Theorem sin2t 16209

Description: Double-angle formula for sine. (Contributed by Paul Chapman, 17-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sin2t	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(2 · 𝐴)) = (2 · ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴))))

Proof of Theorem sin2t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2times 12353	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
2	1	fveq2d 6871	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(2 · 𝐴)) = (sin‘(𝐴 + 𝐴)))
3		coscl 16159	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
4		sincl 16158	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
5	3, 4	mulcomd 11203	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐴)) = ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴)))
6	5	oveq2d 7412	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐴))) = (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴)) + ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴))))
7		sinadd 16196	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (sin‘(𝐴 + 𝐴)) = (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐴))))
8	7	anidms 574	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(𝐴 + 𝐴)) = (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐴))))
9	4, 3	mulcld 11202	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴)) ∈ ℂ)
10	9	2timesd 12464	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴))) = (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴)) + ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴))))
11	6, 8, 10	3eqtr4d 2807	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(𝐴 + 𝐴)) = (2 · ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴))))
12	2, 11	eqtrd 2797	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(2 · 𝐴)) = (2 · ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  ℂcc 11071   + caddc 11076   · cmul 11078  2c2 12272  sincsin 16093  cosccos 16094

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-inf2 9596  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8678  df-pm 8811  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-sup 9388  df-inf 9389  df-oi 9458  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-rp 12994  df-ico 13355  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-fl 13802  df-seq 14015  df-exp 14075  df-fac 14287  df-bc 14316  df-hash 14344  df-shft 15080  df-cj 15126  df-re 15127  df-im 15128  df-sqrt 15262  df-abs 15263  df-limsup 15498  df-clim 15515  df-rlim 15516  df-sum 15714  df-ef 16097  df-sin 16099  df-cos 16100

This theorem is referenced by:  sin02gt0  16224  sin4lt0  16227  pilem2  26512  sinhalfpilem  26525  sin2pi  26537  tangtx  26567  sinq12gt0  26569  sincos4thpi  26575  sincos6thpi  26578  dirkertrigeqlem2  46670  sin3t  47462  cos3t  47463  sin5t  47469