Theorem acongrep 42971

Description: Every integer is alternating-congruent to some number in the first half of the fundamental domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
acongrep	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑎 ∈ (0...𝐴)((2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − 𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − -𝑁)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎   𝑁,𝑎

Proof of Theorem acongrep

Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 12318	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
2		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℕ)
3		nnmulcl 12269	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (2 · 𝐴) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	sylancr 587	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 · 𝐴) ∈ ℕ)
5		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
6		congrep 42964	. . 3 ⊢ (((2 · 𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1))(2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))
7	4, 5, 6	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1))(2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))
8		elfzelz 13546	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) → 𝑏 ∈ ℤ)
9	8	zred 12702	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) → 𝑏 ∈ ℝ)
10	9	ad2antrl 728	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → 𝑏 ∈ ℝ)
11		nnre 12252	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
12	11	ad2antrr 726	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → 𝐴 ∈ ℝ)
13		elfzle1 13549	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) → 0 ≤ 𝑏)
14	13	ad2antrl 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → 0 ≤ 𝑏)
15	14	anim1i 615	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) ∧ 𝑏 ≤ 𝐴) → (0 ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 ≤ 𝐴))
16	8	ad2antrl 728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → 𝑏 ∈ ℤ)
17		0zd 12605	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → 0 ∈ ℤ)
18		nnz 12614	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
19	18	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → 𝐴 ∈ ℤ)
20		elfz 13535	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑏 ∈ (0...𝐴) ↔ (0 ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 ≤ 𝐴)))
21	16, 17, 19, 20	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → (𝑏 ∈ (0...𝐴) ↔ (0 ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 ≤ 𝐴)))
22	21	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) ∧ 𝑏 ≤ 𝐴) → (𝑏 ∈ (0...𝐴) ↔ (0 ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 ≤ 𝐴)))
23	15, 22	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) ∧ 𝑏 ≤ 𝐴) → 𝑏 ∈ (0...𝐴))
24		simplrr 777	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) ∧ 𝑏 ≤ 𝐴) → (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))
25	24	orcd 873	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) ∧ 𝑏 ≤ 𝐴) → ((2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − -𝑁)))
26		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → 𝑎 = 𝑏)
27		eqidd 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → 𝑁 = 𝑁)
28	26, 27	acongeq12d 42970	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (((2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − 𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − -𝑁)) ↔ ((2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − -𝑁))))
29	28	rspcev 3606	. . . 4 ⊢ ((𝑏 ∈ (0...𝐴) ∧ ((2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − -𝑁))) → ∃𝑎 ∈ (0...𝐴)((2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − 𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − -𝑁)))
30	23, 25, 29	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) ∧ 𝑏 ≤ 𝐴) → ∃𝑎 ∈ (0...𝐴)((2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − 𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − -𝑁)))
31		simplll 774	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → 𝐴 ∈ ℕ)
32		simplrl 776	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)))
33		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → 𝐴 ≤ 𝑏)
34	9	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → 𝑏 ∈ ℝ)
35		2re 12319	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
36		remulcl 11219	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
37	35, 11, 36	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
38	37	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
39		0zd 12605	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → 0 ∈ ℤ)
40		2z 12629	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℤ
41		zmulcl 12646	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (2 · 𝐴) ∈ ℤ)
42	40, 18, 41	sylancr 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (2 · 𝐴) ∈ ℤ)
43	42	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → (2 · 𝐴) ∈ ℤ)
44		simp2 1137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)))
45		elfzm11 13617	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℤ) → (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ↔ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < (2 · 𝐴))))
46	45	biimpa 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℤ) ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1))) → (𝑏 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < (2 · 𝐴)))
47	39, 43, 44, 46	syl21anc 837	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → (𝑏 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < (2 · 𝐴)))
48	47	simp3d 1144	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → 𝑏 < (2 · 𝐴))
49	34, 38, 48	ltled 11388	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → 𝑏 ≤ (2 · 𝐴))
50	38, 34	subge0d 11832	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → (0 ≤ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ↔ 𝑏 ≤ (2 · 𝐴)))
51	49, 50	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → 0 ≤ ((2 · 𝐴) − 𝑏))
52	11	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → 𝐴 ∈ ℝ)
53		nncn 12253	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
54		2times 12381	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
55	54	oveq1d 7425	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · 𝐴) − 𝐴) = ((𝐴 + 𝐴) − 𝐴))
56		pncan2 11494	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐴) − 𝐴) = 𝐴)
57	56	anidms 566	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 𝐴) − 𝐴) = 𝐴)
58	55, 57	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · 𝐴) − 𝐴) = 𝐴)
59	53, 58	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((2 · 𝐴) − 𝐴) = 𝐴)
60	59	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → ((2 · 𝐴) − 𝐴) = 𝐴)
61		simp3 1138	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → 𝐴 ≤ 𝑏)
62	60, 61	eqbrtrd 5146	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → ((2 · 𝐴) − 𝐴) ≤ 𝑏)
63	38, 52, 34, 62	subled 11845	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → ((2 · 𝐴) − 𝑏) ≤ 𝐴)
64	51, 63	jca 511	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → (0 ≤ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ∧ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ≤ 𝐴))
65	31, 32, 33, 64	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → (0 ≤ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ∧ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ≤ 𝐴))
66	40, 19, 41	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → (2 · 𝐴) ∈ ℤ)
67	66, 16	zsubcld 12707	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → ((2 · 𝐴) − 𝑏) ∈ ℤ)
68		elfz 13535	. . . . . . 7 ⊢ ((((2 · 𝐴) − 𝑏) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (((2 · 𝐴) − 𝑏) ∈ (0...𝐴) ↔ (0 ≤ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ∧ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ≤ 𝐴)))
69	67, 17, 19, 68	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → (((2 · 𝐴) − 𝑏) ∈ (0...𝐴) ↔ (0 ≤ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ∧ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ≤ 𝐴)))
70	69	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → (((2 · 𝐴) − 𝑏) ∈ (0...𝐴) ↔ (0 ≤ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ∧ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ≤ 𝐴)))
71	65, 70	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → ((2 · 𝐴) − 𝑏) ∈ (0...𝐴))
72		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → 𝑁 ∈ ℤ)
73		simprr 772	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))
74		congsym 42959	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((2 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → (2 · 𝐴) ∥ (𝑁 − 𝑏))
75	66, 16, 72, 73, 74	syl22anc 838	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → (2 · 𝐴) ∥ (𝑁 − 𝑏))
76	72, 16	zsubcld 12707	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → (𝑁 − 𝑏) ∈ ℤ)
77		dvdsadd 16326	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑏) ∈ ℤ) → ((2 · 𝐴) ∥ (𝑁 − 𝑏) ↔ (2 · 𝐴) ∥ ((2 · 𝐴) + (𝑁 − 𝑏))))
78	66, 76, 77	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → ((2 · 𝐴) ∥ (𝑁 − 𝑏) ↔ (2 · 𝐴) ∥ ((2 · 𝐴) + (𝑁 − 𝑏))))
79	75, 78	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → (2 · 𝐴) ∥ ((2 · 𝐴) + (𝑁 − 𝑏)))
80	67	zcnd 12703	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → ((2 · 𝐴) − 𝑏) ∈ ℂ)
81		zcn 12598	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
82	81	ad2antlr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → 𝑁 ∈ ℂ)
83	80, 82	subnegd 11606	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → (((2 · 𝐴) − 𝑏) − -𝑁) = (((2 · 𝐴) − 𝑏) + 𝑁))
84	66	zcnd 12703	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
85	10	recnd 11268	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → 𝑏 ∈ ℂ)
86	84, 85, 82	subadd23d 11621	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → (((2 · 𝐴) − 𝑏) + 𝑁) = ((2 · 𝐴) + (𝑁 − 𝑏)))
87	83, 86	eqtrd 2771	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → (((2 · 𝐴) − 𝑏) − -𝑁) = ((2 · 𝐴) + (𝑁 − 𝑏)))
88	79, 87	breqtrrd 5152	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → (2 · 𝐴) ∥ (((2 · 𝐴) − 𝑏) − -𝑁))
89	88	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → (2 · 𝐴) ∥ (((2 · 𝐴) − 𝑏) − -𝑁))
90	89	olcd 874	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → ((2 · 𝐴) ∥ (((2 · 𝐴) − 𝑏) − 𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (((2 · 𝐴) − 𝑏) − -𝑁)))
91		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ((2 · 𝐴) − 𝑏) → 𝑎 = ((2 · 𝐴) − 𝑏))
92		eqidd 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ((2 · 𝐴) − 𝑏) → 𝑁 = 𝑁)
93	91, 92	acongeq12d 42970	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ((2 · 𝐴) − 𝑏) → (((2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − 𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − -𝑁)) ↔ ((2 · 𝐴) ∥ (((2 · 𝐴) − 𝑏) − 𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (((2 · 𝐴) − 𝑏) − -𝑁))))
94	93	rspcev 3606	. . . 4 ⊢ ((((2 · 𝐴) − 𝑏) ∈ (0...𝐴) ∧ ((2 · 𝐴) ∥ (((2 · 𝐴) − 𝑏) − 𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (((2 · 𝐴) − 𝑏) − -𝑁))) → ∃𝑎 ∈ (0...𝐴)((2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − 𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − -𝑁)))
95	71, 90, 94	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → ∃𝑎 ∈ (0...𝐴)((2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − 𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − -𝑁)))
96	10, 12, 30, 95	lecasei 11346	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → ∃𝑎 ∈ (0...𝐴)((2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − 𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − -𝑁)))
97	7, 96	rexlimddv 3148	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑎 ∈ (0...𝐴)((2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − 𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − -𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3061   class class class wbr 5124  (class class class)co 7410  ℂcc 11132  ℝcr 11133  0cc0 11134  1c1 11135   + caddc 11137   · cmul 11139   < clt 11274   ≤ cle 11275   − cmin 11471  -cneg 11472  ℕcn 12245  2c2 12300  ℤcz 12593  ...cfz 13529   ∥ cdvds 16277

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9459  df-inf 9460  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-rp 13014  df-fz 13530  df-fl 13814  df-mod 13892  df-dvds 16278

This theorem is referenced by:  jm2.26  42993