Theorem sadadd2lem2 16503

Description: The core of the proof of sadadd2 16513. The intuitive justification for this is that cadd is true if at least two arguments are true, and hadd is true if an odd number of arguments are true, so altogether the result is 𝑛 · 𝐴 where 𝑛 is the number of true arguments, which is equivalently obtained by adding together one 𝐴 for each true argument, on the right side. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
sadadd2lem2	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (if(hadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), 𝐴, 0) + if(cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), (2 · 𝐴), 0)) = ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + if(𝜒, 𝐴, 0)))

Proof of Theorem sadadd2lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 11193	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℂ
2		ifcl 4533	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → if(𝜓, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
3	1, 2	mpan2 703	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → if(𝜓, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
4	3	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → if(𝜓, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
5		simpll 778	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → 𝐴 ∈ ℂ)
6	4, 5, 5	add12d 11432	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → (if(𝜓, 𝐴, 0) + (𝐴 + 𝐴)) = (𝐴 + (if(𝜓, 𝐴, 0) + 𝐴)))
7	5, 4, 5	addassd 11226	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → ((𝐴 + if(𝜓, 𝐴, 0)) + 𝐴) = (𝐴 + (if(𝜓, 𝐴, 0) + 𝐴)))
8	6, 7	eqtr4d 2801	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → (if(𝜓, 𝐴, 0) + (𝐴 + 𝐴)) = ((𝐴 + if(𝜓, 𝐴, 0)) + 𝐴))
9		pm5.501 369	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ (𝜑 ↔ 𝜓)))
10	9	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → (𝜓 ↔ (𝜑 ↔ 𝜓)))
11	10	bicomd 226	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → ((𝜑 ↔ 𝜓) ↔ 𝜓))
12	11	ifbid 4511	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → if((𝜑 ↔ 𝜓), 𝐴, 0) = if(𝜓, 𝐴, 0))
13		animorrl 996	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → (𝜑 ∨ 𝜓))
14		iftrue 4493	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∨ 𝜓) → if((𝜑 ∨ 𝜓), (2 · 𝐴), 0) = (2 · 𝐴))
15	13, 14	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → if((𝜑 ∨ 𝜓), (2 · 𝐴), 0) = (2 · 𝐴))
16	5	2timesd 12482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
17	15, 16	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → if((𝜑 ∨ 𝜓), (2 · 𝐴), 0) = (𝐴 + 𝐴))
18	12, 17	oveq12d 7428	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → (if((𝜑 ↔ 𝜓), 𝐴, 0) + if((𝜑 ∨ 𝜓), (2 · 𝐴), 0)) = (if(𝜓, 𝐴, 0) + (𝐴 + 𝐴)))
19		iftrue 4493	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → if(𝜑, 𝐴, 0) = 𝐴)
20	19	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → if(𝜑, 𝐴, 0) = 𝐴)
21	20	oveq1d 7425	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → (if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) = (𝐴 + if(𝜓, 𝐴, 0)))
22	21	oveq1d 7425	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + 𝐴) = ((𝐴 + if(𝜓, 𝐴, 0)) + 𝐴))
23	8, 18, 22	3eqtr4d 2808	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → (if((𝜑 ↔ 𝜓), 𝐴, 0) + if((𝜑 ∨ 𝜓), (2 · 𝐴), 0)) = ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + 𝐴))
24		iffalse 4496	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝜑 → if(𝜑, 𝐴, 0) = 0)
25	24	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → if(𝜑, 𝐴, 0) = 0)
26	25	oveq1d 7425	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) = (0 + if(𝜓, 𝐴, 0)))
27	3	ad2antrr 738	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → if(𝜓, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
28	27	addlidd 11406	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (0 + if(𝜓, 𝐴, 0)) = if(𝜓, 𝐴, 0))
29	26, 28	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) = if(𝜓, 𝐴, 0))
30	29	oveq1d 7425	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + 𝐴) = (if(𝜓, 𝐴, 0) + 𝐴))
31		2cnd 12314	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
32		id 23	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
33	31, 32	mulcld 11224	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
34	33	addlidd 11406	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 + (2 · 𝐴)) = (2 · 𝐴))
35		2times 12371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
36	34, 35	eqtrd 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 + (2 · 𝐴)) = (𝐴 + 𝐴))
37	36	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜓) → (0 + (2 · 𝐴)) = (𝐴 + 𝐴))
38		iftrue 4493	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜓 → if(𝜓, 0, 𝐴) = 0)
39	38	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜓) → if(𝜓, 0, 𝐴) = 0)
40		iftrue 4493	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜓 → if(𝜓, (2 · 𝐴), 0) = (2 · 𝐴))
41	40	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜓) → if(𝜓, (2 · 𝐴), 0) = (2 · 𝐴))
42	39, 41	oveq12d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜓) → (if(𝜓, 0, 𝐴) + if(𝜓, (2 · 𝐴), 0)) = (0 + (2 · 𝐴)))
43		iftrue 4493	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜓 → if(𝜓, 𝐴, 0) = 𝐴)
44	43	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜓) → if(𝜓, 𝐴, 0) = 𝐴)
45	44	oveq1d 7425	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜓) → (if(𝜓, 𝐴, 0) + 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
46	37, 42, 45	3eqtr4d 2808	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜓) → (if(𝜓, 0, 𝐴) + if(𝜓, (2 · 𝐴), 0)) = (if(𝜓, 𝐴, 0) + 𝐴))
47		simpl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜓) → 𝐴 ∈ ℂ)
48		0cnd 11194	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜓) → 0 ∈ ℂ)
49	47, 48	addcomd 11407	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜓) → (𝐴 + 0) = (0 + 𝐴))
50		iffalse 4496	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝜓 → if(𝜓, 0, 𝐴) = 𝐴)
51	50	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜓) → if(𝜓, 0, 𝐴) = 𝐴)
52		iffalse 4496	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝜓 → if(𝜓, (2 · 𝐴), 0) = 0)
53	52	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜓) → if(𝜓, (2 · 𝐴), 0) = 0)
54	51, 53	oveq12d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜓) → (if(𝜓, 0, 𝐴) + if(𝜓, (2 · 𝐴), 0)) = (𝐴 + 0))
55		iffalse 4496	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝜓 → if(𝜓, 𝐴, 0) = 0)
56	55	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜓) → if(𝜓, 𝐴, 0) = 0)
57	56	oveq1d 7425	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜓) → (if(𝜓, 𝐴, 0) + 𝐴) = (0 + 𝐴))
58	49, 54, 57	3eqtr4d 2808	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜓) → (if(𝜓, 0, 𝐴) + if(𝜓, (2 · 𝐴), 0)) = (if(𝜓, 𝐴, 0) + 𝐴))
59	46, 58	pm2.61dan 824	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (if(𝜓, 0, 𝐴) + if(𝜓, (2 · 𝐴), 0)) = (if(𝜓, 𝐴, 0) + 𝐴))
60	59	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (if(𝜓, 0, 𝐴) + if(𝜓, (2 · 𝐴), 0)) = (if(𝜓, 𝐴, 0) + 𝐴))
61		ifnot 4540	. . . . . . 7 ⊢ if(¬ 𝜓, 𝐴, 0) = if(𝜓, 0, 𝐴)
62		nbn2 373	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝜑 → (¬ 𝜓 ↔ (𝜑 ↔ 𝜓)))
63	62	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (¬ 𝜓 ↔ (𝜑 ↔ 𝜓)))
64	63	ifbid 4511	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → if(¬ 𝜓, 𝐴, 0) = if((𝜑 ↔ 𝜓), 𝐴, 0))
65	61, 64	eqtr3id 2812	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → if(𝜓, 0, 𝐴) = if((𝜑 ↔ 𝜓), 𝐴, 0))
66		biorf 949	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝜑 → (𝜓 ↔ (𝜑 ∨ 𝜓)))
67	66	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (𝜓 ↔ (𝜑 ∨ 𝜓)))
68	67	ifbid 4511	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → if(𝜓, (2 · 𝐴), 0) = if((𝜑 ∨ 𝜓), (2 · 𝐴), 0))
69	65, 68	oveq12d 7428	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (if(𝜓, 0, 𝐴) + if(𝜓, (2 · 𝐴), 0)) = (if((𝜑 ↔ 𝜓), 𝐴, 0) + if((𝜑 ∨ 𝜓), (2 · 𝐴), 0)))
70	30, 60, 69	3eqtr2rd 2805	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (if((𝜑 ↔ 𝜓), 𝐴, 0) + if((𝜑 ∨ 𝜓), (2 · 𝐴), 0)) = ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + 𝐴))
71	23, 70	pm2.61dan 824	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) → (if((𝜑 ↔ 𝜓), 𝐴, 0) + if((𝜑 ∨ 𝜓), (2 · 𝐴), 0)) = ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + 𝐴))
72		hadrot 1631	. . . . . . 7 ⊢ (hadd(𝜒, 𝜑, 𝜓) ↔ hadd(𝜑, 𝜓, 𝜒))
73		had1 1633	. . . . . . 7 ⊢ (𝜒 → (hadd(𝜒, 𝜑, 𝜓) ↔ (𝜑 ↔ 𝜓)))
74	72, 73	bitr3id 288	. . . . . 6 ⊢ (𝜒 → (hadd(𝜑, 𝜓, 𝜒) ↔ (𝜑 ↔ 𝜓)))
75	74	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) → (hadd(𝜑, 𝜓, 𝜒) ↔ (𝜑 ↔ 𝜓)))
76	75	ifbid 4511	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) → if(hadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), 𝐴, 0) = if((𝜑 ↔ 𝜓), 𝐴, 0))
77		cad1 1647	. . . . . 6 ⊢ (𝜒 → (cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒) ↔ (𝜑 ∨ 𝜓)))
78	77	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) → (cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒) ↔ (𝜑 ∨ 𝜓)))
79	78	ifbid 4511	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) → if(cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), (2 · 𝐴), 0) = if((𝜑 ∨ 𝜓), (2 · 𝐴), 0))
80	76, 79	oveq12d 7428	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) → (if(hadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), 𝐴, 0) + if(cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), (2 · 𝐴), 0)) = (if((𝜑 ↔ 𝜓), 𝐴, 0) + if((𝜑 ∨ 𝜓), (2 · 𝐴), 0)))
81		iftrue 4493	. . . . 5 ⊢ (𝜒 → if(𝜒, 𝐴, 0) = 𝐴)
82	81	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) → if(𝜒, 𝐴, 0) = 𝐴)
83	82	oveq2d 7426	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) → ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + if(𝜒, 𝐴, 0)) = ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + 𝐴))
84	71, 80, 83	3eqtr4d 2808	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) → (if(hadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), 𝐴, 0) + if(cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), (2 · 𝐴), 0)) = ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + if(𝜒, 𝐴, 0)))
85	19	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ 𝜑) → if(𝜑, 𝐴, 0) = 𝐴)
86	85	oveq1d 7425	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ 𝜑) → (if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) = (𝐴 + if(𝜓, 𝐴, 0)))
87	44	oveq2d 7426	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜓) → (𝐴 + if(𝜓, 𝐴, 0)) = (𝐴 + 𝐴))
88	37, 42, 87	3eqtr4d 2808	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜓) → (if(𝜓, 0, 𝐴) + if(𝜓, (2 · 𝐴), 0)) = (𝐴 + if(𝜓, 𝐴, 0)))
89	53, 56	eqtr4d 2801	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜓) → if(𝜓, (2 · 𝐴), 0) = if(𝜓, 𝐴, 0))
90	51, 89	oveq12d 7428	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜓) → (if(𝜓, 0, 𝐴) + if(𝜓, (2 · 𝐴), 0)) = (𝐴 + if(𝜓, 𝐴, 0)))
91	88, 90	pm2.61dan 824	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (if(𝜓, 0, 𝐴) + if(𝜓, (2 · 𝐴), 0)) = (𝐴 + if(𝜓, 𝐴, 0)))
92	91	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ 𝜑) → (if(𝜓, 0, 𝐴) + if(𝜓, (2 · 𝐴), 0)) = (𝐴 + if(𝜓, 𝐴, 0)))
93	9	adantl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ 𝜑) → (𝜓 ↔ (𝜑 ↔ 𝜓)))
94	93	notbid 321	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ 𝜑) → (¬ 𝜓 ↔ ¬ (𝜑 ↔ 𝜓)))
95		df-xor 1542	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ⊻ 𝜓) ↔ ¬ (𝜑 ↔ 𝜓))
96	94, 95	bitr4di 292	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ 𝜑) → (¬ 𝜓 ↔ (𝜑 ⊻ 𝜓)))
97	96	ifbid 4511	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ 𝜑) → if(¬ 𝜓, 𝐴, 0) = if((𝜑 ⊻ 𝜓), 𝐴, 0))
98	61, 97	eqtr3id 2812	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ 𝜑) → if(𝜓, 0, 𝐴) = if((𝜑 ⊻ 𝜓), 𝐴, 0))
99		ibar 537	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ (𝜑 ∧ 𝜓)))
100	99	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ 𝜑) → (𝜓 ↔ (𝜑 ∧ 𝜓)))
101	100	ifbid 4511	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ 𝜑) → if(𝜓, (2 · 𝐴), 0) = if((𝜑 ∧ 𝜓), (2 · 𝐴), 0))
102	98, 101	oveq12d 7428	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ 𝜑) → (if(𝜓, 0, 𝐴) + if(𝜓, (2 · 𝐴), 0)) = (if((𝜑 ⊻ 𝜓), 𝐴, 0) + if((𝜑 ∧ 𝜓), (2 · 𝐴), 0)))
103	86, 92, 102	3eqtr2rd 2805	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ 𝜑) → (if((𝜑 ⊻ 𝜓), 𝐴, 0) + if((𝜑 ∧ 𝜓), (2 · 𝐴), 0)) = (if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)))
104		simplll 786	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) ∧ 𝜓) → 𝐴 ∈ ℂ)
105		0cnd 11194	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) ∧ ¬ 𝜓) → 0 ∈ ℂ)
106	104, 105	ifclda 4523	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → if(𝜓, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
107		0cnd 11194	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → 0 ∈ ℂ)
108	106, 107	addcomd 11407	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (if(𝜓, 𝐴, 0) + 0) = (0 + if(𝜓, 𝐴, 0)))
109	62	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (¬ 𝜓 ↔ (𝜑 ↔ 𝜓)))
110	109	con1bid 358	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (¬ (𝜑 ↔ 𝜓) ↔ 𝜓))
111	95, 110	bitrid 286	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → ((𝜑 ⊻ 𝜓) ↔ 𝜓))
112	111	ifbid 4511	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → if((𝜑 ⊻ 𝜓), 𝐴, 0) = if(𝜓, 𝐴, 0))
113		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → ¬ 𝜑)
114	113	intnanrd 494	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → ¬ (𝜑 ∧ 𝜓))
115		iffalse 4496	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝜑 ∧ 𝜓) → if((𝜑 ∧ 𝜓), (2 · 𝐴), 0) = 0)
116	114, 115	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → if((𝜑 ∧ 𝜓), (2 · 𝐴), 0) = 0)
117	112, 116	oveq12d 7428	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (if((𝜑 ⊻ 𝜓), 𝐴, 0) + if((𝜑 ∧ 𝜓), (2 · 𝐴), 0)) = (if(𝜓, 𝐴, 0) + 0))
118	24	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → if(𝜑, 𝐴, 0) = 0)
119	118	oveq1d 7425	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) = (0 + if(𝜓, 𝐴, 0)))
120	108, 117, 119	3eqtr4d 2808	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (if((𝜑 ⊻ 𝜓), 𝐴, 0) + if((𝜑 ∧ 𝜓), (2 · 𝐴), 0)) = (if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)))
121	103, 120	pm2.61dan 824	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) → (if((𝜑 ⊻ 𝜓), 𝐴, 0) + if((𝜑 ∧ 𝜓), (2 · 𝐴), 0)) = (if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)))
122		had0 1634	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝜒 → (hadd(𝜒, 𝜑, 𝜓) ↔ (𝜑 ⊻ 𝜓)))
123	72, 122	bitr3id 288	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝜒 → (hadd(𝜑, 𝜓, 𝜒) ↔ (𝜑 ⊻ 𝜓)))
124	123	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) → (hadd(𝜑, 𝜓, 𝜒) ↔ (𝜑 ⊻ 𝜓)))
125	124	ifbid 4511	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) → if(hadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), 𝐴, 0) = if((𝜑 ⊻ 𝜓), 𝐴, 0))
126		cad0 1648	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝜒 → (cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒) ↔ (𝜑 ∧ 𝜓)))
127	126	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) → (cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒) ↔ (𝜑 ∧ 𝜓)))
128	127	ifbid 4511	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) → if(cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), (2 · 𝐴), 0) = if((𝜑 ∧ 𝜓), (2 · 𝐴), 0))
129	125, 128	oveq12d 7428	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) → (if(hadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), 𝐴, 0) + if(cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), (2 · 𝐴), 0)) = (if((𝜑 ⊻ 𝜓), 𝐴, 0) + if((𝜑 ∧ 𝜓), (2 · 𝐴), 0)))
130		iffalse 4496	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝜒 → if(𝜒, 𝐴, 0) = 0)
131	130	oveq2d 7426	. . . 4 ⊢ (¬ 𝜒 → ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + if(𝜒, 𝐴, 0)) = ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + 0))
132		ifcl 4533	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → if(𝜑, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
133	1, 132	mpan2 703	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → if(𝜑, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
134	133, 3	addcld 11223	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) ∈ ℂ)
135	134	addridd 11405	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + 0) = (if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)))
136	131, 135	sylan9eqr 2820	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) → ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + if(𝜒, 𝐴, 0)) = (if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)))
137	121, 129, 136	3eqtr4d 2808	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) → (if(hadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), 𝐴, 0) + if(cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), (2 · 𝐴), 0)) = ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + if(𝜒, 𝐴, 0)))
138	84, 137	pm2.61dan 824	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (if(hadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), 𝐴, 0) + if(cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), (2 · 𝐴), 0)) = ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + if(𝜒, 𝐴, 0)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ⊻ wxo 1541   = wceq 1570  haddwhad 1623  caddwcad 1636   ∈ wcel 2143  ifcif 4487  (class class class)co 7410  ℂcc 11093  0cc0 11095   + caddc 11098   · cmul 11100  2c2 12290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-xor 1542  df-tru 1573  df-fal 1583  df-had 1624  df-cad 1637  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-ltxr 11243  df-2 12298

This theorem is referenced by:  sadadd2lem  16512