ℝ+
32 0le2 12365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 0 ≤ 2
33 2lt4 12438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2 < 4
34 modid 13932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((2 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 < 4)) → (2 mod 4) = 2)
3528, 31, 32, 33, 34mp4an 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (2 mod 4) = 2
3627, 35eqtrdi 2790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑎↑2) = 1 → ((2 · (𝑎↑2)) mod 4) = 2)
3736eqeq1d 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑎↑2) = 1 → (((2 · (𝑎↑2)) mod 4) = 1 ↔ 2 = 1))
38 1ne2 12471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 ≠ 2
39 eqcom 2741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (2 = 1 ↔ 1 = 2)
40 eqneqall 2948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (1 = 2 → (1 ≠ 2 → (𝑎𝑏𝑏𝑎)))
4140com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (1 ≠ 2 → (1 = 2 → (𝑎𝑏𝑏𝑎)))
4239, 41biimtrid 242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (1 ≠ 2 → (2 = 1 → (𝑎𝑏𝑏𝑎)))
4338, 42ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (2 = 1 → (𝑎𝑏𝑏𝑎))
4437, 43biimtrdi 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑎↑2) = 1 → (((2 · (𝑎↑2)) mod 4) = 1 → (𝑎𝑏𝑏𝑎)))
4523, 44biimtrdi 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑎 ∈ ℕ0 → ((2 · (𝑎↑2)) ∈ ℙ → (((2 · (𝑎↑2)) mod 4) = 1 → (𝑎𝑏𝑏𝑎))))
4645impcomd 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑎 ∈ ℕ0 → ((((2 · (𝑎↑2)) mod 4) = 1 ∧ (2 · (𝑎↑2)) ∈ ℙ) → (𝑎𝑏𝑏𝑎)))
4746com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((2 · (𝑎↑2)) mod 4) = 1 ∧ (2 · (𝑎↑2)) ∈ ℙ) → (𝑎 ∈ ℕ0 → (𝑎𝑏𝑏𝑎)))
4817, 47biimtrdi 253 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 = (2 · (𝑎↑2)) → (((𝑃 mod 4) = 1 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑎 ∈ ℕ0 → (𝑎𝑏𝑏𝑎))))
4948expd 415 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 = (2 · (𝑎↑2)) → ((𝑃 mod 4) = 1 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑎 ∈ ℕ0 → (𝑎𝑏𝑏𝑎)))))
5049com34 91 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 = (2 · (𝑎↑2)) → ((𝑃 mod 4) = 1 → (𝑎 ∈ ℕ0 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑎𝑏𝑏𝑎)))))
5150eqcoms 2742 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 · (𝑎↑2)) = 𝑃 → ((𝑃 mod 4) = 1 → (𝑎 ∈ ℕ0 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑎𝑏𝑏𝑎)))))
5251com14 96 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑃 mod 4) = 1 → (𝑎 ∈ ℕ0 → ((2 · (𝑎↑2)) = 𝑃 → (𝑎𝑏𝑏𝑎)))))
5352imp31 417 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → ((2 · (𝑎↑2)) = 𝑃 → (𝑎𝑏𝑏𝑎)))
5453ad2antrl 728 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 = 𝑎 ∧ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0)) → ((2 · (𝑎↑2)) = 𝑃 → (𝑎𝑏𝑏𝑎)))
5513, 54sylbid 240 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 = 𝑎 ∧ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0)) → (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃 → (𝑎𝑏𝑏𝑎)))
5655expimpd 453 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝑎 → (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → (𝑎𝑏𝑏𝑎)))
57 2a1 28 . . . . . . . . 9 (𝑏𝑎 → (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → (𝑎𝑏𝑏𝑎)))
5856, 57pm2.61ine 3022 . . . . . . . 8 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → (𝑎𝑏𝑏𝑎))
5958pm4.71d 561 . . . . . . 7 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → (𝑎𝑏 ↔ (𝑎𝑏𝑏𝑎)))
60 nn0re 12532 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ℝ)
6160adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → 𝑎 ∈ ℝ)
62 nn0re 12532 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℝ)
63 ltlen 11359 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑎 < 𝑏 ↔ (𝑎𝑏𝑏𝑎)))
6461, 62, 63syl2an 596 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (𝑎 < 𝑏 ↔ (𝑎𝑏𝑏𝑎)))
6564bibi2d 342 . . . . . . . 8 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → ((𝑎𝑏𝑎 < 𝑏) ↔ (𝑎𝑏 ↔ (𝑎𝑏𝑏𝑎))))
6665adantr 480 . . . . . . 7 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → ((𝑎𝑏𝑎 < 𝑏) ↔ (𝑎𝑏 ↔ (𝑎𝑏𝑏𝑎))))
6759, 66mpbird 257 . . . . . 6 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → (𝑎𝑏𝑎 < 𝑏))
6867ex 412 . . . . 5 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃 → (𝑎𝑏𝑎 < 𝑏)))
6968pm5.32rd 578 . . . 4 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → ((𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)))
7069reubidva 3393 . . 3 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)))
7170reubidva 3393 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → (∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ ∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)))
721, 71mpbid 232 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  ∃!wreu 3375   class class class wbr 5147  (class class class)co 7430  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157   < clt 11292  cle 11293  cn 12263  2c2 12318  4c4 12320  0cn0 12523  cz 12610  +crp 13031   mod cmo 13905  cexp 14098  cprime 16704
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231  ax-mulf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-ofr 7697  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-tpos 8249  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-er 8743  df-ec 8745  df-qs 8749  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-dju 9938  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-dvds 16287  df-gcd 16528  df-prm 16705  df-phi 16799  df-pc 16870  df-gz 16963  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-prds 17493  df-pws 17495  df-imas 17554  df-qus 17555  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-mhm 18808  df-submnd 18809  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-sbg 18968  df-mulg 19098  df-subg 19153  df-nsg 19154  df-eqg 19155  df-ghm 19243  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-rng 20170  df-ur 20199  df-srg 20204  df-ring 20252  df-cring 20253  df-oppr 20350  df-dvdsr 20373  df-unit 20374  df-invr 20404  df-dvr 20417  df-rhm 20488  df-nzr 20529  df-subrng 20562  df-subrg 20586  df-rlreg 20710  df-domn 20711  df-idom 20712  df-drng 20747  df-field 20748  df-lmod 20876  df-lss 20947  df-lsp 20987  df-sra 21189  df-rgmod 21190  df-lidl 21235  df-rsp 21236  df-2idl 21277  df-cnfld 21382  df-zring 21475  df-zrh 21531  df-zn 21534  df-assa 21890  df-asp 21891  df-ascl 21892  df-psr 21946  df-mvr 21947  df-mpl 21948  df-opsr 21950  df-evls 22115  df-evl 22116  df-psr1 22196  df-vr1 22197  df-ply1 22198  df-coe1 22199  df-evl1 22335  df-mdeg 26108  df-deg1 26109  df-mon1 26184  df-uc1p 26185  df-q1p 26186  df-r1p 26187  df-lgs 27353
This theorem is referenced by:  2sqreultblem  27506  2sqreult  27516
  Copyright terms: Public domain W3C validator