MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sadadd2lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sadadd2lem2 16335
Description: The core of the proof of sadadd2 16345. The intuitive justification for this is that cadd is true if at least two arguments are true, and hadd is true if an odd number of arguments are true, so altogether the result is ๐‘› ยท ๐ด where ๐‘› is the number of true arguments, which is equivalently obtained by adding together one ๐ด for each true argument, on the right side. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
sadadd2lem2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (if(hadd(๐œ‘, ๐œ“, ๐œ’), ๐ด, 0) + if(cadd(๐œ‘, ๐œ“, ๐œ’), (2 ยท ๐ด), 0)) = ((if(๐œ‘, ๐ด, 0) + if(๐œ“, ๐ด, 0)) + if(๐œ’, ๐ด, 0)))

Proof of Theorem sadadd2lem2
StepHypRef Expression
1 0cn 11152 . . . . . . . . 9 0 โˆˆ โ„‚
2 ifcl 4532 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โˆˆ โ„‚) โ†’ if(๐œ“, ๐ด, 0) โˆˆ โ„‚)
31, 2mpan2 690 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ if(๐œ“, ๐ด, 0) โˆˆ โ„‚)
43ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ๐œ‘) โ†’ if(๐œ“, ๐ด, 0) โˆˆ โ„‚)
5 simpll 766 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ๐œ‘) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
64, 5, 5add12d 11386 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ๐œ‘) โ†’ (if(๐œ“, ๐ด, 0) + (๐ด + ๐ด)) = (๐ด + (if(๐œ“, ๐ด, 0) + ๐ด)))
75, 4, 5addassd 11182 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ๐œ‘) โ†’ ((๐ด + if(๐œ“, ๐ด, 0)) + ๐ด) = (๐ด + (if(๐œ“, ๐ด, 0) + ๐ด)))
86, 7eqtr4d 2776 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ๐œ‘) โ†’ (if(๐œ“, ๐ด, 0) + (๐ด + ๐ด)) = ((๐ด + if(๐œ“, ๐ด, 0)) + ๐ด))
9 pm5.501 367 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐œ“ โ†” (๐œ‘ โ†” ๐œ“)))
109adantl 483 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ๐œ‘) โ†’ (๐œ“ โ†” (๐œ‘ โ†” ๐œ“)))
1110bicomd 222 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ๐œ‘) โ†’ ((๐œ‘ โ†” ๐œ“) โ†” ๐œ“))
1211ifbid 4510 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ๐œ‘) โ†’ if((๐œ‘ โ†” ๐œ“), ๐ด, 0) = if(๐œ“, ๐ด, 0))
13 animorrl 980 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ๐œ‘) โ†’ (๐œ‘ โˆจ ๐œ“))
14 iftrue 4493 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆจ ๐œ“) โ†’ if((๐œ‘ โˆจ ๐œ“), (2 ยท ๐ด), 0) = (2 ยท ๐ด))
1513, 14syl 17 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ๐œ‘) โ†’ if((๐œ‘ โˆจ ๐œ“), (2 ยท ๐ด), 0) = (2 ยท ๐ด))
1652timesd 12401 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ๐œ‘) โ†’ (2 ยท ๐ด) = (๐ด + ๐ด))
1715, 16eqtrd 2773 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ๐œ‘) โ†’ if((๐œ‘ โˆจ ๐œ“), (2 ยท ๐ด), 0) = (๐ด + ๐ด))
1812, 17oveq12d 7376 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ๐œ‘) โ†’ (if((๐œ‘ โ†” ๐œ“), ๐ด, 0) + if((๐œ‘ โˆจ ๐œ“), (2 ยท ๐ด), 0)) = (if(๐œ“, ๐ด, 0) + (๐ด + ๐ด)))
19 iftrue 4493 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ if(๐œ‘, ๐ด, 0) = ๐ด)
2019adantl 483 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ๐œ‘) โ†’ if(๐œ‘, ๐ด, 0) = ๐ด)
2120oveq1d 7373 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ๐œ‘) โ†’ (if(๐œ‘, ๐ด, 0) + if(๐œ“, ๐ด, 0)) = (๐ด + if(๐œ“, ๐ด, 0)))
2221oveq1d 7373 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ๐œ‘) โ†’ ((if(๐œ‘, ๐ด, 0) + if(๐œ“, ๐ด, 0)) + ๐ด) = ((๐ด + if(๐œ“, ๐ด, 0)) + ๐ด))
238, 18, 223eqtr4d 2783 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ๐œ‘) โ†’ (if((๐œ‘ โ†” ๐œ“), ๐ด, 0) + if((๐œ‘ โˆจ ๐œ“), (2 ยท ๐ด), 0)) = ((if(๐œ‘, ๐ด, 0) + if(๐œ“, ๐ด, 0)) + ๐ด))
24 iffalse 4496 . . . . . . . . 9 (ยฌ ๐œ‘ โ†’ if(๐œ‘, ๐ด, 0) = 0)
2524adantl 483 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ยฌ ๐œ‘) โ†’ if(๐œ‘, ๐ด, 0) = 0)
2625oveq1d 7373 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ยฌ ๐œ‘) โ†’ (if(๐œ‘, ๐ด, 0) + if(๐œ“, ๐ด, 0)) = (0 + if(๐œ“, ๐ด, 0)))
273ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ยฌ ๐œ‘) โ†’ if(๐œ“, ๐ด, 0) โˆˆ โ„‚)
2827addid2d 11361 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ยฌ ๐œ‘) โ†’ (0 + if(๐œ“, ๐ด, 0)) = if(๐œ“, ๐ด, 0))
2926, 28eqtrd 2773 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ยฌ ๐œ‘) โ†’ (if(๐œ‘, ๐ด, 0) + if(๐œ“, ๐ด, 0)) = if(๐œ“, ๐ด, 0))
3029oveq1d 7373 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ยฌ ๐œ‘) โ†’ ((if(๐œ‘, ๐ด, 0) + if(๐œ“, ๐ด, 0)) + ๐ด) = (if(๐œ“, ๐ด, 0) + ๐ด))
31 2cnd 12236 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
32 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3331, 32mulcld 11180 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
3433addid2d 11361 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (0 + (2 ยท ๐ด)) = (2 ยท ๐ด))
35 2times 12294 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (2 ยท ๐ด) = (๐ด + ๐ด))
3634, 35eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (0 + (2 ยท ๐ด)) = (๐ด + ๐ด))
3736adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ“) โ†’ (0 + (2 ยท ๐ด)) = (๐ด + ๐ด))
38 iftrue 4493 . . . . . . . . . 10 (๐œ“ โ†’ if(๐œ“, 0, ๐ด) = 0)
3938adantl 483 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ“) โ†’ if(๐œ“, 0, ๐ด) = 0)
40 iftrue 4493 . . . . . . . . . 10 (๐œ“ โ†’ if(๐œ“, (2 ยท ๐ด), 0) = (2 ยท ๐ด))
4140adantl 483 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ“) โ†’ if(๐œ“, (2 ยท ๐ด), 0) = (2 ยท ๐ด))
4239, 41oveq12d 7376 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ“) โ†’ (if(๐œ“, 0, ๐ด) + if(๐œ“, (2 ยท ๐ด), 0)) = (0 + (2 ยท ๐ด)))
43 iftrue 4493 . . . . . . . . . 10 (๐œ“ โ†’ if(๐œ“, ๐ด, 0) = ๐ด)
4443adantl 483 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ“) โ†’ if(๐œ“, ๐ด, 0) = ๐ด)
4544oveq1d 7373 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ“) โ†’ (if(๐œ“, ๐ด, 0) + ๐ด) = (๐ด + ๐ด))
4637, 42, 453eqtr4d 2783 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ“) โ†’ (if(๐œ“, 0, ๐ด) + if(๐œ“, (2 ยท ๐ด), 0)) = (if(๐œ“, ๐ด, 0) + ๐ด))
47 simpl 484 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ“) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
48 0cnd 11153 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ“) โ†’ 0 โˆˆ โ„‚)
4947, 48addcomd 11362 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ“) โ†’ (๐ด + 0) = (0 + ๐ด))
50 iffalse 4496 . . . . . . . . . 10 (ยฌ ๐œ“ โ†’ if(๐œ“, 0, ๐ด) = ๐ด)
5150adantl 483 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ“) โ†’ if(๐œ“, 0, ๐ด) = ๐ด)
52 iffalse 4496 . . . . . . . . . 10 (ยฌ ๐œ“ โ†’ if(๐œ“, (2 ยท ๐ด), 0) = 0)
5352adantl 483 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ“) โ†’ if(๐œ“, (2 ยท ๐ด), 0) = 0)
5451, 53oveq12d 7376 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ“) โ†’ (if(๐œ“, 0, ๐ด) + if(๐œ“, (2 ยท ๐ด), 0)) = (๐ด + 0))
55 iffalse 4496 . . . . . . . . . 10 (ยฌ ๐œ“ โ†’ if(๐œ“, ๐ด, 0) = 0)
5655adantl 483 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ“) โ†’ if(๐œ“, ๐ด, 0) = 0)
5756oveq1d 7373 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ“) โ†’ (if(๐œ“, ๐ด, 0) + ๐ด) = (0 + ๐ด))
5849, 54, 573eqtr4d 2783 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ“) โ†’ (if(๐œ“, 0, ๐ด) + if(๐œ“, (2 ยท ๐ด), 0)) = (if(๐œ“, ๐ด, 0) + ๐ด))
5946, 58pm2.61dan 812 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (if(๐œ“, 0, ๐ด) + if(๐œ“, (2 ยท ๐ด), 0)) = (if(๐œ“, ๐ด, 0) + ๐ด))
6059ad2antrr 725 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ยฌ ๐œ‘) โ†’ (if(๐œ“, 0, ๐ด) + if(๐œ“, (2 ยท ๐ด), 0)) = (if(๐œ“, ๐ด, 0) + ๐ด))
61 ifnot 4539 . . . . . . 7 if(ยฌ ๐œ“, ๐ด, 0) = if(๐œ“, 0, ๐ด)
62 nbn2 371 . . . . . . . . 9 (ยฌ ๐œ‘ โ†’ (ยฌ ๐œ“ โ†” (๐œ‘ โ†” ๐œ“)))
6362adantl 483 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ยฌ ๐œ‘) โ†’ (ยฌ ๐œ“ โ†” (๐œ‘ โ†” ๐œ“)))
6463ifbid 4510 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ยฌ ๐œ‘) โ†’ if(ยฌ ๐œ“, ๐ด, 0) = if((๐œ‘ โ†” ๐œ“), ๐ด, 0))
6561, 64eqtr3id 2787 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ยฌ ๐œ‘) โ†’ if(๐œ“, 0, ๐ด) = if((๐œ‘ โ†” ๐œ“), ๐ด, 0))
66 biorf 936 . . . . . . . 8 (ยฌ ๐œ‘ โ†’ (๐œ“ โ†” (๐œ‘ โˆจ ๐œ“)))
6766adantl 483 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ยฌ ๐œ‘) โ†’ (๐œ“ โ†” (๐œ‘ โˆจ ๐œ“)))
6867ifbid 4510 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ยฌ ๐œ‘) โ†’ if(๐œ“, (2 ยท ๐ด), 0) = if((๐œ‘ โˆจ ๐œ“), (2 ยท ๐ด), 0))
6965, 68oveq12d 7376 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ยฌ ๐œ‘) โ†’ (if(๐œ“, 0, ๐ด) + if(๐œ“, (2 ยท ๐ด), 0)) = (if((๐œ‘ โ†” ๐œ“), ๐ด, 0) + if((๐œ‘ โˆจ ๐œ“), (2 ยท ๐ด), 0)))
7030, 60, 693eqtr2rd 2780 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ยฌ ๐œ‘) โ†’ (if((๐œ‘ โ†” ๐œ“), ๐ด, 0) + if((๐œ‘ โˆจ ๐œ“), (2 ยท ๐ด), 0)) = ((if(๐œ‘, ๐ด, 0) + if(๐œ“, ๐ด, 0)) + ๐ด))
7123, 70pm2.61dan 812 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โ†’ (if((๐œ‘ โ†” ๐œ“), ๐ด, 0) + if((๐œ‘ โˆจ ๐œ“), (2 ยท ๐ด), 0)) = ((if(๐œ‘, ๐ด, 0) + if(๐œ“, ๐ด, 0)) + ๐ด))
72 hadrot 1603 . . . . . . 7 (hadd(๐œ’, ๐œ‘, ๐œ“) โ†” hadd(๐œ‘, ๐œ“, ๐œ’))
73 had1 1605 . . . . . . 7 (๐œ’ โ†’ (hadd(๐œ’, ๐œ‘, ๐œ“) โ†” (๐œ‘ โ†” ๐œ“)))
7472, 73bitr3id 285 . . . . . 6 (๐œ’ โ†’ (hadd(๐œ‘, ๐œ“, ๐œ’) โ†” (๐œ‘ โ†” ๐œ“)))
7574adantl 483 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โ†’ (hadd(๐œ‘, ๐œ“, ๐œ’) โ†” (๐œ‘ โ†” ๐œ“)))
7675ifbid 4510 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โ†’ if(hadd(๐œ‘, ๐œ“, ๐œ’), ๐ด, 0) = if((๐œ‘ โ†” ๐œ“), ๐ด, 0))
77 cad1 1619 . . . . . 6 (๐œ’ โ†’ (cadd(๐œ‘, ๐œ“, ๐œ’) โ†” (๐œ‘ โˆจ ๐œ“)))
7877adantl 483 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โ†’ (cadd(๐œ‘, ๐œ“, ๐œ’) โ†” (๐œ‘ โˆจ ๐œ“)))
7978ifbid 4510 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โ†’ if(cadd(๐œ‘, ๐œ“, ๐œ’), (2 ยท ๐ด), 0) = if((๐œ‘ โˆจ ๐œ“), (2 ยท ๐ด), 0))
8076, 79oveq12d 7376 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โ†’ (if(hadd(๐œ‘, ๐œ“, ๐œ’), ๐ด, 0) + if(cadd(๐œ‘, ๐œ“, ๐œ’), (2 ยท ๐ด), 0)) = (if((๐œ‘ โ†” ๐œ“), ๐ด, 0) + if((๐œ‘ โˆจ ๐œ“), (2 ยท ๐ด), 0)))
81 iftrue 4493 . . . . 5 (๐œ’ โ†’ if(๐œ’, ๐ด, 0) = ๐ด)
8281adantl 483 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โ†’ if(๐œ’, ๐ด, 0) = ๐ด)
8382oveq2d 7374 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โ†’ ((if(๐œ‘, ๐ด, 0) + if(๐œ“, ๐ด, 0)) + if(๐œ’, ๐ด, 0)) = ((if(๐œ‘, ๐ด, 0) + if(๐œ“, ๐ด, 0)) + ๐ด))
8471, 80, 833eqtr4d 2783 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โ†’ (if(hadd(๐œ‘, ๐œ“, ๐œ’), ๐ด, 0) + if(cadd(๐œ‘, ๐œ“, ๐œ’), (2 ยท ๐ด), 0)) = ((if(๐œ‘, ๐ด, 0) + if(๐œ“, ๐ด, 0)) + if(๐œ’, ๐ด, 0)))
8519adantl 483 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โˆง ๐œ‘) โ†’ if(๐œ‘, ๐ด, 0) = ๐ด)
8685oveq1d 7373 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โˆง ๐œ‘) โ†’ (if(๐œ‘, ๐ด, 0) + if(๐œ“, ๐ด, 0)) = (๐ด + if(๐œ“, ๐ด, 0)))
8744oveq2d 7374 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐ด + if(๐œ“, ๐ด, 0)) = (๐ด + ๐ด))
8837, 42, 873eqtr4d 2783 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ“) โ†’ (if(๐œ“, 0, ๐ด) + if(๐œ“, (2 ยท ๐ด), 0)) = (๐ด + if(๐œ“, ๐ด, 0)))
8953, 56eqtr4d 2776 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ“) โ†’ if(๐œ“, (2 ยท ๐ด), 0) = if(๐œ“, ๐ด, 0))
9051, 89oveq12d 7376 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ“) โ†’ (if(๐œ“, 0, ๐ด) + if(๐œ“, (2 ยท ๐ด), 0)) = (๐ด + if(๐œ“, ๐ด, 0)))
9188, 90pm2.61dan 812 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (if(๐œ“, 0, ๐ด) + if(๐œ“, (2 ยท ๐ด), 0)) = (๐ด + if(๐œ“, ๐ด, 0)))
9291ad2antrr 725 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โˆง ๐œ‘) โ†’ (if(๐œ“, 0, ๐ด) + if(๐œ“, (2 ยท ๐ด), 0)) = (๐ด + if(๐œ“, ๐ด, 0)))
939adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โˆง ๐œ‘) โ†’ (๐œ“ โ†” (๐œ‘ โ†” ๐œ“)))
9493notbid 318 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โˆง ๐œ‘) โ†’ (ยฌ ๐œ“ โ†” ยฌ (๐œ‘ โ†” ๐œ“)))
95 df-xor 1511 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โŠป ๐œ“) โ†” ยฌ (๐œ‘ โ†” ๐œ“))
9694, 95bitr4di 289 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โˆง ๐œ‘) โ†’ (ยฌ ๐œ“ โ†” (๐œ‘ โŠป ๐œ“)))
9796ifbid 4510 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โˆง ๐œ‘) โ†’ if(ยฌ ๐œ“, ๐ด, 0) = if((๐œ‘ โŠป ๐œ“), ๐ด, 0))
9861, 97eqtr3id 2787 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โˆง ๐œ‘) โ†’ if(๐œ“, 0, ๐ด) = if((๐œ‘ โŠป ๐œ“), ๐ด, 0))
99 ibar 530 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐œ“ โ†” (๐œ‘ โˆง ๐œ“)))
10099adantl 483 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โˆง ๐œ‘) โ†’ (๐œ“ โ†” (๐œ‘ โˆง ๐œ“)))
101100ifbid 4510 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โˆง ๐œ‘) โ†’ if(๐œ“, (2 ยท ๐ด), 0) = if((๐œ‘ โˆง ๐œ“), (2 ยท ๐ด), 0))
10298, 101oveq12d 7376 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โˆง ๐œ‘) โ†’ (if(๐œ“, 0, ๐ด) + if(๐œ“, (2 ยท ๐ด), 0)) = (if((๐œ‘ โŠป ๐œ“), ๐ด, 0) + if((๐œ‘ โˆง ๐œ“), (2 ยท ๐ด), 0)))
10386, 92, 1023eqtr2rd 2780 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โˆง ๐œ‘) โ†’ (if((๐œ‘ โŠป ๐œ“), ๐ด, 0) + if((๐œ‘ โˆง ๐œ“), (2 ยท ๐ด), 0)) = (if(๐œ‘, ๐ด, 0) + if(๐œ“, ๐ด, 0)))
104 simplll 774 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โˆง ยฌ ๐œ‘) โˆง ๐œ“) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
105 0cnd 11153 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โˆง ยฌ ๐œ‘) โˆง ยฌ ๐œ“) โ†’ 0 โˆˆ โ„‚)
106104, 105ifclda 4522 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โˆง ยฌ ๐œ‘) โ†’ if(๐œ“, ๐ด, 0) โˆˆ โ„‚)
107 0cnd 11153 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โˆง ยฌ ๐œ‘) โ†’ 0 โˆˆ โ„‚)
108106, 107addcomd 11362 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โˆง ยฌ ๐œ‘) โ†’ (if(๐œ“, ๐ด, 0) + 0) = (0 + if(๐œ“, ๐ด, 0)))
10962adantl 483 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โˆง ยฌ ๐œ‘) โ†’ (ยฌ ๐œ“ โ†” (๐œ‘ โ†” ๐œ“)))
110109con1bid 356 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โˆง ยฌ ๐œ‘) โ†’ (ยฌ (๐œ‘ โ†” ๐œ“) โ†” ๐œ“))
11195, 110bitrid 283 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โˆง ยฌ ๐œ‘) โ†’ ((๐œ‘ โŠป ๐œ“) โ†” ๐œ“))
112111ifbid 4510 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โˆง ยฌ ๐œ‘) โ†’ if((๐œ‘ โŠป ๐œ“), ๐ด, 0) = if(๐œ“, ๐ด, 0))
113 simpr 486 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โˆง ยฌ ๐œ‘) โ†’ ยฌ ๐œ‘)
114113intnanrd 491 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โˆง ยฌ ๐œ‘) โ†’ ยฌ (๐œ‘ โˆง ๐œ“))
115 iffalse 4496 . . . . . . 7 (ยฌ (๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ if((๐œ‘ โˆง ๐œ“), (2 ยท ๐ด), 0) = 0)
116114, 115syl 17 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โˆง ยฌ ๐œ‘) โ†’ if((๐œ‘ โˆง ๐œ“), (2 ยท ๐ด), 0) = 0)
117112, 116oveq12d 7376 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โˆง ยฌ ๐œ‘) โ†’ (if((๐œ‘ โŠป ๐œ“), ๐ด, 0) + if((๐œ‘ โˆง ๐œ“), (2 ยท ๐ด), 0)) = (if(๐œ“, ๐ด, 0) + 0))
11824adantl 483 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โˆง ยฌ ๐œ‘) โ†’ if(๐œ‘, ๐ด, 0) = 0)
119118oveq1d 7373 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โˆง ยฌ ๐œ‘) โ†’ (if(๐œ‘, ๐ด, 0) + if(๐œ“, ๐ด, 0)) = (0 + if(๐œ“, ๐ด, 0)))
120108, 117, 1193eqtr4d 2783 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โˆง ยฌ ๐œ‘) โ†’ (if((๐œ‘ โŠป ๐œ“), ๐ด, 0) + if((๐œ‘ โˆง ๐œ“), (2 ยท ๐ด), 0)) = (if(๐œ‘, ๐ด, 0) + if(๐œ“, ๐ด, 0)))
121103, 120pm2.61dan 812 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โ†’ (if((๐œ‘ โŠป ๐œ“), ๐ด, 0) + if((๐œ‘ โˆง ๐œ“), (2 ยท ๐ด), 0)) = (if(๐œ‘, ๐ด, 0) + if(๐œ“, ๐ด, 0)))
122 had0 1606 . . . . . . 7 (ยฌ ๐œ’ โ†’ (hadd(๐œ’, ๐œ‘, ๐œ“) โ†” (๐œ‘ โŠป ๐œ“)))
12372, 122bitr3id 285 . . . . . 6 (ยฌ ๐œ’ โ†’ (hadd(๐œ‘, ๐œ“, ๐œ’) โ†” (๐œ‘ โŠป ๐œ“)))
124123adantl 483 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โ†’ (hadd(๐œ‘, ๐œ“, ๐œ’) โ†” (๐œ‘ โŠป ๐œ“)))
125124ifbid 4510 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โ†’ if(hadd(๐œ‘, ๐œ“, ๐œ’), ๐ด, 0) = if((๐œ‘ โŠป ๐œ“), ๐ด, 0))
126 cad0 1620 . . . . . 6 (ยฌ ๐œ’ โ†’ (cadd(๐œ‘, ๐œ“, ๐œ’) โ†” (๐œ‘ โˆง ๐œ“)))
127126adantl 483 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โ†’ (cadd(๐œ‘, ๐œ“, ๐œ’) โ†” (๐œ‘ โˆง ๐œ“)))
128127ifbid 4510 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โ†’ if(cadd(๐œ‘, ๐œ“, ๐œ’), (2 ยท ๐ด), 0) = if((๐œ‘ โˆง ๐œ“), (2 ยท ๐ด), 0))
129125, 128oveq12d 7376 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โ†’ (if(hadd(๐œ‘, ๐œ“, ๐œ’), ๐ด, 0) + if(cadd(๐œ‘, ๐œ“, ๐œ’), (2 ยท ๐ด), 0)) = (if((๐œ‘ โŠป ๐œ“), ๐ด, 0) + if((๐œ‘ โˆง ๐œ“), (2 ยท ๐ด), 0)))
130 iffalse 4496 . . . . 5 (ยฌ ๐œ’ โ†’ if(๐œ’, ๐ด, 0) = 0)
131130oveq2d 7374 . . . 4 (ยฌ ๐œ’ โ†’ ((if(๐œ‘, ๐ด, 0) + if(๐œ“, ๐ด, 0)) + if(๐œ’, ๐ด, 0)) = ((if(๐œ‘, ๐ด, 0) + if(๐œ“, ๐ด, 0)) + 0))
132 ifcl 4532 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โˆˆ โ„‚) โ†’ if(๐œ‘, ๐ด, 0) โˆˆ โ„‚)
1331, 132mpan2 690 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ if(๐œ‘, ๐ด, 0) โˆˆ โ„‚)
134133, 3addcld 11179 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (if(๐œ‘, ๐ด, 0) + if(๐œ“, ๐ด, 0)) โˆˆ โ„‚)
135134addid1d 11360 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((if(๐œ‘, ๐ด, 0) + if(๐œ“, ๐ด, 0)) + 0) = (if(๐œ‘, ๐ด, 0) + if(๐œ“, ๐ด, 0)))
136131, 135sylan9eqr 2795 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โ†’ ((if(๐œ‘, ๐ด, 0) + if(๐œ“, ๐ด, 0)) + if(๐œ’, ๐ด, 0)) = (if(๐œ‘, ๐ด, 0) + if(๐œ“, ๐ด, 0)))
137121, 129, 1363eqtr4d 2783 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โ†’ (if(hadd(๐œ‘, ๐œ“, ๐œ’), ๐ด, 0) + if(cadd(๐œ‘, ๐œ“, ๐œ’), (2 ยท ๐ด), 0)) = ((if(๐œ‘, ๐ด, 0) + if(๐œ“, ๐ด, 0)) + if(๐œ’, ๐ด, 0)))
13884, 137pm2.61dan 812 1 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (if(hadd(๐œ‘, ๐œ“, ๐œ’), ๐ด, 0) + if(cadd(๐œ‘, ๐œ“, ๐œ’), (2 ยท ๐ด), 0)) = ((if(๐œ‘, ๐ด, 0) + if(๐œ“, ๐ด, 0)) + if(๐œ’, ๐ด, 0)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   โŠป wxo 1510   = wceq 1542  haddwhad 1595  caddwcad 1608   โˆˆ wcel 2107  ifcif 4487  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11054  0cc0 11056   + caddc 11059   ยท cmul 11061  2c2 12213
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-xor 1511  df-tru 1545  df-fal 1555  df-had 1596  df-cad 1609  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-ltxr 11199  df-2 12221
This theorem is referenced by:  sadadd2lem  16344
  Copyright terms: Public domain W3C validator