Theorem acongrep 41704

Description: Every integer is alternating-congruent to some number in the first half of the fundamental domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
acongrep	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑎 ∈ (0...𝐴)((2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − 𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − -𝑁)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎   𝑁,𝑎

Proof of Theorem acongrep

Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 12281	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
2		simpl 483	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℕ)
3		nnmulcl 12232	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (2 · 𝐴) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	sylancr 587	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 · 𝐴) ∈ ℕ)
5		simpr 485	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
6		congrep 41697	. . 3 ⊢ (((2 · 𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1))(2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))
7	4, 5, 6	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1))(2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))
8		elfzelz 13497	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) → 𝑏 ∈ ℤ)
9	8	zred 12662	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) → 𝑏 ∈ ℝ)
10	9	ad2antrl 726	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → 𝑏 ∈ ℝ)
11		nnre 12215	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
12	11	ad2antrr 724	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → 𝐴 ∈ ℝ)
13		elfzle1 13500	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) → 0 ≤ 𝑏)
14	13	ad2antrl 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → 0 ≤ 𝑏)
15	14	anim1i 615	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) ∧ 𝑏 ≤ 𝐴) → (0 ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 ≤ 𝐴))
16	8	ad2antrl 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → 𝑏 ∈ ℤ)
17		0zd 12566	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → 0 ∈ ℤ)
18		nnz 12575	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
19	18	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → 𝐴 ∈ ℤ)
20		elfz 13486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑏 ∈ (0...𝐴) ↔ (0 ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 ≤ 𝐴)))
21	16, 17, 19, 20	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → (𝑏 ∈ (0...𝐴) ↔ (0 ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 ≤ 𝐴)))
22	21	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) ∧ 𝑏 ≤ 𝐴) → (𝑏 ∈ (0...𝐴) ↔ (0 ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 ≤ 𝐴)))
23	15, 22	mpbird 256	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) ∧ 𝑏 ≤ 𝐴) → 𝑏 ∈ (0...𝐴))
24		simplrr 776	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) ∧ 𝑏 ≤ 𝐴) → (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))
25	24	orcd 871	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) ∧ 𝑏 ≤ 𝐴) → ((2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − -𝑁)))
26		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → 𝑎 = 𝑏)
27		eqidd 2733	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → 𝑁 = 𝑁)
28	26, 27	acongeq12d 41703	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (((2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − 𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − -𝑁)) ↔ ((2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − -𝑁))))
29	28	rspcev 3612	. . . 4 ⊢ ((𝑏 ∈ (0...𝐴) ∧ ((2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − -𝑁))) → ∃𝑎 ∈ (0...𝐴)((2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − 𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − -𝑁)))
30	23, 25, 29	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) ∧ 𝑏 ≤ 𝐴) → ∃𝑎 ∈ (0...𝐴)((2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − 𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − -𝑁)))
31		simplll 773	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → 𝐴 ∈ ℕ)
32		simplrl 775	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)))
33		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → 𝐴 ≤ 𝑏)
34	9	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → 𝑏 ∈ ℝ)
35		2re 12282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
36		remulcl 11191	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
37	35, 11, 36	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
38	37	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
39		0zd 12566	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → 0 ∈ ℤ)
40		2z 12590	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℤ
41		zmulcl 12607	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (2 · 𝐴) ∈ ℤ)
42	40, 18, 41	sylancr 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (2 · 𝐴) ∈ ℤ)
43	42	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → (2 · 𝐴) ∈ ℤ)
44		simp2 1137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)))
45		elfzm11 13568	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℤ) → (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ↔ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < (2 · 𝐴))))
46	45	biimpa 477	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℤ) ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1))) → (𝑏 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < (2 · 𝐴)))
47	39, 43, 44, 46	syl21anc 836	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → (𝑏 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < (2 · 𝐴)))
48	47	simp3d 1144	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → 𝑏 < (2 · 𝐴))
49	34, 38, 48	ltled 11358	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → 𝑏 ≤ (2 · 𝐴))
50	38, 34	subge0d 11800	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → (0 ≤ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ↔ 𝑏 ≤ (2 · 𝐴)))
51	49, 50	mpbird 256	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → 0 ≤ ((2 · 𝐴) − 𝑏))
52	11	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → 𝐴 ∈ ℝ)
53		nncn 12216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
54		2times 12344	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
55	54	oveq1d 7420	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · 𝐴) − 𝐴) = ((𝐴 + 𝐴) − 𝐴))
56		pncan2 11463	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐴) − 𝐴) = 𝐴)
57	56	anidms 567	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 𝐴) − 𝐴) = 𝐴)
58	55, 57	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · 𝐴) − 𝐴) = 𝐴)
59	53, 58	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((2 · 𝐴) − 𝐴) = 𝐴)
60	59	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → ((2 · 𝐴) − 𝐴) = 𝐴)
61		simp3 1138	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → 𝐴 ≤ 𝑏)
62	60, 61	eqbrtrd 5169	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → ((2 · 𝐴) − 𝐴) ≤ 𝑏)
63	38, 52, 34, 62	subled 11813	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → ((2 · 𝐴) − 𝑏) ≤ 𝐴)
64	51, 63	jca 512	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → (0 ≤ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ∧ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ≤ 𝐴))
65	31, 32, 33, 64	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → (0 ≤ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ∧ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ≤ 𝐴))
66	40, 19, 41	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → (2 · 𝐴) ∈ ℤ)
67	66, 16	zsubcld 12667	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → ((2 · 𝐴) − 𝑏) ∈ ℤ)
68		elfz 13486	. . . . . . 7 ⊢ ((((2 · 𝐴) − 𝑏) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (((2 · 𝐴) − 𝑏) ∈ (0...𝐴) ↔ (0 ≤ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ∧ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ≤ 𝐴)))
69	67, 17, 19, 68	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → (((2 · 𝐴) − 𝑏) ∈ (0...𝐴) ↔ (0 ≤ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ∧ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ≤ 𝐴)))
70	69	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → (((2 · 𝐴) − 𝑏) ∈ (0...𝐴) ↔ (0 ≤ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ∧ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ≤ 𝐴)))
71	65, 70	mpbird 256	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → ((2 · 𝐴) − 𝑏) ∈ (0...𝐴))
72		simplr 767	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → 𝑁 ∈ ℤ)
73		simprr 771	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))
74		congsym 41692	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((2 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → (2 · 𝐴) ∥ (𝑁 − 𝑏))
75	66, 16, 72, 73, 74	syl22anc 837	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → (2 · 𝐴) ∥ (𝑁 − 𝑏))
76	72, 16	zsubcld 12667	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → (𝑁 − 𝑏) ∈ ℤ)
77		dvdsadd 16241	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑏) ∈ ℤ) → ((2 · 𝐴) ∥ (𝑁 − 𝑏) ↔ (2 · 𝐴) ∥ ((2 · 𝐴) + (𝑁 − 𝑏))))
78	66, 76, 77	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → ((2 · 𝐴) ∥ (𝑁 − 𝑏) ↔ (2 · 𝐴) ∥ ((2 · 𝐴) + (𝑁 − 𝑏))))
79	75, 78	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → (2 · 𝐴) ∥ ((2 · 𝐴) + (𝑁 − 𝑏)))
80	67	zcnd 12663	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → ((2 · 𝐴) − 𝑏) ∈ ℂ)
81		zcn 12559	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
82	81	ad2antlr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → 𝑁 ∈ ℂ)
83	80, 82	subnegd 11574	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → (((2 · 𝐴) − 𝑏) − -𝑁) = (((2 · 𝐴) − 𝑏) + 𝑁))
84	66	zcnd 12663	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
85	10	recnd 11238	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → 𝑏 ∈ ℂ)
86	84, 85, 82	subadd23d 11589	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → (((2 · 𝐴) − 𝑏) + 𝑁) = ((2 · 𝐴) + (𝑁 − 𝑏)))
87	83, 86	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → (((2 · 𝐴) − 𝑏) − -𝑁) = ((2 · 𝐴) + (𝑁 − 𝑏)))
88	79, 87	breqtrrd 5175	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → (2 · 𝐴) ∥ (((2 · 𝐴) − 𝑏) − -𝑁))
89	88	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → (2 · 𝐴) ∥ (((2 · 𝐴) − 𝑏) − -𝑁))
90	89	olcd 872	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → ((2 · 𝐴) ∥ (((2 · 𝐴) − 𝑏) − 𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (((2 · 𝐴) − 𝑏) − -𝑁)))
91		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ((2 · 𝐴) − 𝑏) → 𝑎 = ((2 · 𝐴) − 𝑏))
92		eqidd 2733	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ((2 · 𝐴) − 𝑏) → 𝑁 = 𝑁)
93	91, 92	acongeq12d 41703	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ((2 · 𝐴) − 𝑏) → (((2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − 𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − -𝑁)) ↔ ((2 · 𝐴) ∥ (((2 · 𝐴) − 𝑏) − 𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (((2 · 𝐴) − 𝑏) − -𝑁))))
94	93	rspcev 3612	. . . 4 ⊢ ((((2 · 𝐴) − 𝑏) ∈ (0...𝐴) ∧ ((2 · 𝐴) ∥ (((2 · 𝐴) − 𝑏) − 𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (((2 · 𝐴) − 𝑏) − -𝑁))) → ∃𝑎 ∈ (0...𝐴)((2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − 𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − -𝑁)))
95	71, 90, 94	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → ∃𝑎 ∈ (0...𝐴)((2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − 𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − -𝑁)))
96	10, 12, 30, 95	lecasei 11316	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → ∃𝑎 ∈ (0...𝐴)((2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − 𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − -𝑁)))
97	7, 96	rexlimddv 3161	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑎 ∈ (0...𝐴)((2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − 𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − -𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3070   class class class wbr 5147  (class class class)co 7405  ℂcc 11104  ℝcr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111   < clt 11244   ≤ cle 11245   − cmin 11440  -cneg 11441  ℕcn 12208  2c2 12263  ℤcz 12554  ...cfz 13480   ∥ cdvds 16193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fl 13753  df-mod 13831  df-dvds 16194

This theorem is referenced by:  jm2.26  41726