MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2sqreultlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2sqreultlem 27354
Description: Lemma for 2sqreult 27365. (Contributed by AV, 8-Jun-2023.) (Proposed by GL, 8-Jun-2023.)
Assertion
Ref Expression
2sqreultlem ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ƒ mod 4) = 1) โ†’ โˆƒ!๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆƒ!๐‘ โˆˆ โ„•0 (๐‘Ž < ๐‘ โˆง ((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) = ๐‘ƒ))
Distinct variable group:   ๐‘ƒ,๐‘Ž,๐‘

Proof of Theorem 2sqreultlem
StepHypRef Expression
1 2sqreulem1 27353 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ƒ mod 4) = 1) โ†’ โˆƒ!๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆƒ!๐‘ โˆˆ โ„•0 (๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โˆง ((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) = ๐‘ƒ))
2 oveq1 7421 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ = ๐‘Ž โ†’ (๐‘โ†‘2) = (๐‘Žโ†‘2))
32oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ = ๐‘Ž โ†’ ((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) = ((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘Žโ†‘2)))
43adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ = ๐‘Ž โˆง (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ƒ mod 4) = 1) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) = ((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘Žโ†‘2)))
5 nn0cn 12498 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„‚)
65sqcld 14126 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘Žโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
7 2times 12364 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘Žโ†‘2) โˆˆ โ„‚ โ†’ (2 ยท (๐‘Žโ†‘2)) = ((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘Žโ†‘2)))
87eqcomd 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘Žโ†‘2) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘Žโ†‘2)) = (2 ยท (๐‘Žโ†‘2)))
96, 8syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘Žโ†‘2)) = (2 ยท (๐‘Žโ†‘2)))
109adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ƒ mod 4) = 1) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘Žโ†‘2)) = (2 ยท (๐‘Žโ†‘2)))
1110ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ = ๐‘Ž โˆง (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ƒ mod 4) = 1) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘Žโ†‘2)) = (2 ยท (๐‘Žโ†‘2)))
124, 11eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ = ๐‘Ž โˆง (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ƒ mod 4) = 1) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) = (2 ยท (๐‘Žโ†‘2)))
1312eqeq1d 2729 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ = ๐‘Ž โˆง (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ƒ mod 4) = 1) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ (((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) = ๐‘ƒ โ†” (2 ยท (๐‘Žโ†‘2)) = ๐‘ƒ))
14 oveq1 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ƒ = (2 ยท (๐‘Žโ†‘2)) โ†’ (๐‘ƒ mod 4) = ((2 ยท (๐‘Žโ†‘2)) mod 4))
1514eqeq1d 2729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ƒ = (2 ยท (๐‘Žโ†‘2)) โ†’ ((๐‘ƒ mod 4) = 1 โ†” ((2 ยท (๐‘Žโ†‘2)) mod 4) = 1))
16 eleq1 2816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ƒ = (2 ยท (๐‘Žโ†‘2)) โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†” (2 ยท (๐‘Žโ†‘2)) โˆˆ โ„™))
1715, 16anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ƒ = (2 ยท (๐‘Žโ†‘2)) โ†’ (((๐‘ƒ mod 4) = 1 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†” (((2 ยท (๐‘Žโ†‘2)) mod 4) = 1 โˆง (2 ยท (๐‘Žโ†‘2)) โˆˆ โ„™)))
18 nn0z 12599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„ค)
19 2nn0 12505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 โˆˆ โ„•0
20 zexpcl 14059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘Žโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
2118, 19, 20sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘Žโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
22 2mulprm 16649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐‘Žโ†‘2) โˆˆ โ„ค โ†’ ((2 ยท (๐‘Žโ†‘2)) โˆˆ โ„™ โ†” (๐‘Žโ†‘2) = 1))
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท (๐‘Žโ†‘2)) โˆˆ โ„™ โ†” (๐‘Žโ†‘2) = 1))
24 oveq2 7422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐‘Žโ†‘2) = 1 โ†’ (2 ยท (๐‘Žโ†‘2)) = (2 ยท 1))
25 2t1e2 12391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (2 ยท 1) = 2
2624, 25eqtrdi 2783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐‘Žโ†‘2) = 1 โ†’ (2 ยท (๐‘Žโ†‘2)) = 2)
2726oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐‘Žโ†‘2) = 1 โ†’ ((2 ยท (๐‘Žโ†‘2)) mod 4) = (2 mod 4))
28 2re 12302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2 โˆˆ โ„
29 4nn 12311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4 โˆˆ โ„•
30 nnrp 13003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (4 โˆˆ โ„• โ†’ 4 โˆˆ โ„+)
3129, 30ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4 โˆˆ โ„+
32 0le2 12330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 0 โ‰ค 2
33 2lt4 12403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2 < 4
34 modid 13879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((2 โˆˆ โ„ โˆง 4 โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค 2 โˆง 2 < 4)) โ†’ (2 mod 4) = 2)
3528, 31, 32, 33, 34mp4an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (2 mod 4) = 2
3627, 35eqtrdi 2783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐‘Žโ†‘2) = 1 โ†’ ((2 ยท (๐‘Žโ†‘2)) mod 4) = 2)
3736eqeq1d 2729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐‘Žโ†‘2) = 1 โ†’ (((2 ยท (๐‘Žโ†‘2)) mod 4) = 1 โ†” 2 = 1))
38 1ne2 12436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 โ‰  2
39 eqcom 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (2 = 1 โ†” 1 = 2)
40 eqneqall 2946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (1 = 2 โ†’ (1 โ‰  2 โ†’ (๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โ†’ ๐‘ โ‰  ๐‘Ž)))
4140com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (1 โ‰  2 โ†’ (1 = 2 โ†’ (๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โ†’ ๐‘ โ‰  ๐‘Ž)))
4239, 41biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (1 โ‰  2 โ†’ (2 = 1 โ†’ (๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โ†’ ๐‘ โ‰  ๐‘Ž)))
4338, 42ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (2 = 1 โ†’ (๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โ†’ ๐‘ โ‰  ๐‘Ž))
4437, 43biimtrdi 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘Žโ†‘2) = 1 โ†’ (((2 ยท (๐‘Žโ†‘2)) mod 4) = 1 โ†’ (๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โ†’ ๐‘ โ‰  ๐‘Ž)))
4523, 44biimtrdi 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท (๐‘Žโ†‘2)) โˆˆ โ„™ โ†’ (((2 ยท (๐‘Žโ†‘2)) mod 4) = 1 โ†’ (๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โ†’ ๐‘ โ‰  ๐‘Ž))))
4645impcomd 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โ†’ ((((2 ยท (๐‘Žโ†‘2)) mod 4) = 1 โˆง (2 ยท (๐‘Žโ†‘2)) โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โ†’ ๐‘ โ‰  ๐‘Ž)))
4746com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((2 ยท (๐‘Žโ†‘2)) mod 4) = 1 โˆง (2 ยท (๐‘Žโ†‘2)) โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โ†’ ๐‘ โ‰  ๐‘Ž)))
4817, 47biimtrdi 252 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ƒ = (2 ยท (๐‘Žโ†‘2)) โ†’ (((๐‘ƒ mod 4) = 1 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โ†’ ๐‘ โ‰  ๐‘Ž))))
4948expd 415 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ƒ = (2 ยท (๐‘Žโ†‘2)) โ†’ ((๐‘ƒ mod 4) = 1 โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โ†’ ๐‘ โ‰  ๐‘Ž)))))
5049com34 91 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ƒ = (2 ยท (๐‘Žโ†‘2)) โ†’ ((๐‘ƒ mod 4) = 1 โ†’ (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โ†’ ๐‘ โ‰  ๐‘Ž)))))
5150eqcoms 2735 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ยท (๐‘Žโ†‘2)) = ๐‘ƒ โ†’ ((๐‘ƒ mod 4) = 1 โ†’ (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โ†’ ๐‘ โ‰  ๐‘Ž)))))
5251com14 96 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ((๐‘ƒ mod 4) = 1 โ†’ (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท (๐‘Žโ†‘2)) = ๐‘ƒ โ†’ (๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โ†’ ๐‘ โ‰  ๐‘Ž)))))
5352imp31 417 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ƒ mod 4) = 1) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2 ยท (๐‘Žโ†‘2)) = ๐‘ƒ โ†’ (๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โ†’ ๐‘ โ‰  ๐‘Ž)))
5453ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ = ๐‘Ž โˆง (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ƒ mod 4) = 1) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((2 ยท (๐‘Žโ†‘2)) = ๐‘ƒ โ†’ (๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โ†’ ๐‘ โ‰  ๐‘Ž)))
5513, 54sylbid 239 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ = ๐‘Ž โˆง (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ƒ mod 4) = 1) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ (((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) = ๐‘ƒ โ†’ (๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โ†’ ๐‘ โ‰  ๐‘Ž)))
5655expimpd 453 . . . . . . . . 9 (๐‘ = ๐‘Ž โ†’ (((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ƒ mod 4) = 1) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) = ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โ†’ ๐‘ โ‰  ๐‘Ž)))
57 2a1 28 . . . . . . . . 9 (๐‘ โ‰  ๐‘Ž โ†’ (((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ƒ mod 4) = 1) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) = ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โ†’ ๐‘ โ‰  ๐‘Ž)))
5856, 57pm2.61ine 3020 . . . . . . . 8 (((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ƒ mod 4) = 1) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) = ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โ†’ ๐‘ โ‰  ๐‘Ž))
5958pm4.71d 561 . . . . . . 7 (((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ƒ mod 4) = 1) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) = ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โ†” (๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘Ž)))
60 nn0re 12497 . . . . . . . . . . 11 (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„)
6160adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ƒ mod 4) = 1) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„)
62 nn0re 12497 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
63 ltlen 11331 . . . . . . . . . 10 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘Ž < ๐‘ โ†” (๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘Ž)))
6461, 62, 63syl2an 595 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ƒ mod 4) = 1) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘Ž < ๐‘ โ†” (๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘Ž)))
6564bibi2d 342 . . . . . . . 8 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ƒ mod 4) = 1) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โ†” ๐‘Ž < ๐‘) โ†” (๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โ†” (๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘Ž))))
6665adantr 480 . . . . . . 7 (((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ƒ mod 4) = 1) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) = ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โ†” ๐‘Ž < ๐‘) โ†” (๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โ†” (๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘Ž))))
6759, 66mpbird 257 . . . . . 6 (((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ƒ mod 4) = 1) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) = ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โ†” ๐‘Ž < ๐‘))
6867ex 412 . . . . 5 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ƒ mod 4) = 1) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) = ๐‘ƒ โ†’ (๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โ†” ๐‘Ž < ๐‘)))
6968pm5.32rd 577 . . . 4 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ƒ mod 4) = 1) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โˆง ((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) = ๐‘ƒ) โ†” (๐‘Ž < ๐‘ โˆง ((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) = ๐‘ƒ)))
7069reubidva 3387 . . 3 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ƒ mod 4) = 1) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•0) โ†’ (โˆƒ!๐‘ โˆˆ โ„•0 (๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โˆง ((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) = ๐‘ƒ) โ†” โˆƒ!๐‘ โˆˆ โ„•0 (๐‘Ž < ๐‘ โˆง ((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) = ๐‘ƒ)))
7170reubidva 3387 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ƒ mod 4) = 1) โ†’ (โˆƒ!๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆƒ!๐‘ โˆˆ โ„•0 (๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โˆง ((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) = ๐‘ƒ) โ†” โˆƒ!๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆƒ!๐‘ โˆˆ โ„•0 (๐‘Ž < ๐‘ โˆง ((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) = ๐‘ƒ)))
721, 71mpbid 231 1 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ƒ mod 4) = 1) โ†’ โˆƒ!๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆƒ!๐‘ โˆˆ โ„•0 (๐‘Ž < ๐‘ โˆง ((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) = ๐‘ƒ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โ‰  wne 2935  โˆƒ!wreu 3369   class class class wbr 5142  (class class class)co 7414  โ„‚cc 11122  โ„cr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   ยท cmul 11129   < clt 11264   โ‰ค cle 11265  โ„•cn 12228  2c2 12283  4c4 12285  โ„•0cn0 12488  โ„คcz 12574  โ„+crp 12992   mod cmo 13852  โ†‘cexp 14044  โ„™cprime 16627
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202  ax-addf 11203  ax-mulf 11204
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7677  df-ofr 7678  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8158  df-tpos 8223  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-oadd 8482  df-er 8716  df-ec 8718  df-qs 8722  df-map 8836  df-pm 8837  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9376  df-sup 9451  df-inf 9452  df-oi 9519  df-dju 9910  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-xnn0 12561  df-z 12575  df-dec 12694  df-uz 12839  df-q 12949  df-rp 12993  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-fl 13775  df-mod 13853  df-seq 13985  df-exp 14045  df-hash 14308  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201  df-dvds 16217  df-gcd 16455  df-prm 16628  df-phi 16720  df-pc 16791  df-gz 16884  df-struct 17101  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241  df-hom 17242  df-cco 17243  df-0g 17408  df-gsum 17409  df-prds 17414  df-pws 17416  df-imas 17475  df-qus 17476  df-mre 17551  df-mrc 17552  df-acs 17554  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-mhm 18725  df-submnd 18726  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-mulg 19008  df-subg 19062  df-nsg 19063  df-eqg 19064  df-ghm 19152  df-cntz 19252  df-cmn 19721  df-abl 19722  df-mgp 20059  df-rng 20077  df-ur 20106  df-srg 20111  df-ring 20159  df-cring 20160  df-oppr 20255  df-dvdsr 20278  df-unit 20279  df-invr 20309  df-dvr 20322  df-rhm 20393  df-nzr 20434  df-subrng 20465  df-subrg 20490  df-drng 20608  df-field 20609  df-lmod 20727  df-lss 20798  df-lsp 20838  df-sra 21040  df-rgmod 21041  df-lidl 21086  df-rsp 21087  df-2idl 21126  df-rlreg 21212  df-domn 21213  df-idom 21214  df-cnfld 21260  df-zring 21353  df-zrh 21409  df-zn 21412  df-assa 21767  df-asp 21768  df-ascl 21769  df-psr 21822  df-mvr 21823  df-mpl 21824  df-opsr 21826  df-evls 21996  df-evl 21997  df-psr1 22073  df-vr1 22074  df-ply1 22075  df-coe1 22076  df-evl1 22209  df-mdeg 25962  df-deg1 25963  df-mon1 26040  df-uc1p 26041  df-q1p 26042  df-r1p 26043  df-lgs 27202
This theorem is referenced by:  2sqreultblem  27355  2sqreult  27365
  Copyright terms: Public domain W3C validator