MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvne0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abvne0 20423
Description: The absolute value of a nonzero number is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abvf.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvf.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
abveq0.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
abvne0 ((𝐹𝐴𝑋𝐵𝑋0 ) → (𝐹𝑋) ≠ 0)

Proof of Theorem abvne0
StepHypRef Expression
1 abvf.a . . . 4 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
2 abvf.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
3 abveq0.z . . . 4 0 = (0g𝑅)
41, 2, 3abveq0 20422 . . 3 ((𝐹𝐴𝑋𝐵) → ((𝐹𝑋) = 0 ↔ 𝑋 = 0 ))
54necon3bid 2986 . 2 ((𝐹𝐴𝑋𝐵) → ((𝐹𝑋) ≠ 0 ↔ 𝑋0 ))
65biimp3ar 1471 1 ((𝐹𝐴𝑋𝐵𝑋0 ) → (𝐹𝑋) ≠ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  cfv 6540  0cc0 11106  Basecbs 17140  0gc0g 17381  AbsValcabv 20412
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fv 6548  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-map 8818  df-abv 20413
This theorem is referenced by:  abvgt0  20424  abv1z  20428  abvrec  20432  abvdiv  20433  abvdom  20434
  Copyright terms: Public domain W3C validator