MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sadadd2lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sadadd2lem2 15791
Description: The core of the proof of sadadd2 15801. The intuitive justification for this is that cadd is true if at least two arguments are true, and hadd is true if an odd number of arguments are true, so altogether the result is 𝑛 · 𝐴 where 𝑛 is the number of true arguments, which is equivalently obtained by adding together one 𝐴 for each true argument, on the right side. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
sadadd2lem2 (𝐴 ∈ ℂ → (if(hadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), 𝐴, 0) + if(cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), (2 · 𝐴), 0)) = ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + if(𝜒, 𝐴, 0)))

Proof of Theorem sadadd2lem2
StepHypRef Expression
1 0cn 10625 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℂ
2 ifcl 4513 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → if(𝜓, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
31, 2mpan2 687 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → if(𝜓, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
43ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → if(𝜓, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
5 simpll 763 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → 𝐴 ∈ ℂ)
64, 5, 5add12d 10858 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → (if(𝜓, 𝐴, 0) + (𝐴 + 𝐴)) = (𝐴 + (if(𝜓, 𝐴, 0) + 𝐴)))
75, 4, 5addassd 10655 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → ((𝐴 + if(𝜓, 𝐴, 0)) + 𝐴) = (𝐴 + (if(𝜓, 𝐴, 0) + 𝐴)))
86, 7eqtr4d 2863 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → (if(𝜓, 𝐴, 0) + (𝐴 + 𝐴)) = ((𝐴 + if(𝜓, 𝐴, 0)) + 𝐴))
9 pm5.501 368 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝜓 ↔ (𝜑𝜓)))
109adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → (𝜓 ↔ (𝜑𝜓)))
1110bicomd 224 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → ((𝜑𝜓) ↔ 𝜓))
1211ifbid 4491 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → if((𝜑𝜓), 𝐴, 0) = if(𝜓, 𝐴, 0))
13 animorrl 976 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → (𝜑𝜓))
14 iftrue 4475 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → if((𝜑𝜓), (2 · 𝐴), 0) = (2 · 𝐴))
1513, 14syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → if((𝜑𝜓), (2 · 𝐴), 0) = (2 · 𝐴))
1652timesd 11872 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
1715, 16eqtrd 2860 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → if((𝜑𝜓), (2 · 𝐴), 0) = (𝐴 + 𝐴))
1812, 17oveq12d 7169 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → (if((𝜑𝜓), 𝐴, 0) + if((𝜑𝜓), (2 · 𝐴), 0)) = (if(𝜓, 𝐴, 0) + (𝐴 + 𝐴)))
19 iftrue 4475 . . . . . . . 8 (𝜑 → if(𝜑, 𝐴, 0) = 𝐴)
2019adantl 482 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → if(𝜑, 𝐴, 0) = 𝐴)
2120oveq1d 7166 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → (if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) = (𝐴 + if(𝜓, 𝐴, 0)))
2221oveq1d 7166 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + 𝐴) = ((𝐴 + if(𝜓, 𝐴, 0)) + 𝐴))
238, 18, 223eqtr4d 2870 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → (if((𝜑𝜓), 𝐴, 0) + if((𝜑𝜓), (2 · 𝐴), 0)) = ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + 𝐴))
24 iffalse 4478 . . . . . . . . 9 𝜑 → if(𝜑, 𝐴, 0) = 0)
2524adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → if(𝜑, 𝐴, 0) = 0)
2625oveq1d 7166 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) = (0 + if(𝜓, 𝐴, 0)))
273ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → if(𝜓, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
2827addid2d 10833 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (0 + if(𝜓, 𝐴, 0)) = if(𝜓, 𝐴, 0))
2926, 28eqtrd 2860 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) = if(𝜓, 𝐴, 0))
3029oveq1d 7166 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + 𝐴) = (if(𝜓, 𝐴, 0) + 𝐴))
31 2cnd 11707 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
32 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
3331, 32mulcld 10653 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
3433addid2d 10833 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (0 + (2 · 𝐴)) = (2 · 𝐴))
35 2times 11765 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
3634, 35eqtrd 2860 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (0 + (2 · 𝐴)) = (𝐴 + 𝐴))
3736adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜓) → (0 + (2 · 𝐴)) = (𝐴 + 𝐴))
38 iftrue 4475 . . . . . . . . . 10 (𝜓 → if(𝜓, 0, 𝐴) = 0)
3938adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜓) → if(𝜓, 0, 𝐴) = 0)
40 iftrue 4475 . . . . . . . . . 10 (𝜓 → if(𝜓, (2 · 𝐴), 0) = (2 · 𝐴))
4140adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜓) → if(𝜓, (2 · 𝐴), 0) = (2 · 𝐴))
4239, 41oveq12d 7169 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜓) → (if(𝜓, 0, 𝐴) + if(𝜓, (2 · 𝐴), 0)) = (0 + (2 · 𝐴)))
43 iftrue 4475 . . . . . . . . . 10 (𝜓 → if(𝜓, 𝐴, 0) = 𝐴)
4443adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜓) → if(𝜓, 𝐴, 0) = 𝐴)
4544oveq1d 7166 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜓) → (if(𝜓, 𝐴, 0) + 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
4637, 42, 453eqtr4d 2870 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜓) → (if(𝜓, 0, 𝐴) + if(𝜓, (2 · 𝐴), 0)) = (if(𝜓, 𝐴, 0) + 𝐴))
47 simpl 483 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜓) → 𝐴 ∈ ℂ)
48 0cnd 10626 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜓) → 0 ∈ ℂ)
4947, 48addcomd 10834 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜓) → (𝐴 + 0) = (0 + 𝐴))
50 iffalse 4478 . . . . . . . . . 10 𝜓 → if(𝜓, 0, 𝐴) = 𝐴)
5150adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜓) → if(𝜓, 0, 𝐴) = 𝐴)
52 iffalse 4478 . . . . . . . . . 10 𝜓 → if(𝜓, (2 · 𝐴), 0) = 0)
5352adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜓) → if(𝜓, (2 · 𝐴), 0) = 0)
5451, 53oveq12d 7169 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜓) → (if(𝜓, 0, 𝐴) + if(𝜓, (2 · 𝐴), 0)) = (𝐴 + 0))
55 iffalse 4478 . . . . . . . . . 10 𝜓 → if(𝜓, 𝐴, 0) = 0)
5655adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜓) → if(𝜓, 𝐴, 0) = 0)
5756oveq1d 7166 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜓) → (if(𝜓, 𝐴, 0) + 𝐴) = (0 + 𝐴))
5849, 54, 573eqtr4d 2870 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜓) → (if(𝜓, 0, 𝐴) + if(𝜓, (2 · 𝐴), 0)) = (if(𝜓, 𝐴, 0) + 𝐴))
5946, 58pm2.61dan 809 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (if(𝜓, 0, 𝐴) + if(𝜓, (2 · 𝐴), 0)) = (if(𝜓, 𝐴, 0) + 𝐴))
6059ad2antrr 722 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (if(𝜓, 0, 𝐴) + if(𝜓, (2 · 𝐴), 0)) = (if(𝜓, 𝐴, 0) + 𝐴))
61 ifnot 4519 . . . . . . 7 if(¬ 𝜓, 𝐴, 0) = if(𝜓, 0, 𝐴)
62 nbn2 372 . . . . . . . . 9 𝜑 → (¬ 𝜓 ↔ (𝜑𝜓)))
6362adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (¬ 𝜓 ↔ (𝜑𝜓)))
6463ifbid 4491 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → if(¬ 𝜓, 𝐴, 0) = if((𝜑𝜓), 𝐴, 0))
6561, 64syl5eqr 2874 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → if(𝜓, 0, 𝐴) = if((𝜑𝜓), 𝐴, 0))
66 biorf 932 . . . . . . . 8 𝜑 → (𝜓 ↔ (𝜑𝜓)))
6766adantl 482 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (𝜓 ↔ (𝜑𝜓)))
6867ifbid 4491 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → if(𝜓, (2 · 𝐴), 0) = if((𝜑𝜓), (2 · 𝐴), 0))
6965, 68oveq12d 7169 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (if(𝜓, 0, 𝐴) + if(𝜓, (2 · 𝐴), 0)) = (if((𝜑𝜓), 𝐴, 0) + if((𝜑𝜓), (2 · 𝐴), 0)))
7030, 60, 693eqtr2rd 2867 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (if((𝜑𝜓), 𝐴, 0) + if((𝜑𝜓), (2 · 𝐴), 0)) = ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + 𝐴))
7123, 70pm2.61dan 809 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) → (if((𝜑𝜓), 𝐴, 0) + if((𝜑𝜓), (2 · 𝐴), 0)) = ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + 𝐴))
72 hadrot 1595 . . . . . . 7 (hadd(𝜒, 𝜑, 𝜓) ↔ hadd(𝜑, 𝜓, 𝜒))
73 had1 1597 . . . . . . 7 (𝜒 → (hadd(𝜒, 𝜑, 𝜓) ↔ (𝜑𝜓)))
7472, 73syl5bbr 286 . . . . . 6 (𝜒 → (hadd(𝜑, 𝜓, 𝜒) ↔ (𝜑𝜓)))
7574adantl 482 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) → (hadd(𝜑, 𝜓, 𝜒) ↔ (𝜑𝜓)))
7675ifbid 4491 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) → if(hadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), 𝐴, 0) = if((𝜑𝜓), 𝐴, 0))
77 cad1 1610 . . . . . 6 (𝜒 → (cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒) ↔ (𝜑𝜓)))
7877adantl 482 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) → (cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒) ↔ (𝜑𝜓)))
7978ifbid 4491 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) → if(cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), (2 · 𝐴), 0) = if((𝜑𝜓), (2 · 𝐴), 0))
8076, 79oveq12d 7169 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) → (if(hadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), 𝐴, 0) + if(cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), (2 · 𝐴), 0)) = (if((𝜑𝜓), 𝐴, 0) + if((𝜑𝜓), (2 · 𝐴), 0)))
81 iftrue 4475 . . . . 5 (𝜒 → if(𝜒, 𝐴, 0) = 𝐴)
8281adantl 482 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) → if(𝜒, 𝐴, 0) = 𝐴)
8382oveq2d 7167 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) → ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + if(𝜒, 𝐴, 0)) = ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + 𝐴))
8471, 80, 833eqtr4d 2870 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) → (if(hadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), 𝐴, 0) + if(cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), (2 · 𝐴), 0)) = ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + if(𝜒, 𝐴, 0)))
8519adantl 482 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ 𝜑) → if(𝜑, 𝐴, 0) = 𝐴)
8685oveq1d 7166 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ 𝜑) → (if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) = (𝐴 + if(𝜓, 𝐴, 0)))
8744oveq2d 7167 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜓) → (𝐴 + if(𝜓, 𝐴, 0)) = (𝐴 + 𝐴))
8837, 42, 873eqtr4d 2870 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜓) → (if(𝜓, 0, 𝐴) + if(𝜓, (2 · 𝐴), 0)) = (𝐴 + if(𝜓, 𝐴, 0)))
8953, 56eqtr4d 2863 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜓) → if(𝜓, (2 · 𝐴), 0) = if(𝜓, 𝐴, 0))
9051, 89oveq12d 7169 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜓) → (if(𝜓, 0, 𝐴) + if(𝜓, (2 · 𝐴), 0)) = (𝐴 + if(𝜓, 𝐴, 0)))
9188, 90pm2.61dan 809 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (if(𝜓, 0, 𝐴) + if(𝜓, (2 · 𝐴), 0)) = (𝐴 + if(𝜓, 𝐴, 0)))
9291ad2antrr 722 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ 𝜑) → (if(𝜓, 0, 𝐴) + if(𝜓, (2 · 𝐴), 0)) = (𝐴 + if(𝜓, 𝐴, 0)))
939adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ 𝜑) → (𝜓 ↔ (𝜑𝜓)))
9493notbid 319 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ 𝜑) → (¬ 𝜓 ↔ ¬ (𝜑𝜓)))
95 df-xor 1498 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝜓) ↔ ¬ (𝜑𝜓))
9694, 95syl6bbr 290 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ 𝜑) → (¬ 𝜓 ↔ (𝜑𝜓)))
9796ifbid 4491 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ 𝜑) → if(¬ 𝜓, 𝐴, 0) = if((𝜑𝜓), 𝐴, 0))
9861, 97syl5eqr 2874 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ 𝜑) → if(𝜓, 0, 𝐴) = if((𝜑𝜓), 𝐴, 0))
99 ibar 529 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝜓 ↔ (𝜑𝜓)))
10099adantl 482 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ 𝜑) → (𝜓 ↔ (𝜑𝜓)))
101100ifbid 4491 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ 𝜑) → if(𝜓, (2 · 𝐴), 0) = if((𝜑𝜓), (2 · 𝐴), 0))
10298, 101oveq12d 7169 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ 𝜑) → (if(𝜓, 0, 𝐴) + if(𝜓, (2 · 𝐴), 0)) = (if((𝜑𝜓), 𝐴, 0) + if((𝜑𝜓), (2 · 𝐴), 0)))
10386, 92, 1023eqtr2rd 2867 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ 𝜑) → (if((𝜑𝜓), 𝐴, 0) + if((𝜑𝜓), (2 · 𝐴), 0)) = (if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)))
104 simplll 771 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) ∧ 𝜓) → 𝐴 ∈ ℂ)
105 0cnd 10626 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) ∧ ¬ 𝜓) → 0 ∈ ℂ)
106104, 105ifclda 4503 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → if(𝜓, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
107 0cnd 10626 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → 0 ∈ ℂ)
108106, 107addcomd 10834 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (if(𝜓, 𝐴, 0) + 0) = (0 + if(𝜓, 𝐴, 0)))
10962adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (¬ 𝜓 ↔ (𝜑𝜓)))
110109con1bid 357 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (¬ (𝜑𝜓) ↔ 𝜓))
11195, 110syl5bb 284 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → ((𝜑𝜓) ↔ 𝜓))
112111ifbid 4491 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → if((𝜑𝜓), 𝐴, 0) = if(𝜓, 𝐴, 0))
113 simpr 485 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → ¬ 𝜑)
114113intnanrd 490 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → ¬ (𝜑𝜓))
115 iffalse 4478 . . . . . . 7 (¬ (𝜑𝜓) → if((𝜑𝜓), (2 · 𝐴), 0) = 0)
116114, 115syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → if((𝜑𝜓), (2 · 𝐴), 0) = 0)
117112, 116oveq12d 7169 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (if((𝜑𝜓), 𝐴, 0) + if((𝜑𝜓), (2 · 𝐴), 0)) = (if(𝜓, 𝐴, 0) + 0))
11824adantl 482 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → if(𝜑, 𝐴, 0) = 0)
119118oveq1d 7166 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) = (0 + if(𝜓, 𝐴, 0)))
120108, 117, 1193eqtr4d 2870 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (if((𝜑𝜓), 𝐴, 0) + if((𝜑𝜓), (2 · 𝐴), 0)) = (if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)))
121103, 120pm2.61dan 809 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) → (if((𝜑𝜓), 𝐴, 0) + if((𝜑𝜓), (2 · 𝐴), 0)) = (if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)))
122 had0 1598 . . . . . . 7 𝜒 → (hadd(𝜒, 𝜑, 𝜓) ↔ (𝜑𝜓)))
12372, 122syl5bbr 286 . . . . . 6 𝜒 → (hadd(𝜑, 𝜓, 𝜒) ↔ (𝜑𝜓)))
124123adantl 482 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) → (hadd(𝜑, 𝜓, 𝜒) ↔ (𝜑𝜓)))
125124ifbid 4491 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) → if(hadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), 𝐴, 0) = if((𝜑𝜓), 𝐴, 0))
126 cad0 1611 . . . . . 6 𝜒 → (cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒) ↔ (𝜑𝜓)))
127126adantl 482 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) → (cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒) ↔ (𝜑𝜓)))
128127ifbid 4491 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) → if(cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), (2 · 𝐴), 0) = if((𝜑𝜓), (2 · 𝐴), 0))
129125, 128oveq12d 7169 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) → (if(hadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), 𝐴, 0) + if(cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), (2 · 𝐴), 0)) = (if((𝜑𝜓), 𝐴, 0) + if((𝜑𝜓), (2 · 𝐴), 0)))
130 iffalse 4478 . . . . 5 𝜒 → if(𝜒, 𝐴, 0) = 0)
131130oveq2d 7167 . . . 4 𝜒 → ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + if(𝜒, 𝐴, 0)) = ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + 0))
132 ifcl 4513 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → if(𝜑, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
1331, 132mpan2 687 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → if(𝜑, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
134133, 3addcld 10652 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) ∈ ℂ)
135134addid1d 10832 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + 0) = (if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)))
136131, 135sylan9eqr 2882 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) → ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + if(𝜒, 𝐴, 0)) = (if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)))
137121, 129, 1363eqtr4d 2870 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) → (if(hadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), 𝐴, 0) + if(cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), (2 · 𝐴), 0)) = ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + if(𝜒, 𝐴, 0)))
13884, 137pm2.61dan 809 1 (𝐴 ∈ ℂ → (if(hadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), 𝐴, 0) + if(cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), (2 · 𝐴), 0)) = ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + if(𝜒, 𝐴, 0)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 843  wxo 1497   = wceq 1530  haddwhad 1586  caddwcad 1600  wcel 2107  ifcif 4469  (class class class)co 7151  cc 10527  0cc0 10529   + caddc 10532   · cmul 10534  2c2 11684
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-xor 1498  df-tru 1533  df-had 1587  df-cad 1601  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4837  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-id 5458  df-po 5472  df-so 5473  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-ov 7154  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-ltxr 10672  df-2 11692
This theorem is referenced by:  sadadd2lem  15800
  Copyright terms: Public domain W3C validator