Theorem absmax 15280

Description: The maximum of two numbers using absolute value. (Contributed by NM, 7-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
absmax	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴) = (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2))

Proof of Theorem absmax

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 11202	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		2cn 12291	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
3		2ne0 12320	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
4		divcan3 11902	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((2 · 𝐴) / 2) = 𝐴)
5	2, 3, 4	mp3an23 1451	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · 𝐴) / 2) = 𝐴)
6	1, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((2 · 𝐴) / 2) = 𝐴)
7	6	ad2antlr 723	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → ((2 · 𝐴) / 2) = 𝐴)
8		ltle 11306	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 → 𝐵 ≤ 𝐴))
9	8	imp 405	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝐴)
10		abssubge0 15278	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (𝐴 − 𝐵))
11	10	3expa 1116	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (𝐴 − 𝐵))
12	9, 11	syldan 589	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (𝐴 − 𝐵))
13	12	oveq2d 7427	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → ((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) = ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)))
14		recn 11202	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
15		simpr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
16		simpl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
17	15, 16, 15	ppncand 11615	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)) = (𝐴 + 𝐴))
18		2times 12352	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
19	18	adantl 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
20	17, 19	eqtr4d 2773	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)) = (2 · 𝐴))
21	14, 1, 20	syl2an 594	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)) = (2 · 𝐴))
22	21	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)) = (2 · 𝐴))
23	13, 22	eqtrd 2770	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → ((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) = (2 · 𝐴))
24	23	oveq1d 7426	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) = ((2 · 𝐴) / 2))
25		ltnle 11297	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵))
26	25	biimpa 475	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → ¬ 𝐴 ≤ 𝐵)
27	26	iffalsed 4538	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴) = 𝐴)
28	7, 24, 27	3eqtr4rd 2781	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴) = (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2))
29	28	ancom1s 649	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴) = (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2))
30		divcan3 11902	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((2 · 𝐵) / 2) = 𝐵)
31	2, 3, 30	mp3an23 1451	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ((2 · 𝐵) / 2) = 𝐵)
32	14, 31	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ((2 · 𝐵) / 2) = 𝐵)
33	32	ad2antlr 723	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((2 · 𝐵) / 2) = 𝐵)
34		abssuble0 15279	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))
35	34	3expa 1116	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))
36	35	oveq2d 7427	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) = ((𝐴 + 𝐵) + (𝐵 − 𝐴)))
37		simpr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
38		simpl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
39	37, 38, 37	ppncand 11615	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐵 + 𝐴) + (𝐵 − 𝐴)) = (𝐵 + 𝐵))
40		addcom 11404	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
41	40	oveq1d 7426	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐵 − 𝐴)) = ((𝐵 + 𝐴) + (𝐵 − 𝐴)))
42		2times 12352	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (2 · 𝐵) = (𝐵 + 𝐵))
43	42	adantl 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · 𝐵) = (𝐵 + 𝐵))
44	39, 41, 43	3eqtr4d 2780	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐵 − 𝐴)) = (2 · 𝐵))
45	1, 14, 44	syl2an 594	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐵 − 𝐴)) = (2 · 𝐵))
46	45	adantr 479	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐵 − 𝐴)) = (2 · 𝐵))
47	36, 46	eqtrd 2770	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) = (2 · 𝐵))
48	47	oveq1d 7426	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) = ((2 · 𝐵) / 2))
49		iftrue 4533	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≤ 𝐵 → if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴) = 𝐵)
50	49	adantl 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴) = 𝐵)
51	33, 48, 50	3eqtr4rd 2781	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴) = (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2))
52		simpr 483	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
53		simpl 481	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
54	29, 51, 52, 53	ltlecasei 11326	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴) = (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2938  ifcif 4527   class class class wbr 5147  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411  ℂcc 11110  ℝcr 11111  0cc0 11112   + caddc 11115   · cmul 11117   < clt 11252   ≤ cle 11253   − cmin 11448   / cdiv 11875  2c2 12271  abscabs 15185

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187

This theorem is referenced by: (None)