MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvne0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abvne0 20707
Description: The absolute value of a nonzero number is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abvf.a 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘…)
abvf.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
abveq0.z 0 = (0gβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
abvne0 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) β‰  0)

Proof of Theorem abvne0
StepHypRef Expression
1 abvf.a . . . 4 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘…)
2 abvf.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
3 abveq0.z . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘…)
41, 2, 3abveq0 20706 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) = 0 ↔ 𝑋 = 0 ))
54necon3bid 2982 . 2 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) β‰  0 ↔ 𝑋 β‰  0 ))
65biimp3ar 1467 1 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) β‰  0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2937  β€˜cfv 6548  0cc0 11139  Basecbs 17180  0gc0g 17421  AbsValcabv 20696
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-fv 6556  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-map 8847  df-abv 20697
This theorem is referenced by:  abvgt0  20708  abv1z  20712  abvrec  20716  abvdiv  20717  abvdom  20718
  Copyright terms: Public domain W3C validator