Theorem sadadd2lem2 16484

Description: The core of the proof of sadadd2 16494. The intuitive justification for this is that cadd is true if at least two arguments are true, and hadd is true if an odd number of arguments are true, so altogether the result is 𝑛 · 𝐴 where 𝑛 is the number of true arguments, which is equivalently obtained by adding together one 𝐴 for each true argument, on the right side. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
sadadd2lem2	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (if(hadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), 𝐴, 0) + if(cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), (2 · 𝐴), 0)) = ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + if(𝜒, 𝐴, 0)))

Proof of Theorem sadadd2lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 11251	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℂ
2		ifcl 4576	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → if(𝜓, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
3	1, 2	mpan2 691	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → if(𝜓, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
4	3	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → if(𝜓, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
5		simpll 767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → 𝐴 ∈ ℂ)
6	4, 5, 5	add12d 11486	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → (if(𝜓, 𝐴, 0) + (𝐴 + 𝐴)) = (𝐴 + (if(𝜓, 𝐴, 0) + 𝐴)))
7	5, 4, 5	addassd 11281	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → ((𝐴 + if(𝜓, 𝐴, 0)) + 𝐴) = (𝐴 + (if(𝜓, 𝐴, 0) + 𝐴)))
8	6, 7	eqtr4d 2778	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → (if(𝜓, 𝐴, 0) + (𝐴 + 𝐴)) = ((𝐴 + if(𝜓, 𝐴, 0)) + 𝐴))
9		pm5.501 366	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ (𝜑 ↔ 𝜓)))
10	9	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → (𝜓 ↔ (𝜑 ↔ 𝜓)))
11	10	bicomd 223	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → ((𝜑 ↔ 𝜓) ↔ 𝜓))
12	11	ifbid 4554	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → if((𝜑 ↔ 𝜓), 𝐴, 0) = if(𝜓, 𝐴, 0))
13		animorrl 982	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → (𝜑 ∨ 𝜓))
14		iftrue 4537	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∨ 𝜓) → if((𝜑 ∨ 𝜓), (2 · 𝐴), 0) = (2 · 𝐴))
15	13, 14	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → if((𝜑 ∨ 𝜓), (2 · 𝐴), 0) = (2 · 𝐴))
16	5	2timesd 12507	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
17	15, 16	eqtrd 2775	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → if((𝜑 ∨ 𝜓), (2 · 𝐴), 0) = (𝐴 + 𝐴))
18	12, 17	oveq12d 7449	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → (if((𝜑 ↔ 𝜓), 𝐴, 0) + if((𝜑 ∨ 𝜓), (2 · 𝐴), 0)) = (if(𝜓, 𝐴, 0) + (𝐴 + 𝐴)))
19		iftrue 4537	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → if(𝜑, 𝐴, 0) = 𝐴)
20	19	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → if(𝜑, 𝐴, 0) = 𝐴)
21	20	oveq1d 7446	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → (if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) = (𝐴 + if(𝜓, 𝐴, 0)))
22	21	oveq1d 7446	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + 𝐴) = ((𝐴 + if(𝜓, 𝐴, 0)) + 𝐴))
23	8, 18, 22	3eqtr4d 2785	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → (if((𝜑 ↔ 𝜓), 𝐴, 0) + if((𝜑 ∨ 𝜓), (2 · 𝐴), 0)) = ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + 𝐴))
24		iffalse 4540	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝜑 → if(𝜑, 𝐴, 0) = 0)
25	24	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → if(𝜑, 𝐴, 0) = 0)
26	25	oveq1d 7446	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) = (0 + if(𝜓, 𝐴, 0)))
27	3	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → if(𝜓, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
28	27	addlidd 11460	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (0 + if(𝜓, 𝐴, 0)) = if(𝜓, 𝐴, 0))
29	26, 28	eqtrd 2775	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) = if(𝜓, 𝐴, 0))
30	29	oveq1d 7446	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + 𝐴) = (if(𝜓, 𝐴, 0) + 𝐴))
31		2cnd 12342	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
32		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
33	31, 32	mulcld 11279	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
34	33	addlidd 11460	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 + (2 · 𝐴)) = (2 · 𝐴))
35		2times 12400	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
36	34, 35	eqtrd 2775	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 + (2 · 𝐴)) = (𝐴 + 𝐴))
37	36	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜓) → (0 + (2 · 𝐴)) = (𝐴 + 𝐴))
38		iftrue 4537	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜓 → if(𝜓, 0, 𝐴) = 0)
39	38	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜓) → if(𝜓, 0, 𝐴) = 0)
40		iftrue 4537	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜓 → if(𝜓, (2 · 𝐴), 0) = (2 · 𝐴))
41	40	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜓) → if(𝜓, (2 · 𝐴), 0) = (2 · 𝐴))
42	39, 41	oveq12d 7449	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜓) → (if(𝜓, 0, 𝐴) + if(𝜓, (2 · 𝐴), 0)) = (0 + (2 · 𝐴)))
43		iftrue 4537	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜓 → if(𝜓, 𝐴, 0) = 𝐴)
44	43	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜓) → if(𝜓, 𝐴, 0) = 𝐴)
45	44	oveq1d 7446	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜓) → (if(𝜓, 𝐴, 0) + 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
46	37, 42, 45	3eqtr4d 2785	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜓) → (if(𝜓, 0, 𝐴) + if(𝜓, (2 · 𝐴), 0)) = (if(𝜓, 𝐴, 0) + 𝐴))
47		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜓) → 𝐴 ∈ ℂ)
48		0cnd 11252	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜓) → 0 ∈ ℂ)
49	47, 48	addcomd 11461	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜓) → (𝐴 + 0) = (0 + 𝐴))
50		iffalse 4540	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝜓 → if(𝜓, 0, 𝐴) = 𝐴)
51	50	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜓) → if(𝜓, 0, 𝐴) = 𝐴)
52		iffalse 4540	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝜓 → if(𝜓, (2 · 𝐴), 0) = 0)
53	52	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜓) → if(𝜓, (2 · 𝐴), 0) = 0)
54	51, 53	oveq12d 7449	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜓) → (if(𝜓, 0, 𝐴) + if(𝜓, (2 · 𝐴), 0)) = (𝐴 + 0))
55		iffalse 4540	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝜓 → if(𝜓, 𝐴, 0) = 0)
56	55	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜓) → if(𝜓, 𝐴, 0) = 0)
57	56	oveq1d 7446	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜓) → (if(𝜓, 𝐴, 0) + 𝐴) = (0 + 𝐴))
58	49, 54, 57	3eqtr4d 2785	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜓) → (if(𝜓, 0, 𝐴) + if(𝜓, (2 · 𝐴), 0)) = (if(𝜓, 𝐴, 0) + 𝐴))
59	46, 58	pm2.61dan 813	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (if(𝜓, 0, 𝐴) + if(𝜓, (2 · 𝐴), 0)) = (if(𝜓, 𝐴, 0) + 𝐴))
60	59	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (if(𝜓, 0, 𝐴) + if(𝜓, (2 · 𝐴), 0)) = (if(𝜓, 𝐴, 0) + 𝐴))
61		ifnot 4583	. . . . . . 7 ⊢ if(¬ 𝜓, 𝐴, 0) = if(𝜓, 0, 𝐴)
62		nbn2 370	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝜑 → (¬ 𝜓 ↔ (𝜑 ↔ 𝜓)))
63	62	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (¬ 𝜓 ↔ (𝜑 ↔ 𝜓)))
64	63	ifbid 4554	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → if(¬ 𝜓, 𝐴, 0) = if((𝜑 ↔ 𝜓), 𝐴, 0))
65	61, 64	eqtr3id 2789	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → if(𝜓, 0, 𝐴) = if((𝜑 ↔ 𝜓), 𝐴, 0))
66		biorf 936	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝜑 → (𝜓 ↔ (𝜑 ∨ 𝜓)))
67	66	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (𝜓 ↔ (𝜑 ∨ 𝜓)))
68	67	ifbid 4554	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → if(𝜓, (2 · 𝐴), 0) = if((𝜑 ∨ 𝜓), (2 · 𝐴), 0))
69	65, 68	oveq12d 7449	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (if(𝜓, 0, 𝐴) + if(𝜓, (2 · 𝐴), 0)) = (if((𝜑 ↔ 𝜓), 𝐴, 0) + if((𝜑 ∨ 𝜓), (2 · 𝐴), 0)))
70	30, 60, 69	3eqtr2rd 2782	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (if((𝜑 ↔ 𝜓), 𝐴, 0) + if((𝜑 ∨ 𝜓), (2 · 𝐴), 0)) = ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + 𝐴))
71	23, 70	pm2.61dan 813	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) → (if((𝜑 ↔ 𝜓), 𝐴, 0) + if((𝜑 ∨ 𝜓), (2 · 𝐴), 0)) = ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + 𝐴))
72		hadrot 1598	. . . . . . 7 ⊢ (hadd(𝜒, 𝜑, 𝜓) ↔ hadd(𝜑, 𝜓, 𝜒))
73		had1 1600	. . . . . . 7 ⊢ (𝜒 → (hadd(𝜒, 𝜑, 𝜓) ↔ (𝜑 ↔ 𝜓)))
74	72, 73	bitr3id 285	. . . . . 6 ⊢ (𝜒 → (hadd(𝜑, 𝜓, 𝜒) ↔ (𝜑 ↔ 𝜓)))
75	74	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) → (hadd(𝜑, 𝜓, 𝜒) ↔ (𝜑 ↔ 𝜓)))
76	75	ifbid 4554	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) → if(hadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), 𝐴, 0) = if((𝜑 ↔ 𝜓), 𝐴, 0))
77		cad1 1614	. . . . . 6 ⊢ (𝜒 → (cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒) ↔ (𝜑 ∨ 𝜓)))
78	77	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) → (cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒) ↔ (𝜑 ∨ 𝜓)))
79	78	ifbid 4554	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) → if(cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), (2 · 𝐴), 0) = if((𝜑 ∨ 𝜓), (2 · 𝐴), 0))
80	76, 79	oveq12d 7449	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) → (if(hadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), 𝐴, 0) + if(cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), (2 · 𝐴), 0)) = (if((𝜑 ↔ 𝜓), 𝐴, 0) + if((𝜑 ∨ 𝜓), (2 · 𝐴), 0)))
81		iftrue 4537	. . . . 5 ⊢ (𝜒 → if(𝜒, 𝐴, 0) = 𝐴)
82	81	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) → if(𝜒, 𝐴, 0) = 𝐴)
83	82	oveq2d 7447	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) → ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + if(𝜒, 𝐴, 0)) = ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + 𝐴))
84	71, 80, 83	3eqtr4d 2785	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) → (if(hadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), 𝐴, 0) + if(cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), (2 · 𝐴), 0)) = ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + if(𝜒, 𝐴, 0)))
85	19	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ 𝜑) → if(𝜑, 𝐴, 0) = 𝐴)
86	85	oveq1d 7446	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ 𝜑) → (if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) = (𝐴 + if(𝜓, 𝐴, 0)))
87	44	oveq2d 7447	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜓) → (𝐴 + if(𝜓, 𝐴, 0)) = (𝐴 + 𝐴))
88	37, 42, 87	3eqtr4d 2785	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜓) → (if(𝜓, 0, 𝐴) + if(𝜓, (2 · 𝐴), 0)) = (𝐴 + if(𝜓, 𝐴, 0)))
89	53, 56	eqtr4d 2778	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜓) → if(𝜓, (2 · 𝐴), 0) = if(𝜓, 𝐴, 0))
90	51, 89	oveq12d 7449	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜓) → (if(𝜓, 0, 𝐴) + if(𝜓, (2 · 𝐴), 0)) = (𝐴 + if(𝜓, 𝐴, 0)))
91	88, 90	pm2.61dan 813	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (if(𝜓, 0, 𝐴) + if(𝜓, (2 · 𝐴), 0)) = (𝐴 + if(𝜓, 𝐴, 0)))
92	91	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ 𝜑) → (if(𝜓, 0, 𝐴) + if(𝜓, (2 · 𝐴), 0)) = (𝐴 + if(𝜓, 𝐴, 0)))
93	9	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ 𝜑) → (𝜓 ↔ (𝜑 ↔ 𝜓)))
94	93	notbid 318	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ 𝜑) → (¬ 𝜓 ↔ ¬ (𝜑 ↔ 𝜓)))
95		df-xor 1509	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ⊻ 𝜓) ↔ ¬ (𝜑 ↔ 𝜓))
96	94, 95	bitr4di 289	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ 𝜑) → (¬ 𝜓 ↔ (𝜑 ⊻ 𝜓)))
97	96	ifbid 4554	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ 𝜑) → if(¬ 𝜓, 𝐴, 0) = if((𝜑 ⊻ 𝜓), 𝐴, 0))
98	61, 97	eqtr3id 2789	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ 𝜑) → if(𝜓, 0, 𝐴) = if((𝜑 ⊻ 𝜓), 𝐴, 0))
99		ibar 528	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ (𝜑 ∧ 𝜓)))
100	99	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ 𝜑) → (𝜓 ↔ (𝜑 ∧ 𝜓)))
101	100	ifbid 4554	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ 𝜑) → if(𝜓, (2 · 𝐴), 0) = if((𝜑 ∧ 𝜓), (2 · 𝐴), 0))
102	98, 101	oveq12d 7449	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ 𝜑) → (if(𝜓, 0, 𝐴) + if(𝜓, (2 · 𝐴), 0)) = (if((𝜑 ⊻ 𝜓), 𝐴, 0) + if((𝜑 ∧ 𝜓), (2 · 𝐴), 0)))
103	86, 92, 102	3eqtr2rd 2782	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ 𝜑) → (if((𝜑 ⊻ 𝜓), 𝐴, 0) + if((𝜑 ∧ 𝜓), (2 · 𝐴), 0)) = (if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)))
104		simplll 775	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) ∧ 𝜓) → 𝐴 ∈ ℂ)
105		0cnd 11252	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) ∧ ¬ 𝜓) → 0 ∈ ℂ)
106	104, 105	ifclda 4566	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → if(𝜓, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
107		0cnd 11252	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → 0 ∈ ℂ)
108	106, 107	addcomd 11461	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (if(𝜓, 𝐴, 0) + 0) = (0 + if(𝜓, 𝐴, 0)))
109	62	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (¬ 𝜓 ↔ (𝜑 ↔ 𝜓)))
110	109	con1bid 355	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (¬ (𝜑 ↔ 𝜓) ↔ 𝜓))
111	95, 110	bitrid 283	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → ((𝜑 ⊻ 𝜓) ↔ 𝜓))
112	111	ifbid 4554	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → if((𝜑 ⊻ 𝜓), 𝐴, 0) = if(𝜓, 𝐴, 0))
113		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → ¬ 𝜑)
114	113	intnanrd 489	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → ¬ (𝜑 ∧ 𝜓))
115		iffalse 4540	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝜑 ∧ 𝜓) → if((𝜑 ∧ 𝜓), (2 · 𝐴), 0) = 0)
116	114, 115	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → if((𝜑 ∧ 𝜓), (2 · 𝐴), 0) = 0)
117	112, 116	oveq12d 7449	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (if((𝜑 ⊻ 𝜓), 𝐴, 0) + if((𝜑 ∧ 𝜓), (2 · 𝐴), 0)) = (if(𝜓, 𝐴, 0) + 0))
118	24	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → if(𝜑, 𝐴, 0) = 0)
119	118	oveq1d 7446	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) = (0 + if(𝜓, 𝐴, 0)))
120	108, 117, 119	3eqtr4d 2785	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (if((𝜑 ⊻ 𝜓), 𝐴, 0) + if((𝜑 ∧ 𝜓), (2 · 𝐴), 0)) = (if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)))
121	103, 120	pm2.61dan 813	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) → (if((𝜑 ⊻ 𝜓), 𝐴, 0) + if((𝜑 ∧ 𝜓), (2 · 𝐴), 0)) = (if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)))
122		had0 1601	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝜒 → (hadd(𝜒, 𝜑, 𝜓) ↔ (𝜑 ⊻ 𝜓)))
123	72, 122	bitr3id 285	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝜒 → (hadd(𝜑, 𝜓, 𝜒) ↔ (𝜑 ⊻ 𝜓)))
124	123	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) → (hadd(𝜑, 𝜓, 𝜒) ↔ (𝜑 ⊻ 𝜓)))
125	124	ifbid 4554	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) → if(hadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), 𝐴, 0) = if((𝜑 ⊻ 𝜓), 𝐴, 0))
126		cad0 1615	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝜒 → (cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒) ↔ (𝜑 ∧ 𝜓)))
127	126	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) → (cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒) ↔ (𝜑 ∧ 𝜓)))
128	127	ifbid 4554	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) → if(cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), (2 · 𝐴), 0) = if((𝜑 ∧ 𝜓), (2 · 𝐴), 0))
129	125, 128	oveq12d 7449	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) → (if(hadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), 𝐴, 0) + if(cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), (2 · 𝐴), 0)) = (if((𝜑 ⊻ 𝜓), 𝐴, 0) + if((𝜑 ∧ 𝜓), (2 · 𝐴), 0)))
130		iffalse 4540	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝜒 → if(𝜒, 𝐴, 0) = 0)
131	130	oveq2d 7447	. . . 4 ⊢ (¬ 𝜒 → ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + if(𝜒, 𝐴, 0)) = ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + 0))
132		ifcl 4576	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → if(𝜑, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
133	1, 132	mpan2 691	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → if(𝜑, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
134	133, 3	addcld 11278	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) ∈ ℂ)
135	134	addridd 11459	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + 0) = (if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)))
136	131, 135	sylan9eqr 2797	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) → ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + if(𝜒, 𝐴, 0)) = (if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)))
137	121, 129, 136	3eqtr4d 2785	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) → (if(hadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), 𝐴, 0) + if(cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), (2 · 𝐴), 0)) = ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + if(𝜒, 𝐴, 0)))
138	84, 137	pm2.61dan 813	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (if(hadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), 𝐴, 0) + if(cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), (2 · 𝐴), 0)) = ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + if(𝜒, 𝐴, 0)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ⊻ wxo 1508   = wceq 1537  haddwhad 1590  caddwcad 1603   ∈ wcel 2106  ifcif 4531  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  0cc0 11153   + caddc 11156   · cmul 11158  2c2 12319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1509  df-tru 1540  df-fal 1550  df-had 1591  df-cad 1604  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298  df-2 12327

This theorem is referenced by:  sadadd2lem  16493