MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvne0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abvne0 20668
Description: The absolute value of a nonzero number is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abvf.a 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘…)
abvf.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
abveq0.z 0 = (0gβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
abvne0 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) β‰  0)

Proof of Theorem abvne0
StepHypRef Expression
1 abvf.a . . . 4 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘…)
2 abvf.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
3 abveq0.z . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘…)
41, 2, 3abveq0 20667 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) = 0 ↔ 𝑋 = 0 ))
54necon3bid 2979 . 2 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) β‰  0 ↔ 𝑋 β‰  0 ))
65biimp3ar 1466 1 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) β‰  0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  β€˜cfv 6536  0cc0 11109  Basecbs 17151  0gc0g 17392  AbsValcabv 20657
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-map 8821  df-abv 20658
This theorem is referenced by:  abvgt0  20669  abv1z  20673  abvrec  20677  abvdiv  20678  abvdom  20679
  Copyright terms: Public domain W3C validator