Theorem absmax 15214

Description: The maximum of two numbers using absolute value. (Contributed by NM, 7-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
absmax	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴) = (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2))

Proof of Theorem absmax

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 11141	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		2cn 12228	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
3		2ne0 12257	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
4		divcan3 11839	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((2 · 𝐴) / 2) = 𝐴)
5	2, 3, 4	mp3an23 1453	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · 𝐴) / 2) = 𝐴)
6	1, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((2 · 𝐴) / 2) = 𝐴)
7	6	ad2antlr 725	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → ((2 · 𝐴) / 2) = 𝐴)
8		ltle 11243	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 → 𝐵 ≤ 𝐴))
9	8	imp 407	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝐴)
10		abssubge0 15212	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (𝐴 − 𝐵))
11	10	3expa 1118	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (𝐴 − 𝐵))
12	9, 11	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (𝐴 − 𝐵))
13	12	oveq2d 7373	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → ((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) = ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)))
14		recn 11141	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
15		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
16		simpl 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
17	15, 16, 15	ppncand 11552	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)) = (𝐴 + 𝐴))
18		2times 12289	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
19	18	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
20	17, 19	eqtr4d 2779	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)) = (2 · 𝐴))
21	14, 1, 20	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)) = (2 · 𝐴))
22	21	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)) = (2 · 𝐴))
23	13, 22	eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → ((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) = (2 · 𝐴))
24	23	oveq1d 7372	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) = ((2 · 𝐴) / 2))
25		ltnle 11234	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵))
26	25	biimpa 477	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → ¬ 𝐴 ≤ 𝐵)
27	26	iffalsed 4497	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴) = 𝐴)
28	7, 24, 27	3eqtr4rd 2787	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴) = (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2))
29	28	ancom1s 651	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴) = (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2))
30		divcan3 11839	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((2 · 𝐵) / 2) = 𝐵)
31	2, 3, 30	mp3an23 1453	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ((2 · 𝐵) / 2) = 𝐵)
32	14, 31	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ((2 · 𝐵) / 2) = 𝐵)
33	32	ad2antlr 725	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((2 · 𝐵) / 2) = 𝐵)
34		abssuble0 15213	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))
35	34	3expa 1118	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))
36	35	oveq2d 7373	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) = ((𝐴 + 𝐵) + (𝐵 − 𝐴)))
37		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
38		simpl 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
39	37, 38, 37	ppncand 11552	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐵 + 𝐴) + (𝐵 − 𝐴)) = (𝐵 + 𝐵))
40		addcom 11341	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
41	40	oveq1d 7372	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐵 − 𝐴)) = ((𝐵 + 𝐴) + (𝐵 − 𝐴)))
42		2times 12289	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (2 · 𝐵) = (𝐵 + 𝐵))
43	42	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · 𝐵) = (𝐵 + 𝐵))
44	39, 41, 43	3eqtr4d 2786	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐵 − 𝐴)) = (2 · 𝐵))
45	1, 14, 44	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐵 − 𝐴)) = (2 · 𝐵))
46	45	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐵 − 𝐴)) = (2 · 𝐵))
47	36, 46	eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) = (2 · 𝐵))
48	47	oveq1d 7372	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) = ((2 · 𝐵) / 2))
49		iftrue 4492	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≤ 𝐵 → if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴) = 𝐵)
50	49	adantl 482	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴) = 𝐵)
51	33, 48, 50	3eqtr4rd 2787	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴) = (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2))
52		simpr 485	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
53		simpl 483	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
54	29, 51, 52, 53	ltlecasei 11263	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴) = (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ifcif 4486   class class class wbr 5105  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℂcc 11049  ℝcr 11050  0cc0 11051   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189   ≤ cle 11190   − cmin 11385   / cdiv 11812  2c2 12208  abscabs 15119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121

This theorem is referenced by: (None)