Theorem sin2t 16107

Description: Double-angle formula for sine. (Contributed by Paul Chapman, 17-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sin2t	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(2 · 𝐴)) = (2 · ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴))))

Proof of Theorem sin2t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2times 12335	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
2	1	fveq2d 6885	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(2 · 𝐴)) = (sin‘(𝐴 + 𝐴)))
3		coscl 16057	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
4		sincl 16056	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
5	3, 4	mulcomd 11222	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐴)) = ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴)))
6	5	oveq2d 7412	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐴))) = (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴)) + ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴))))
7		sinadd 16094	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (sin‘(𝐴 + 𝐴)) = (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐴))))
8	7	anidms 568	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(𝐴 + 𝐴)) = (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐴))))
9	4, 3	mulcld 11221	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴)) ∈ ℂ)
10	9	2timesd 12442	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴))) = (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴)) + ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴))))
11	6, 8, 10	3eqtr4d 2783	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(𝐴 + 𝐴)) = (2 · ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴))))
12	2, 11	eqtrd 2773	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(2 · 𝐴)) = (2 · ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6535  (class class class)co 7396  ℂcc 11095   + caddc 11100   · cmul 11102  2c2 12254  sincsin 15994  cosccos 15995

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712  ax-inf2 9623  ax-cnex 11153  ax-resscn 11154  ax-1cn 11155  ax-icn 11156  ax-addcl 11157  ax-addrcl 11158  ax-mulcl 11159  ax-mulrcl 11160  ax-mulcom 11161  ax-addass 11162  ax-mulass 11163  ax-distr 11164  ax-i2m1 11165  ax-1ne0 11166  ax-1rid 11167  ax-rnegex 11168  ax-rrecex 11169  ax-cnre 11170  ax-pre-lttri 11171  ax-pre-lttrn 11172  ax-pre-ltadd 11173  ax-pre-mulgt0 11174  ax-pre-sup 11175

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4905  df-int 4947  df-iun 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6292  df-ord 6359  df-on 6360  df-lim 6361  df-suc 6362  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-isom 6544  df-riota 7352  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7843  df-1st 7962  df-2nd 7963  df-frecs 8253  df-wrecs 8284  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8691  df-pm 8811  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-sup 9424  df-inf 9425  df-oi 9492  df-card 9921  df-pnf 11237  df-mnf 11238  df-xr 11239  df-ltxr 11240  df-le 11241  df-sub 11433  df-neg 11434  df-div 11859  df-nn 12200  df-2 12262  df-3 12263  df-n0 12460  df-z 12546  df-uz 12810  df-rp 12962  df-ico 13317  df-fz 13472  df-fzo 13615  df-fl 13744  df-seq 13954  df-exp 14015  df-fac 14221  df-bc 14250  df-hash 14278  df-shft 15001  df-cj 15033  df-re 15034  df-im 15035  df-sqrt 15169  df-abs 15170  df-limsup 15402  df-clim 15419  df-rlim 15420  df-sum 15620  df-ef 15998  df-sin 16000  df-cos 16001

This theorem is referenced by:  sin02gt0  16122  sin4lt0  16125  pilem2  25933  sinhalfpilem  25942  sin2pi  25954  tangtx  25984  sinq12gt0  25986  sincos4thpi  25992  sincos6thpi  25994  dirkertrigeqlem2  44688