MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2sqreultlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2sqreultlem 25940
Description: Lemma for 2sqreult 25951. (Contributed by AV, 8-Jun-2023.) (Proposed by GL, 8-Jun-2023.)
Assertion
Ref Expression
2sqreultlem ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
Distinct variable group:   𝑃,𝑎,𝑏

Proof of Theorem 2sqreultlem
StepHypRef Expression
1 2sqreulem1 25939 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
2 oveq1 7158 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = 𝑎 → (𝑏↑2) = (𝑎↑2))
32oveq2d 7167 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 𝑎 → ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑎↑2) + (𝑎↑2)))
43adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 = 𝑎 ∧ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0)) → ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑎↑2) + (𝑎↑2)))
5 nn0cn 11899 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ℂ)
65sqcld 13501 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 ∈ ℕ0 → (𝑎↑2) ∈ ℂ)
7 2times 11765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑎↑2) ∈ ℂ → (2 · (𝑎↑2)) = ((𝑎↑2) + (𝑎↑2)))
87eqcomd 2831 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑎↑2) ∈ ℂ → ((𝑎↑2) + (𝑎↑2)) = (2 · (𝑎↑2)))
96, 8syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 ∈ ℕ0 → ((𝑎↑2) + (𝑎↑2)) = (2 · (𝑎↑2)))
109adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → ((𝑎↑2) + (𝑎↑2)) = (2 · (𝑎↑2)))
1110ad2antrl 724 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 = 𝑎 ∧ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0)) → ((𝑎↑2) + (𝑎↑2)) = (2 · (𝑎↑2)))
124, 11eqtrd 2860 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 = 𝑎 ∧ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0)) → ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = (2 · (𝑎↑2)))
1312eqeq1d 2827 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 = 𝑎 ∧ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0)) → (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃 ↔ (2 · (𝑎↑2)) = 𝑃))
14 oveq1 7158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃 = (2 · (𝑎↑2)) → (𝑃 mod 4) = ((2 · (𝑎↑2)) mod 4))
1514eqeq1d 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃 = (2 · (𝑎↑2)) → ((𝑃 mod 4) = 1 ↔ ((2 · (𝑎↑2)) mod 4) = 1))
16 eleq1 2904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃 = (2 · (𝑎↑2)) → (𝑃 ∈ ℙ ↔ (2 · (𝑎↑2)) ∈ ℙ))
1715, 16anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 = (2 · (𝑎↑2)) → (((𝑃 mod 4) = 1 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ↔ (((2 · (𝑎↑2)) mod 4) = 1 ∧ (2 · (𝑎↑2)) ∈ ℙ)))
18 nn0z 11997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑎 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ℤ)
19 2nn0 11906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 ∈ ℕ0
20 zexpcl 13437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑎↑2) ∈ ℤ)
2118, 19, 20sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑎 ∈ ℕ0 → (𝑎↑2) ∈ ℤ)
22 2mulprm 16030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑎↑2) ∈ ℤ → ((2 · (𝑎↑2)) ∈ ℙ ↔ (𝑎↑2) = 1))
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑎 ∈ ℕ0 → ((2 · (𝑎↑2)) ∈ ℙ ↔ (𝑎↑2) = 1))
24 oveq2 7159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑎↑2) = 1 → (2 · (𝑎↑2)) = (2 · 1))
25 2t1e2 11792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (2 · 1) = 2
2624, 25syl6eq 2876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑎↑2) = 1 → (2 · (𝑎↑2)) = 2)
2726oveq1d 7166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑎↑2) = 1 → ((2 · (𝑎↑2)) mod 4) = (2 mod 4))
28 2re 11703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2 ∈ ℝ
29 4nn 11712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4 ∈ ℕ
30 nnrp 12393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (4 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ+)
3129, 30ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4 ∈ ℝ+
32 0le2 11731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 0 ≤ 2
33 2lt4 11804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2 < 4
34 modid 13257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((2 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 < 4)) → (2 mod 4) = 2)
3528, 31, 32, 33, 34mp4an 689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (2 mod 4) = 2
3627, 35syl6eq 2876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑎↑2) = 1 → ((2 · (𝑎↑2)) mod 4) = 2)
3736eqeq1d 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑎↑2) = 1 → (((2 · (𝑎↑2)) mod 4) = 1 ↔ 2 = 1))
38 1ne2 11837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 ≠ 2
39 eqcom 2832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (2 = 1 ↔ 1 = 2)
40 eqneqall 3031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (1 = 2 → (1 ≠ 2 → (𝑎𝑏𝑏𝑎)))
4140com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (1 ≠ 2 → (1 = 2 → (𝑎𝑏𝑏𝑎)))
4239, 41syl5bi 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (1 ≠ 2 → (2 = 1 → (𝑎𝑏𝑏𝑎)))
4338, 42ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (2 = 1 → (𝑎𝑏𝑏𝑎))
4437, 43syl6bi 254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑎↑2) = 1 → (((2 · (𝑎↑2)) mod 4) = 1 → (𝑎𝑏𝑏𝑎)))
4523, 44syl6bi 254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑎 ∈ ℕ0 → ((2 · (𝑎↑2)) ∈ ℙ → (((2 · (𝑎↑2)) mod 4) = 1 → (𝑎𝑏𝑏𝑎))))
4645impcomd 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑎 ∈ ℕ0 → ((((2 · (𝑎↑2)) mod 4) = 1 ∧ (2 · (𝑎↑2)) ∈ ℙ) → (𝑎𝑏𝑏𝑎)))
4746com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((2 · (𝑎↑2)) mod 4) = 1 ∧ (2 · (𝑎↑2)) ∈ ℙ) → (𝑎 ∈ ℕ0 → (𝑎𝑏𝑏𝑎)))
4817, 47syl6bi 254 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 = (2 · (𝑎↑2)) → (((𝑃 mod 4) = 1 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑎 ∈ ℕ0 → (𝑎𝑏𝑏𝑎))))
4948expd 416 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 = (2 · (𝑎↑2)) → ((𝑃 mod 4) = 1 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑎 ∈ ℕ0 → (𝑎𝑏𝑏𝑎)))))
5049com34 91 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 = (2 · (𝑎↑2)) → ((𝑃 mod 4) = 1 → (𝑎 ∈ ℕ0 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑎𝑏𝑏𝑎)))))
5150eqcoms 2833 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 · (𝑎↑2)) = 𝑃 → ((𝑃 mod 4) = 1 → (𝑎 ∈ ℕ0 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑎𝑏𝑏𝑎)))))
5251com14 96 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑃 mod 4) = 1 → (𝑎 ∈ ℕ0 → ((2 · (𝑎↑2)) = 𝑃 → (𝑎𝑏𝑏𝑎)))))
5352imp31 418 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → ((2 · (𝑎↑2)) = 𝑃 → (𝑎𝑏𝑏𝑎)))
5453ad2antrl 724 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 = 𝑎 ∧ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0)) → ((2 · (𝑎↑2)) = 𝑃 → (𝑎𝑏𝑏𝑎)))
5513, 54sylbid 241 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 = 𝑎 ∧ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0)) → (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃 → (𝑎𝑏𝑏𝑎)))
5655expimpd 454 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝑎 → (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → (𝑎𝑏𝑏𝑎)))
57 2a1 28 . . . . . . . . 9 (𝑏𝑎 → (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → (𝑎𝑏𝑏𝑎)))
5856, 57pm2.61ine 3104 . . . . . . . 8 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → (𝑎𝑏𝑏𝑎))
5958pm4.71d 562 . . . . . . 7 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → (𝑎𝑏 ↔ (𝑎𝑏𝑏𝑎)))
60 nn0re 11898 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ℝ)
6160adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → 𝑎 ∈ ℝ)
62 nn0re 11898 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℝ)
63 ltlen 10733 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑎 < 𝑏 ↔ (𝑎𝑏𝑏𝑎)))
6461, 62, 63syl2an 595 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (𝑎 < 𝑏 ↔ (𝑎𝑏𝑏𝑎)))
6564bibi2d 344 . . . . . . . 8 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → ((𝑎𝑏𝑎 < 𝑏) ↔ (𝑎𝑏 ↔ (𝑎𝑏𝑏𝑎))))
6665adantr 481 . . . . . . 7 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → ((𝑎𝑏𝑎 < 𝑏) ↔ (𝑎𝑏 ↔ (𝑎𝑏𝑏𝑎))))
6759, 66mpbird 258 . . . . . 6 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → (𝑎𝑏𝑎 < 𝑏))
6867ex 413 . . . . 5 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃 → (𝑎𝑏𝑎 < 𝑏)))
6968pm5.32rd 578 . . . 4 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → ((𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)))
7069reubidva 3393 . . 3 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)))
7170reubidva 3393 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → (∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ ∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)))
721, 71mpbid 233 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3020  ∃!wreu 3144   class class class wbr 5062  (class class class)co 7151  cc 10527  cr 10528  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532   · cmul 10534   < clt 10667  cle 10668  cn 11630  2c2 11684  4c4 11686  0cn0 11889  cz 11973  +crp 12382   mod cmo 13230  cexp 13422  cprime 16008
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-iin 4919  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-se 5513  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-isom 6360  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7402  df-ofr 7403  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-tpos 7886  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8282  df-ec 8284  df-qs 8288  df-map 8401  df-pm 8402  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-sup 8898  df-inf 8899  df-oi 8966  df-dju 9322  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-xnn0 11960  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12383  df-fz 12886  df-fzo 13027  df-fl 13155  df-mod 13231  df-seq 13363  df-exp 13423  df-hash 13684  df-cj 14451  df-re 14452  df-im 14453  df-sqrt 14587  df-abs 14588  df-dvds 15601  df-gcd 15837  df-prm 16009  df-phi 16096  df-pc 16167  df-gz 16259  df-struct 16478  df-ndx 16479  df-slot 16480  df-base 16482  df-sets 16483  df-ress 16484  df-plusg 16571  df-mulr 16572  df-starv 16573  df-sca 16574  df-vsca 16575  df-ip 16576  df-tset 16577  df-ple 16578  df-ds 16580  df-unif 16581  df-hom 16582  df-cco 16583  df-0g 16708  df-gsum 16709  df-prds 16714  df-pws 16716  df-imas 16774  df-qus 16775  df-mre 16850  df-mrc 16851  df-acs 16853  df-mgm 17845  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-mhm 17947  df-submnd 17948  df-grp 18039  df-minusg 18040  df-sbg 18041  df-mulg 18158  df-subg 18209  df-nsg 18210  df-eqg 18211  df-ghm 18289  df-cntz 18380  df-cmn 18831  df-abl 18832  df-mgp 19163  df-ur 19175  df-srg 19179  df-ring 19222  df-cring 19223  df-oppr 19296  df-dvdsr 19314  df-unit 19315  df-invr 19345  df-dvr 19356  df-rnghom 19390  df-drng 19427  df-field 19428  df-subrg 19456  df-lmod 19559  df-lss 19627  df-lsp 19667  df-sra 19867  df-rgmod 19868  df-lidl 19869  df-rsp 19870  df-2idl 19927  df-nzr 19953  df-rlreg 19978  df-domn 19979  df-idom 19980  df-assa 20007  df-asp 20008  df-ascl 20009  df-psr 20058  df-mvr 20059  df-mpl 20060  df-opsr 20062  df-evls 20207  df-evl 20208  df-psr1 20268  df-vr1 20269  df-ply1 20270  df-coe1 20271  df-evl1 20399  df-cnfld 20465  df-zring 20537  df-zrh 20570  df-zn 20573  df-mdeg 24567  df-deg1 24568  df-mon1 24642  df-uc1p 24643  df-q1p 24644  df-r1p 24645  df-lgs 25788
This theorem is referenced by:  2sqreultblem  25941  2sqreult  25951
  Copyright terms: Public domain W3C validator