Theorem absmax 15290

Description: The maximum of two numbers using absolute value. (Contributed by NM, 7-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
absmax	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴) = (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2))

Proof of Theorem absmax

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 11126	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		2cn 12254	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
3		2ne0 12283	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
4		divcan3 11833	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((2 · 𝐴) / 2) = 𝐴)
5	2, 3, 4	mp3an23 1461	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · 𝐴) / 2) = 𝐴)
6	1, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((2 · 𝐴) / 2) = 𝐴)
7	6	ad2antlr 733	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → ((2 · 𝐴) / 2) = 𝐴)
8		ltle 11232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 → 𝐵 ≤ 𝐴))
9	8	imp 407	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝐴)
10		abssubge0 15288	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (𝐴 − 𝐵))
11	10	3expa 1124	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (𝐴 − 𝐵))
12	9, 11	syldan 597	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (𝐴 − 𝐵))
13	12	oveq2d 7379	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → ((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) = ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)))
14		recn 11126	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
15		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
16		simpl 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
17	15, 16, 15	ppncand 11543	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)) = (𝐴 + 𝐴))
18		2times 12310	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
19	18	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
20	17, 19	eqtr4d 2778	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)) = (2 · 𝐴))
21	14, 1, 20	syl2an 602	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)) = (2 · 𝐴))
22	21	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)) = (2 · 𝐴))
23	13, 22	eqtrd 2775	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → ((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) = (2 · 𝐴))
24	23	oveq1d 7378	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) = ((2 · 𝐴) / 2))
25		ltnle 11223	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵))
26	25	biimpa 477	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → ¬ 𝐴 ≤ 𝐵)
27	26	iffalsed 4472	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴) = 𝐴)
28	7, 24, 27	3eqtr4rd 2786	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴) = (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2))
29	28	ancom1s 659	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴) = (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2))
30		divcan3 11833	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((2 · 𝐵) / 2) = 𝐵)
31	2, 3, 30	mp3an23 1461	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ((2 · 𝐵) / 2) = 𝐵)
32	14, 31	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ((2 · 𝐵) / 2) = 𝐵)
33	32	ad2antlr 733	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((2 · 𝐵) / 2) = 𝐵)
34		abssuble0 15289	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))
35	34	3expa 1124	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))
36	35	oveq2d 7379	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) = ((𝐴 + 𝐵) + (𝐵 − 𝐴)))
37		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
38		simpl 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
39	37, 38, 37	ppncand 11543	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐵 + 𝐴) + (𝐵 − 𝐴)) = (𝐵 + 𝐵))
40		addcom 11330	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
41	40	oveq1d 7378	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐵 − 𝐴)) = ((𝐵 + 𝐴) + (𝐵 − 𝐴)))
42		2times 12310	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (2 · 𝐵) = (𝐵 + 𝐵))
43	42	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · 𝐵) = (𝐵 + 𝐵))
44	39, 41, 43	3eqtr4d 2785	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐵 − 𝐴)) = (2 · 𝐵))
45	1, 14, 44	syl2an 602	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐵 − 𝐴)) = (2 · 𝐵))
46	45	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐵 − 𝐴)) = (2 · 𝐵))
47	36, 46	eqtrd 2775	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) = (2 · 𝐵))
48	47	oveq1d 7378	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) = ((2 · 𝐵) / 2))
49		iftrue 4467	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≤ 𝐵 → if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴) = 𝐵)
50	49	adantl 482	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴) = 𝐵)
51	33, 48, 50	3eqtr4rd 2786	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴) = (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2))
52		simpr 485	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
53		simpl 483	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
54	29, 51, 52, 53	ltlecasei 11252	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴) = (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  ifcif 4461   class class class wbr 5079  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  ℂcc 11034  ℝcr 11035  0cc0 11036   + caddc 11039   · cmul 11041   < clt 11177   ≤ cle 11178   − cmin 11375   / cdiv 11805  2c2 12234  abscabs 15194

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9352  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-rp 12941  df-seq 13962  df-exp 14022  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061  df-sqrt 15195  df-abs 15196

This theorem is referenced by: (None)