Theorem sadadd2lem2 16330

Description: The core of the proof of sadadd2 16340. The intuitive justification for this is that cadd is true if at least two arguments are true, and hadd is true if an odd number of arguments are true, so altogether the result is 𝑛 · 𝐴 where 𝑛 is the number of true arguments, which is equivalently obtained by adding together one 𝐴 for each true argument, on the right side. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
sadadd2lem2	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (if(hadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), 𝐴, 0) + if(cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), (2 · 𝐴), 0)) = ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + if(𝜒, 𝐴, 0)))

Proof of Theorem sadadd2lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 11147	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℂ
2		ifcl 4531	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → if(𝜓, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
3	1, 2	mpan2 689	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → if(𝜓, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
4	3	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → if(𝜓, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
5		simpll 765	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → 𝐴 ∈ ℂ)
6	4, 5, 5	add12d 11381	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → (if(𝜓, 𝐴, 0) + (𝐴 + 𝐴)) = (𝐴 + (if(𝜓, 𝐴, 0) + 𝐴)))
7	5, 4, 5	addassd 11177	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → ((𝐴 + if(𝜓, 𝐴, 0)) + 𝐴) = (𝐴 + (if(𝜓, 𝐴, 0) + 𝐴)))
8	6, 7	eqtr4d 2779	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → (if(𝜓, 𝐴, 0) + (𝐴 + 𝐴)) = ((𝐴 + if(𝜓, 𝐴, 0)) + 𝐴))
9		pm5.501 366	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ (𝜑 ↔ 𝜓)))
10	9	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → (𝜓 ↔ (𝜑 ↔ 𝜓)))
11	10	bicomd 222	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → ((𝜑 ↔ 𝜓) ↔ 𝜓))
12	11	ifbid 4509	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → if((𝜑 ↔ 𝜓), 𝐴, 0) = if(𝜓, 𝐴, 0))
13		animorrl 979	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → (𝜑 ∨ 𝜓))
14		iftrue 4492	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∨ 𝜓) → if((𝜑 ∨ 𝜓), (2 · 𝐴), 0) = (2 · 𝐴))
15	13, 14	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → if((𝜑 ∨ 𝜓), (2 · 𝐴), 0) = (2 · 𝐴))
16	5	2timesd 12396	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
17	15, 16	eqtrd 2776	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → if((𝜑 ∨ 𝜓), (2 · 𝐴), 0) = (𝐴 + 𝐴))
18	12, 17	oveq12d 7375	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → (if((𝜑 ↔ 𝜓), 𝐴, 0) + if((𝜑 ∨ 𝜓), (2 · 𝐴), 0)) = (if(𝜓, 𝐴, 0) + (𝐴 + 𝐴)))
19		iftrue 4492	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → if(𝜑, 𝐴, 0) = 𝐴)
20	19	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → if(𝜑, 𝐴, 0) = 𝐴)
21	20	oveq1d 7372	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → (if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) = (𝐴 + if(𝜓, 𝐴, 0)))
22	21	oveq1d 7372	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + 𝐴) = ((𝐴 + if(𝜓, 𝐴, 0)) + 𝐴))
23	8, 18, 22	3eqtr4d 2786	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → (if((𝜑 ↔ 𝜓), 𝐴, 0) + if((𝜑 ∨ 𝜓), (2 · 𝐴), 0)) = ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + 𝐴))
24		iffalse 4495	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝜑 → if(𝜑, 𝐴, 0) = 0)
25	24	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → if(𝜑, 𝐴, 0) = 0)
26	25	oveq1d 7372	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) = (0 + if(𝜓, 𝐴, 0)))
27	3	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → if(𝜓, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
28	27	addid2d 11356	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (0 + if(𝜓, 𝐴, 0)) = if(𝜓, 𝐴, 0))
29	26, 28	eqtrd 2776	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) = if(𝜓, 𝐴, 0))
30	29	oveq1d 7372	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + 𝐴) = (if(𝜓, 𝐴, 0) + 𝐴))
31		2cnd 12231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
32		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
33	31, 32	mulcld 11175	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
34	33	addid2d 11356	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 + (2 · 𝐴)) = (2 · 𝐴))
35		2times 12289	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
36	34, 35	eqtrd 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 + (2 · 𝐴)) = (𝐴 + 𝐴))
37	36	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜓) → (0 + (2 · 𝐴)) = (𝐴 + 𝐴))
38		iftrue 4492	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜓 → if(𝜓, 0, 𝐴) = 0)
39	38	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜓) → if(𝜓, 0, 𝐴) = 0)
40		iftrue 4492	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜓 → if(𝜓, (2 · 𝐴), 0) = (2 · 𝐴))
41	40	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜓) → if(𝜓, (2 · 𝐴), 0) = (2 · 𝐴))
42	39, 41	oveq12d 7375	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜓) → (if(𝜓, 0, 𝐴) + if(𝜓, (2 · 𝐴), 0)) = (0 + (2 · 𝐴)))
43		iftrue 4492	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜓 → if(𝜓, 𝐴, 0) = 𝐴)
44	43	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜓) → if(𝜓, 𝐴, 0) = 𝐴)
45	44	oveq1d 7372	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜓) → (if(𝜓, 𝐴, 0) + 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
46	37, 42, 45	3eqtr4d 2786	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜓) → (if(𝜓, 0, 𝐴) + if(𝜓, (2 · 𝐴), 0)) = (if(𝜓, 𝐴, 0) + 𝐴))
47		simpl 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜓) → 𝐴 ∈ ℂ)
48		0cnd 11148	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜓) → 0 ∈ ℂ)
49	47, 48	addcomd 11357	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜓) → (𝐴 + 0) = (0 + 𝐴))
50		iffalse 4495	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝜓 → if(𝜓, 0, 𝐴) = 𝐴)
51	50	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜓) → if(𝜓, 0, 𝐴) = 𝐴)
52		iffalse 4495	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝜓 → if(𝜓, (2 · 𝐴), 0) = 0)
53	52	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜓) → if(𝜓, (2 · 𝐴), 0) = 0)
54	51, 53	oveq12d 7375	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜓) → (if(𝜓, 0, 𝐴) + if(𝜓, (2 · 𝐴), 0)) = (𝐴 + 0))
55		iffalse 4495	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝜓 → if(𝜓, 𝐴, 0) = 0)
56	55	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜓) → if(𝜓, 𝐴, 0) = 0)
57	56	oveq1d 7372	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜓) → (if(𝜓, 𝐴, 0) + 𝐴) = (0 + 𝐴))
58	49, 54, 57	3eqtr4d 2786	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜓) → (if(𝜓, 0, 𝐴) + if(𝜓, (2 · 𝐴), 0)) = (if(𝜓, 𝐴, 0) + 𝐴))
59	46, 58	pm2.61dan 811	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (if(𝜓, 0, 𝐴) + if(𝜓, (2 · 𝐴), 0)) = (if(𝜓, 𝐴, 0) + 𝐴))
60	59	ad2antrr 724	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (if(𝜓, 0, 𝐴) + if(𝜓, (2 · 𝐴), 0)) = (if(𝜓, 𝐴, 0) + 𝐴))
61		ifnot 4538	. . . . . . 7 ⊢ if(¬ 𝜓, 𝐴, 0) = if(𝜓, 0, 𝐴)
62		nbn2 370	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝜑 → (¬ 𝜓 ↔ (𝜑 ↔ 𝜓)))
63	62	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (¬ 𝜓 ↔ (𝜑 ↔ 𝜓)))
64	63	ifbid 4509	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → if(¬ 𝜓, 𝐴, 0) = if((𝜑 ↔ 𝜓), 𝐴, 0))
65	61, 64	eqtr3id 2790	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → if(𝜓, 0, 𝐴) = if((𝜑 ↔ 𝜓), 𝐴, 0))
66		biorf 935	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝜑 → (𝜓 ↔ (𝜑 ∨ 𝜓)))
67	66	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (𝜓 ↔ (𝜑 ∨ 𝜓)))
68	67	ifbid 4509	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → if(𝜓, (2 · 𝐴), 0) = if((𝜑 ∨ 𝜓), (2 · 𝐴), 0))
69	65, 68	oveq12d 7375	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (if(𝜓, 0, 𝐴) + if(𝜓, (2 · 𝐴), 0)) = (if((𝜑 ↔ 𝜓), 𝐴, 0) + if((𝜑 ∨ 𝜓), (2 · 𝐴), 0)))
70	30, 60, 69	3eqtr2rd 2783	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (if((𝜑 ↔ 𝜓), 𝐴, 0) + if((𝜑 ∨ 𝜓), (2 · 𝐴), 0)) = ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + 𝐴))
71	23, 70	pm2.61dan 811	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) → (if((𝜑 ↔ 𝜓), 𝐴, 0) + if((𝜑 ∨ 𝜓), (2 · 𝐴), 0)) = ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + 𝐴))
72		hadrot 1602	. . . . . . 7 ⊢ (hadd(𝜒, 𝜑, 𝜓) ↔ hadd(𝜑, 𝜓, 𝜒))
73		had1 1604	. . . . . . 7 ⊢ (𝜒 → (hadd(𝜒, 𝜑, 𝜓) ↔ (𝜑 ↔ 𝜓)))
74	72, 73	bitr3id 284	. . . . . 6 ⊢ (𝜒 → (hadd(𝜑, 𝜓, 𝜒) ↔ (𝜑 ↔ 𝜓)))
75	74	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) → (hadd(𝜑, 𝜓, 𝜒) ↔ (𝜑 ↔ 𝜓)))
76	75	ifbid 4509	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) → if(hadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), 𝐴, 0) = if((𝜑 ↔ 𝜓), 𝐴, 0))
77		cad1 1618	. . . . . 6 ⊢ (𝜒 → (cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒) ↔ (𝜑 ∨ 𝜓)))
78	77	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) → (cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒) ↔ (𝜑 ∨ 𝜓)))
79	78	ifbid 4509	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) → if(cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), (2 · 𝐴), 0) = if((𝜑 ∨ 𝜓), (2 · 𝐴), 0))
80	76, 79	oveq12d 7375	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) → (if(hadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), 𝐴, 0) + if(cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), (2 · 𝐴), 0)) = (if((𝜑 ↔ 𝜓), 𝐴, 0) + if((𝜑 ∨ 𝜓), (2 · 𝐴), 0)))
81		iftrue 4492	. . . . 5 ⊢ (𝜒 → if(𝜒, 𝐴, 0) = 𝐴)
82	81	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) → if(𝜒, 𝐴, 0) = 𝐴)
83	82	oveq2d 7373	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) → ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + if(𝜒, 𝐴, 0)) = ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + 𝐴))
84	71, 80, 83	3eqtr4d 2786	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) → (if(hadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), 𝐴, 0) + if(cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), (2 · 𝐴), 0)) = ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + if(𝜒, 𝐴, 0)))
85	19	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ 𝜑) → if(𝜑, 𝐴, 0) = 𝐴)
86	85	oveq1d 7372	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ 𝜑) → (if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) = (𝐴 + if(𝜓, 𝐴, 0)))
87	44	oveq2d 7373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜓) → (𝐴 + if(𝜓, 𝐴, 0)) = (𝐴 + 𝐴))
88	37, 42, 87	3eqtr4d 2786	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜓) → (if(𝜓, 0, 𝐴) + if(𝜓, (2 · 𝐴), 0)) = (𝐴 + if(𝜓, 𝐴, 0)))
89	53, 56	eqtr4d 2779	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜓) → if(𝜓, (2 · 𝐴), 0) = if(𝜓, 𝐴, 0))
90	51, 89	oveq12d 7375	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜓) → (if(𝜓, 0, 𝐴) + if(𝜓, (2 · 𝐴), 0)) = (𝐴 + if(𝜓, 𝐴, 0)))
91	88, 90	pm2.61dan 811	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (if(𝜓, 0, 𝐴) + if(𝜓, (2 · 𝐴), 0)) = (𝐴 + if(𝜓, 𝐴, 0)))
92	91	ad2antrr 724	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ 𝜑) → (if(𝜓, 0, 𝐴) + if(𝜓, (2 · 𝐴), 0)) = (𝐴 + if(𝜓, 𝐴, 0)))
93	9	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ 𝜑) → (𝜓 ↔ (𝜑 ↔ 𝜓)))
94	93	notbid 317	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ 𝜑) → (¬ 𝜓 ↔ ¬ (𝜑 ↔ 𝜓)))
95		df-xor 1510	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ⊻ 𝜓) ↔ ¬ (𝜑 ↔ 𝜓))
96	94, 95	bitr4di 288	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ 𝜑) → (¬ 𝜓 ↔ (𝜑 ⊻ 𝜓)))
97	96	ifbid 4509	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ 𝜑) → if(¬ 𝜓, 𝐴, 0) = if((𝜑 ⊻ 𝜓), 𝐴, 0))
98	61, 97	eqtr3id 2790	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ 𝜑) → if(𝜓, 0, 𝐴) = if((𝜑 ⊻ 𝜓), 𝐴, 0))
99		ibar 529	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ (𝜑 ∧ 𝜓)))
100	99	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ 𝜑) → (𝜓 ↔ (𝜑 ∧ 𝜓)))
101	100	ifbid 4509	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ 𝜑) → if(𝜓, (2 · 𝐴), 0) = if((𝜑 ∧ 𝜓), (2 · 𝐴), 0))
102	98, 101	oveq12d 7375	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ 𝜑) → (if(𝜓, 0, 𝐴) + if(𝜓, (2 · 𝐴), 0)) = (if((𝜑 ⊻ 𝜓), 𝐴, 0) + if((𝜑 ∧ 𝜓), (2 · 𝐴), 0)))
103	86, 92, 102	3eqtr2rd 2783	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ 𝜑) → (if((𝜑 ⊻ 𝜓), 𝐴, 0) + if((𝜑 ∧ 𝜓), (2 · 𝐴), 0)) = (if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)))
104		simplll 773	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) ∧ 𝜓) → 𝐴 ∈ ℂ)
105		0cnd 11148	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) ∧ ¬ 𝜓) → 0 ∈ ℂ)
106	104, 105	ifclda 4521	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → if(𝜓, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
107		0cnd 11148	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → 0 ∈ ℂ)
108	106, 107	addcomd 11357	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (if(𝜓, 𝐴, 0) + 0) = (0 + if(𝜓, 𝐴, 0)))
109	62	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (¬ 𝜓 ↔ (𝜑 ↔ 𝜓)))
110	109	con1bid 355	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (¬ (𝜑 ↔ 𝜓) ↔ 𝜓))
111	95, 110	bitrid 282	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → ((𝜑 ⊻ 𝜓) ↔ 𝜓))
112	111	ifbid 4509	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → if((𝜑 ⊻ 𝜓), 𝐴, 0) = if(𝜓, 𝐴, 0))
113		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → ¬ 𝜑)
114	113	intnanrd 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → ¬ (𝜑 ∧ 𝜓))
115		iffalse 4495	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝜑 ∧ 𝜓) → if((𝜑 ∧ 𝜓), (2 · 𝐴), 0) = 0)
116	114, 115	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → if((𝜑 ∧ 𝜓), (2 · 𝐴), 0) = 0)
117	112, 116	oveq12d 7375	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (if((𝜑 ⊻ 𝜓), 𝐴, 0) + if((𝜑 ∧ 𝜓), (2 · 𝐴), 0)) = (if(𝜓, 𝐴, 0) + 0))
118	24	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → if(𝜑, 𝐴, 0) = 0)
119	118	oveq1d 7372	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) = (0 + if(𝜓, 𝐴, 0)))
120	108, 117, 119	3eqtr4d 2786	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (if((𝜑 ⊻ 𝜓), 𝐴, 0) + if((𝜑 ∧ 𝜓), (2 · 𝐴), 0)) = (if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)))
121	103, 120	pm2.61dan 811	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) → (if((𝜑 ⊻ 𝜓), 𝐴, 0) + if((𝜑 ∧ 𝜓), (2 · 𝐴), 0)) = (if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)))
122		had0 1605	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝜒 → (hadd(𝜒, 𝜑, 𝜓) ↔ (𝜑 ⊻ 𝜓)))
123	72, 122	bitr3id 284	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝜒 → (hadd(𝜑, 𝜓, 𝜒) ↔ (𝜑 ⊻ 𝜓)))
124	123	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) → (hadd(𝜑, 𝜓, 𝜒) ↔ (𝜑 ⊻ 𝜓)))
125	124	ifbid 4509	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) → if(hadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), 𝐴, 0) = if((𝜑 ⊻ 𝜓), 𝐴, 0))
126		cad0 1619	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝜒 → (cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒) ↔ (𝜑 ∧ 𝜓)))
127	126	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) → (cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒) ↔ (𝜑 ∧ 𝜓)))
128	127	ifbid 4509	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) → if(cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), (2 · 𝐴), 0) = if((𝜑 ∧ 𝜓), (2 · 𝐴), 0))
129	125, 128	oveq12d 7375	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) → (if(hadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), 𝐴, 0) + if(cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), (2 · 𝐴), 0)) = (if((𝜑 ⊻ 𝜓), 𝐴, 0) + if((𝜑 ∧ 𝜓), (2 · 𝐴), 0)))
130		iffalse 4495	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝜒 → if(𝜒, 𝐴, 0) = 0)
131	130	oveq2d 7373	. . . 4 ⊢ (¬ 𝜒 → ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + if(𝜒, 𝐴, 0)) = ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + 0))
132		ifcl 4531	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → if(𝜑, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
133	1, 132	mpan2 689	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → if(𝜑, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
134	133, 3	addcld 11174	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) ∈ ℂ)
135	134	addid1d 11355	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + 0) = (if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)))
136	131, 135	sylan9eqr 2798	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) → ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + if(𝜒, 𝐴, 0)) = (if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)))
137	121, 129, 136	3eqtr4d 2786	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) → (if(hadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), 𝐴, 0) + if(cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), (2 · 𝐴), 0)) = ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + if(𝜒, 𝐴, 0)))
138	84, 137	pm2.61dan 811	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (if(hadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), 𝐴, 0) + if(cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), (2 · 𝐴), 0)) = ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + if(𝜒, 𝐴, 0)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ⊻ wxo 1509   = wceq 1541  haddwhad 1594  caddwcad 1607   ∈ wcel 2106  ifcif 4486  (class class class)co 7357  ℂcc 11049  0cc0 11051   + caddc 11054   · cmul 11056  2c2 12208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1510  df-tru 1544  df-fal 1554  df-had 1595  df-cad 1608  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-po 5545  df-so 5546  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-ov 7360  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-ltxr 11194  df-2 12216

This theorem is referenced by:  sadadd2lem  16339