Theorem acongrep 43334

Description: Every integer is alternating-congruent to some number in the first half of the fundamental domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
acongrep	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑎 ∈ (0...𝐴)((2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − 𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − -𝑁)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎   𝑁,𝑎

Proof of Theorem acongrep

Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 12230	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
2		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℕ)
3		nnmulcl 12181	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (2 · 𝐴) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	sylancr 588	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 · 𝐴) ∈ ℕ)
5		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
6		congrep 43327	. . 3 ⊢ (((2 · 𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1))(2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))
7	4, 5, 6	syl2anc 585	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1))(2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))
8		elfzelz 13452	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) → 𝑏 ∈ ℤ)
9	8	zred 12608	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) → 𝑏 ∈ ℝ)
10	9	ad2antrl 729	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → 𝑏 ∈ ℝ)
11		nnre 12164	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
12	11	ad2antrr 727	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → 𝐴 ∈ ℝ)
13		elfzle1 13455	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) → 0 ≤ 𝑏)
14	13	ad2antrl 729	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → 0 ≤ 𝑏)
15	14	anim1i 616	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) ∧ 𝑏 ≤ 𝐴) → (0 ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 ≤ 𝐴))
16	8	ad2antrl 729	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → 𝑏 ∈ ℤ)
17		0zd 12512	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → 0 ∈ ℤ)
18		nnz 12521	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
19	18	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → 𝐴 ∈ ℤ)
20		elfz 13441	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑏 ∈ (0...𝐴) ↔ (0 ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 ≤ 𝐴)))
21	16, 17, 19, 20	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → (𝑏 ∈ (0...𝐴) ↔ (0 ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 ≤ 𝐴)))
22	21	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) ∧ 𝑏 ≤ 𝐴) → (𝑏 ∈ (0...𝐴) ↔ (0 ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 ≤ 𝐴)))
23	15, 22	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) ∧ 𝑏 ≤ 𝐴) → 𝑏 ∈ (0...𝐴))
24		simplrr 778	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) ∧ 𝑏 ≤ 𝐴) → (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))
25	24	orcd 874	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) ∧ 𝑏 ≤ 𝐴) → ((2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − -𝑁)))
26		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → 𝑎 = 𝑏)
27		eqidd 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → 𝑁 = 𝑁)
28	26, 27	acongeq12d 43333	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (((2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − 𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − -𝑁)) ↔ ((2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − -𝑁))))
29	28	rspcev 3578	. . . 4 ⊢ ((𝑏 ∈ (0...𝐴) ∧ ((2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − -𝑁))) → ∃𝑎 ∈ (0...𝐴)((2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − 𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − -𝑁)))
30	23, 25, 29	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) ∧ 𝑏 ≤ 𝐴) → ∃𝑎 ∈ (0...𝐴)((2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − 𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − -𝑁)))
31		simplll 775	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → 𝐴 ∈ ℕ)
32		simplrl 777	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)))
33		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → 𝐴 ≤ 𝑏)
34	9	3ad2ant2 1135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → 𝑏 ∈ ℝ)
35		2re 12231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
36		remulcl 11123	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
37	35, 11, 36	sylancr 588	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
38	37	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
39		0zd 12512	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → 0 ∈ ℤ)
40		2z 12535	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℤ
41		zmulcl 12552	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (2 · 𝐴) ∈ ℤ)
42	40, 18, 41	sylancr 588	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (2 · 𝐴) ∈ ℤ)
43	42	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → (2 · 𝐴) ∈ ℤ)
44		simp2 1138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)))
45		elfzm11 13523	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℤ) → (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ↔ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < (2 · 𝐴))))
46	45	biimpa 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℤ) ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1))) → (𝑏 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < (2 · 𝐴)))
47	39, 43, 44, 46	syl21anc 838	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → (𝑏 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < (2 · 𝐴)))
48	47	simp3d 1145	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → 𝑏 < (2 · 𝐴))
49	34, 38, 48	ltled 11293	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → 𝑏 ≤ (2 · 𝐴))
50	38, 34	subge0d 11739	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → (0 ≤ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ↔ 𝑏 ≤ (2 · 𝐴)))
51	49, 50	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → 0 ≤ ((2 · 𝐴) − 𝑏))
52	11	3ad2ant1 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → 𝐴 ∈ ℝ)
53		nncn 12165	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
54		2times 12288	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
55	54	oveq1d 7383	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · 𝐴) − 𝐴) = ((𝐴 + 𝐴) − 𝐴))
56		pncan2 11399	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐴) − 𝐴) = 𝐴)
57	56	anidms 566	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 𝐴) − 𝐴) = 𝐴)
58	55, 57	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · 𝐴) − 𝐴) = 𝐴)
59	53, 58	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((2 · 𝐴) − 𝐴) = 𝐴)
60	59	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → ((2 · 𝐴) − 𝐴) = 𝐴)
61		simp3 1139	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → 𝐴 ≤ 𝑏)
62	60, 61	eqbrtrd 5122	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → ((2 · 𝐴) − 𝐴) ≤ 𝑏)
63	38, 52, 34, 62	subled 11752	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → ((2 · 𝐴) − 𝑏) ≤ 𝐴)
64	51, 63	jca 511	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → (0 ≤ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ∧ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ≤ 𝐴))
65	31, 32, 33, 64	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → (0 ≤ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ∧ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ≤ 𝐴))
66	40, 19, 41	sylancr 588	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → (2 · 𝐴) ∈ ℤ)
67	66, 16	zsubcld 12613	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → ((2 · 𝐴) − 𝑏) ∈ ℤ)
68		elfz 13441	. . . . . . 7 ⊢ ((((2 · 𝐴) − 𝑏) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (((2 · 𝐴) − 𝑏) ∈ (0...𝐴) ↔ (0 ≤ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ∧ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ≤ 𝐴)))
69	67, 17, 19, 68	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → (((2 · 𝐴) − 𝑏) ∈ (0...𝐴) ↔ (0 ≤ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ∧ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ≤ 𝐴)))
70	69	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → (((2 · 𝐴) − 𝑏) ∈ (0...𝐴) ↔ (0 ≤ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ∧ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ≤ 𝐴)))
71	65, 70	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → ((2 · 𝐴) − 𝑏) ∈ (0...𝐴))
72		simplr 769	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → 𝑁 ∈ ℤ)
73		simprr 773	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))
74		congsym 43322	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((2 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → (2 · 𝐴) ∥ (𝑁 − 𝑏))
75	66, 16, 72, 73, 74	syl22anc 839	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → (2 · 𝐴) ∥ (𝑁 − 𝑏))
76	72, 16	zsubcld 12613	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → (𝑁 − 𝑏) ∈ ℤ)
77		dvdsadd 16241	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑏) ∈ ℤ) → ((2 · 𝐴) ∥ (𝑁 − 𝑏) ↔ (2 · 𝐴) ∥ ((2 · 𝐴) + (𝑁 − 𝑏))))
78	66, 76, 77	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → ((2 · 𝐴) ∥ (𝑁 − 𝑏) ↔ (2 · 𝐴) ∥ ((2 · 𝐴) + (𝑁 − 𝑏))))
79	75, 78	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → (2 · 𝐴) ∥ ((2 · 𝐴) + (𝑁 − 𝑏)))
80	67	zcnd 12609	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → ((2 · 𝐴) − 𝑏) ∈ ℂ)
81		zcn 12505	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
82	81	ad2antlr 728	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → 𝑁 ∈ ℂ)
83	80, 82	subnegd 11511	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → (((2 · 𝐴) − 𝑏) − -𝑁) = (((2 · 𝐴) − 𝑏) + 𝑁))
84	66	zcnd 12609	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
85	10	recnd 11172	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → 𝑏 ∈ ℂ)
86	84, 85, 82	subadd23d 11526	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → (((2 · 𝐴) − 𝑏) + 𝑁) = ((2 · 𝐴) + (𝑁 − 𝑏)))
87	83, 86	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → (((2 · 𝐴) − 𝑏) − -𝑁) = ((2 · 𝐴) + (𝑁 − 𝑏)))
88	79, 87	breqtrrd 5128	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → (2 · 𝐴) ∥ (((2 · 𝐴) − 𝑏) − -𝑁))
89	88	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → (2 · 𝐴) ∥ (((2 · 𝐴) − 𝑏) − -𝑁))
90	89	olcd 875	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → ((2 · 𝐴) ∥ (((2 · 𝐴) − 𝑏) − 𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (((2 · 𝐴) − 𝑏) − -𝑁)))
91		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ((2 · 𝐴) − 𝑏) → 𝑎 = ((2 · 𝐴) − 𝑏))
92		eqidd 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ((2 · 𝐴) − 𝑏) → 𝑁 = 𝑁)
93	91, 92	acongeq12d 43333	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ((2 · 𝐴) − 𝑏) → (((2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − 𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − -𝑁)) ↔ ((2 · 𝐴) ∥ (((2 · 𝐴) − 𝑏) − 𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (((2 · 𝐴) − 𝑏) − -𝑁))))
94	93	rspcev 3578	. . . 4 ⊢ ((((2 · 𝐴) − 𝑏) ∈ (0...𝐴) ∧ ((2 · 𝐴) ∥ (((2 · 𝐴) − 𝑏) − 𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (((2 · 𝐴) − 𝑏) − -𝑁))) → ∃𝑎 ∈ (0...𝐴)((2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − 𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − -𝑁)))
95	71, 90, 94	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → ∃𝑎 ∈ (0...𝐴)((2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − 𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − -𝑁)))
96	10, 12, 30, 95	lecasei 11251	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → ∃𝑎 ∈ (0...𝐴)((2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − 𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − -𝑁)))
97	7, 96	rexlimddv 3145	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑎 ∈ (0...𝐴)((2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − 𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − -𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062   class class class wbr 5100  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   < clt 11178   ≤ cle 11179   − cmin 11376  -cneg 11377  ℕcn 12157  2c2 12212  ℤcz 12500  ...cfz 13435   ∥ cdvds 16191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9357  df-inf 9358  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-fz 13436  df-fl 13724  df-mod 13802  df-dvds 16192

This theorem is referenced by:  jm2.26  43356