Theorem sadadd2lem2 16664

Description: The core of the proof of sadadd2 16674. The intuitive justification for this is that cadd is true if at least two arguments are true, and hadd is true if an odd number of arguments are true, so altogether the result is 𝑛 · 𝐴 where 𝑛 is the number of true arguments, which is equivalently obtained by adding together one 𝐴 for each true argument, on the right side. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
sadadd2lem2	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (if(hadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), 𝐴, 0) + if(cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), (2 · 𝐴), 0)) = ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + if(𝜒, 𝐴, 0)))

Proof of Theorem sadadd2lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 11337	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℂ
2		ifcl 4531	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → if(𝜓, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
3	1, 2	mpan2 704	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → if(𝜓, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
4	3	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → if(𝜓, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
5		simpll 779	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → 𝐴 ∈ ℂ)
6	4, 5, 5	add12d 11576	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → (if(𝜓, 𝐴, 0) + (𝐴 + 𝐴)) = (𝐴 + (if(𝜓, 𝐴, 0) + 𝐴)))
7	5, 4, 5	addassd 11370	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → ((𝐴 + if(𝜓, 𝐴, 0)) + 𝐴) = (𝐴 + (if(𝜓, 𝐴, 0) + 𝐴)))
8	6, 7	eqtr4d 2801	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → (if(𝜓, 𝐴, 0) + (𝐴 + 𝐴)) = ((𝐴 + if(𝜓, 𝐴, 0)) + 𝐴))
9		pm5.501 369	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ (𝜑 ↔ 𝜓)))
10	9	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → (𝜓 ↔ (𝜑 ↔ 𝜓)))
11	10	bicomd 226	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → ((𝜑 ↔ 𝜓) ↔ 𝜓))
12	11	ifbid 4509	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → if((𝜑 ↔ 𝜓), 𝐴, 0) = if(𝜓, 𝐴, 0))
13		animorrl 996	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → (𝜑 ∨ 𝜓))
14	13	iftrued 4493	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → if((𝜑 ∨ 𝜓), (2 · 𝐴), 0) = (2 · 𝐴))
15	5	2timesd 12629	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
16	14, 15	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → if((𝜑 ∨ 𝜓), (2 · 𝐴), 0) = (𝐴 + 𝐴))
17	12, 16	oveq12d 7469	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → (if((𝜑 ↔ 𝜓), 𝐴, 0) + if((𝜑 ∨ 𝜓), (2 · 𝐴), 0)) = (if(𝜓, 𝐴, 0) + (𝐴 + 𝐴)))
18		iftrue 4491	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → if(𝜑, 𝐴, 0) = 𝐴)
19	18	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → if(𝜑, 𝐴, 0) = 𝐴)
20	19	oveq1d 7466	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → (if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) = (𝐴 + if(𝜓, 𝐴, 0)))
21	20	oveq1d 7466	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + 𝐴) = ((𝐴 + if(𝜓, 𝐴, 0)) + 𝐴))
22	8, 17, 21	3eqtr4d 2808	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → (if((𝜑 ↔ 𝜓), 𝐴, 0) + if((𝜑 ∨ 𝜓), (2 · 𝐴), 0)) = ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + 𝐴))
23		iffalse 4494	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝜑 → if(𝜑, 𝐴, 0) = 0)
24	23	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → if(𝜑, 𝐴, 0) = 0)
25	24	oveq1d 7466	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) = (0 + if(𝜓, 𝐴, 0)))
26	3	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → if(𝜓, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
27	26	addlidd 11550	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (0 + if(𝜓, 𝐴, 0)) = if(𝜓, 𝐴, 0))
28	25, 27	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) = if(𝜓, 𝐴, 0))
29	28	oveq1d 7466	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + 𝐴) = (if(𝜓, 𝐴, 0) + 𝐴))
30		2cnd 12461	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
31		id 23	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
32	30, 31	mulcld 11368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
33	32	addlidd 11550	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 + (2 · 𝐴)) = (2 · 𝐴))
34		2times 12518	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
35	33, 34	eqtrd 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 + (2 · 𝐴)) = (𝐴 + 𝐴))
36	35	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜓) → (0 + (2 · 𝐴)) = (𝐴 + 𝐴))
37		iftrue 4491	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜓 → if(𝜓, 0, 𝐴) = 0)
38	37	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜓) → if(𝜓, 0, 𝐴) = 0)
39		iftrue 4491	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜓 → if(𝜓, (2 · 𝐴), 0) = (2 · 𝐴))
40	39	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜓) → if(𝜓, (2 · 𝐴), 0) = (2 · 𝐴))
41	38, 40	oveq12d 7469	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜓) → (if(𝜓, 0, 𝐴) + if(𝜓, (2 · 𝐴), 0)) = (0 + (2 · 𝐴)))
42		iftrue 4491	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜓 → if(𝜓, 𝐴, 0) = 𝐴)
43	42	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜓) → if(𝜓, 𝐴, 0) = 𝐴)
44	43	oveq1d 7466	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜓) → (if(𝜓, 𝐴, 0) + 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
45	36, 41, 44	3eqtr4d 2808	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜓) → (if(𝜓, 0, 𝐴) + if(𝜓, (2 · 𝐴), 0)) = (if(𝜓, 𝐴, 0) + 𝐴))
46		simpl 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜓) → 𝐴 ∈ ℂ)
47		0cnd 11338	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜓) → 0 ∈ ℂ)
48	46, 47	addcomd 11551	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜓) → (𝐴 + 0) = (0 + 𝐴))
49		iffalse 4494	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝜓 → if(𝜓, 0, 𝐴) = 𝐴)
50	49	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜓) → if(𝜓, 0, 𝐴) = 𝐴)
51		iffalse 4494	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝜓 → if(𝜓, (2 · 𝐴), 0) = 0)
52	51	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜓) → if(𝜓, (2 · 𝐴), 0) = 0)
53	50, 52	oveq12d 7469	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜓) → (if(𝜓, 0, 𝐴) + if(𝜓, (2 · 𝐴), 0)) = (𝐴 + 0))
54		iffalse 4494	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝜓 → if(𝜓, 𝐴, 0) = 0)
55	54	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜓) → if(𝜓, 𝐴, 0) = 0)
56	55	oveq1d 7466	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜓) → (if(𝜓, 𝐴, 0) + 𝐴) = (0 + 𝐴))
57	48, 53, 56	3eqtr4d 2808	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜓) → (if(𝜓, 0, 𝐴) + if(𝜓, (2 · 𝐴), 0)) = (if(𝜓, 𝐴, 0) + 𝐴))
58	45, 57	pm2.61dan 825	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (if(𝜓, 0, 𝐴) + if(𝜓, (2 · 𝐴), 0)) = (if(𝜓, 𝐴, 0) + 𝐴))
59	58	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (if(𝜓, 0, 𝐴) + if(𝜓, (2 · 𝐴), 0)) = (if(𝜓, 𝐴, 0) + 𝐴))
60		ifnot 4538	. . . . . . 7 ⊢ if(¬ 𝜓, 𝐴, 0) = if(𝜓, 0, 𝐴)
61		nbn2 373	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝜑 → (¬ 𝜓 ↔ (𝜑 ↔ 𝜓)))
62	61	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (¬ 𝜓 ↔ (𝜑 ↔ 𝜓)))
63	62	ifbid 4509	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → if(¬ 𝜓, 𝐴, 0) = if((𝜑 ↔ 𝜓), 𝐴, 0))
64	60, 63	eqtr3id 2812	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → if(𝜓, 0, 𝐴) = if((𝜑 ↔ 𝜓), 𝐴, 0))
65		biorf 950	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝜑 → (𝜓 ↔ (𝜑 ∨ 𝜓)))
66	65	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (𝜓 ↔ (𝜑 ∨ 𝜓)))
67	66	ifbid 4509	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → if(𝜓, (2 · 𝐴), 0) = if((𝜑 ∨ 𝜓), (2 · 𝐴), 0))
68	64, 67	oveq12d 7469	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (if(𝜓, 0, 𝐴) + if(𝜓, (2 · 𝐴), 0)) = (if((𝜑 ↔ 𝜓), 𝐴, 0) + if((𝜑 ∨ 𝜓), (2 · 𝐴), 0)))
69	29, 59, 68	3eqtr2rd 2805	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (if((𝜑 ↔ 𝜓), 𝐴, 0) + if((𝜑 ∨ 𝜓), (2 · 𝐴), 0)) = ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + 𝐴))
70	22, 69	pm2.61dan 825	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) → (if((𝜑 ↔ 𝜓), 𝐴, 0) + if((𝜑 ∨ 𝜓), (2 · 𝐴), 0)) = ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + 𝐴))
71		hadrot 1631	. . . . . . 7 ⊢ (hadd(𝜒, 𝜑, 𝜓) ↔ hadd(𝜑, 𝜓, 𝜒))
72		had1 1633	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜒 ↔ (hadd(𝜒, 𝜑, 𝜓) ↔ (𝜑 ↔ 𝜓)))
73	72	biimpi 219	. . . . . . 7 ⊢ (𝜒 → (hadd(𝜒, 𝜑, 𝜓) ↔ (𝜑 ↔ 𝜓)))
74	71, 73	bitr3id 288	. . . . . 6 ⊢ (𝜒 → (hadd(𝜑, 𝜓, 𝜒) ↔ (𝜑 ↔ 𝜓)))
75	74	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) → (hadd(𝜑, 𝜓, 𝜒) ↔ (𝜑 ↔ 𝜓)))
76	75	ifbid 4509	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) → if(hadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), 𝐴, 0) = if((𝜑 ↔ 𝜓), 𝐴, 0))
77		cad1 1650	. . . . . 6 ⊢ (𝜒 → (cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒) ↔ (𝜑 ∨ 𝜓)))
78	77	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) → (cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒) ↔ (𝜑 ∨ 𝜓)))
79	78	ifbid 4509	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) → if(cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), (2 · 𝐴), 0) = if((𝜑 ∨ 𝜓), (2 · 𝐴), 0))
80	76, 79	oveq12d 7469	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) → (if(hadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), 𝐴, 0) + if(cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), (2 · 𝐴), 0)) = (if((𝜑 ↔ 𝜓), 𝐴, 0) + if((𝜑 ∨ 𝜓), (2 · 𝐴), 0)))
81		iftrue 4491	. . . . 5 ⊢ (𝜒 → if(𝜒, 𝐴, 0) = 𝐴)
82	81	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) → if(𝜒, 𝐴, 0) = 𝐴)
83	82	oveq2d 7467	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) → ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + if(𝜒, 𝐴, 0)) = ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + 𝐴))
84	70, 80, 83	3eqtr4d 2808	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) → (if(hadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), 𝐴, 0) + if(cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), (2 · 𝐴), 0)) = ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + if(𝜒, 𝐴, 0)))
85	18	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ 𝜑) → if(𝜑, 𝐴, 0) = 𝐴)
86	85	oveq1d 7466	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ 𝜑) → (if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) = (𝐴 + if(𝜓, 𝐴, 0)))
87	43	oveq2d 7467	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜓) → (𝐴 + if(𝜓, 𝐴, 0)) = (𝐴 + 𝐴))
88	36, 41, 87	3eqtr4d 2808	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜓) → (if(𝜓, 0, 𝐴) + if(𝜓, (2 · 𝐴), 0)) = (𝐴 + if(𝜓, 𝐴, 0)))
89	52, 55	eqtr4d 2801	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜓) → if(𝜓, (2 · 𝐴), 0) = if(𝜓, 𝐴, 0))
90	50, 89	oveq12d 7469	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜓) → (if(𝜓, 0, 𝐴) + if(𝜓, (2 · 𝐴), 0)) = (𝐴 + if(𝜓, 𝐴, 0)))
91	88, 90	pm2.61dan 825	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (if(𝜓, 0, 𝐴) + if(𝜓, (2 · 𝐴), 0)) = (𝐴 + if(𝜓, 𝐴, 0)))
92	91	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ 𝜑) → (if(𝜓, 0, 𝐴) + if(𝜓, (2 · 𝐴), 0)) = (𝐴 + if(𝜓, 𝐴, 0)))
93	9	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ 𝜑) → (𝜓 ↔ (𝜑 ↔ 𝜓)))
94	93	notbid 321	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ 𝜑) → (¬ 𝜓 ↔ ¬ (𝜑 ↔ 𝜓)))
95		df-xor 1542	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ⊻ 𝜓) ↔ ¬ (𝜑 ↔ 𝜓))
96	94, 95	bitr4di 292	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ 𝜑) → (¬ 𝜓 ↔ (𝜑 ⊻ 𝜓)))
97	96	ifbid 4509	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ 𝜑) → if(¬ 𝜓, 𝐴, 0) = if((𝜑 ⊻ 𝜓), 𝐴, 0))
98	60, 97	eqtr3id 2812	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ 𝜑) → if(𝜓, 0, 𝐴) = if((𝜑 ⊻ 𝜓), 𝐴, 0))
99		ibar 538	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ (𝜑 ∧ 𝜓)))
100	99	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ 𝜑) → (𝜓 ↔ (𝜑 ∧ 𝜓)))
101	100	ifbid 4509	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ 𝜑) → if(𝜓, (2 · 𝐴), 0) = if((𝜑 ∧ 𝜓), (2 · 𝐴), 0))
102	98, 101	oveq12d 7469	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ 𝜑) → (if(𝜓, 0, 𝐴) + if(𝜓, (2 · 𝐴), 0)) = (if((𝜑 ⊻ 𝜓), 𝐴, 0) + if((𝜑 ∧ 𝜓), (2 · 𝐴), 0)))
103	86, 92, 102	3eqtr2rd 2805	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ 𝜑) → (if((𝜑 ⊻ 𝜓), 𝐴, 0) + if((𝜑 ∧ 𝜓), (2 · 𝐴), 0)) = (if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)))
104		simplll 787	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) ∧ 𝜓) → 𝐴 ∈ ℂ)
105		0cnd 11338	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) ∧ ¬ 𝜓) → 0 ∈ ℂ)
106	104, 105	ifclda 4521	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → if(𝜓, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
107		0cnd 11338	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → 0 ∈ ℂ)
108	106, 107	addcomd 11551	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (if(𝜓, 𝐴, 0) + 0) = (0 + if(𝜓, 𝐴, 0)))
109	61	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (¬ 𝜓 ↔ (𝜑 ↔ 𝜓)))
110	109	con1bid 358	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (¬ (𝜑 ↔ 𝜓) ↔ 𝜓))
111	95, 110	bitrid 286	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → ((𝜑 ⊻ 𝜓) ↔ 𝜓))
112	111	ifbid 4509	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → if((𝜑 ⊻ 𝜓), 𝐴, 0) = if(𝜓, 𝐴, 0))
113		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → ¬ 𝜑)
114	113	intnanrd 495	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → ¬ (𝜑 ∧ 𝜓))
115	114	iffalsed 4496	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → if((𝜑 ∧ 𝜓), (2 · 𝐴), 0) = 0)
116	112, 115	oveq12d 7469	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (if((𝜑 ⊻ 𝜓), 𝐴, 0) + if((𝜑 ∧ 𝜓), (2 · 𝐴), 0)) = (if(𝜓, 𝐴, 0) + 0))
117	23	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → if(𝜑, 𝐴, 0) = 0)
118	117	oveq1d 7466	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) = (0 + if(𝜓, 𝐴, 0)))
119	108, 116, 118	3eqtr4d 2808	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (if((𝜑 ⊻ 𝜓), 𝐴, 0) + if((𝜑 ∧ 𝜓), (2 · 𝐴), 0)) = (if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)))
120	103, 119	pm2.61dan 825	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) → (if((𝜑 ⊻ 𝜓), 𝐴, 0) + if((𝜑 ∧ 𝜓), (2 · 𝐴), 0)) = (if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)))
121		had0 1634	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝜒 ↔ (hadd(𝜒, 𝜑, 𝜓) ↔ (𝜑 ⊻ 𝜓)))
122	121	biimpi 219	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝜒 → (hadd(𝜒, 𝜑, 𝜓) ↔ (𝜑 ⊻ 𝜓)))
123	71, 122	bitr3id 288	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝜒 → (hadd(𝜑, 𝜓, 𝜒) ↔ (𝜑 ⊻ 𝜓)))
124	123	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) → (hadd(𝜑, 𝜓, 𝜒) ↔ (𝜑 ⊻ 𝜓)))
125	124	ifbid 4509	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) → if(hadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), 𝐴, 0) = if((𝜑 ⊻ 𝜓), 𝐴, 0))
126		cad0 1651	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝜒 → (cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒) ↔ (𝜑 ∧ 𝜓)))
127	126	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) → (cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒) ↔ (𝜑 ∧ 𝜓)))
128	127	ifbid 4509	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) → if(cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), (2 · 𝐴), 0) = if((𝜑 ∧ 𝜓), (2 · 𝐴), 0))
129	125, 128	oveq12d 7469	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) → (if(hadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), 𝐴, 0) + if(cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), (2 · 𝐴), 0)) = (if((𝜑 ⊻ 𝜓), 𝐴, 0) + if((𝜑 ∧ 𝜓), (2 · 𝐴), 0)))
130		iffalse 4494	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝜒 → if(𝜒, 𝐴, 0) = 0)
131	130	oveq2d 7467	. . . 4 ⊢ (¬ 𝜒 → ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + if(𝜒, 𝐴, 0)) = ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + 0))
132		ifcl 4531	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → if(𝜑, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
133	1, 132	mpan2 704	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → if(𝜑, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
134	133, 3	addcld 11367	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) ∈ ℂ)
135	134	addridd 11549	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + 0) = (if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)))
136	131, 135	sylan9eqr 2820	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) → ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + if(𝜒, 𝐴, 0)) = (if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)))
137	120, 129, 136	3eqtr4d 2808	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) → (if(hadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), 𝐴, 0) + if(cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), (2 · 𝐴), 0)) = ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + if(𝜒, 𝐴, 0)))
138	84, 137	pm2.61dan 825	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (if(hadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), 𝐴, 0) + if(cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), (2 · 𝐴), 0)) = ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + if(𝜒, 𝐴, 0)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ⊻ wxo 1541   = wceq 1570  haddwhad 1623  caddwcad 1639   ∈ wcel 2147  ifcif 4485  (class class class)co 7451  ℂcc 11237  0cc0 11239   + caddc 11242   · cmul 11244  2c2 12437

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-xor 1542  df-tru 1573  df-fal 1583  df-had 1624  df-cad 1640  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7454  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-ltxr 11387  df-2 12445

This theorem is used by:  sadadd2lem  16673