MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sadadd2lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sadadd2lem2 16391
Description: The core of the proof of sadadd2 16401. The intuitive justification for this is that cadd is true if at least two arguments are true, and hadd is true if an odd number of arguments are true, so altogether the result is ๐‘› ยท ๐ด where ๐‘› is the number of true arguments, which is equivalently obtained by adding together one ๐ด for each true argument, on the right side. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
sadadd2lem2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (if(hadd(๐œ‘, ๐œ“, ๐œ’), ๐ด, 0) + if(cadd(๐œ‘, ๐œ“, ๐œ’), (2 ยท ๐ด), 0)) = ((if(๐œ‘, ๐ด, 0) + if(๐œ“, ๐ด, 0)) + if(๐œ’, ๐ด, 0)))

Proof of Theorem sadadd2lem2
StepHypRef Expression
1 0cn 11206 . . . . . . . . 9 0 โˆˆ โ„‚
2 ifcl 4574 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โˆˆ โ„‚) โ†’ if(๐œ“, ๐ด, 0) โˆˆ โ„‚)
31, 2mpan2 690 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ if(๐œ“, ๐ด, 0) โˆˆ โ„‚)
43ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ๐œ‘) โ†’ if(๐œ“, ๐ด, 0) โˆˆ โ„‚)
5 simpll 766 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ๐œ‘) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
64, 5, 5add12d 11440 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ๐œ‘) โ†’ (if(๐œ“, ๐ด, 0) + (๐ด + ๐ด)) = (๐ด + (if(๐œ“, ๐ด, 0) + ๐ด)))
75, 4, 5addassd 11236 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ๐œ‘) โ†’ ((๐ด + if(๐œ“, ๐ด, 0)) + ๐ด) = (๐ด + (if(๐œ“, ๐ด, 0) + ๐ด)))
86, 7eqtr4d 2776 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ๐œ‘) โ†’ (if(๐œ“, ๐ด, 0) + (๐ด + ๐ด)) = ((๐ด + if(๐œ“, ๐ด, 0)) + ๐ด))
9 pm5.501 367 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐œ“ โ†” (๐œ‘ โ†” ๐œ“)))
109adantl 483 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ๐œ‘) โ†’ (๐œ“ โ†” (๐œ‘ โ†” ๐œ“)))
1110bicomd 222 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ๐œ‘) โ†’ ((๐œ‘ โ†” ๐œ“) โ†” ๐œ“))
1211ifbid 4552 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ๐œ‘) โ†’ if((๐œ‘ โ†” ๐œ“), ๐ด, 0) = if(๐œ“, ๐ด, 0))
13 animorrl 980 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ๐œ‘) โ†’ (๐œ‘ โˆจ ๐œ“))
14 iftrue 4535 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆจ ๐œ“) โ†’ if((๐œ‘ โˆจ ๐œ“), (2 ยท ๐ด), 0) = (2 ยท ๐ด))
1513, 14syl 17 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ๐œ‘) โ†’ if((๐œ‘ โˆจ ๐œ“), (2 ยท ๐ด), 0) = (2 ยท ๐ด))
1652timesd 12455 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ๐œ‘) โ†’ (2 ยท ๐ด) = (๐ด + ๐ด))
1715, 16eqtrd 2773 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ๐œ‘) โ†’ if((๐œ‘ โˆจ ๐œ“), (2 ยท ๐ด), 0) = (๐ด + ๐ด))
1812, 17oveq12d 7427 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ๐œ‘) โ†’ (if((๐œ‘ โ†” ๐œ“), ๐ด, 0) + if((๐œ‘ โˆจ ๐œ“), (2 ยท ๐ด), 0)) = (if(๐œ“, ๐ด, 0) + (๐ด + ๐ด)))
19 iftrue 4535 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ if(๐œ‘, ๐ด, 0) = ๐ด)
2019adantl 483 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ๐œ‘) โ†’ if(๐œ‘, ๐ด, 0) = ๐ด)
2120oveq1d 7424 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ๐œ‘) โ†’ (if(๐œ‘, ๐ด, 0) + if(๐œ“, ๐ด, 0)) = (๐ด + if(๐œ“, ๐ด, 0)))
2221oveq1d 7424 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ๐œ‘) โ†’ ((if(๐œ‘, ๐ด, 0) + if(๐œ“, ๐ด, 0)) + ๐ด) = ((๐ด + if(๐œ“, ๐ด, 0)) + ๐ด))
238, 18, 223eqtr4d 2783 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ๐œ‘) โ†’ (if((๐œ‘ โ†” ๐œ“), ๐ด, 0) + if((๐œ‘ โˆจ ๐œ“), (2 ยท ๐ด), 0)) = ((if(๐œ‘, ๐ด, 0) + if(๐œ“, ๐ด, 0)) + ๐ด))
24 iffalse 4538 . . . . . . . . 9 (ยฌ ๐œ‘ โ†’ if(๐œ‘, ๐ด, 0) = 0)
2524adantl 483 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ยฌ ๐œ‘) โ†’ if(๐œ‘, ๐ด, 0) = 0)
2625oveq1d 7424 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ยฌ ๐œ‘) โ†’ (if(๐œ‘, ๐ด, 0) + if(๐œ“, ๐ด, 0)) = (0 + if(๐œ“, ๐ด, 0)))
273ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ยฌ ๐œ‘) โ†’ if(๐œ“, ๐ด, 0) โˆˆ โ„‚)
2827addlidd 11415 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ยฌ ๐œ‘) โ†’ (0 + if(๐œ“, ๐ด, 0)) = if(๐œ“, ๐ด, 0))
2926, 28eqtrd 2773 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ยฌ ๐œ‘) โ†’ (if(๐œ‘, ๐ด, 0) + if(๐œ“, ๐ด, 0)) = if(๐œ“, ๐ด, 0))
3029oveq1d 7424 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ยฌ ๐œ‘) โ†’ ((if(๐œ‘, ๐ด, 0) + if(๐œ“, ๐ด, 0)) + ๐ด) = (if(๐œ“, ๐ด, 0) + ๐ด))
31 2cnd 12290 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
32 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3331, 32mulcld 11234 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
3433addlidd 11415 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (0 + (2 ยท ๐ด)) = (2 ยท ๐ด))
35 2times 12348 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (2 ยท ๐ด) = (๐ด + ๐ด))
3634, 35eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (0 + (2 ยท ๐ด)) = (๐ด + ๐ด))
3736adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ“) โ†’ (0 + (2 ยท ๐ด)) = (๐ด + ๐ด))
38 iftrue 4535 . . . . . . . . . 10 (๐œ“ โ†’ if(๐œ“, 0, ๐ด) = 0)
3938adantl 483 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ“) โ†’ if(๐œ“, 0, ๐ด) = 0)
40 iftrue 4535 . . . . . . . . . 10 (๐œ“ โ†’ if(๐œ“, (2 ยท ๐ด), 0) = (2 ยท ๐ด))
4140adantl 483 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ“) โ†’ if(๐œ“, (2 ยท ๐ด), 0) = (2 ยท ๐ด))
4239, 41oveq12d 7427 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ“) โ†’ (if(๐œ“, 0, ๐ด) + if(๐œ“, (2 ยท ๐ด), 0)) = (0 + (2 ยท ๐ด)))
43 iftrue 4535 . . . . . . . . . 10 (๐œ“ โ†’ if(๐œ“, ๐ด, 0) = ๐ด)
4443adantl 483 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ“) โ†’ if(๐œ“, ๐ด, 0) = ๐ด)
4544oveq1d 7424 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ“) โ†’ (if(๐œ“, ๐ด, 0) + ๐ด) = (๐ด + ๐ด))
4637, 42, 453eqtr4d 2783 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ“) โ†’ (if(๐œ“, 0, ๐ด) + if(๐œ“, (2 ยท ๐ด), 0)) = (if(๐œ“, ๐ด, 0) + ๐ด))
47 simpl 484 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ“) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
48 0cnd 11207 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ“) โ†’ 0 โˆˆ โ„‚)
4947, 48addcomd 11416 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ“) โ†’ (๐ด + 0) = (0 + ๐ด))
50 iffalse 4538 . . . . . . . . . 10 (ยฌ ๐œ“ โ†’ if(๐œ“, 0, ๐ด) = ๐ด)
5150adantl 483 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ“) โ†’ if(๐œ“, 0, ๐ด) = ๐ด)
52 iffalse 4538 . . . . . . . . . 10 (ยฌ ๐œ“ โ†’ if(๐œ“, (2 ยท ๐ด), 0) = 0)
5352adantl 483 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ“) โ†’ if(๐œ“, (2 ยท ๐ด), 0) = 0)
5451, 53oveq12d 7427 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ“) โ†’ (if(๐œ“, 0, ๐ด) + if(๐œ“, (2 ยท ๐ด), 0)) = (๐ด + 0))
55 iffalse 4538 . . . . . . . . . 10 (ยฌ ๐œ“ โ†’ if(๐œ“, ๐ด, 0) = 0)
5655adantl 483 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ“) โ†’ if(๐œ“, ๐ด, 0) = 0)
5756oveq1d 7424 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ“) โ†’ (if(๐œ“, ๐ด, 0) + ๐ด) = (0 + ๐ด))
5849, 54, 573eqtr4d 2783 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ“) โ†’ (if(๐œ“, 0, ๐ด) + if(๐œ“, (2 ยท ๐ด), 0)) = (if(๐œ“, ๐ด, 0) + ๐ด))
5946, 58pm2.61dan 812 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (if(๐œ“, 0, ๐ด) + if(๐œ“, (2 ยท ๐ด), 0)) = (if(๐œ“, ๐ด, 0) + ๐ด))
6059ad2antrr 725 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ยฌ ๐œ‘) โ†’ (if(๐œ“, 0, ๐ด) + if(๐œ“, (2 ยท ๐ด), 0)) = (if(๐œ“, ๐ด, 0) + ๐ด))
61 ifnot 4581 . . . . . . 7 if(ยฌ ๐œ“, ๐ด, 0) = if(๐œ“, 0, ๐ด)
62 nbn2 371 . . . . . . . . 9 (ยฌ ๐œ‘ โ†’ (ยฌ ๐œ“ โ†” (๐œ‘ โ†” ๐œ“)))
6362adantl 483 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ยฌ ๐œ‘) โ†’ (ยฌ ๐œ“ โ†” (๐œ‘ โ†” ๐œ“)))
6463ifbid 4552 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ยฌ ๐œ‘) โ†’ if(ยฌ ๐œ“, ๐ด, 0) = if((๐œ‘ โ†” ๐œ“), ๐ด, 0))
6561, 64eqtr3id 2787 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ยฌ ๐œ‘) โ†’ if(๐œ“, 0, ๐ด) = if((๐œ‘ โ†” ๐œ“), ๐ด, 0))
66 biorf 936 . . . . . . . 8 (ยฌ ๐œ‘ โ†’ (๐œ“ โ†” (๐œ‘ โˆจ ๐œ“)))
6766adantl 483 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ยฌ ๐œ‘) โ†’ (๐œ“ โ†” (๐œ‘ โˆจ ๐œ“)))
6867ifbid 4552 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ยฌ ๐œ‘) โ†’ if(๐œ“, (2 ยท ๐ด), 0) = if((๐œ‘ โˆจ ๐œ“), (2 ยท ๐ด), 0))
6965, 68oveq12d 7427 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ยฌ ๐œ‘) โ†’ (if(๐œ“, 0, ๐ด) + if(๐œ“, (2 ยท ๐ด), 0)) = (if((๐œ‘ โ†” ๐œ“), ๐ด, 0) + if((๐œ‘ โˆจ ๐œ“), (2 ยท ๐ด), 0)))
7030, 60, 693eqtr2rd 2780 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โˆง ยฌ ๐œ‘) โ†’ (if((๐œ‘ โ†” ๐œ“), ๐ด, 0) + if((๐œ‘ โˆจ ๐œ“), (2 ยท ๐ด), 0)) = ((if(๐œ‘, ๐ด, 0) + if(๐œ“, ๐ด, 0)) + ๐ด))
7123, 70pm2.61dan 812 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โ†’ (if((๐œ‘ โ†” ๐œ“), ๐ด, 0) + if((๐œ‘ โˆจ ๐œ“), (2 ยท ๐ด), 0)) = ((if(๐œ‘, ๐ด, 0) + if(๐œ“, ๐ด, 0)) + ๐ด))
72 hadrot 1603 . . . . . . 7 (hadd(๐œ’, ๐œ‘, ๐œ“) โ†” hadd(๐œ‘, ๐œ“, ๐œ’))
73 had1 1605 . . . . . . 7 (๐œ’ โ†’ (hadd(๐œ’, ๐œ‘, ๐œ“) โ†” (๐œ‘ โ†” ๐œ“)))
7472, 73bitr3id 285 . . . . . 6 (๐œ’ โ†’ (hadd(๐œ‘, ๐œ“, ๐œ’) โ†” (๐œ‘ โ†” ๐œ“)))
7574adantl 483 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โ†’ (hadd(๐œ‘, ๐œ“, ๐œ’) โ†” (๐œ‘ โ†” ๐œ“)))
7675ifbid 4552 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โ†’ if(hadd(๐œ‘, ๐œ“, ๐œ’), ๐ด, 0) = if((๐œ‘ โ†” ๐œ“), ๐ด, 0))
77 cad1 1619 . . . . . 6 (๐œ’ โ†’ (cadd(๐œ‘, ๐œ“, ๐œ’) โ†” (๐œ‘ โˆจ ๐œ“)))
7877adantl 483 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โ†’ (cadd(๐œ‘, ๐œ“, ๐œ’) โ†” (๐œ‘ โˆจ ๐œ“)))
7978ifbid 4552 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โ†’ if(cadd(๐œ‘, ๐œ“, ๐œ’), (2 ยท ๐ด), 0) = if((๐œ‘ โˆจ ๐œ“), (2 ยท ๐ด), 0))
8076, 79oveq12d 7427 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โ†’ (if(hadd(๐œ‘, ๐œ“, ๐œ’), ๐ด, 0) + if(cadd(๐œ‘, ๐œ“, ๐œ’), (2 ยท ๐ด), 0)) = (if((๐œ‘ โ†” ๐œ“), ๐ด, 0) + if((๐œ‘ โˆจ ๐œ“), (2 ยท ๐ด), 0)))
81 iftrue 4535 . . . . 5 (๐œ’ โ†’ if(๐œ’, ๐ด, 0) = ๐ด)
8281adantl 483 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โ†’ if(๐œ’, ๐ด, 0) = ๐ด)
8382oveq2d 7425 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โ†’ ((if(๐œ‘, ๐ด, 0) + if(๐œ“, ๐ด, 0)) + if(๐œ’, ๐ด, 0)) = ((if(๐œ‘, ๐ด, 0) + if(๐œ“, ๐ด, 0)) + ๐ด))
8471, 80, 833eqtr4d 2783 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ’) โ†’ (if(hadd(๐œ‘, ๐œ“, ๐œ’), ๐ด, 0) + if(cadd(๐œ‘, ๐œ“, ๐œ’), (2 ยท ๐ด), 0)) = ((if(๐œ‘, ๐ด, 0) + if(๐œ“, ๐ด, 0)) + if(๐œ’, ๐ด, 0)))
8519adantl 483 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โˆง ๐œ‘) โ†’ if(๐œ‘, ๐ด, 0) = ๐ด)
8685oveq1d 7424 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โˆง ๐œ‘) โ†’ (if(๐œ‘, ๐ด, 0) + if(๐œ“, ๐ด, 0)) = (๐ด + if(๐œ“, ๐ด, 0)))
8744oveq2d 7425 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐ด + if(๐œ“, ๐ด, 0)) = (๐ด + ๐ด))
8837, 42, 873eqtr4d 2783 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ“) โ†’ (if(๐œ“, 0, ๐ด) + if(๐œ“, (2 ยท ๐ด), 0)) = (๐ด + if(๐œ“, ๐ด, 0)))
8953, 56eqtr4d 2776 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ“) โ†’ if(๐œ“, (2 ยท ๐ด), 0) = if(๐œ“, ๐ด, 0))
9051, 89oveq12d 7427 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ“) โ†’ (if(๐œ“, 0, ๐ด) + if(๐œ“, (2 ยท ๐ด), 0)) = (๐ด + if(๐œ“, ๐ด, 0)))
9188, 90pm2.61dan 812 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (if(๐œ“, 0, ๐ด) + if(๐œ“, (2 ยท ๐ด), 0)) = (๐ด + if(๐œ“, ๐ด, 0)))
9291ad2antrr 725 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โˆง ๐œ‘) โ†’ (if(๐œ“, 0, ๐ด) + if(๐œ“, (2 ยท ๐ด), 0)) = (๐ด + if(๐œ“, ๐ด, 0)))
939adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โˆง ๐œ‘) โ†’ (๐œ“ โ†” (๐œ‘ โ†” ๐œ“)))
9493notbid 318 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โˆง ๐œ‘) โ†’ (ยฌ ๐œ“ โ†” ยฌ (๐œ‘ โ†” ๐œ“)))
95 df-xor 1511 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โŠป ๐œ“) โ†” ยฌ (๐œ‘ โ†” ๐œ“))
9694, 95bitr4di 289 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โˆง ๐œ‘) โ†’ (ยฌ ๐œ“ โ†” (๐œ‘ โŠป ๐œ“)))
9796ifbid 4552 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โˆง ๐œ‘) โ†’ if(ยฌ ๐œ“, ๐ด, 0) = if((๐œ‘ โŠป ๐œ“), ๐ด, 0))
9861, 97eqtr3id 2787 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โˆง ๐œ‘) โ†’ if(๐œ“, 0, ๐ด) = if((๐œ‘ โŠป ๐œ“), ๐ด, 0))
99 ibar 530 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐œ“ โ†” (๐œ‘ โˆง ๐œ“)))
10099adantl 483 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โˆง ๐œ‘) โ†’ (๐œ“ โ†” (๐œ‘ โˆง ๐œ“)))
101100ifbid 4552 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โˆง ๐œ‘) โ†’ if(๐œ“, (2 ยท ๐ด), 0) = if((๐œ‘ โˆง ๐œ“), (2 ยท ๐ด), 0))
10298, 101oveq12d 7427 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โˆง ๐œ‘) โ†’ (if(๐œ“, 0, ๐ด) + if(๐œ“, (2 ยท ๐ด), 0)) = (if((๐œ‘ โŠป ๐œ“), ๐ด, 0) + if((๐œ‘ โˆง ๐œ“), (2 ยท ๐ด), 0)))
10386, 92, 1023eqtr2rd 2780 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โˆง ๐œ‘) โ†’ (if((๐œ‘ โŠป ๐œ“), ๐ด, 0) + if((๐œ‘ โˆง ๐œ“), (2 ยท ๐ด), 0)) = (if(๐œ‘, ๐ด, 0) + if(๐œ“, ๐ด, 0)))
104 simplll 774 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โˆง ยฌ ๐œ‘) โˆง ๐œ“) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
105 0cnd 11207 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โˆง ยฌ ๐œ‘) โˆง ยฌ ๐œ“) โ†’ 0 โˆˆ โ„‚)
106104, 105ifclda 4564 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โˆง ยฌ ๐œ‘) โ†’ if(๐œ“, ๐ด, 0) โˆˆ โ„‚)
107 0cnd 11207 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โˆง ยฌ ๐œ‘) โ†’ 0 โˆˆ โ„‚)
108106, 107addcomd 11416 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โˆง ยฌ ๐œ‘) โ†’ (if(๐œ“, ๐ด, 0) + 0) = (0 + if(๐œ“, ๐ด, 0)))
10962adantl 483 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โˆง ยฌ ๐œ‘) โ†’ (ยฌ ๐œ“ โ†” (๐œ‘ โ†” ๐œ“)))
110109con1bid 356 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โˆง ยฌ ๐œ‘) โ†’ (ยฌ (๐œ‘ โ†” ๐œ“) โ†” ๐œ“))
11195, 110bitrid 283 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โˆง ยฌ ๐œ‘) โ†’ ((๐œ‘ โŠป ๐œ“) โ†” ๐œ“))
112111ifbid 4552 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โˆง ยฌ ๐œ‘) โ†’ if((๐œ‘ โŠป ๐œ“), ๐ด, 0) = if(๐œ“, ๐ด, 0))
113 simpr 486 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โˆง ยฌ ๐œ‘) โ†’ ยฌ ๐œ‘)
114113intnanrd 491 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โˆง ยฌ ๐œ‘) โ†’ ยฌ (๐œ‘ โˆง ๐œ“))
115 iffalse 4538 . . . . . . 7 (ยฌ (๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ if((๐œ‘ โˆง ๐œ“), (2 ยท ๐ด), 0) = 0)
116114, 115syl 17 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โˆง ยฌ ๐œ‘) โ†’ if((๐œ‘ โˆง ๐œ“), (2 ยท ๐ด), 0) = 0)
117112, 116oveq12d 7427 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โˆง ยฌ ๐œ‘) โ†’ (if((๐œ‘ โŠป ๐œ“), ๐ด, 0) + if((๐œ‘ โˆง ๐œ“), (2 ยท ๐ด), 0)) = (if(๐œ“, ๐ด, 0) + 0))
11824adantl 483 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โˆง ยฌ ๐œ‘) โ†’ if(๐œ‘, ๐ด, 0) = 0)
119118oveq1d 7424 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โˆง ยฌ ๐œ‘) โ†’ (if(๐œ‘, ๐ด, 0) + if(๐œ“, ๐ด, 0)) = (0 + if(๐œ“, ๐ด, 0)))
120108, 117, 1193eqtr4d 2783 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โˆง ยฌ ๐œ‘) โ†’ (if((๐œ‘ โŠป ๐œ“), ๐ด, 0) + if((๐œ‘ โˆง ๐œ“), (2 ยท ๐ด), 0)) = (if(๐œ‘, ๐ด, 0) + if(๐œ“, ๐ด, 0)))
121103, 120pm2.61dan 812 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โ†’ (if((๐œ‘ โŠป ๐œ“), ๐ด, 0) + if((๐œ‘ โˆง ๐œ“), (2 ยท ๐ด), 0)) = (if(๐œ‘, ๐ด, 0) + if(๐œ“, ๐ด, 0)))
122 had0 1606 . . . . . . 7 (ยฌ ๐œ’ โ†’ (hadd(๐œ’, ๐œ‘, ๐œ“) โ†” (๐œ‘ โŠป ๐œ“)))
12372, 122bitr3id 285 . . . . . 6 (ยฌ ๐œ’ โ†’ (hadd(๐œ‘, ๐œ“, ๐œ’) โ†” (๐œ‘ โŠป ๐œ“)))
124123adantl 483 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โ†’ (hadd(๐œ‘, ๐œ“, ๐œ’) โ†” (๐œ‘ โŠป ๐œ“)))
125124ifbid 4552 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โ†’ if(hadd(๐œ‘, ๐œ“, ๐œ’), ๐ด, 0) = if((๐œ‘ โŠป ๐œ“), ๐ด, 0))
126 cad0 1620 . . . . . 6 (ยฌ ๐œ’ โ†’ (cadd(๐œ‘, ๐œ“, ๐œ’) โ†” (๐œ‘ โˆง ๐œ“)))
127126adantl 483 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โ†’ (cadd(๐œ‘, ๐œ“, ๐œ’) โ†” (๐œ‘ โˆง ๐œ“)))
128127ifbid 4552 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โ†’ if(cadd(๐œ‘, ๐œ“, ๐œ’), (2 ยท ๐ด), 0) = if((๐œ‘ โˆง ๐œ“), (2 ยท ๐ด), 0))
129125, 128oveq12d 7427 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โ†’ (if(hadd(๐œ‘, ๐œ“, ๐œ’), ๐ด, 0) + if(cadd(๐œ‘, ๐œ“, ๐œ’), (2 ยท ๐ด), 0)) = (if((๐œ‘ โŠป ๐œ“), ๐ด, 0) + if((๐œ‘ โˆง ๐œ“), (2 ยท ๐ด), 0)))
130 iffalse 4538 . . . . 5 (ยฌ ๐œ’ โ†’ if(๐œ’, ๐ด, 0) = 0)
131130oveq2d 7425 . . . 4 (ยฌ ๐œ’ โ†’ ((if(๐œ‘, ๐ด, 0) + if(๐œ“, ๐ด, 0)) + if(๐œ’, ๐ด, 0)) = ((if(๐œ‘, ๐ด, 0) + if(๐œ“, ๐ด, 0)) + 0))
132 ifcl 4574 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โˆˆ โ„‚) โ†’ if(๐œ‘, ๐ด, 0) โˆˆ โ„‚)
1331, 132mpan2 690 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ if(๐œ‘, ๐ด, 0) โˆˆ โ„‚)
134133, 3addcld 11233 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (if(๐œ‘, ๐ด, 0) + if(๐œ“, ๐ด, 0)) โˆˆ โ„‚)
135134addridd 11414 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((if(๐œ‘, ๐ด, 0) + if(๐œ“, ๐ด, 0)) + 0) = (if(๐œ‘, ๐ด, 0) + if(๐œ“, ๐ด, 0)))
136131, 135sylan9eqr 2795 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โ†’ ((if(๐œ‘, ๐ด, 0) + if(๐œ“, ๐ด, 0)) + if(๐œ’, ๐ด, 0)) = (if(๐œ‘, ๐ด, 0) + if(๐œ“, ๐ด, 0)))
137121, 129, 1363eqtr4d 2783 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐œ’) โ†’ (if(hadd(๐œ‘, ๐œ“, ๐œ’), ๐ด, 0) + if(cadd(๐œ‘, ๐œ“, ๐œ’), (2 ยท ๐ด), 0)) = ((if(๐œ‘, ๐ด, 0) + if(๐œ“, ๐ด, 0)) + if(๐œ’, ๐ด, 0)))
13884, 137pm2.61dan 812 1 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (if(hadd(๐œ‘, ๐œ“, ๐œ’), ๐ด, 0) + if(cadd(๐œ‘, ๐œ“, ๐œ’), (2 ยท ๐ด), 0)) = ((if(๐œ‘, ๐ด, 0) + if(๐œ“, ๐ด, 0)) + if(๐œ’, ๐ด, 0)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   โŠป wxo 1510   = wceq 1542  haddwhad 1595  caddwcad 1608   โˆˆ wcel 2107  ifcif 4529  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  0cc0 11110   + caddc 11113   ยท cmul 11115  2c2 12267
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-xor 1511  df-tru 1545  df-fal 1555  df-had 1596  df-cad 1609  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-ltxr 11253  df-2 12275
This theorem is referenced by:  sadadd2lem  16400
  Copyright terms: Public domain W3C validator