MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absmax Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem absmax 15368
Description: The maximum of two numbers using absolute value. (Contributed by NM, 7-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
absmax ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) = (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2))

Proof of Theorem absmax
StepHypRef Expression
1 recn 11245 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2 2cn 12341 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
3 2ne0 12370 . . . . . . 7 2 ≠ 0
4 divcan3 11948 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((2 · 𝐴) / 2) = 𝐴)
52, 3, 4mp3an23 1455 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · 𝐴) / 2) = 𝐴)
61, 5syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((2 · 𝐴) / 2) = 𝐴)
76ad2antlr 727 . . . 4 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → ((2 · 𝐴) / 2) = 𝐴)
8 ltle 11349 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴𝐵𝐴))
98imp 406 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐵𝐴)
10 abssubge0 15366 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝐴) → (abs‘(𝐴𝐵)) = (𝐴𝐵))
11103expa 1119 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵𝐴) → (abs‘(𝐴𝐵)) = (𝐴𝐵))
129, 11syldan 591 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (abs‘(𝐴𝐵)) = (𝐴𝐵))
1312oveq2d 7447 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → ((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) = ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴𝐵)))
14 recn 11245 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
15 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
16 simpl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
1715, 16, 15ppncand 11660 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴𝐵)) = (𝐴 + 𝐴))
18 2times 12402 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
1918adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
2017, 19eqtr4d 2780 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴𝐵)) = (2 · 𝐴))
2114, 1, 20syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴𝐵)) = (2 · 𝐴))
2221adantr 480 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴𝐵)) = (2 · 𝐴))
2313, 22eqtrd 2777 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → ((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) = (2 · 𝐴))
2423oveq1d 7446 . . . 4 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2) = ((2 · 𝐴) / 2))
25 ltnle 11340 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴𝐵))
2625biimpa 476 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → ¬ 𝐴𝐵)
2726iffalsed 4536 . . . 4 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) = 𝐴)
287, 24, 273eqtr4rd 2788 . . 3 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) = (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2))
2928ancom1s 653 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) = (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2))
30 divcan3 11948 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((2 · 𝐵) / 2) = 𝐵)
312, 3, 30mp3an23 1455 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℂ → ((2 · 𝐵) / 2) = 𝐵)
3214, 31syl 17 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ → ((2 · 𝐵) / 2) = 𝐵)
3332ad2antlr 727 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴𝐵) → ((2 · 𝐵) / 2) = 𝐵)
34 abssuble0 15367 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → (abs‘(𝐴𝐵)) = (𝐵𝐴))
35343expa 1119 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴𝐵) → (abs‘(𝐴𝐵)) = (𝐵𝐴))
3635oveq2d 7447 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) = ((𝐴 + 𝐵) + (𝐵𝐴)))
37 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
38 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
3937, 38, 37ppncand 11660 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐵 + 𝐴) + (𝐵𝐴)) = (𝐵 + 𝐵))
40 addcom 11447 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
4140oveq1d 7446 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐵𝐴)) = ((𝐵 + 𝐴) + (𝐵𝐴)))
42 2times 12402 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℂ → (2 · 𝐵) = (𝐵 + 𝐵))
4342adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · 𝐵) = (𝐵 + 𝐵))
4439, 41, 433eqtr4d 2787 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐵𝐴)) = (2 · 𝐵))
451, 14, 44syl2an 596 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐵𝐴)) = (2 · 𝐵))
4645adantr 480 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐵𝐴)) = (2 · 𝐵))
4736, 46eqtrd 2777 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) = (2 · 𝐵))
4847oveq1d 7446 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴𝐵) → (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2) = ((2 · 𝐵) / 2))
49 iftrue 4531 . . . 4 (𝐴𝐵 → if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) = 𝐵)
5049adantl 481 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴𝐵) → if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) = 𝐵)
5133, 48, 503eqtr4rd 2788 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴𝐵) → if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) = (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2))
52 simpr 484 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
53 simpl 482 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
5429, 51, 52, 53ltlecasei 11369 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) = (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  ifcif 4525   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492   / cdiv 11920  2c2 12321  abscabs 15273
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator