MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2sqreultlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2sqreultlem 27187
Description: Lemma for 2sqreult 27198. (Contributed by AV, 8-Jun-2023.) (Proposed by GL, 8-Jun-2023.)
Assertion
Ref Expression
2sqreultlem ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
Distinct variable group:   𝑃,𝑎,𝑏

Proof of Theorem 2sqreultlem
StepHypRef Expression
1 2sqreulem1 27186 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
2 oveq1 7419 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = 𝑎 → (𝑏↑2) = (𝑎↑2))
32oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 𝑎 → ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑎↑2) + (𝑎↑2)))
43adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 = 𝑎 ∧ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0)) → ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑎↑2) + (𝑎↑2)))
5 nn0cn 12487 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ℂ)
65sqcld 14114 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 ∈ ℕ0 → (𝑎↑2) ∈ ℂ)
7 2times 12353 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑎↑2) ∈ ℂ → (2 · (𝑎↑2)) = ((𝑎↑2) + (𝑎↑2)))
87eqcomd 2737 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑎↑2) ∈ ℂ → ((𝑎↑2) + (𝑎↑2)) = (2 · (𝑎↑2)))
96, 8syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 ∈ ℕ0 → ((𝑎↑2) + (𝑎↑2)) = (2 · (𝑎↑2)))
109adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → ((𝑎↑2) + (𝑎↑2)) = (2 · (𝑎↑2)))
1110ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 = 𝑎 ∧ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0)) → ((𝑎↑2) + (𝑎↑2)) = (2 · (𝑎↑2)))
124, 11eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 = 𝑎 ∧ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0)) → ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = (2 · (𝑎↑2)))
1312eqeq1d 2733 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 = 𝑎 ∧ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0)) → (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃 ↔ (2 · (𝑎↑2)) = 𝑃))
14 oveq1 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃 = (2 · (𝑎↑2)) → (𝑃 mod 4) = ((2 · (𝑎↑2)) mod 4))
1514eqeq1d 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃 = (2 · (𝑎↑2)) → ((𝑃 mod 4) = 1 ↔ ((2 · (𝑎↑2)) mod 4) = 1))
16 eleq1 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃 = (2 · (𝑎↑2)) → (𝑃 ∈ ℙ ↔ (2 · (𝑎↑2)) ∈ ℙ))
1715, 16anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 = (2 · (𝑎↑2)) → (((𝑃 mod 4) = 1 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ↔ (((2 · (𝑎↑2)) mod 4) = 1 ∧ (2 · (𝑎↑2)) ∈ ℙ)))
18 nn0z 12588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑎 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ℤ)
19 2nn0 12494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 ∈ ℕ0
20 zexpcl 14047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑎↑2) ∈ ℤ)
2118, 19, 20sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑎 ∈ ℕ0 → (𝑎↑2) ∈ ℤ)
22 2mulprm 16635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑎↑2) ∈ ℤ → ((2 · (𝑎↑2)) ∈ ℙ ↔ (𝑎↑2) = 1))
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑎 ∈ ℕ0 → ((2 · (𝑎↑2)) ∈ ℙ ↔ (𝑎↑2) = 1))
24 oveq2 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑎↑2) = 1 → (2 · (𝑎↑2)) = (2 · 1))
25 2t1e2 12380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (2 · 1) = 2
2624, 25eqtrdi 2787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑎↑2) = 1 → (2 · (𝑎↑2)) = 2)
2726oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑎↑2) = 1 → ((2 · (𝑎↑2)) mod 4) = (2 mod 4))
28 2re 12291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2 ∈ ℝ
29 4nn 12300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4 ∈ ℕ
30 nnrp 12990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (4 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ+)
3129, 30ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4 ∈ ℝ+
32 0le2 12319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 0 ≤ 2
33 2lt4 12392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2 < 4
34 modid 13866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((2 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 < 4)) → (2 mod 4) = 2)
3528, 31, 32, 33, 34mp4an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (2 mod 4) = 2
3627, 35eqtrdi 2787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑎↑2) = 1 → ((2 · (𝑎↑2)) mod 4) = 2)
3736eqeq1d 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑎↑2) = 1 → (((2 · (𝑎↑2)) mod 4) = 1 ↔ 2 = 1))
38 1ne2 12425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 ≠ 2
39 eqcom 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (2 = 1 ↔ 1 = 2)
40 eqneqall 2950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (1 = 2 → (1 ≠ 2 → (𝑎𝑏𝑏𝑎)))
4140com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (1 ≠ 2 → (1 = 2 → (𝑎𝑏𝑏𝑎)))
4239, 41biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (1 ≠ 2 → (2 = 1 → (𝑎𝑏𝑏𝑎)))
4338, 42ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (2 = 1 → (𝑎𝑏𝑏𝑎))
4437, 43syl6bi 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑎↑2) = 1 → (((2 · (𝑎↑2)) mod 4) = 1 → (𝑎𝑏𝑏𝑎)))
4523, 44syl6bi 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑎 ∈ ℕ0 → ((2 · (𝑎↑2)) ∈ ℙ → (((2 · (𝑎↑2)) mod 4) = 1 → (𝑎𝑏𝑏𝑎))))
4645impcomd 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑎 ∈ ℕ0 → ((((2 · (𝑎↑2)) mod 4) = 1 ∧ (2 · (𝑎↑2)) ∈ ℙ) → (𝑎𝑏𝑏𝑎)))
4746com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((2 · (𝑎↑2)) mod 4) = 1 ∧ (2 · (𝑎↑2)) ∈ ℙ) → (𝑎 ∈ ℕ0 → (𝑎𝑏𝑏𝑎)))
4817, 47syl6bi 253 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 = (2 · (𝑎↑2)) → (((𝑃 mod 4) = 1 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑎 ∈ ℕ0 → (𝑎𝑏𝑏𝑎))))
4948expd 415 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 = (2 · (𝑎↑2)) → ((𝑃 mod 4) = 1 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑎 ∈ ℕ0 → (𝑎𝑏𝑏𝑎)))))
5049com34 91 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 = (2 · (𝑎↑2)) → ((𝑃 mod 4) = 1 → (𝑎 ∈ ℕ0 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑎𝑏𝑏𝑎)))))
5150eqcoms 2739 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 · (𝑎↑2)) = 𝑃 → ((𝑃 mod 4) = 1 → (𝑎 ∈ ℕ0 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑎𝑏𝑏𝑎)))))
5251com14 96 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑃 mod 4) = 1 → (𝑎 ∈ ℕ0 → ((2 · (𝑎↑2)) = 𝑃 → (𝑎𝑏𝑏𝑎)))))
5352imp31 417 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → ((2 · (𝑎↑2)) = 𝑃 → (𝑎𝑏𝑏𝑎)))
5453ad2antrl 725 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 = 𝑎 ∧ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0)) → ((2 · (𝑎↑2)) = 𝑃 → (𝑎𝑏𝑏𝑎)))
5513, 54sylbid 239 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 = 𝑎 ∧ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0)) → (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃 → (𝑎𝑏𝑏𝑎)))
5655expimpd 453 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝑎 → (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → (𝑎𝑏𝑏𝑎)))
57 2a1 28 . . . . . . . . 9 (𝑏𝑎 → (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → (𝑎𝑏𝑏𝑎)))
5856, 57pm2.61ine 3024 . . . . . . . 8 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → (𝑎𝑏𝑏𝑎))
5958pm4.71d 561 . . . . . . 7 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → (𝑎𝑏 ↔ (𝑎𝑏𝑏𝑎)))
60 nn0re 12486 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ℝ)
6160adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → 𝑎 ∈ ℝ)
62 nn0re 12486 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℝ)
63 ltlen 11320 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑎 < 𝑏 ↔ (𝑎𝑏𝑏𝑎)))
6461, 62, 63syl2an 595 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (𝑎 < 𝑏 ↔ (𝑎𝑏𝑏𝑎)))
6564bibi2d 342 . . . . . . . 8 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → ((𝑎𝑏𝑎 < 𝑏) ↔ (𝑎𝑏 ↔ (𝑎𝑏𝑏𝑎))))
6665adantr 480 . . . . . . 7 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → ((𝑎𝑏𝑎 < 𝑏) ↔ (𝑎𝑏 ↔ (𝑎𝑏𝑏𝑎))))
6759, 66mpbird 257 . . . . . 6 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → (𝑎𝑏𝑎 < 𝑏))
6867ex 412 . . . . 5 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃 → (𝑎𝑏𝑎 < 𝑏)))
6968pm5.32rd 577 . . . 4 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → ((𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)))
7069reubidva 3391 . . 3 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)))
7170reubidva 3391 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → (∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ ∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)))
721, 71mpbid 231 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2939  ∃!wreu 3373   class class class wbr 5148  (class class class)co 7412  cc 11112  cr 11113  0cc0 11114  1c1 11115   + caddc 11117   · cmul 11119   < clt 11253  cle 11254  cn 12217  2c2 12272  4c4 12274  0cn0 12477  cz 12563  +crp 12979   mod cmo 13839  cexp 14032  cprime 16613
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192  ax-addf 11193  ax-mulf 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-ofr 7675  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-tpos 8215  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-oadd 8474  df-er 8707  df-ec 8709  df-qs 8713  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-dju 9900  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-dvds 16203  df-gcd 16441  df-prm 16614  df-phi 16704  df-pc 16775  df-gz 16868  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-prds 17398  df-pws 17400  df-imas 17459  df-qus 17460  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-mhm 18706  df-submnd 18707  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-mulg 18988  df-subg 19040  df-nsg 19041  df-eqg 19042  df-ghm 19129  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-srg 20082  df-ring 20130  df-cring 20131  df-oppr 20226  df-dvdsr 20249  df-unit 20250  df-invr 20280  df-dvr 20293  df-rhm 20364  df-nzr 20405  df-subrng 20435  df-subrg 20460  df-drng 20503  df-field 20504  df-lmod 20617  df-lss 20688  df-lsp 20728  df-sra 20931  df-rgmod 20932  df-lidl 20933  df-rsp 20934  df-2idl 21007  df-rlreg 21100  df-domn 21101  df-idom 21102  df-cnfld 21146  df-zring 21219  df-zrh 21273  df-zn 21276  df-assa 21628  df-asp 21629  df-ascl 21630  df-psr 21682  df-mvr 21683  df-mpl 21684  df-opsr 21686  df-evls 21855  df-evl 21856  df-psr1 21924  df-vr1 21925  df-ply1 21926  df-coe1 21927  df-evl1 22056  df-mdeg 25806  df-deg1 25807  df-mon1 25884  df-uc1p 25885  df-q1p 25886  df-r1p 25887  df-lgs 27035
This theorem is referenced by:  2sqreultblem  27188  2sqreult  27198
  Copyright terms: Public domain W3C validator