Theorem sadadd2lem2 16530

Description: The core of the proof of sadadd2 16540. The intuitive justification for this is that cadd is true if at least two arguments are true, and hadd is true if an odd number of arguments are true, so altogether the result is 𝑛 · 𝐴 where 𝑛 is the number of true arguments, which is equivalently obtained by adding together one 𝐴 for each true argument, on the right side. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
sadadd2lem2	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (if(hadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), 𝐴, 0) + if(cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), (2 · 𝐴), 0)) = ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + if(𝜒, 𝐴, 0)))

Proof of Theorem sadadd2lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 11213	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℂ
2		ifcl 4535	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → if(𝜓, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
3	1, 2	mpan2 704	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → if(𝜓, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
4	3	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → if(𝜓, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
5		simpll 779	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → 𝐴 ∈ ℂ)
6	4, 5, 5	add12d 11452	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → (if(𝜓, 𝐴, 0) + (𝐴 + 𝐴)) = (𝐴 + (if(𝜓, 𝐴, 0) + 𝐴)))
7	5, 4, 5	addassd 11246	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → ((𝐴 + if(𝜓, 𝐴, 0)) + 𝐴) = (𝐴 + (if(𝜓, 𝐴, 0) + 𝐴)))
8	6, 7	eqtr4d 2803	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → (if(𝜓, 𝐴, 0) + (𝐴 + 𝐴)) = ((𝐴 + if(𝜓, 𝐴, 0)) + 𝐴))
9		pm5.501 369	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ (𝜑 ↔ 𝜓)))
10	9	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → (𝜓 ↔ (𝜑 ↔ 𝜓)))
11	10	bicomd 226	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → ((𝜑 ↔ 𝜓) ↔ 𝜓))
12	11	ifbid 4513	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → if((𝜑 ↔ 𝜓), 𝐴, 0) = if(𝜓, 𝐴, 0))
13		animorrl 996	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → (𝜑 ∨ 𝜓))
14	13	iftrued 4497	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → if((𝜑 ∨ 𝜓), (2 · 𝐴), 0) = (2 · 𝐴))
15	5	2timesd 12502	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
16	14, 15	eqtrd 2800	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → if((𝜑 ∨ 𝜓), (2 · 𝐴), 0) = (𝐴 + 𝐴))
17	12, 16	oveq12d 7437	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → (if((𝜑 ↔ 𝜓), 𝐴, 0) + if((𝜑 ∨ 𝜓), (2 · 𝐴), 0)) = (if(𝜓, 𝐴, 0) + (𝐴 + 𝐴)))
18		iftrue 4495	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → if(𝜑, 𝐴, 0) = 𝐴)
19	18	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → if(𝜑, 𝐴, 0) = 𝐴)
20	19	oveq1d 7434	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → (if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) = (𝐴 + if(𝜓, 𝐴, 0)))
21	20	oveq1d 7434	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + 𝐴) = ((𝐴 + if(𝜓, 𝐴, 0)) + 𝐴))
22	8, 17, 21	3eqtr4d 2810	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → (if((𝜑 ↔ 𝜓), 𝐴, 0) + if((𝜑 ∨ 𝜓), (2 · 𝐴), 0)) = ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + 𝐴))
23		iffalse 4498	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝜑 → if(𝜑, 𝐴, 0) = 0)
24	23	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → if(𝜑, 𝐴, 0) = 0)
25	24	oveq1d 7434	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) = (0 + if(𝜓, 𝐴, 0)))
26	3	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → if(𝜓, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
27	26	addlidd 11426	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (0 + if(𝜓, 𝐴, 0)) = if(𝜓, 𝐴, 0))
28	25, 27	eqtrd 2800	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) = if(𝜓, 𝐴, 0))
29	28	oveq1d 7434	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + 𝐴) = (if(𝜓, 𝐴, 0) + 𝐴))
30		2cnd 12334	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
31		id 23	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
32	30, 31	mulcld 11244	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
33	32	addlidd 11426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 + (2 · 𝐴)) = (2 · 𝐴))
34		2times 12391	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
35	33, 34	eqtrd 2800	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 + (2 · 𝐴)) = (𝐴 + 𝐴))
36	35	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜓) → (0 + (2 · 𝐴)) = (𝐴 + 𝐴))
37		iftrue 4495	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜓 → if(𝜓, 0, 𝐴) = 0)
38	37	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜓) → if(𝜓, 0, 𝐴) = 0)
39		iftrue 4495	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜓 → if(𝜓, (2 · 𝐴), 0) = (2 · 𝐴))
40	39	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜓) → if(𝜓, (2 · 𝐴), 0) = (2 · 𝐴))
41	38, 40	oveq12d 7437	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜓) → (if(𝜓, 0, 𝐴) + if(𝜓, (2 · 𝐴), 0)) = (0 + (2 · 𝐴)))
42		iftrue 4495	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜓 → if(𝜓, 𝐴, 0) = 𝐴)
43	42	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜓) → if(𝜓, 𝐴, 0) = 𝐴)
44	43	oveq1d 7434	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜓) → (if(𝜓, 𝐴, 0) + 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
45	36, 41, 44	3eqtr4d 2810	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜓) → (if(𝜓, 0, 𝐴) + if(𝜓, (2 · 𝐴), 0)) = (if(𝜓, 𝐴, 0) + 𝐴))
46		simpl 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜓) → 𝐴 ∈ ℂ)
47		0cnd 11214	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜓) → 0 ∈ ℂ)
48	46, 47	addcomd 11427	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜓) → (𝐴 + 0) = (0 + 𝐴))
49		iffalse 4498	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝜓 → if(𝜓, 0, 𝐴) = 𝐴)
50	49	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜓) → if(𝜓, 0, 𝐴) = 𝐴)
51		iffalse 4498	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝜓 → if(𝜓, (2 · 𝐴), 0) = 0)
52	51	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜓) → if(𝜓, (2 · 𝐴), 0) = 0)
53	50, 52	oveq12d 7437	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜓) → (if(𝜓, 0, 𝐴) + if(𝜓, (2 · 𝐴), 0)) = (𝐴 + 0))
54		iffalse 4498	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝜓 → if(𝜓, 𝐴, 0) = 0)
55	54	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜓) → if(𝜓, 𝐴, 0) = 0)
56	55	oveq1d 7434	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜓) → (if(𝜓, 𝐴, 0) + 𝐴) = (0 + 𝐴))
57	48, 53, 56	3eqtr4d 2810	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜓) → (if(𝜓, 0, 𝐴) + if(𝜓, (2 · 𝐴), 0)) = (if(𝜓, 𝐴, 0) + 𝐴))
58	45, 57	pm2.61dan 825	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (if(𝜓, 0, 𝐴) + if(𝜓, (2 · 𝐴), 0)) = (if(𝜓, 𝐴, 0) + 𝐴))
59	58	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (if(𝜓, 0, 𝐴) + if(𝜓, (2 · 𝐴), 0)) = (if(𝜓, 𝐴, 0) + 𝐴))
60		ifnot 4542	. . . . . . 7 ⊢ if(¬ 𝜓, 𝐴, 0) = if(𝜓, 0, 𝐴)
61		nbn2 373	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝜑 → (¬ 𝜓 ↔ (𝜑 ↔ 𝜓)))
62	61	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (¬ 𝜓 ↔ (𝜑 ↔ 𝜓)))
63	62	ifbid 4513	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → if(¬ 𝜓, 𝐴, 0) = if((𝜑 ↔ 𝜓), 𝐴, 0))
64	60, 63	eqtr3id 2814	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → if(𝜓, 0, 𝐴) = if((𝜑 ↔ 𝜓), 𝐴, 0))
65		biorf 950	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝜑 → (𝜓 ↔ (𝜑 ∨ 𝜓)))
66	65	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (𝜓 ↔ (𝜑 ∨ 𝜓)))
67	66	ifbid 4513	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → if(𝜓, (2 · 𝐴), 0) = if((𝜑 ∨ 𝜓), (2 · 𝐴), 0))
68	64, 67	oveq12d 7437	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (if(𝜓, 0, 𝐴) + if(𝜓, (2 · 𝐴), 0)) = (if((𝜑 ↔ 𝜓), 𝐴, 0) + if((𝜑 ∨ 𝜓), (2 · 𝐴), 0)))
69	29, 59, 68	3eqtr2rd 2807	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (if((𝜑 ↔ 𝜓), 𝐴, 0) + if((𝜑 ∨ 𝜓), (2 · 𝐴), 0)) = ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + 𝐴))
70	22, 69	pm2.61dan 825	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) → (if((𝜑 ↔ 𝜓), 𝐴, 0) + if((𝜑 ∨ 𝜓), (2 · 𝐴), 0)) = ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + 𝐴))
71		hadrot 1631	. . . . . . 7 ⊢ (hadd(𝜒, 𝜑, 𝜓) ↔ hadd(𝜑, 𝜓, 𝜒))
72		had1 1633	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜒 ↔ (hadd(𝜒, 𝜑, 𝜓) ↔ (𝜑 ↔ 𝜓)))
73	72	biimpi 219	. . . . . . 7 ⊢ (𝜒 → (hadd(𝜒, 𝜑, 𝜓) ↔ (𝜑 ↔ 𝜓)))
74	71, 73	bitr3id 288	. . . . . 6 ⊢ (𝜒 → (hadd(𝜑, 𝜓, 𝜒) ↔ (𝜑 ↔ 𝜓)))
75	74	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) → (hadd(𝜑, 𝜓, 𝜒) ↔ (𝜑 ↔ 𝜓)))
76	75	ifbid 4513	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) → if(hadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), 𝐴, 0) = if((𝜑 ↔ 𝜓), 𝐴, 0))
77		cad1 1650	. . . . . 6 ⊢ (𝜒 → (cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒) ↔ (𝜑 ∨ 𝜓)))
78	77	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) → (cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒) ↔ (𝜑 ∨ 𝜓)))
79	78	ifbid 4513	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) → if(cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), (2 · 𝐴), 0) = if((𝜑 ∨ 𝜓), (2 · 𝐴), 0))
80	76, 79	oveq12d 7437	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) → (if(hadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), 𝐴, 0) + if(cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), (2 · 𝐴), 0)) = (if((𝜑 ↔ 𝜓), 𝐴, 0) + if((𝜑 ∨ 𝜓), (2 · 𝐴), 0)))
81		iftrue 4495	. . . . 5 ⊢ (𝜒 → if(𝜒, 𝐴, 0) = 𝐴)
82	81	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) → if(𝜒, 𝐴, 0) = 𝐴)
83	82	oveq2d 7435	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) → ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + if(𝜒, 𝐴, 0)) = ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + 𝐴))
84	70, 80, 83	3eqtr4d 2810	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) → (if(hadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), 𝐴, 0) + if(cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), (2 · 𝐴), 0)) = ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + if(𝜒, 𝐴, 0)))
85	18	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ 𝜑) → if(𝜑, 𝐴, 0) = 𝐴)
86	85	oveq1d 7434	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ 𝜑) → (if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) = (𝐴 + if(𝜓, 𝐴, 0)))
87	43	oveq2d 7435	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜓) → (𝐴 + if(𝜓, 𝐴, 0)) = (𝐴 + 𝐴))
88	36, 41, 87	3eqtr4d 2810	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜓) → (if(𝜓, 0, 𝐴) + if(𝜓, (2 · 𝐴), 0)) = (𝐴 + if(𝜓, 𝐴, 0)))
89	52, 55	eqtr4d 2803	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜓) → if(𝜓, (2 · 𝐴), 0) = if(𝜓, 𝐴, 0))
90	50, 89	oveq12d 7437	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜓) → (if(𝜓, 0, 𝐴) + if(𝜓, (2 · 𝐴), 0)) = (𝐴 + if(𝜓, 𝐴, 0)))
91	88, 90	pm2.61dan 825	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (if(𝜓, 0, 𝐴) + if(𝜓, (2 · 𝐴), 0)) = (𝐴 + if(𝜓, 𝐴, 0)))
92	91	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ 𝜑) → (if(𝜓, 0, 𝐴) + if(𝜓, (2 · 𝐴), 0)) = (𝐴 + if(𝜓, 𝐴, 0)))
93	9	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ 𝜑) → (𝜓 ↔ (𝜑 ↔ 𝜓)))
94	93	notbid 321	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ 𝜑) → (¬ 𝜓 ↔ ¬ (𝜑 ↔ 𝜓)))
95		df-xor 1542	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ⊻ 𝜓) ↔ ¬ (𝜑 ↔ 𝜓))
96	94, 95	bitr4di 292	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ 𝜑) → (¬ 𝜓 ↔ (𝜑 ⊻ 𝜓)))
97	96	ifbid 4513	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ 𝜑) → if(¬ 𝜓, 𝐴, 0) = if((𝜑 ⊻ 𝜓), 𝐴, 0))
98	60, 97	eqtr3id 2814	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ 𝜑) → if(𝜓, 0, 𝐴) = if((𝜑 ⊻ 𝜓), 𝐴, 0))
99		ibar 538	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ (𝜑 ∧ 𝜓)))
100	99	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ 𝜑) → (𝜓 ↔ (𝜑 ∧ 𝜓)))
101	100	ifbid 4513	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ 𝜑) → if(𝜓, (2 · 𝐴), 0) = if((𝜑 ∧ 𝜓), (2 · 𝐴), 0))
102	98, 101	oveq12d 7437	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ 𝜑) → (if(𝜓, 0, 𝐴) + if(𝜓, (2 · 𝐴), 0)) = (if((𝜑 ⊻ 𝜓), 𝐴, 0) + if((𝜑 ∧ 𝜓), (2 · 𝐴), 0)))
103	86, 92, 102	3eqtr2rd 2807	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ 𝜑) → (if((𝜑 ⊻ 𝜓), 𝐴, 0) + if((𝜑 ∧ 𝜓), (2 · 𝐴), 0)) = (if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)))
104		simplll 787	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) ∧ 𝜓) → 𝐴 ∈ ℂ)
105		0cnd 11214	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) ∧ ¬ 𝜓) → 0 ∈ ℂ)
106	104, 105	ifclda 4525	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → if(𝜓, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
107		0cnd 11214	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → 0 ∈ ℂ)
108	106, 107	addcomd 11427	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (if(𝜓, 𝐴, 0) + 0) = (0 + if(𝜓, 𝐴, 0)))
109	61	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (¬ 𝜓 ↔ (𝜑 ↔ 𝜓)))
110	109	con1bid 358	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (¬ (𝜑 ↔ 𝜓) ↔ 𝜓))
111	95, 110	bitrid 286	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → ((𝜑 ⊻ 𝜓) ↔ 𝜓))
112	111	ifbid 4513	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → if((𝜑 ⊻ 𝜓), 𝐴, 0) = if(𝜓, 𝐴, 0))
113		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → ¬ 𝜑)
114	113	intnanrd 495	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → ¬ (𝜑 ∧ 𝜓))
115	114	iffalsed 4500	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → if((𝜑 ∧ 𝜓), (2 · 𝐴), 0) = 0)
116	112, 115	oveq12d 7437	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (if((𝜑 ⊻ 𝜓), 𝐴, 0) + if((𝜑 ∧ 𝜓), (2 · 𝐴), 0)) = (if(𝜓, 𝐴, 0) + 0))
117	23	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → if(𝜑, 𝐴, 0) = 0)
118	117	oveq1d 7434	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) = (0 + if(𝜓, 𝐴, 0)))
119	108, 116, 118	3eqtr4d 2810	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (if((𝜑 ⊻ 𝜓), 𝐴, 0) + if((𝜑 ∧ 𝜓), (2 · 𝐴), 0)) = (if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)))
120	103, 119	pm2.61dan 825	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) → (if((𝜑 ⊻ 𝜓), 𝐴, 0) + if((𝜑 ∧ 𝜓), (2 · 𝐴), 0)) = (if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)))
121		had0 1634	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝜒 ↔ (hadd(𝜒, 𝜑, 𝜓) ↔ (𝜑 ⊻ 𝜓)))
122	121	biimpi 219	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝜒 → (hadd(𝜒, 𝜑, 𝜓) ↔ (𝜑 ⊻ 𝜓)))
123	71, 122	bitr3id 288	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝜒 → (hadd(𝜑, 𝜓, 𝜒) ↔ (𝜑 ⊻ 𝜓)))
124	123	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) → (hadd(𝜑, 𝜓, 𝜒) ↔ (𝜑 ⊻ 𝜓)))
125	124	ifbid 4513	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) → if(hadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), 𝐴, 0) = if((𝜑 ⊻ 𝜓), 𝐴, 0))
126		cad0 1651	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝜒 → (cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒) ↔ (𝜑 ∧ 𝜓)))
127	126	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) → (cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒) ↔ (𝜑 ∧ 𝜓)))
128	127	ifbid 4513	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) → if(cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), (2 · 𝐴), 0) = if((𝜑 ∧ 𝜓), (2 · 𝐴), 0))
129	125, 128	oveq12d 7437	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) → (if(hadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), 𝐴, 0) + if(cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), (2 · 𝐴), 0)) = (if((𝜑 ⊻ 𝜓), 𝐴, 0) + if((𝜑 ∧ 𝜓), (2 · 𝐴), 0)))
130		iffalse 4498	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝜒 → if(𝜒, 𝐴, 0) = 0)
131	130	oveq2d 7435	. . . 4 ⊢ (¬ 𝜒 → ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + if(𝜒, 𝐴, 0)) = ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + 0))
132		ifcl 4535	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → if(𝜑, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
133	1, 132	mpan2 704	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → if(𝜑, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
134	133, 3	addcld 11243	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) ∈ ℂ)
135	134	addridd 11425	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + 0) = (if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)))
136	131, 135	sylan9eqr 2822	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) → ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + if(𝜒, 𝐴, 0)) = (if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)))
137	120, 129, 136	3eqtr4d 2810	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) → (if(hadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), 𝐴, 0) + if(cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), (2 · 𝐴), 0)) = ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + if(𝜒, 𝐴, 0)))
138	84, 137	pm2.61dan 825	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (if(hadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), 𝐴, 0) + if(cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), (2 · 𝐴), 0)) = ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + if(𝜒, 𝐴, 0)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ⊻ wxo 1541   = wceq 1570  haddwhad 1623  caddwcad 1639   ∈ wcel 2146  ifcif 4489  (class class class)co 7419  ℂcc 11113  0cc0 11115   + caddc 11118   · cmul 11120  2c2 12310

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-xor 1542  df-tru 1573  df-fal 1583  df-had 1624  df-cad 1640  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7422  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-ltxr 11263  df-2 12318

This theorem is used by:  sadadd2lem  16539