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Theorem acongrep 41290
Description: Every integer is alternating-congruent to some number in the first half of the fundamental domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
acongrep ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑎 ∈ (0...𝐴)((2 · 𝐴) ∥ (𝑎𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − -𝑁)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎   𝑁,𝑎

Proof of Theorem acongrep
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2nn 12226 . . . 4 2 ∈ ℕ
2 simpl 483 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℕ)
3 nnmulcl 12177 . . . 4 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (2 · 𝐴) ∈ ℕ)
41, 2, 3sylancr 587 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 · 𝐴) ∈ ℕ)
5 simpr 485 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
6 congrep 41283 . . 3 (((2 · 𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1))(2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))
74, 5, 6syl2anc 584 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1))(2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))
8 elfzelz 13441 . . . . 5 (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) → 𝑏 ∈ ℤ)
98zred 12607 . . . 4 (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) → 𝑏 ∈ ℝ)
109ad2antrl 726 . . 3 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → 𝑏 ∈ ℝ)
11 nnre 12160 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
1211ad2antrr 724 . . 3 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → 𝐴 ∈ ℝ)
13 elfzle1 13444 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) → 0 ≤ 𝑏)
1413ad2antrl 726 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → 0 ≤ 𝑏)
1514anim1i 615 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) ∧ 𝑏𝐴) → (0 ≤ 𝑏𝑏𝐴))
168ad2antrl 726 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → 𝑏 ∈ ℤ)
17 0zd 12511 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → 0 ∈ ℤ)
18 nnz 12520 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
1918ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → 𝐴 ∈ ℤ)
20 elfz 13430 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑏 ∈ (0...𝐴) ↔ (0 ≤ 𝑏𝑏𝐴)))
2116, 17, 19, 20syl3anc 1371 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → (𝑏 ∈ (0...𝐴) ↔ (0 ≤ 𝑏𝑏𝐴)))
2221adantr 481 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) ∧ 𝑏𝐴) → (𝑏 ∈ (0...𝐴) ↔ (0 ≤ 𝑏𝑏𝐴)))
2315, 22mpbird 256 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) ∧ 𝑏𝐴) → 𝑏 ∈ (0...𝐴))
24 simplrr 776 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) ∧ 𝑏𝐴) → (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))
2524orcd 871 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) ∧ 𝑏𝐴) → ((2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − -𝑁)))
26 id 22 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏𝑎 = 𝑏)
27 eqidd 2737 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏𝑁 = 𝑁)
2826, 27acongeq12d 41289 . . . . 5 (𝑎 = 𝑏 → (((2 · 𝐴) ∥ (𝑎𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − -𝑁)) ↔ ((2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − -𝑁))))
2928rspcev 3581 . . . 4 ((𝑏 ∈ (0...𝐴) ∧ ((2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − -𝑁))) → ∃𝑎 ∈ (0...𝐴)((2 · 𝐴) ∥ (𝑎𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − -𝑁)))
3023, 25, 29syl2anc 584 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) ∧ 𝑏𝐴) → ∃𝑎 ∈ (0...𝐴)((2 · 𝐴) ∥ (𝑎𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − -𝑁)))
31 simplll 773 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) ∧ 𝐴𝑏) → 𝐴 ∈ ℕ)
32 simplrl 775 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) ∧ 𝐴𝑏) → 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)))
33 simpr 485 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) ∧ 𝐴𝑏) → 𝐴𝑏)
3493ad2ant2 1134 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴𝑏) → 𝑏 ∈ ℝ)
35 2re 12227 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
36 remulcl 11136 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
3735, 11, 36sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℕ → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
38373ad2ant1 1133 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴𝑏) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
39 0zd 12511 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴𝑏) → 0 ∈ ℤ)
40 2z 12535 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℤ
41 zmulcl 12552 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (2 · 𝐴) ∈ ℤ)
4240, 18, 41sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℕ → (2 · 𝐴) ∈ ℤ)
43423ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴𝑏) → (2 · 𝐴) ∈ ℤ)
44 simp2 1137 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴𝑏) → 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)))
45 elfzm11 13512 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℤ) → (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ↔ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑏𝑏 < (2 · 𝐴))))
4645biimpa 477 . . . . . . . . . . 11 (((0 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℤ) ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1))) → (𝑏 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑏𝑏 < (2 · 𝐴)))
4739, 43, 44, 46syl21anc 836 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴𝑏) → (𝑏 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑏𝑏 < (2 · 𝐴)))
4847simp3d 1144 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴𝑏) → 𝑏 < (2 · 𝐴))
4934, 38, 48ltled 11303 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴𝑏) → 𝑏 ≤ (2 · 𝐴))
5038, 34subge0d 11745 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴𝑏) → (0 ≤ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ↔ 𝑏 ≤ (2 · 𝐴)))
5149, 50mpbird 256 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴𝑏) → 0 ≤ ((2 · 𝐴) − 𝑏))
52113ad2ant1 1133 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴𝑏) → 𝐴 ∈ ℝ)
53 nncn 12161 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
54 2times 12289 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
5554oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · 𝐴) − 𝐴) = ((𝐴 + 𝐴) − 𝐴))
56 pncan2 11408 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐴) − 𝐴) = 𝐴)
5756anidms 567 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 𝐴) − 𝐴) = 𝐴)
5855, 57eqtrd 2776 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · 𝐴) − 𝐴) = 𝐴)
5953, 58syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℕ → ((2 · 𝐴) − 𝐴) = 𝐴)
60593ad2ant1 1133 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴𝑏) → ((2 · 𝐴) − 𝐴) = 𝐴)
61 simp3 1138 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴𝑏) → 𝐴𝑏)
6260, 61eqbrtrd 5127 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴𝑏) → ((2 · 𝐴) − 𝐴) ≤ 𝑏)
6338, 52, 34, 62subled 11758 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴𝑏) → ((2 · 𝐴) − 𝑏) ≤ 𝐴)
6451, 63jca 512 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴𝑏) → (0 ≤ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ∧ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ≤ 𝐴))
6531, 32, 33, 64syl3anc 1371 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) ∧ 𝐴𝑏) → (0 ≤ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ∧ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ≤ 𝐴))
6640, 19, 41sylancr 587 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → (2 · 𝐴) ∈ ℤ)
6766, 16zsubcld 12612 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → ((2 · 𝐴) − 𝑏) ∈ ℤ)
68 elfz 13430 . . . . . . 7 ((((2 · 𝐴) − 𝑏) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (((2 · 𝐴) − 𝑏) ∈ (0...𝐴) ↔ (0 ≤ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ∧ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ≤ 𝐴)))
6967, 17, 19, 68syl3anc 1371 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → (((2 · 𝐴) − 𝑏) ∈ (0...𝐴) ↔ (0 ≤ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ∧ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ≤ 𝐴)))
7069adantr 481 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) ∧ 𝐴𝑏) → (((2 · 𝐴) − 𝑏) ∈ (0...𝐴) ↔ (0 ≤ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ∧ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ≤ 𝐴)))
7165, 70mpbird 256 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) ∧ 𝐴𝑏) → ((2 · 𝐴) − 𝑏) ∈ (0...𝐴))
72 simplr 767 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → 𝑁 ∈ ℤ)
73 simprr 771 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))
74 congsym 41278 . . . . . . . . 9 ((((2 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → (2 · 𝐴) ∥ (𝑁𝑏))
7566, 16, 72, 73, 74syl22anc 837 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → (2 · 𝐴) ∥ (𝑁𝑏))
7672, 16zsubcld 12612 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → (𝑁𝑏) ∈ ℤ)
77 dvdsadd 16184 . . . . . . . . 9 (((2 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑏) ∈ ℤ) → ((2 · 𝐴) ∥ (𝑁𝑏) ↔ (2 · 𝐴) ∥ ((2 · 𝐴) + (𝑁𝑏))))
7866, 76, 77syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → ((2 · 𝐴) ∥ (𝑁𝑏) ↔ (2 · 𝐴) ∥ ((2 · 𝐴) + (𝑁𝑏))))
7975, 78mpbid 231 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → (2 · 𝐴) ∥ ((2 · 𝐴) + (𝑁𝑏)))
8067zcnd 12608 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → ((2 · 𝐴) − 𝑏) ∈ ℂ)
81 zcn 12504 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
8281ad2antlr 725 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → 𝑁 ∈ ℂ)
8380, 82subnegd 11519 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → (((2 · 𝐴) − 𝑏) − -𝑁) = (((2 · 𝐴) − 𝑏) + 𝑁))
8466zcnd 12608 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
8510recnd 11183 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → 𝑏 ∈ ℂ)
8684, 85, 82subadd23d 11534 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → (((2 · 𝐴) − 𝑏) + 𝑁) = ((2 · 𝐴) + (𝑁𝑏)))
8783, 86eqtrd 2776 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → (((2 · 𝐴) − 𝑏) − -𝑁) = ((2 · 𝐴) + (𝑁𝑏)))
8879, 87breqtrrd 5133 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → (2 · 𝐴) ∥ (((2 · 𝐴) − 𝑏) − -𝑁))
8988adantr 481 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) ∧ 𝐴𝑏) → (2 · 𝐴) ∥ (((2 · 𝐴) − 𝑏) − -𝑁))
9089olcd 872 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) ∧ 𝐴𝑏) → ((2 · 𝐴) ∥ (((2 · 𝐴) − 𝑏) − 𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (((2 · 𝐴) − 𝑏) − -𝑁)))
91 id 22 . . . . . 6 (𝑎 = ((2 · 𝐴) − 𝑏) → 𝑎 = ((2 · 𝐴) − 𝑏))
92 eqidd 2737 . . . . . 6 (𝑎 = ((2 · 𝐴) − 𝑏) → 𝑁 = 𝑁)
9391, 92acongeq12d 41289 . . . . 5 (𝑎 = ((2 · 𝐴) − 𝑏) → (((2 · 𝐴) ∥ (𝑎𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − -𝑁)) ↔ ((2 · 𝐴) ∥ (((2 · 𝐴) − 𝑏) − 𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (((2 · 𝐴) − 𝑏) − -𝑁))))
9493rspcev 3581 . . . 4 ((((2 · 𝐴) − 𝑏) ∈ (0...𝐴) ∧ ((2 · 𝐴) ∥ (((2 · 𝐴) − 𝑏) − 𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (((2 · 𝐴) − 𝑏) − -𝑁))) → ∃𝑎 ∈ (0...𝐴)((2 · 𝐴) ∥ (𝑎𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − -𝑁)))
9571, 90, 94syl2anc 584 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) ∧ 𝐴𝑏) → ∃𝑎 ∈ (0...𝐴)((2 · 𝐴) ∥ (𝑎𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − -𝑁)))
9610, 12, 30, 95lecasei 11261 . 2 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → ∃𝑎 ∈ (0...𝐴)((2 · 𝐴) ∥ (𝑎𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − -𝑁)))
977, 96rexlimddv 3158 1 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑎 ∈ (0...𝐴)((2 · 𝐴) ∥ (𝑎𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − -𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wrex 3073   class class class wbr 5105  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  -cneg 11386  cn 12153  2c2 12208  cz 12499  ...cfz 13424  cdvds 16136
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fl 13697  df-mod 13775  df-dvds 16137
This theorem is referenced by:  jm2.26  41312
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