Theorem 2sqreultlem 26500

Description: Lemma for 2sqreult 26511. (Contributed by AV, 8-Jun-2023.) (Proposed by GL, 8-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
2sqreultlem	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))

Distinct variable group:   𝑃,𝑎,𝑏

Proof of Theorem 2sqreultlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sqreulem1 26499	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
2		oveq1 7262	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (𝑏↑2) = (𝑎↑2))
3	2	oveq2d 7271	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑎↑2) + (𝑎↑2)))
4	3	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 = 𝑎 ∧ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0)) → ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑎↑2) + (𝑎↑2)))
5		nn0cn 12173	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → 𝑎 ∈ ℂ)
6	5	sqcld 13790	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → (𝑎↑2) ∈ ℂ)
7		2times 12039	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎↑2) ∈ ℂ → (2 · (𝑎↑2)) = ((𝑎↑2) + (𝑎↑2)))
8	7	eqcomd 2744	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎↑2) ∈ ℂ → ((𝑎↑2) + (𝑎↑2)) = (2 · (𝑎↑2)))
9	6, 8	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → ((𝑎↑2) + (𝑎↑2)) = (2 · (𝑎↑2)))
10	9	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → ((𝑎↑2) + (𝑎↑2)) = (2 · (𝑎↑2)))
11	10	ad2antrl 724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 = 𝑎 ∧ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0)) → ((𝑎↑2) + (𝑎↑2)) = (2 · (𝑎↑2)))
12	4, 11	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 = 𝑎 ∧ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0)) → ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = (2 · (𝑎↑2)))
13	12	eqeq1d 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 = 𝑎 ∧ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0)) → (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃 ↔ (2 · (𝑎↑2)) = 𝑃))
14		oveq1 7262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑃 = (2 · (𝑎↑2)) → (𝑃 mod 4) = ((2 · (𝑎↑2)) mod 4))
15	14	eqeq1d 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑃 = (2 · (𝑎↑2)) → ((𝑃 mod 4) = 1 ↔ ((2 · (𝑎↑2)) mod 4) = 1))
16		eleq1 2826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑃 = (2 · (𝑎↑2)) → (𝑃 ∈ ℙ ↔ (2 · (𝑎↑2)) ∈ ℙ))
17	15, 16	anbi12d 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑃 = (2 · (𝑎↑2)) → (((𝑃 mod 4) = 1 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ↔ (((2 · (𝑎↑2)) mod 4) = 1 ∧ (2 · (𝑎↑2)) ∈ ℙ)))
18		nn0z 12273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → 𝑎 ∈ ℤ)
19		2nn0 12180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 2 ∈ ℕ0
20		zexpcl 13725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑎↑2) ∈ ℤ)
21	18, 19, 20	sylancl 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → (𝑎↑2) ∈ ℤ)
22		2mulprm 16326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑎↑2) ∈ ℤ → ((2 · (𝑎↑2)) ∈ ℙ ↔ (𝑎↑2) = 1))
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → ((2 · (𝑎↑2)) ∈ ℙ ↔ (𝑎↑2) = 1))
24		oveq2 7263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑎↑2) = 1 → (2 · (𝑎↑2)) = (2 · 1))
25		2t1e2 12066	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (2 · 1) = 2
26	24, 25	eqtrdi 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑎↑2) = 1 → (2 · (𝑎↑2)) = 2)
27	26	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑎↑2) = 1 → ((2 · (𝑎↑2)) mod 4) = (2 mod 4))
28		2re 11977	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 2 ∈ ℝ
29		4nn 11986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 4 ∈ ℕ
30		nnrp 12670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (4 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ+)
31	29, 30	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 4 ∈ ℝ+
32		0le2 12005	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 0 ≤ 2
33		2lt4 12078	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 2 < 4
34		modid 13544	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 < 4)) → (2 mod 4) = 2)
35	28, 31, 32, 33, 34	mp4an 689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (2 mod 4) = 2
36	27, 35	eqtrdi 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑎↑2) = 1 → ((2 · (𝑎↑2)) mod 4) = 2)
37	36	eqeq1d 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑎↑2) = 1 → (((2 · (𝑎↑2)) mod 4) = 1 ↔ 2 = 1))
38		1ne2 12111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 1 ≠ 2
39		eqcom 2745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (2 = 1 ↔ 1 = 2)
40		eqneqall 2953	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (1 = 2 → (1 ≠ 2 → (𝑎 ≤ 𝑏 → 𝑏 ≠ 𝑎)))
41	40	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (1 ≠ 2 → (1 = 2 → (𝑎 ≤ 𝑏 → 𝑏 ≠ 𝑎)))
42	39, 41	syl5bi 241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (1 ≠ 2 → (2 = 1 → (𝑎 ≤ 𝑏 → 𝑏 ≠ 𝑎)))
43	38, 42	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (2 = 1 → (𝑎 ≤ 𝑏 → 𝑏 ≠ 𝑎))
44	37, 43	syl6bi 252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑎↑2) = 1 → (((2 · (𝑎↑2)) mod 4) = 1 → (𝑎 ≤ 𝑏 → 𝑏 ≠ 𝑎)))
45	23, 44	syl6bi 252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → ((2 · (𝑎↑2)) ∈ ℙ → (((2 · (𝑎↑2)) mod 4) = 1 → (𝑎 ≤ 𝑏 → 𝑏 ≠ 𝑎))))
46	45	impcomd 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → ((((2 · (𝑎↑2)) mod 4) = 1 ∧ (2 · (𝑎↑2)) ∈ ℙ) → (𝑎 ≤ 𝑏 → 𝑏 ≠ 𝑎)))
47	46	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((2 · (𝑎↑2)) mod 4) = 1 ∧ (2 · (𝑎↑2)) ∈ ℙ) → (𝑎 ∈ ℕ0 → (𝑎 ≤ 𝑏 → 𝑏 ≠ 𝑎)))
48	17, 47	syl6bi 252	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 = (2 · (𝑎↑2)) → (((𝑃 mod 4) = 1 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑎 ∈ ℕ0 → (𝑎 ≤ 𝑏 → 𝑏 ≠ 𝑎))))
49	48	expd 415	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 = (2 · (𝑎↑2)) → ((𝑃 mod 4) = 1 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑎 ∈ ℕ0 → (𝑎 ≤ 𝑏 → 𝑏 ≠ 𝑎)))))
50	49	com34 91	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 = (2 · (𝑎↑2)) → ((𝑃 mod 4) = 1 → (𝑎 ∈ ℕ0 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑎 ≤ 𝑏 → 𝑏 ≠ 𝑎)))))
51	50	eqcoms 2746	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 · (𝑎↑2)) = 𝑃 → ((𝑃 mod 4) = 1 → (𝑎 ∈ ℕ0 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑎 ≤ 𝑏 → 𝑏 ≠ 𝑎)))))
52	51	com14 96	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑃 mod 4) = 1 → (𝑎 ∈ ℕ0 → ((2 · (𝑎↑2)) = 𝑃 → (𝑎 ≤ 𝑏 → 𝑏 ≠ 𝑎)))))
53	52	imp31 417	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → ((2 · (𝑎↑2)) = 𝑃 → (𝑎 ≤ 𝑏 → 𝑏 ≠ 𝑎)))
54	53	ad2antrl 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 = 𝑎 ∧ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0)) → ((2 · (𝑎↑2)) = 𝑃 → (𝑎 ≤ 𝑏 → 𝑏 ≠ 𝑎)))
55	13, 54	sylbid 239	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 = 𝑎 ∧ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0)) → (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃 → (𝑎 ≤ 𝑏 → 𝑏 ≠ 𝑎)))
56	55	expimpd 453	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → (𝑎 ≤ 𝑏 → 𝑏 ≠ 𝑎)))
57		2a1 28	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ≠ 𝑎 → (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → (𝑎 ≤ 𝑏 → 𝑏 ≠ 𝑎)))
58	56, 57	pm2.61ine 3027	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → (𝑎 ≤ 𝑏 → 𝑏 ≠ 𝑎))
59	58	pm4.71d 561	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → (𝑎 ≤ 𝑏 ↔ (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 ≠ 𝑎)))
60		nn0re 12172	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → 𝑎 ∈ ℝ)
61	60	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → 𝑎 ∈ ℝ)
62		nn0re 12172	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → 𝑏 ∈ ℝ)
63		ltlen 11006	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑎 < 𝑏 ↔ (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 ≠ 𝑎)))
64	61, 62, 63	syl2an 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (𝑎 < 𝑏 ↔ (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 ≠ 𝑎)))
65	64	bibi2d 342	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → ((𝑎 ≤ 𝑏 ↔ 𝑎 < 𝑏) ↔ (𝑎 ≤ 𝑏 ↔ (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 ≠ 𝑎))))
66	65	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → ((𝑎 ≤ 𝑏 ↔ 𝑎 < 𝑏) ↔ (𝑎 ≤ 𝑏 ↔ (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 ≠ 𝑎))))
67	59, 66	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → (𝑎 ≤ 𝑏 ↔ 𝑎 < 𝑏))
68	67	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃 → (𝑎 ≤ 𝑏 ↔ 𝑎 < 𝑏)))
69	68	pm5.32rd 577	. . . 4 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → ((𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)))
70	69	reubidva 3314	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)))
71	70	reubidva 3314	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → (∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ ∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)))
72	1, 71	mpbid 231	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∃!wreu 3065   class class class wbr 5070  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807   < clt 10940   ≤ cle 10941  ℕcn 11903  2c2 11958  4c4 11960  ℕ₀cn0 12163  ℤcz 12249  ℝ⁺crp 12659   mod cmo 13517  ↑cexp 13710  ℙcprime 16304

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-ofr 7512  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-tpos 8013  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-oadd 8271  df-er 8456  df-ec 8458  df-qs 8462  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-dju 9590  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-xnn0 12236  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-mod 13518  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-dvds 15892  df-gcd 16130  df-prm 16305  df-phi 16395  df-pc 16466  df-gz 16559  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-hom 16912  df-cco 16913  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-prds 17075  df-pws 17077  df-imas 17136  df-qus 17137  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-mhm 18345  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-mulg 18616  df-subg 18667  df-nsg 18668  df-eqg 18669  df-ghm 18747  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-srg 19657  df-ring 19700  df-cring 19701  df-oppr 19777  df-dvdsr 19798  df-unit 19799  df-invr 19829  df-dvr 19840  df-rnghom 19874  df-drng 19908  df-field 19909  df-subrg 19937  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-lsp 20149  df-sra 20349  df-rgmod 20350  df-lidl 20351  df-rsp 20352  df-2idl 20416  df-nzr 20442  df-rlreg 20467  df-domn 20468  df-idom 20469  df-cnfld 20511  df-zring 20583  df-zrh 20617  df-zn 20620  df-assa 20970  df-asp 20971  df-ascl 20972  df-psr 21022  df-mvr 21023  df-mpl 21024  df-opsr 21026  df-evls 21192  df-evl 21193  df-psr1 21261  df-vr1 21262  df-ply1 21263  df-coe1 21264  df-evl1 21392  df-mdeg 25122  df-deg1 25123  df-mon1 25200  df-uc1p 25201  df-q1p 25202  df-r1p 25203  df-lgs 26348

This theorem is referenced by:  2sqreultblem  26501  2sqreult  26511