Theorem acongrep 39597

Description: Every integer is alternating-congruent to some number in the first half of the fundamental domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
acongrep	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑎 ∈ (0...𝐴)((2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − 𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − -𝑁)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎   𝑁,𝑎

Proof of Theorem acongrep

Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 11711	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
2		simpl 485	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℕ)
3		nnmulcl 11662	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (2 · 𝐴) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	sylancr 589	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 · 𝐴) ∈ ℕ)
5		simpr 487	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
6		congrep 39590	. . 3 ⊢ (((2 · 𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1))(2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))
7	4, 5, 6	syl2anc 586	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1))(2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))
8		elfzelz 12909	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) → 𝑏 ∈ ℤ)
9	8	zred 12088	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) → 𝑏 ∈ ℝ)
10	9	ad2antrl 726	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → 𝑏 ∈ ℝ)
11		nnre 11645	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
12	11	ad2antrr 724	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → 𝐴 ∈ ℝ)
13		elfzle1 12911	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) → 0 ≤ 𝑏)
14	13	ad2antrl 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → 0 ≤ 𝑏)
15	14	anim1i 616	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) ∧ 𝑏 ≤ 𝐴) → (0 ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 ≤ 𝐴))
16	8	ad2antrl 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → 𝑏 ∈ ℤ)
17		0zd 11994	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → 0 ∈ ℤ)
18		nnz 12005	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
19	18	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → 𝐴 ∈ ℤ)
20		elfz 12899	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑏 ∈ (0...𝐴) ↔ (0 ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 ≤ 𝐴)))
21	16, 17, 19, 20	syl3anc 1367	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → (𝑏 ∈ (0...𝐴) ↔ (0 ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 ≤ 𝐴)))
22	21	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) ∧ 𝑏 ≤ 𝐴) → (𝑏 ∈ (0...𝐴) ↔ (0 ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 ≤ 𝐴)))
23	15, 22	mpbird 259	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) ∧ 𝑏 ≤ 𝐴) → 𝑏 ∈ (0...𝐴))
24		simplrr 776	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) ∧ 𝑏 ≤ 𝐴) → (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))
25	24	orcd 869	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) ∧ 𝑏 ≤ 𝐴) → ((2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − -𝑁)))
26		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → 𝑎 = 𝑏)
27		eqidd 2822	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → 𝑁 = 𝑁)
28	26, 27	acongeq12d 39596	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (((2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − 𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − -𝑁)) ↔ ((2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − -𝑁))))
29	28	rspcev 3623	. . . 4 ⊢ ((𝑏 ∈ (0...𝐴) ∧ ((2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − -𝑁))) → ∃𝑎 ∈ (0...𝐴)((2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − 𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − -𝑁)))
30	23, 25, 29	syl2anc 586	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) ∧ 𝑏 ≤ 𝐴) → ∃𝑎 ∈ (0...𝐴)((2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − 𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − -𝑁)))
31		simplll 773	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → 𝐴 ∈ ℕ)
32		simplrl 775	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)))
33		simpr 487	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → 𝐴 ≤ 𝑏)
34	9	3ad2ant2 1130	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → 𝑏 ∈ ℝ)
35		2re 11712	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
36		remulcl 10622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
37	35, 11, 36	sylancr 589	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
38	37	3ad2ant1 1129	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
39		0zd 11994	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → 0 ∈ ℤ)
40		2z 12015	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℤ
41		zmulcl 12032	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (2 · 𝐴) ∈ ℤ)
42	40, 18, 41	sylancr 589	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (2 · 𝐴) ∈ ℤ)
43	42	3ad2ant1 1129	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → (2 · 𝐴) ∈ ℤ)
44		simp2 1133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)))
45		elfzm11 12979	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℤ) → (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ↔ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < (2 · 𝐴))))
46	45	biimpa 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℤ) ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1))) → (𝑏 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < (2 · 𝐴)))
47	39, 43, 44, 46	syl21anc 835	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → (𝑏 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < (2 · 𝐴)))
48	47	simp3d 1140	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → 𝑏 < (2 · 𝐴))
49	34, 38, 48	ltled 10788	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → 𝑏 ≤ (2 · 𝐴))
50	38, 34	subge0d 11230	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → (0 ≤ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ↔ 𝑏 ≤ (2 · 𝐴)))
51	49, 50	mpbird 259	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → 0 ≤ ((2 · 𝐴) − 𝑏))
52	11	3ad2ant1 1129	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → 𝐴 ∈ ℝ)
53		nncn 11646	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
54		2times 11774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
55	54	oveq1d 7171	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · 𝐴) − 𝐴) = ((𝐴 + 𝐴) − 𝐴))
56		pncan2 10893	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐴) − 𝐴) = 𝐴)
57	56	anidms 569	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 𝐴) − 𝐴) = 𝐴)
58	55, 57	eqtrd 2856	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · 𝐴) − 𝐴) = 𝐴)
59	53, 58	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((2 · 𝐴) − 𝐴) = 𝐴)
60	59	3ad2ant1 1129	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → ((2 · 𝐴) − 𝐴) = 𝐴)
61		simp3 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → 𝐴 ≤ 𝑏)
62	60, 61	eqbrtrd 5088	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → ((2 · 𝐴) − 𝐴) ≤ 𝑏)
63	38, 52, 34, 62	subled 11243	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → ((2 · 𝐴) − 𝑏) ≤ 𝐴)
64	51, 63	jca 514	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → (0 ≤ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ∧ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ≤ 𝐴))
65	31, 32, 33, 64	syl3anc 1367	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → (0 ≤ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ∧ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ≤ 𝐴))
66	40, 19, 41	sylancr 589	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → (2 · 𝐴) ∈ ℤ)
67	66, 16	zsubcld 12093	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → ((2 · 𝐴) − 𝑏) ∈ ℤ)
68		elfz 12899	. . . . . . 7 ⊢ ((((2 · 𝐴) − 𝑏) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (((2 · 𝐴) − 𝑏) ∈ (0...𝐴) ↔ (0 ≤ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ∧ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ≤ 𝐴)))
69	67, 17, 19, 68	syl3anc 1367	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → (((2 · 𝐴) − 𝑏) ∈ (0...𝐴) ↔ (0 ≤ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ∧ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ≤ 𝐴)))
70	69	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → (((2 · 𝐴) − 𝑏) ∈ (0...𝐴) ↔ (0 ≤ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ∧ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ≤ 𝐴)))
71	65, 70	mpbird 259	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → ((2 · 𝐴) − 𝑏) ∈ (0...𝐴))
72		simplr 767	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → 𝑁 ∈ ℤ)
73		simprr 771	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))
74		congsym 39585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((2 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → (2 · 𝐴) ∥ (𝑁 − 𝑏))
75	66, 16, 72, 73, 74	syl22anc 836	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → (2 · 𝐴) ∥ (𝑁 − 𝑏))
76	72, 16	zsubcld 12093	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → (𝑁 − 𝑏) ∈ ℤ)
77		dvdsadd 15652	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑏) ∈ ℤ) → ((2 · 𝐴) ∥ (𝑁 − 𝑏) ↔ (2 · 𝐴) ∥ ((2 · 𝐴) + (𝑁 − 𝑏))))
78	66, 76, 77	syl2anc 586	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → ((2 · 𝐴) ∥ (𝑁 − 𝑏) ↔ (2 · 𝐴) ∥ ((2 · 𝐴) + (𝑁 − 𝑏))))
79	75, 78	mpbid 234	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → (2 · 𝐴) ∥ ((2 · 𝐴) + (𝑁 − 𝑏)))
80	67	zcnd 12089	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → ((2 · 𝐴) − 𝑏) ∈ ℂ)
81		zcn 11987	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
82	81	ad2antlr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → 𝑁 ∈ ℂ)
83	80, 82	subnegd 11004	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → (((2 · 𝐴) − 𝑏) − -𝑁) = (((2 · 𝐴) − 𝑏) + 𝑁))
84	66	zcnd 12089	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
85	10	recnd 10669	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → 𝑏 ∈ ℂ)
86	84, 85, 82	subadd23d 11019	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → (((2 · 𝐴) − 𝑏) + 𝑁) = ((2 · 𝐴) + (𝑁 − 𝑏)))
87	83, 86	eqtrd 2856	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → (((2 · 𝐴) − 𝑏) − -𝑁) = ((2 · 𝐴) + (𝑁 − 𝑏)))
88	79, 87	breqtrrd 5094	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → (2 · 𝐴) ∥ (((2 · 𝐴) − 𝑏) − -𝑁))
89	88	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → (2 · 𝐴) ∥ (((2 · 𝐴) − 𝑏) − -𝑁))
90	89	olcd 870	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → ((2 · 𝐴) ∥ (((2 · 𝐴) − 𝑏) − 𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (((2 · 𝐴) − 𝑏) − -𝑁)))
91		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ((2 · 𝐴) − 𝑏) → 𝑎 = ((2 · 𝐴) − 𝑏))
92		eqidd 2822	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ((2 · 𝐴) − 𝑏) → 𝑁 = 𝑁)
93	91, 92	acongeq12d 39596	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ((2 · 𝐴) − 𝑏) → (((2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − 𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − -𝑁)) ↔ ((2 · 𝐴) ∥ (((2 · 𝐴) − 𝑏) − 𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (((2 · 𝐴) − 𝑏) − -𝑁))))
94	93	rspcev 3623	. . . 4 ⊢ ((((2 · 𝐴) − 𝑏) ∈ (0...𝐴) ∧ ((2 · 𝐴) ∥ (((2 · 𝐴) − 𝑏) − 𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (((2 · 𝐴) − 𝑏) − -𝑁))) → ∃𝑎 ∈ (0...𝐴)((2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − 𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − -𝑁)))
95	71, 90, 94	syl2anc 586	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → ∃𝑎 ∈ (0...𝐴)((2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − 𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − -𝑁)))
96	10, 12, 30, 95	lecasei 10746	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → ∃𝑎 ∈ (0...𝐴)((2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − 𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − -𝑁)))
97	7, 96	rexlimddv 3291	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑎 ∈ (0...𝐴)((2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − 𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − -𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3139   class class class wbr 5066  (class class class)co 7156  ℂcc 10535  ℝcr 10536  0cc0 10537  1c1 10538   + caddc 10540   · cmul 10542   < clt 10675   ≤ cle 10676   − cmin 10870  -cneg 10871  ℕcn 11638  2c2 11693  ℤcz 11982  ...cfz 12893   ∥ cdvds 15607

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-sup 8906  df-inf 8907  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-rp 12391  df-fz 12894  df-fl 13163  df-mod 13239  df-dvds 15608

This theorem is referenced by:  jm2.26  39619