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Theorem acongrep 38227
Description: Every integer is alternating-congruent to some number in the first half of the fundamental domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
acongrep ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑎 ∈ (0...𝐴)((2 · 𝐴) ∥ (𝑎𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − -𝑁)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎   𝑁,𝑎

Proof of Theorem acongrep
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2nn 11347 . . . 4 2 ∈ ℕ
2 simpl 474 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℕ)
3 nnmulcl 11301 . . . 4 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (2 · 𝐴) ∈ ℕ)
41, 2, 3sylancr 581 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 · 𝐴) ∈ ℕ)
5 simpr 477 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
6 congrep 38220 . . 3 (((2 · 𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1))(2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))
74, 5, 6syl2anc 579 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1))(2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))
8 elfzelz 12552 . . . . 5 (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) → 𝑏 ∈ ℤ)
98zred 11732 . . . 4 (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) → 𝑏 ∈ ℝ)
109ad2antrl 719 . . 3 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → 𝑏 ∈ ℝ)
11 nnre 11284 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
1211ad2antrr 717 . . 3 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → 𝐴 ∈ ℝ)
13 elfzle1 12554 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) → 0 ≤ 𝑏)
1413ad2antrl 719 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → 0 ≤ 𝑏)
1514anim1i 608 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) ∧ 𝑏𝐴) → (0 ≤ 𝑏𝑏𝐴))
168ad2antrl 719 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → 𝑏 ∈ ℤ)
17 0zd 11638 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → 0 ∈ ℤ)
18 nnz 11649 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
1918ad2antrr 717 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → 𝐴 ∈ ℤ)
20 elfz 12542 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑏 ∈ (0...𝐴) ↔ (0 ≤ 𝑏𝑏𝐴)))
2116, 17, 19, 20syl3anc 1490 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → (𝑏 ∈ (0...𝐴) ↔ (0 ≤ 𝑏𝑏𝐴)))
2221adantr 472 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) ∧ 𝑏𝐴) → (𝑏 ∈ (0...𝐴) ↔ (0 ≤ 𝑏𝑏𝐴)))
2315, 22mpbird 248 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) ∧ 𝑏𝐴) → 𝑏 ∈ (0...𝐴))
24 simplrr 796 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) ∧ 𝑏𝐴) → (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))
2524orcd 899 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) ∧ 𝑏𝐴) → ((2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − -𝑁)))
26 id 22 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏𝑎 = 𝑏)
27 eqidd 2766 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏𝑁 = 𝑁)
2826, 27acongeq12d 38226 . . . . 5 (𝑎 = 𝑏 → (((2 · 𝐴) ∥ (𝑎𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − -𝑁)) ↔ ((2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − -𝑁))))
2928rspcev 3462 . . . 4 ((𝑏 ∈ (0...𝐴) ∧ ((2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − -𝑁))) → ∃𝑎 ∈ (0...𝐴)((2 · 𝐴) ∥ (𝑎𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − -𝑁)))
3023, 25, 29syl2anc 579 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) ∧ 𝑏𝐴) → ∃𝑎 ∈ (0...𝐴)((2 · 𝐴) ∥ (𝑎𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − -𝑁)))
31 simplll 791 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) ∧ 𝐴𝑏) → 𝐴 ∈ ℕ)
32 simplrl 795 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) ∧ 𝐴𝑏) → 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)))
33 simpr 477 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) ∧ 𝐴𝑏) → 𝐴𝑏)
3493ad2ant2 1164 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴𝑏) → 𝑏 ∈ ℝ)
35 2re 11348 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
36 remulcl 10276 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
3735, 11, 36sylancr 581 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℕ → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
38373ad2ant1 1163 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴𝑏) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
39 0zd 11638 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴𝑏) → 0 ∈ ℤ)
40 2z 11659 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℤ
41 zmulcl 11676 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (2 · 𝐴) ∈ ℤ)
4240, 18, 41sylancr 581 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℕ → (2 · 𝐴) ∈ ℤ)
43423ad2ant1 1163 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴𝑏) → (2 · 𝐴) ∈ ℤ)
44 simp2 1167 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴𝑏) → 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)))
45 elfzm11 12621 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℤ) → (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ↔ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑏𝑏 < (2 · 𝐴))))
4645biimpa 468 . . . . . . . . . . 11 (((0 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℤ) ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1))) → (𝑏 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑏𝑏 < (2 · 𝐴)))
4739, 43, 44, 46syl21anc 866 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴𝑏) → (𝑏 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑏𝑏 < (2 · 𝐴)))
4847simp3d 1174 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴𝑏) → 𝑏 < (2 · 𝐴))
4934, 38, 48ltled 10441 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴𝑏) → 𝑏 ≤ (2 · 𝐴))
5038, 34subge0d 10873 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴𝑏) → (0 ≤ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ↔ 𝑏 ≤ (2 · 𝐴)))
5149, 50mpbird 248 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴𝑏) → 0 ≤ ((2 · 𝐴) − 𝑏))
52113ad2ant1 1163 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴𝑏) → 𝐴 ∈ ℝ)
53 nncn 11285 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
54 2times 11417 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
5554oveq1d 6859 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · 𝐴) − 𝐴) = ((𝐴 + 𝐴) − 𝐴))
56 pncan2 10544 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐴) − 𝐴) = 𝐴)
5756anidms 562 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 𝐴) − 𝐴) = 𝐴)
5855, 57eqtrd 2799 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · 𝐴) − 𝐴) = 𝐴)
5953, 58syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℕ → ((2 · 𝐴) − 𝐴) = 𝐴)
60593ad2ant1 1163 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴𝑏) → ((2 · 𝐴) − 𝐴) = 𝐴)
61 simp3 1168 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴𝑏) → 𝐴𝑏)
6260, 61eqbrtrd 4833 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴𝑏) → ((2 · 𝐴) − 𝐴) ≤ 𝑏)
6338, 52, 34, 62subled 10886 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴𝑏) → ((2 · 𝐴) − 𝑏) ≤ 𝐴)
6451, 63jca 507 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴𝑏) → (0 ≤ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ∧ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ≤ 𝐴))
6531, 32, 33, 64syl3anc 1490 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) ∧ 𝐴𝑏) → (0 ≤ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ∧ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ≤ 𝐴))
6640, 19, 41sylancr 581 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → (2 · 𝐴) ∈ ℤ)
6766, 16zsubcld 11737 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → ((2 · 𝐴) − 𝑏) ∈ ℤ)
68 elfz 12542 . . . . . . 7 ((((2 · 𝐴) − 𝑏) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (((2 · 𝐴) − 𝑏) ∈ (0...𝐴) ↔ (0 ≤ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ∧ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ≤ 𝐴)))
6967, 17, 19, 68syl3anc 1490 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → (((2 · 𝐴) − 𝑏) ∈ (0...𝐴) ↔ (0 ≤ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ∧ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ≤ 𝐴)))
7069adantr 472 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) ∧ 𝐴𝑏) → (((2 · 𝐴) − 𝑏) ∈ (0...𝐴) ↔ (0 ≤ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ∧ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ≤ 𝐴)))
7165, 70mpbird 248 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) ∧ 𝐴𝑏) → ((2 · 𝐴) − 𝑏) ∈ (0...𝐴))
72 simplr 785 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → 𝑁 ∈ ℤ)
73 simprr 789 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))
74 congsym 38215 . . . . . . . . 9 ((((2 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → (2 · 𝐴) ∥ (𝑁𝑏))
7566, 16, 72, 73, 74syl22anc 867 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → (2 · 𝐴) ∥ (𝑁𝑏))
7672, 16zsubcld 11737 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → (𝑁𝑏) ∈ ℤ)
77 dvdsadd 15312 . . . . . . . . 9 (((2 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑏) ∈ ℤ) → ((2 · 𝐴) ∥ (𝑁𝑏) ↔ (2 · 𝐴) ∥ ((2 · 𝐴) + (𝑁𝑏))))
7866, 76, 77syl2anc 579 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → ((2 · 𝐴) ∥ (𝑁𝑏) ↔ (2 · 𝐴) ∥ ((2 · 𝐴) + (𝑁𝑏))))
7975, 78mpbid 223 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → (2 · 𝐴) ∥ ((2 · 𝐴) + (𝑁𝑏)))
8067zcnd 11733 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → ((2 · 𝐴) − 𝑏) ∈ ℂ)
81 zcn 11631 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
8281ad2antlr 718 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → 𝑁 ∈ ℂ)
8380, 82subnegd 10655 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → (((2 · 𝐴) − 𝑏) − -𝑁) = (((2 · 𝐴) − 𝑏) + 𝑁))
8466zcnd 11733 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
8510recnd 10324 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → 𝑏 ∈ ℂ)
8684, 85, 82subadd23d 10670 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → (((2 · 𝐴) − 𝑏) + 𝑁) = ((2 · 𝐴) + (𝑁𝑏)))
8783, 86eqtrd 2799 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → (((2 · 𝐴) − 𝑏) − -𝑁) = ((2 · 𝐴) + (𝑁𝑏)))
8879, 87breqtrrd 4839 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → (2 · 𝐴) ∥ (((2 · 𝐴) − 𝑏) − -𝑁))
8988adantr 472 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) ∧ 𝐴𝑏) → (2 · 𝐴) ∥ (((2 · 𝐴) − 𝑏) − -𝑁))
9089olcd 900 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) ∧ 𝐴𝑏) → ((2 · 𝐴) ∥ (((2 · 𝐴) − 𝑏) − 𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (((2 · 𝐴) − 𝑏) − -𝑁)))
91 id 22 . . . . . 6 (𝑎 = ((2 · 𝐴) − 𝑏) → 𝑎 = ((2 · 𝐴) − 𝑏))
92 eqidd 2766 . . . . . 6 (𝑎 = ((2 · 𝐴) − 𝑏) → 𝑁 = 𝑁)
9391, 92acongeq12d 38226 . . . . 5 (𝑎 = ((2 · 𝐴) − 𝑏) → (((2 · 𝐴) ∥ (𝑎𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − -𝑁)) ↔ ((2 · 𝐴) ∥ (((2 · 𝐴) − 𝑏) − 𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (((2 · 𝐴) − 𝑏) − -𝑁))))
9493rspcev 3462 . . . 4 ((((2 · 𝐴) − 𝑏) ∈ (0...𝐴) ∧ ((2 · 𝐴) ∥ (((2 · 𝐴) − 𝑏) − 𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (((2 · 𝐴) − 𝑏) − -𝑁))) → ∃𝑎 ∈ (0...𝐴)((2 · 𝐴) ∥ (𝑎𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − -𝑁)))
9571, 90, 94syl2anc 579 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) ∧ 𝐴𝑏) → ∃𝑎 ∈ (0...𝐴)((2 · 𝐴) ∥ (𝑎𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − -𝑁)))
9610, 12, 30, 95lecasei 10399 . 2 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → ∃𝑎 ∈ (0...𝐴)((2 · 𝐴) ∥ (𝑎𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − -𝑁)))
977, 96rexlimddv 3182 1 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑎 ∈ (0...𝐴)((2 · 𝐴) ∥ (𝑎𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − -𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  wo 873  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wrex 3056   class class class wbr 4811  (class class class)co 6844  cc 10189  cr 10190  0cc0 10191  1c1 10192   + caddc 10194   · cmul 10196   < clt 10330  cle 10331  cmin 10522  -cneg 10523  cn 11276  2c2 11329  cz 11626  ...cfz 12536  cdvds 15268
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149  ax-cnex 10247  ax-resscn 10248  ax-1cn 10249  ax-icn 10250  ax-addcl 10251  ax-addrcl 10252  ax-mulcl 10253  ax-mulrcl 10254  ax-mulcom 10255  ax-addass 10256  ax-mulass 10257  ax-distr 10258  ax-i2m1 10259  ax-1ne0 10260  ax-1rid 10261  ax-rnegex 10262  ax-rrecex 10263  ax-cnre 10264  ax-pre-lttri 10265  ax-pre-lttrn 10266  ax-pre-ltadd 10267  ax-pre-mulgt0 10268  ax-pre-sup 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-riota 6805  df-ov 6847  df-oprab 6848  df-mpt2 6849  df-om 7266  df-1st 7368  df-2nd 7369  df-wrecs 7612  df-recs 7674  df-rdg 7712  df-er 7949  df-en 8163  df-dom 8164  df-sdom 8165  df-sup 8557  df-inf 8558  df-pnf 10332  df-mnf 10333  df-xr 10334  df-ltxr 10335  df-le 10336  df-sub 10524  df-neg 10525  df-div 10941  df-nn 11277  df-2 11337  df-n0 11541  df-z 11627  df-uz 11890  df-rp 12032  df-fz 12537  df-fl 12804  df-mod 12880  df-dvds 15269
This theorem is referenced by:  jm2.26  38249
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