MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sadadd2lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sadadd2lem2 16395
Description: The core of the proof of sadadd2 16405. The intuitive justification for this is that cadd is true if at least two arguments are true, and hadd is true if an odd number of arguments are true, so altogether the result is ๐‘› ยท ๐ด where ๐‘› is the number of true arguments, which is equivalently obtained by adding together one ๐ด for each true argument, on the right side. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
sadadd2lem2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (if(hadd(๐œ‘, ๐œ“, ๐œ’), ๐ด, 0) + if(cadd(๐œ‘, ๐œ“, ๐œ’), (2 ยท ๐ด), 0)) = ((if(๐œ‘, ๐ด, 0) + if(๐œ“, ๐ด, 0)) + if(๐œ’, ๐ด, 0)))

Proof of Theorem sadadd2lem2
StepHypRef Expression
1 0cn 11210 . . . . . . . . 9 0 โˆˆ โ„‚
2 ifcl 4572 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โˆˆ โ„‚) โ†’ if(๐œ“, ๐ด, 0) โˆˆ โ„‚)
31, 2mpan2 687 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ if(๐œ“, ๐ด, 0) โˆˆ โ„‚)
43ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ๐œ‘) โ†’ if(๐œ“, ๐ด, 0) โˆˆ โ„‚)
5 simpll 763 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ๐œ‘) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
64, 5, 5add12d 11444 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ๐œ‘) โ†’ (if(๐œ“, ๐ด, 0) + (๐ด + ๐ด)) = (๐ด + (if(๐œ“, ๐ด, 0) + ๐ด)))
75, 4, 5addassd 11240 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ๐œ‘) โ†’ ((๐ด + if(๐œ“, ๐ด, 0)) + ๐ด) = (๐ด + (if(๐œ“, ๐ด, 0) + ๐ด)))
86, 7eqtr4d 2773 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ๐œ‘) โ†’ (if(๐œ“, ๐ด, 0) + (๐ด + ๐ด)) = ((๐ด + if(๐œ“, ๐ด, 0)) + ๐ด))
9 pm5.501 365 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐œ“ โ†” (๐œ‘ โ†” ๐œ“)))
109adantl 480 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ๐œ‘) โ†’ (๐œ“ โ†” (๐œ‘ โ†” ๐œ“)))
1110bicomd 222 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ๐œ‘) โ†’ ((๐œ‘ โ†” ๐œ“) โ†” ๐œ“))
1211ifbid 4550 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ๐œ‘) โ†’ if((๐œ‘ โ†” ๐œ“), ๐ด, 0) = if(๐œ“, ๐ด, 0))
13 animorrl 977 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ๐œ‘) โ†’ (๐œ‘ โˆจ ๐œ“))
14 iftrue 4533 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆจ ๐œ“) โ†’ if((๐œ‘ โˆจ ๐œ“), (2 ยท ๐ด), 0) = (2 ยท ๐ด))
1513, 14syl 17 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ๐œ‘) โ†’ if((๐œ‘ โˆจ ๐œ“), (2 ยท ๐ด), 0) = (2 ยท ๐ด))
1652timesd 12459 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ๐œ‘) โ†’ (2 ยท ๐ด) = (๐ด + ๐ด))
1715, 16eqtrd 2770 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ๐œ‘) โ†’ if((๐œ‘ โˆจ ๐œ“), (2 ยท ๐ด), 0) = (๐ด + ๐ด))
1812, 17oveq12d 7429 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ๐œ‘) โ†’ (if((๐œ‘ โ†” ๐œ“), ๐ด, 0) + if((๐œ‘ โˆจ ๐œ“), (2 ยท ๐ด), 0)) = (if(๐œ“, ๐ด, 0) + (๐ด + ๐ด)))
19 iftrue 4533 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ if(๐œ‘, ๐ด, 0) = ๐ด)
2019adantl 480 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ๐œ‘) โ†’ if(๐œ‘, ๐ด, 0) = ๐ด)
2120oveq1d 7426 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ๐œ‘) โ†’ (if(๐œ‘, ๐ด, 0) + if(๐œ“, ๐ด, 0)) = (๐ด + if(๐œ“, ๐ด, 0)))
2221oveq1d 7426 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ๐œ‘) โ†’ ((if(๐œ‘, ๐ด, 0) + if(๐œ“, ๐ด, 0)) + ๐ด) = ((๐ด + if(๐œ“, ๐ด, 0)) + ๐ด))
238, 18, 223eqtr4d 2780 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ๐œ‘) โ†’ (if((๐œ‘ โ†” ๐œ“), ๐ด, 0) + if((๐œ‘ โˆจ ๐œ“), (2 ยท ๐ด), 0)) = ((if(๐œ‘, ๐ด, 0) + if(๐œ“, ๐ด, 0)) + ๐ด))
24 iffalse 4536 . . . . . . . . 9 (ยฌ ๐œ‘ โ†’ if(๐œ‘, ๐ด, 0) = 0)
2524adantl 480 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ยฌ ๐œ‘) โ†’ if(๐œ‘, ๐ด, 0) = 0)
2625oveq1d 7426 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ยฌ ๐œ‘) โ†’ (if(๐œ‘, ๐ด, 0) + if(๐œ“, ๐ด, 0)) = (0 + if(๐œ“, ๐ด, 0)))
273ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ยฌ ๐œ‘) โ†’ if(๐œ“, ๐ด, 0) โˆˆ โ„‚)
2827addlidd 11419 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ยฌ ๐œ‘) โ†’ (0 + if(๐œ“, ๐ด, 0)) = if(๐œ“, ๐ด, 0))
2926, 28eqtrd 2770 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ยฌ ๐œ‘) โ†’ (if(๐œ‘, ๐ด, 0) + if(๐œ“, ๐ด, 0)) = if(๐œ“, ๐ด, 0))
3029oveq1d 7426 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ยฌ ๐œ‘) โ†’ ((if(๐œ‘, ๐ด, 0) + if(๐œ“, ๐ด, 0)) + ๐ด) = (if(๐œ“, ๐ด, 0) + ๐ด))
31 2cnd 12294 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
32 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3331, 32mulcld 11238 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
3433addlidd 11419 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (0 + (2 ยท ๐ด)) = (2 ยท ๐ด))
35 2times 12352 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (2 ยท ๐ด) = (๐ด + ๐ด))
3634, 35eqtrd 2770 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (0 + (2 ยท ๐ด)) = (๐ด + ๐ด))
3736adantr 479 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ“) โ†’ (0 + (2 ยท ๐ด)) = (๐ด + ๐ด))
38 iftrue 4533 . . . . . . . . . 10 (๐œ“ โ†’ if(๐œ“, 0, ๐ด) = 0)
3938adantl 480 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ“) โ†’ if(๐œ“, 0, ๐ด) = 0)
40 iftrue 4533 . . . . . . . . . 10 (๐œ“ โ†’ if(๐œ“, (2 ยท ๐ด), 0) = (2 ยท ๐ด))
4140adantl 480 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ“) โ†’ if(๐œ“, (2 ยท ๐ด), 0) = (2 ยท ๐ด))
4239, 41oveq12d 7429 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ“) โ†’ (if(๐œ“, 0, ๐ด) + if(๐œ“, (2 ยท ๐ด), 0)) = (0 + (2 ยท ๐ด)))
43 iftrue 4533 . . . . . . . . . 10 (๐œ“ โ†’ if(๐œ“, ๐ด, 0) = ๐ด)
4443adantl 480 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ“) โ†’ if(๐œ“, ๐ด, 0) = ๐ด)
4544oveq1d 7426 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ“) โ†’ (if(๐œ“, ๐ด, 0) + ๐ด) = (๐ด + ๐ด))
4637, 42, 453eqtr4d 2780 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ“) โ†’ (if(๐œ“, 0, ๐ด) + if(๐œ“, (2 ยท ๐ด), 0)) = (if(๐œ“, ๐ด, 0) + ๐ด))
47 simpl 481 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ“) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
48 0cnd 11211 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ“) โ†’ 0 โˆˆ โ„‚)
4947, 48addcomd 11420 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ“) โ†’ (๐ด + 0) = (0 + ๐ด))
50 iffalse 4536 . . . . . . . . . 10 (ยฌ ๐œ“ โ†’ if(๐œ“, 0, ๐ด) = ๐ด)
5150adantl 480 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ“) โ†’ if(๐œ“, 0, ๐ด) = ๐ด)
52 iffalse 4536 . . . . . . . . . 10 (ยฌ ๐œ“ โ†’ if(๐œ“, (2 ยท ๐ด), 0) = 0)
5352adantl 480 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ“) โ†’ if(๐œ“, (2 ยท ๐ด), 0) = 0)
5451, 53oveq12d 7429 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ“) โ†’ (if(๐œ“, 0, ๐ด) + if(๐œ“, (2 ยท ๐ด), 0)) = (๐ด + 0))
55 iffalse 4536 . . . . . . . . . 10 (ยฌ ๐œ“ โ†’ if(๐œ“, ๐ด, 0) = 0)
5655adantl 480 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ“) โ†’ if(๐œ“, ๐ด, 0) = 0)
5756oveq1d 7426 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ“) โ†’ (if(๐œ“, ๐ด, 0) + ๐ด) = (0 + ๐ด))
5849, 54, 573eqtr4d 2780 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ“) โ†’ (if(๐œ“, 0, ๐ด) + if(๐œ“, (2 ยท ๐ด), 0)) = (if(๐œ“, ๐ด, 0) + ๐ด))
5946, 58pm2.61dan 809 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (if(๐œ“, 0, ๐ด) + if(๐œ“, (2 ยท ๐ด), 0)) = (if(๐œ“, ๐ด, 0) + ๐ด))
6059ad2antrr 722 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ยฌ ๐œ‘) โ†’ (if(๐œ“, 0, ๐ด) + if(๐œ“, (2 ยท ๐ด), 0)) = (if(๐œ“, ๐ด, 0) + ๐ด))
61 ifnot 4579 . . . . . . 7 if(ยฌ ๐œ“, ๐ด, 0) = if(๐œ“, 0, ๐ด)
62 nbn2 369 . . . . . . . . 9 (ยฌ ๐œ‘ โ†’ (ยฌ ๐œ“ โ†” (๐œ‘ โ†” ๐œ“)))
6362adantl 480 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ยฌ ๐œ‘) โ†’ (ยฌ ๐œ“ โ†” (๐œ‘ โ†” ๐œ“)))
6463ifbid 4550 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ยฌ ๐œ‘) โ†’ if(ยฌ ๐œ“, ๐ด, 0) = if((๐œ‘ โ†” ๐œ“), ๐ด, 0))
6561, 64eqtr3id 2784 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ยฌ ๐œ‘) โ†’ if(๐œ“, 0, ๐ด) = if((๐œ‘ โ†” ๐œ“), ๐ด, 0))
66 biorf 933 . . . . . . . 8 (ยฌ ๐œ‘ โ†’ (๐œ“ โ†” (๐œ‘ โˆจ ๐œ“)))
6766adantl 480 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ยฌ ๐œ‘) โ†’ (๐œ“ โ†” (๐œ‘ โˆจ ๐œ“)))
6867ifbid 4550 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ยฌ ๐œ‘) โ†’ if(๐œ“, (2 ยท ๐ด), 0) = if((๐œ‘ โˆจ ๐œ“), (2 ยท ๐ด), 0))
6965, 68oveq12d 7429 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ยฌ ๐œ‘) โ†’ (if(๐œ“, 0, ๐ด) + if(๐œ“, (2 ยท ๐ด), 0)) = (if((๐œ‘ โ†” ๐œ“), ๐ด, 0) + if((๐œ‘ โˆจ ๐œ“), (2 ยท ๐ด), 0)))
7030, 60, 693eqtr2rd 2777 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ยฌ ๐œ‘) โ†’ (if((๐œ‘ โ†” ๐œ“), ๐ด, 0) + if((๐œ‘ โˆจ ๐œ“), (2 ยท ๐ด), 0)) = ((if(๐œ‘, ๐ด, 0) + if(๐œ“, ๐ด, 0)) + ๐ด))
7123, 70pm2.61dan 809 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โ†’ (if((๐œ‘ โ†” ๐œ“), ๐ด, 0) + if((๐œ‘ โˆจ ๐œ“), (2 ยท ๐ด), 0)) = ((if(๐œ‘, ๐ด, 0) + if(๐œ“, ๐ด, 0)) + ๐ด))
72 hadrot 1600 . . . . . . 7 (hadd(๐œ’, ๐œ‘, ๐œ“) โ†” hadd(๐œ‘, ๐œ“, ๐œ’))
73 had1 1602 . . . . . . 7 (๐œ’ โ†’ (hadd(๐œ’, ๐œ‘, ๐œ“) โ†” (๐œ‘ โ†” ๐œ“)))
7472, 73bitr3id 284 . . . . . 6 (๐œ’ โ†’ (hadd(๐œ‘, ๐œ“, ๐œ’) โ†” (๐œ‘ โ†” ๐œ“)))
7574adantl 480 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โ†’ (hadd(๐œ‘, ๐œ“, ๐œ’) โ†” (๐œ‘ โ†” ๐œ“)))
7675ifbid 4550 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โ†’ if(hadd(๐œ‘, ๐œ“, ๐œ’), ๐ด, 0) = if((๐œ‘ โ†” ๐œ“), ๐ด, 0))
77 cad1 1616 . . . . . 6 (๐œ’ โ†’ (cadd(๐œ‘, ๐œ“, ๐œ’) โ†” (๐œ‘ โˆจ ๐œ“)))
7877adantl 480 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โ†’ (cadd(๐œ‘, ๐œ“, ๐œ’) โ†” (๐œ‘ โˆจ ๐œ“)))
7978ifbid 4550 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โ†’ if(cadd(๐œ‘, ๐œ“, ๐œ’), (2 ยท ๐ด), 0) = if((๐œ‘ โˆจ ๐œ“), (2 ยท ๐ด), 0))
8076, 79oveq12d 7429 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โ†’ (if(hadd(๐œ‘, ๐œ“, ๐œ’), ๐ด, 0) + if(cadd(๐œ‘, ๐œ“, ๐œ’), (2 ยท ๐ด), 0)) = (if((๐œ‘ โ†” ๐œ“), ๐ด, 0) + if((๐œ‘ โˆจ ๐œ“), (2 ยท ๐ด), 0)))
81 iftrue 4533 . . . . 5 (๐œ’ โ†’ if(๐œ’, ๐ด, 0) = ๐ด)
8281adantl 480 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โ†’ if(๐œ’, ๐ด, 0) = ๐ด)
8382oveq2d 7427 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โ†’ ((if(๐œ‘, ๐ด, 0) + if(๐œ“, ๐ด, 0)) + if(๐œ’, ๐ด, 0)) = ((if(๐œ‘, ๐ด, 0) + if(๐œ“, ๐ด, 0)) + ๐ด))
8471, 80, 833eqtr4d 2780 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โ†’ (if(hadd(๐œ‘, ๐œ“, ๐œ’), ๐ด, 0) + if(cadd(๐œ‘, ๐œ“, ๐œ’), (2 ยท ๐ด), 0)) = ((if(๐œ‘, ๐ด, 0) + if(๐œ“, ๐ด, 0)) + if(๐œ’, ๐ด, 0)))
8519adantl 480 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โˆง ๐œ‘) โ†’ if(๐œ‘, ๐ด, 0) = ๐ด)
8685oveq1d 7426 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โˆง ๐œ‘) โ†’ (if(๐œ‘, ๐ด, 0) + if(๐œ“, ๐ด, 0)) = (๐ด + if(๐œ“, ๐ด, 0)))
8744oveq2d 7427 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐ด + if(๐œ“, ๐ด, 0)) = (๐ด + ๐ด))
8837, 42, 873eqtr4d 2780 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ“) โ†’ (if(๐œ“, 0, ๐ด) + if(๐œ“, (2 ยท ๐ด), 0)) = (๐ด + if(๐œ“, ๐ด, 0)))
8953, 56eqtr4d 2773 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ“) โ†’ if(๐œ“, (2 ยท ๐ด), 0) = if(๐œ“, ๐ด, 0))
9051, 89oveq12d 7429 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ“) โ†’ (if(๐œ“, 0, ๐ด) + if(๐œ“, (2 ยท ๐ด), 0)) = (๐ด + if(๐œ“, ๐ด, 0)))
9188, 90pm2.61dan 809 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (if(๐œ“, 0, ๐ด) + if(๐œ“, (2 ยท ๐ด), 0)) = (๐ด + if(๐œ“, ๐ด, 0)))
9291ad2antrr 722 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โˆง ๐œ‘) โ†’ (if(๐œ“, 0, ๐ด) + if(๐œ“, (2 ยท ๐ด), 0)) = (๐ด + if(๐œ“, ๐ด, 0)))
939adantl 480 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โˆง ๐œ‘) โ†’ (๐œ“ โ†” (๐œ‘ โ†” ๐œ“)))
9493notbid 317 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โˆง ๐œ‘) โ†’ (ยฌ ๐œ“ โ†” ยฌ (๐œ‘ โ†” ๐œ“)))
95 df-xor 1508 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โŠป ๐œ“) โ†” ยฌ (๐œ‘ โ†” ๐œ“))
9694, 95bitr4di 288 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โˆง ๐œ‘) โ†’ (ยฌ ๐œ“ โ†” (๐œ‘ โŠป ๐œ“)))
9796ifbid 4550 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โˆง ๐œ‘) โ†’ if(ยฌ ๐œ“, ๐ด, 0) = if((๐œ‘ โŠป ๐œ“), ๐ด, 0))
9861, 97eqtr3id 2784 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โˆง ๐œ‘) โ†’ if(๐œ“, 0, ๐ด) = if((๐œ‘ โŠป ๐œ“), ๐ด, 0))
99 ibar 527 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐œ“ โ†” (๐œ‘ โˆง ๐œ“)))
10099adantl 480 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โˆง ๐œ‘) โ†’ (๐œ“ โ†” (๐œ‘ โˆง ๐œ“)))
101100ifbid 4550 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โˆง ๐œ‘) โ†’ if(๐œ“, (2 ยท ๐ด), 0) = if((๐œ‘ โˆง ๐œ“), (2 ยท ๐ด), 0))
10298, 101oveq12d 7429 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โˆง ๐œ‘) โ†’ (if(๐œ“, 0, ๐ด) + if(๐œ“, (2 ยท ๐ด), 0)) = (if((๐œ‘ โŠป ๐œ“), ๐ด, 0) + if((๐œ‘ โˆง ๐œ“), (2 ยท ๐ด), 0)))
10386, 92, 1023eqtr2rd 2777 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โˆง ๐œ‘) โ†’ (if((๐œ‘ โŠป ๐œ“), ๐ด, 0) + if((๐œ‘ โˆง ๐œ“), (2 ยท ๐ด), 0)) = (if(๐œ‘, ๐ด, 0) + if(๐œ“, ๐ด, 0)))
104 simplll 771 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โˆง ยฌ ๐œ‘) โˆง ๐œ“) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
105 0cnd 11211 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โˆง ยฌ ๐œ‘) โˆง ยฌ ๐œ“) โ†’ 0 โˆˆ โ„‚)
106104, 105ifclda 4562 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โˆง ยฌ ๐œ‘) โ†’ if(๐œ“, ๐ด, 0) โˆˆ โ„‚)
107 0cnd 11211 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โˆง ยฌ ๐œ‘) โ†’ 0 โˆˆ โ„‚)
108106, 107addcomd 11420 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โˆง ยฌ ๐œ‘) โ†’ (if(๐œ“, ๐ด, 0) + 0) = (0 + if(๐œ“, ๐ด, 0)))
10962adantl 480 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โˆง ยฌ ๐œ‘) โ†’ (ยฌ ๐œ“ โ†” (๐œ‘ โ†” ๐œ“)))
110109con1bid 354 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โˆง ยฌ ๐œ‘) โ†’ (ยฌ (๐œ‘ โ†” ๐œ“) โ†” ๐œ“))
11195, 110bitrid 282 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โˆง ยฌ ๐œ‘) โ†’ ((๐œ‘ โŠป ๐œ“) โ†” ๐œ“))
112111ifbid 4550 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โˆง ยฌ ๐œ‘) โ†’ if((๐œ‘ โŠป ๐œ“), ๐ด, 0) = if(๐œ“, ๐ด, 0))
113 simpr 483 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โˆง ยฌ ๐œ‘) โ†’ ยฌ ๐œ‘)
114113intnanrd 488 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โˆง ยฌ ๐œ‘) โ†’ ยฌ (๐œ‘ โˆง ๐œ“))
115 iffalse 4536 . . . . . . 7 (ยฌ (๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ if((๐œ‘ โˆง ๐œ“), (2 ยท ๐ด), 0) = 0)
116114, 115syl 17 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โˆง ยฌ ๐œ‘) โ†’ if((๐œ‘ โˆง ๐œ“), (2 ยท ๐ด), 0) = 0)
117112, 116oveq12d 7429 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โˆง ยฌ ๐œ‘) โ†’ (if((๐œ‘ โŠป ๐œ“), ๐ด, 0) + if((๐œ‘ โˆง ๐œ“), (2 ยท ๐ด), 0)) = (if(๐œ“, ๐ด, 0) + 0))
11824adantl 480 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โˆง ยฌ ๐œ‘) โ†’ if(๐œ‘, ๐ด, 0) = 0)
119118oveq1d 7426 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โˆง ยฌ ๐œ‘) โ†’ (if(๐œ‘, ๐ด, 0) + if(๐œ“, ๐ด, 0)) = (0 + if(๐œ“, ๐ด, 0)))
120108, 117, 1193eqtr4d 2780 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โˆง ยฌ ๐œ‘) โ†’ (if((๐œ‘ โŠป ๐œ“), ๐ด, 0) + if((๐œ‘ โˆง ๐œ“), (2 ยท ๐ด), 0)) = (if(๐œ‘, ๐ด, 0) + if(๐œ“, ๐ด, 0)))
121103, 120pm2.61dan 809 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โ†’ (if((๐œ‘ โŠป ๐œ“), ๐ด, 0) + if((๐œ‘ โˆง ๐œ“), (2 ยท ๐ด), 0)) = (if(๐œ‘, ๐ด, 0) + if(๐œ“, ๐ด, 0)))
122 had0 1603 . . . . . . 7 (ยฌ ๐œ’ โ†’ (hadd(๐œ’, ๐œ‘, ๐œ“) โ†” (๐œ‘ โŠป ๐œ“)))
12372, 122bitr3id 284 . . . . . 6 (ยฌ ๐œ’ โ†’ (hadd(๐œ‘, ๐œ“, ๐œ’) โ†” (๐œ‘ โŠป ๐œ“)))
124123adantl 480 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โ†’ (hadd(๐œ‘, ๐œ“, ๐œ’) โ†” (๐œ‘ โŠป ๐œ“)))
125124ifbid 4550 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โ†’ if(hadd(๐œ‘, ๐œ“, ๐œ’), ๐ด, 0) = if((๐œ‘ โŠป ๐œ“), ๐ด, 0))
126 cad0 1617 . . . . . 6 (ยฌ ๐œ’ โ†’ (cadd(๐œ‘, ๐œ“, ๐œ’) โ†” (๐œ‘ โˆง ๐œ“)))
127126adantl 480 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โ†’ (cadd(๐œ‘, ๐œ“, ๐œ’) โ†” (๐œ‘ โˆง ๐œ“)))
128127ifbid 4550 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โ†’ if(cadd(๐œ‘, ๐œ“, ๐œ’), (2 ยท ๐ด), 0) = if((๐œ‘ โˆง ๐œ“), (2 ยท ๐ด), 0))
129125, 128oveq12d 7429 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โ†’ (if(hadd(๐œ‘, ๐œ“, ๐œ’), ๐ด, 0) + if(cadd(๐œ‘, ๐œ“, ๐œ’), (2 ยท ๐ด), 0)) = (if((๐œ‘ โŠป ๐œ“), ๐ด, 0) + if((๐œ‘ โˆง ๐œ“), (2 ยท ๐ด), 0)))
130 iffalse 4536 . . . . 5 (ยฌ ๐œ’ โ†’ if(๐œ’, ๐ด, 0) = 0)
131130oveq2d 7427 . . . 4 (ยฌ ๐œ’ โ†’ ((if(๐œ‘, ๐ด, 0) + if(๐œ“, ๐ด, 0)) + if(๐œ’, ๐ด, 0)) = ((if(๐œ‘, ๐ด, 0) + if(๐œ“, ๐ด, 0)) + 0))
132 ifcl 4572 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โˆˆ โ„‚) โ†’ if(๐œ‘, ๐ด, 0) โˆˆ โ„‚)
1331, 132mpan2 687 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ if(๐œ‘, ๐ด, 0) โˆˆ โ„‚)
134133, 3addcld 11237 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (if(๐œ‘, ๐ด, 0) + if(๐œ“, ๐ด, 0)) โˆˆ โ„‚)
135134addridd 11418 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((if(๐œ‘, ๐ด, 0) + if(๐œ“, ๐ด, 0)) + 0) = (if(๐œ‘, ๐ด, 0) + if(๐œ“, ๐ด, 0)))
136131, 135sylan9eqr 2792 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โ†’ ((if(๐œ‘, ๐ด, 0) + if(๐œ“, ๐ด, 0)) + if(๐œ’, ๐ด, 0)) = (if(๐œ‘, ๐ด, 0) + if(๐œ“, ๐ด, 0)))
137121, 129, 1363eqtr4d 2780 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โ†’ (if(hadd(๐œ‘, ๐œ“, ๐œ’), ๐ด, 0) + if(cadd(๐œ‘, ๐œ“, ๐œ’), (2 ยท ๐ด), 0)) = ((if(๐œ‘, ๐ด, 0) + if(๐œ“, ๐ด, 0)) + if(๐œ’, ๐ด, 0)))
13884, 137pm2.61dan 809 1 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (if(hadd(๐œ‘, ๐œ“, ๐œ’), ๐ด, 0) + if(cadd(๐œ‘, ๐œ“, ๐œ’), (2 ยท ๐ด), 0)) = ((if(๐œ‘, ๐ด, 0) + if(๐œ“, ๐ด, 0)) + if(๐œ’, ๐ด, 0)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆจ wo 843   โŠป wxo 1507   = wceq 1539  haddwhad 1592  caddwcad 1605   โˆˆ wcel 2104  ifcif 4527  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  0cc0 11112   + caddc 11115   ยท cmul 11117  2c2 12271
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-xor 1508  df-tru 1542  df-fal 1552  df-had 1593  df-cad 1606  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-ltxr 11257  df-2 12279
This theorem is referenced by:  sadadd2lem  16404
  Copyright terms: Public domain W3C validator